Gelfand-Tripel

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Das Gelfand-Tripel (auch Banach-Gelfand-Tripel oder ausgerüsteter Hilbert-Raum) bezeichnet in der Funktionalanalysis ein Raum-Tripel , bestehend aus einem Hilbert-Raum , einem Banach-Raum und seinem Dualraum . Der Raum wird so gewählt, dass ein dicht liegender reflexiver Unterraum von ist und seine Inklusion stetig ist. Diese Konstruktion hat nun den Vorteil, dass sich Elemente aus mittels des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz als Elemente des Dualraumes identifizieren lassen.

Das Gelfand-Tripel ist nach Israel Gelfand benannt.

Definition

Sei ein separabler Hilbert-Raum und ein darin dicht liegender reflexiver Banach-Raum und die Inklusion sei stetig. und bezeichnen die dazugehörigen Dualräume. Die Separabilität von garantiert uns die Existenz eines in dicht liegenden Unterraumes.

Es folgt aus diesen Eigenschaften, dass folgende dichte Inklusion gilt

in dem wir mit identifizieren.

Es gilt nun für alle

wobei die rechte Seite die duale Paarung bezeichnet. Das Tripel nennt man Gelfand-Tripel.[1]

Herleitung der Inklusion

Es lässt sich zeigen, dass auch dicht liegt und die Inklusion stetig ist. Für ein und definieren wir die duale Paarung

Für jedes existiert eine eindeutige Riesz-Darstellung , so dass

für alle gilt. Deshalb können wir mit identifizieren und daraus folgt die Inklusion

und auch ist stetig.

Beispiele und Anwendungen

  • Sei und ein Lp-Raum, der Schwartz-Raum und der Raum der temperierten Distributionen. Dann ist das Tripel ein Gelfand-Tripel.
  • Seien die Folgenräume der beschränkten Folgen. Dann ist das Tripel ein Gelfand-Tripel.
  • Sei offen, und ein Lp-Raum. Mit wird der (beschränkte) Sobolew-Raum und mit sein Dualraum bezeichnet. Dann ist ein Gelfand-Tripel.[1]
  • Im Hida-Kalkül (Weißes-Rauschen-Analysis): sei der Kondratiew-Raum der stochastischen Test-Funktionen, der Raum des weißen Rauschen, der Kondratiew-Raum der stochastischen Distributionen. Dann ist ein Gelfand-Tripel.

Anwendungen

Sei das Gelfand-Tripel aus dem vorigen Beispiel. Der Laplace-Operator ist nicht stetig. Sei die Fortsetzung des Operators auf dem Gelfand-Tripel mit , dann ist stetig.

Literatur

  • Hans G. Feichtinger: Banach Gelfand Triples for Applications in Physics and Engineering. In: AIP Conference Proceedings. Band 1146, 2009, doi:10.1063/1.3183542.
  • Israel M. Gelfand, Naum Ya. Vilenkin: Generalized Functions: Some Applications of Harmonic Analysis. Rigged Hilbert Spaces. Hrsg.: Academic Press, New York. 1964.
  • Monika Dörfler, Hans G. Feichtinger, Karlheinz Gröchenig: Time-Frequency Partitions for Gelfand Triple (S0,L2,S0'). In: Mathematica Scandinavica. Band 98, Nr. 1, 2006, S. 81–96, JSTOR:24493549.

Einzelnachweise

  1. a b Claudia Prévôt, Michael Röckner: A Concise Course on Stochastic Partial Differential Equations. In: Springer Berlin, Heidelberg (Hrsg.): Lecture Notes in Mathematics. 2007, S. 55–73, doi:10.1007/978-3-540-70781-3 (englisch).