Erzeugende Funktion

In verschiedenen Teilgebieten der Mathematik versteht man unter der erzeugenden Funktion einer Folge $(a_{n})$ die formale Potenzreihe

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$.

Zum Beispiel ist die erzeugende Funktion der konstanten Folge $1,1,1,\ldots$ die geometrische Reihe

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}=1z^{0}+1z^{1}+1z^{2}+\ldots$

Die Reihe konvergiert für alle $|z|<1$ und besitzt den Wert

$f(z)={\frac {1}{1-z}}$.

Wegen der Verwendung formaler Potenzreihen spielen allerdings im Allgemeinen Konvergenzfragen keine Rolle – $z$ ist lediglich ein Symbol. Diese explizitere Darstellung als Potenzreihe ermöglicht oft Rückschlüsse auf die Folge.

Beispiele

Es gelten folgende Identitäten für die elementaren Funktionen:

• $\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}={\frac {z}{(1-z)^{2}}}$     (erzeugende Funktion der Folge der natürlichen Zahlen $0,1,2,3,\ldots$)
• $\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}z^{n}={\frac {z(1+z)}{(1-z)^{3}}}$     (erzeugende Funktion der Folge der Quadratzahlen $0,1,4,9,\ldots$)
• $\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}z^{n}={\frac {1}{1-az}}$     (erzeugende Funktion der geometrischen Folge $1,a,a^{2},a^{3},\ldots$)
• $\sum _{n=0}^{\infty }{c \choose n}z^{n}=(1+z)^{c}$
• $\sum _{n=0}^{\infty }{c+n-1 \choose n}z^{n}={\frac {1}{(1-z)^{c}}}$
• $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}z^{n}=\ln {\frac {1}{1-z}}$
• $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}=\exp(z)$
• $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}z^{n}=\exp[\exp(z)-1]$

Mit dem Kürzel Bₙ wird die Bellsche Zahlenfolge dargestellt.

Die erzeugenden Funktionen mancher Zahlenfolgen sind nicht elementar beschaffen. Durch Srinivasa Ramanujan, Richard Dedekind und Leonhard Euler wurden folgende erzeugende Funktionen für die reguläre Partitionszahlenfolge P(n) und die strikte Partitionszahlenfolge Q(n) ermittelt:

• $\sum _{n=0}^{\infty }P(n)z^{n}=(z;z)_{\infty }^{-1}=\vartheta _{00}(z)^{-1/6}\vartheta _{01}(z)^{-2/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16z}}{\bigl [}\vartheta _{00}(z)^{4}-\vartheta _{01}(z)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{-1/24}$

• $\sum _{n=0}^{\infty }Q(n)z^{n}=(z;z^{2})_{\infty }^{-1}=\vartheta _{00}(z)^{1/6}\vartheta _{01}(z)^{-1/3}{\biggl \{}{\frac {1}{16z}}{\bigl [}\vartheta _{00}(z)^{4}-\vartheta _{01}(z)^{4}{\bigr ]}{\biggr \}}^{1/24}$

Mit dem Buchstaben ϑ werden die elliptischen Theta-Nullwertfunktionen ausgedrückt.

Manipulation von erzeugenden Funktionen

Stellt man eine Folge als erzeugende Funktion dar, entsprechen bestimmte Manipulationen der Folge entsprechenden Manipulationen der erzeugenden Funktion.

Betrachten wir z. B. die Folge $1,1,1,\ldots$ mit der erzeugenden Funktion $\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}={\frac {1}{1-z}}=F(z)$. Ableiten ergibt

$F'(z)={\frac {1}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)z^{n}$.

Das entspricht der Folge $1,2,3,\ldots$ Multiplikation mit $z$ ergibt

$zF'(z)={\frac {z}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }nz^{n}$.

Wir erhalten also die Folge $0,1,2,3,\ldots$

Ableiten einer erzeugenden Funktion entspricht also der Multiplikation des n-ten Gliedes der Folge mit $n$ und anschließender Indexverschiebung nach links, Multiplikation mit z entspricht einer Verschiebung der Indizes nach rechts.

Betrachten wir eine weitere Folge $a_{0},a_{1},a_{2},\ldots$ mit der erzeugenden Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n = G(z)} . Multipliziert man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(z)} mit der erzeugenden Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(z)} von oben gemäß der Cauchy-Produktformel erhält man:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G(z) F(z) = G(z) \frac{1}{1-z} = (\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n) (\sum_{n=0}^{\infty} 1 z^n) = \sum_{n=0}^{\infty} (\sum_{k=0}^{n} a_k \ 1) z^n}

Der n-te Koeffizient des Produkts ist also von der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_k} . Das ist genau die Partialsumme der ersten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Koeffizienten der ursprünglichen erzeugenden Funktion. Die Multiplikation einer erzeugenden Funktion mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{1-z}} liefert somit die Partialsummen.

Eine Übersicht über weitere mögliche Manipulationen liefert die folgende Tabelle:

Folge	erzeugende Funktion
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_n + b_n)_{n \geq 0}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(z) + B(z)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k})_{n \geq 0}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(z)B(z)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\sum_{k=0}^n a_k)_{n \geq 0}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{1-z}A(z)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\lambda^n a_n)_{n \geq 0}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(\lambda z)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ((n+1) a_{n+1})_{n \geq 0}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'(z)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n a_n)_{n \geq 0}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z A'(z)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n^2 a_n)_{n \geq 0}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z A'(z) + z^2 A''(z)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0, 0, a_2, 0, a_4, 0, \ldots}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A(z) + A(-z)\bigr)}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0, a_1, 0, a_3, 0, a_5, \ldots}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}\bigl(A(z) - A(-z)\bigr)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(z)} ist die erzeugende Funktion der Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0, a_1, a_2, \ldots = (a_n)_{n \geq 0}} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(z)} die der Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (b_n)_{n \geq 0}} .

Anwendung

Erzeugende Funktionen sind ein wichtiges Hilfsmittel für das Lösen von Rekursionen und Differenzengleichungen sowie für das Zählen von Zahlpartitionen. Die punktweise Multiplikation einer erzeugenden Funktion mit der Identität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z\mapsto z} entspricht der Verschiebung der modellierten Folgeglieder um eine Stelle nach hinten, wobei vorn, als neues Glied mit dem Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} , eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} angefügt wird. Angenommen, wir haben die Rekursion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(n) = 2\cdot f(n-1), f(0) = 1} zu lösen, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(n)\cdot z^n = 2z\cdot f(n-1) z^{n-1}} , und es gilt für die erzeugende Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(z) := \sum_{n=0}^\infty f(n) \cdot z^{n} = f(0) + \sum_{n=1}^\infty f(n) \cdot z^{n}= 1 + 2z\cdot \sum_{n=1}^\infty f(n-1) \cdot z^{n-1} = 1 + 2z\cdot \sum_{n=0}^\infty f(n) \cdot z^n}

also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(z) = 1+ 2z \cdot F(z) }

Auflösen nach F liefert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(z) = \frac{1}{1 - 2z}. }

Wir wissen aber aus dem vorhergehenden Abschnitt, dass dies der Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=0}^\infty 2^n z^n } entspricht, also gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(n) = 2^n } nach Koeffizientenvergleich.

Verschiedene Typen von erzeugenden Funktionen

Es gibt neben der gewöhnlichen erzeugenden Funktion noch weitere Typen von erzeugenden Funktionen. Manchmal erweist es sich als zweckmäßig, Folgen mit Hilfe der folgenden zwei Arten von erzeugenden Funktionen zu betrachten.

Exponentiell erzeugende Funktion

Die exponentiell erzeugende Funktion (oder erzeugende Funktion vom Exponentialtyp) einer Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n} ist die Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z\mapsto \sum_{n=0}^\infty \frac{a_n}{n!} z^n} .

Zum Beispiel ist die Exponentialfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^z} die exponentiell erzeugende Funktion der Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1, 1, 1, \ldots}

Dirichlet-erzeugende Funktion

Die Dirichlet-erzeugende Funktion einer Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_n} ist die Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s\mapsto \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{n^s}} . Sie ist benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet.

Zum Beispiel ist die Riemannsche Zetafunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^s}} die Dirichlet-erzeugende Funktion der Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1, 1, 1, \ldots}

Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

→ Hauptartikel: Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion

Liegen alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_i)_{i\in \mathbb{N}} } zwischen null und eins und summieren sich zu eins auf, so nennt man die erzeugende Funktion dieser Reihe auch wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion. Sie spielt z. B. eine Rolle bei der Berechnung von Erwartungswerten und Varianzen sowie bei der Addition von unabhängigen Zufallsvariablen.

Erzeugende Funktionen und die Z-Transformation

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\{a_n\}(z)} die gewöhnliche erzeugende Funktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_n)} und sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal Z\{a_n\}(z)} die unilaterale Z-Transformation von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_n)} . Der Zusammenhang zwischen der erzeugenden Funktion und der Z-Transformierten ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\{a_n\}(z) = \mathcal Z\{a_n\}\Big(\frac{1}{z}\Big).}

Aus einer Tabelle von Z-Transformationen kann man damit die entsprechenden erzeugenden Funktionen gewinnen und umgekehrt.

Beispiel: Es ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal Z\{1\}(z) = \frac{z}{z-1}.} Damit ergibt sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G\{1\}(z) = \frac{1/z}{1/z-1} = \frac{z}{z}\left(\frac{1/z}{1/z-1}\right) = \frac{1}{1-z}.}

Literatur

Wikibooks: Lineare Rekurrenzen, Potenzreihen und ihre erzeugenden Funktionen – Lern- und Lehrmaterialien

• Martin Aigner: Diskrete Mathematik. 5., überarbeitete und erweiterte Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-47268-5.
• Herbert S. Wilf: generatingfunctionology. 3. Auflage. A. K. Peters Ltd., Wellesley MA 2005, ISBN 978-1-56881-279-3 (2. Auflage. Academic Press, Boston MA u. a. 1994, ISBN 0-12-751956-4, im PDF 1,18 MB).