Impulsabbildung

Die Impulsabbildung ist ein Konzept der mathematischen Physik, mit dem das Noether-Theorem über den Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen theoretisch erklärt werden kann.

Konstruktion der Impulsabbildung

Sei $(M,\omega )$ eine symplektische Mannigfaltigkeit. Eine Lie-Gruppe $G$ wirke durch Symplektomorphismen auf $M$. Die zur Lie-Gruppe zugehörige Lie-Algebra, aus der die Gruppe durch Exponentierung hervorgeht, sei ${\mathfrak {g}}$. Für $X\in {\mathfrak {g}}$ sei $\xi _{X}$ das entsprechende Vektorfeld auf $M$ und $\iota$ bezeichne das innere Produkt auf $M$.

Weil $G$ durch Symplektomorphismen wirkt, ist die Lie-Ableitung ${\mathcal {L}}_{\xi _{X}}\omega =0$, mit der Cartan-Formel folgt $\mathrm {d} \iota _{\xi _{X}}\omega =0$, das Vektorfeld ist also symplektisch. Wenn die geschlossene Differentialform $\mathrm {\iota } _{\xi _{X}}\omega$ exakt ist, ist das Vektorfeld zusätzlich hamiltonsch. Dies ist zum Beispiel immer dann der Fall, wenn die erste De-Rham-Kohomologie $H^{1}(M;\mathbb {R} )=0$ ist.

In diesem Fall gibt es eine Funktion $\mu ^{X}\colon M\to \mathbb {R}$ mit $\mathrm {d} \mu ^{X}=\iota _{\xi _{X}}$, und man erhält insgesamt eine Abbildung $\mu \colon M\to {\mathfrak {g}}^{*}$ mit $\mu (x)(X)=\mu ^{X}(x)$. Diese Abbildung $\mu$ wird als Impulsabbildung bezeichnet.

Eigenschaften

• Für den symplektischen Gradienten $\operatorname {sgrad}$ und jedes $X\in {\mathfrak {g}}^{*}$ gilt $\operatorname {sgrad} (\mu ^{X})(x)=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\exp(tX)\cdot x)\right|_{t=0}$ für alle $x\in M$.
• Für alle $g\in G,x\in X$ gilt $\mu (g\cdot x)=\operatorname {Ad} (g^{-1})^{*}\circ \mu (x)$.

Noether-Theorem

Wenn eine Lie-Gruppe $G$ durch Symplektomorphismen auf einer symplektischen Mannigfaltigkeit $(M,\omega )$ wirkt und $H$ eine $G$-invariante Hamilton-Funktion ist, dann ist $\mu$ konstant entlang der Integralkurven von $\operatorname {sgrad} (H)$ (also der Lösungskurven des Hamilton-Systems). Tatsächlich gilt für die Poisson-Klammer mit der Hamilton-Funktion

$\left\{\mu ^{X},H\right\}=\omega (X_{H},X)=\iota _{X}\mathrm {d} H=0$

für $X\in {\mathfrak {g}}^{*}$, woraus wegen der Gleichung $\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mu ^{X}(\Phi _{H}(t,x))\right|_{t=0}=\left\{\mu ^{X},H\right\}$ für den hamiltonschen Fluss $\Phi _{H}$ die Invarianz von $\mu ^{X}$ folgt.

Literatur

• Victor Guillemin, T. L. Ohsawa, Yael Karshon, Viktor L. Ginzburg: Moment Maps, Cobordisms, and Hamiltonian Group Actions. American Mathematical Soc., 2002, ISBN 978-0-8218-0502-2. 
• Heckman: Lecture notes on the geometry of the momentum map