Lemma von Itō

Das Lemma von Itō (auch Itō-Formel), benannt nach dem japanischen Mathematiker Itō Kiyoshi, ist eine zentrale Aussage in der stochastischen Analysis. In seiner einfachsten Form ist es eine Integraldarstellung für stochastische Prozesse, die Funktionen eines Wiener-Prozesses sind. Es entspricht damit der Kettenregel bzw. Substitutionsregel der klassischen Differential- und Integralrechnung.

Version für Wiener-Prozesse

Sei $(W_{t})_{t\geq 0}$ ein (Standard-)Wiener-Prozess und $h\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine zweimal stetig differenzierbare Funktion. Dann gilt

$h(W_{t})=h(W_{0})+\int _{0}^{t}h'(W_{s})\,{\rm {d}}W_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}h''(W_{s})\,{\rm {d}}s\,.$

Dabei ist das erste Integral als Itō-Integral und das zweite Integral als ein gewöhnliches Riemann-Integral (über die stetigen Pfade des Integranden) zu verstehen.

Für den durch $Y_{t}=h(W_{t})$ für $t\geq 0$ definierten Prozess lautet diese Darstellung in Differentialschreibweise

${\rm {d}}Y_{t}=h'(W_{t})\,{\rm {d}}W_{t}+{\frac {1}{2}}h''(W_{t})\,{\rm {d}}t\,.$

Version für Itō-Prozesse

Ein stochastischer Prozess $(X_{t})_{t\geq 0}$ heißt Itō-Prozess, falls

$X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}a_{s}\,{\rm {d}}s+\int _{0}^{t}b_{s}\,{\rm {d}}W_{s}$

für zwei stochastische Prozesse $a_{s}$, $b_{s}$ gilt (genaueres dazu unter stochastische Integration). In Differentialschreibweise:

${\rm {d}}X_{t}=a_{t}\,{\rm {d}}t+b_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.$

Ist $h\colon \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine in der ersten Komponente einmal und in der zweiten zweimal stetig differenzierbare Funktion, so ist auch der durch $Y_{t}:=h(t,X_{t})$ definierte Prozess ein Itō-Prozess, und es gilt

${\begin{aligned}{\rm {d}}Y_{t}&={\frac {\partial h}{\partial t}}(t,X_{t})\,{\rm {d}}t+{\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,{\rm {d}}X_{t}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}(t,X_{t})({\rm {d}}X_{t})^{2}\\&=\left({\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,a_{t}+{\frac {\partial h}{\partial t}}(t,X_{t})+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}}(t,X_{t})\,b_{t}^{2}\right){\rm {d}}t+{\frac {\partial h}{\partial x}}(t,X_{t})\,b_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.\end{aligned}}$

Hierbei bezeichnen ${\tfrac {\partial h}{\partial t}}$ und ${\tfrac {\partial h}{\partial x}}$ die partiellen Ableitungen der Funktion $h$ nach der ersten bzw. zweiten Variablen. Die zweite Darstellung folgt aus der ersten durch Einsetzen von $({\rm {d}}X_{t})^{2}=b_{t}^{2}\,{\rm {d}}t$ und Zusammenfassen der ${\rm {d}}t$- und ${\rm {d}}W_{t}$-Terme.

Mehrdimensionale Version

Die Formel lässt sich auf $n$ Itō-Prozesse $X=(X_{1},\dots ,X_{n})$ verallgemeinern. Sei $h:[0,\infty )\times \mathbb {R} ^{n}$ in $C^{1}$ in der ersten und $C^{2}$ in den restlichen Variablen. Definiere $Y(t):=h(t,X(t))$ dann gilt

${\rm {d}}Y(t)={\frac {\partial h}{\partial t}}(t,X(t))\,{\rm {d}}t+\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial h}{\partial i}}(t,X(t))\,{\rm {d}}X_{i}(t)+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial i\partial j}}(t,X(t)){\rm {d}}[X_{i}X_{j}](t).$

Version für Semimartingale

Sei $(X_{t})_{t\geq 0}=(X_{t}^{1},\dotsc ,X_{t}^{d})_{t\geq 0}$ ein $\mathbb {R} ^{d}$-wertiges Semimartingal und sei $F\in C^{2}(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )$. Dann ist $(F(X_{t}))_{t\geq 0}$ wieder ein Semimartingal und es gilt

${\begin{aligned}F(X_{t})-F(X_{0})=&\sum _{j=1}^{d}\int _{0}^{t}{\frac {\partial F}{\partial x^{j}}}(X_{s-}){\rm {d}}X_{s}^{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{d}\int _{0}^{t}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(X_{s-}){\rm {d}}[X^{j},X^{k}]_{s}^{c}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left(F(X_{s})-F(X_{s-})-\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial F}{\partial x^{j}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}$

Hierbei ist $\textstyle X_{s-}=\lim _{u\uparrow s}X_{u}$ der linksseitige Grenzwert und $\Delta X_{s}^{j}=X_{s}^{j}-X_{s-}^{j}$ der zugehörige Sprungprozess. Mit $[X^{j},X^{k}]^{c}$ wird die quadratische Kovariation der stetigen Anteile der Komponenten $X^{j}$ und $X^{k}$ bezeichnet. Falls $X$ ein stetiges Semimartingal ist, verschwindet die letzte Summe in der Formel und es gilt $[X^{j},X^{k}]^{c}=[X^{j},X^{k}]$.

Beispiele

• Für $Y_{t}=\sin(W_{t})$ gilt ${\rm {d}}Y_{t}=\cos(W_{t})\,{\rm {d}}W_{t}-{\tfrac {1}{2}}\sin(W_{t})\,{\rm {d}}t$.

• Mit Hilfe des Lemmas kann man einfach beweisen, dass die geometrische brownsche Bewegung

$S_{t}=S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}$

eine Lösung der stochastischen Differentialgleichung von Black und Scholes

${\rm {d}}S_{t}=rS_{t}\,{\rm {d}}t+\sigma S_{t}\,{\rm {d}}W_{t}$

ist.

Hierzu wählt man $X_{t}=W_{t}$, also $a_{t}=0,\;b_{t}=1$.

Dann ergibt das Lemma mit $h(t,x)=S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma x}$:

${\rm {d}}S_{t}=\left[\left(r-{\frac {\sigma ^{2}}{2}}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}\right]{\rm {d}}t+\left[\sigma S_{0}e^{rt-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t+\sigma W_{t}}\right]{\rm {d}}W_{t}=rS_{t}\,{\rm {d}}t+\sigma S_{t}\,{\rm {d}}W_{t}\,.$

• Ist $(\mathbf {W} _{t})_{t\geq 0}$ ein $d$-dimensionaler Wiener-Prozess und $F\colon \mathbb {R} ^{d}\to \mathbb {R}$ zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für $Y_{t}=F(\mathbf {W} _{t})$

$\mathrm {d} Y_{t}=\nabla F(\mathbf {W} _{t})^{\mathsf {T}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {W} _{t}+{\frac {1}{2}}\Delta F(\mathbf {W} _{t})\,\mathrm {d} t$,

wobei $\nabla F$ den Gradienten und $\Delta F$ den Laplace-Operator von $F$ bezeichnen.

Siehe auch

• Euler-Maruyama-Verfahren

Literatur

• Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations (2nd edition), Springer, 2004, ISBN 3-540-00313-4.