Oloid

Formeln zum Oloid

Anzahl der Ecken	$0$
Anzahl der Kanten	$2$
Kantenlänge	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{4}{3} \pi r}
Anzahl der Flächen	$1$
Oberfläche	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\pi r^2}
Volumen	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \approx3{,}05r^3}
Radius der erzeu- genden Kreise	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r}
Seitenlänge des zerlegten Würfels

Datei:Oloid structure.svg

Struktur des Oloids

Das Oloid (auch Polysomatoloid genannt) ist ein geometrischer Körper, der 1929 vom Bildhauer und Maschinenbauer Paul Schatz zusammen mit dem umstülpbaren Würfel entdeckt wurde. Es kann definiert werden als die konvexe Hülle zweier gleich großer, sich senkrecht schneidender Kreise, deren Mittelpunkte einen Abstand zueinander haben, der gleich ihrem Radius ist. Es hat keine Ecken, zwei Kanten, nämlich je einen 240°-Bogen der beiden sich schneidenden Kreise, und ist ansonsten glatt. Es besitzt Eigenschaften, die es deutlich von anderen Körpern unterscheiden, und gilt als Plausibilitätshinweis für die von Schatz begründete Inversionskinematik.

Ein Sphericon unterscheidet sich vom Oloid im Wesentlichen dadurch, dass es ebenso lang wie breit wie hoch ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (l=b=h=2r)} , während das Oloid 1,5 mal so lang wie hoch ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (l=1,5b=1,5h=3r)} .

Kontext

[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]:

Umstülpbarer Würfel
(6 Tetraeder mit roten Außenseiten)
Die Enden der Diagonale (weiße Linie konstanter Länge) bewegen sich auf zwei gekreuzten Kreisbögen (blau und rot) hin und her, die Linie selbst bewegt sich auf einer Regelfläche.

Datei:Oloid (2 Kreisscheiben und Geradenschar der Regelfläche).jpg

Oloid-Modell: 2 Kreisscheiben aus Pappe mit Bindfäden, welche die Geradenschar der Regelfläche darstellen.

Paul Schatz entdeckte in den 1920er Jahren eine Zerlegung des Würfels in drei Teile, von denen einer aus sechs unregelmäßigen Tetraedern besteht. Verbindet man diese gelenkig an ihren je zwei im Würfel benachbarten Kanten, so entsteht eine komplett umstülpbare Kette.

Die ausgebreitete Kette hat zwischen gegenüberliegenden Gelenken drei gleich lange Diagonalen. Das sind die Raumdiagonalen des ursprünglichen Würfels, die auch während des Umstülpens erhalten bleiben und somit konstante Länge haben. Schatz beobachtete den Weg, den eine solche Diagonale beim Umstülpen der Kette nimmt, und entdeckte dabei das Oloid. Fixiert man eines der Tetraeder und beobachtet den Weg der ihm gegenüberliegenden Diagonale (Abbildung links), so erkennt man, dass die von ihr überstrichene Fläche eine Regelfläche und die Oberfläche eines geometrischen Körpers ist, den Schatz Oloid nannte.

Die erste Beschreibung der mathematischen Eigenschaften aus analytischer Sicht erfolgte 1997.

Das Oloid ist Teil des Oloid-Rührers, der zum Umwälzen und Belüften von Wasser, z. B. in der Abwasserreinigung und Gewässersanierung, eingesetzt wird. Eine weitere Anwendungsform als Alternative zum Schiffspropeller hat bislang nicht das Stadium von Prototypen und Versuchen überschreiten können.

Eigenschaften

Datei:Developed-oloid-surface.svg

Die Spur, die ein Oloid beim Abrollen hinterlässt, ist gleich seinem Netz

Das Oloid ist einer der wenigen bekannten Körper, die über ihre gesamte Oberfläche abrollen. Seine Oberfläche ist als Ganzes eine abwickelbare Fläche. Im Unterschied zum Kegel oder Zylinder lässt sich die komplette Oberfläche des Oloids (und nicht nur eine Mantelfläche) knickfrei aus einem einzelnen Stück Pappe herstellen.

Setzt man es auf eine Schräge, so rollt es in einer taumelnden Bewegung hinunter, ohne dabei jemals über seine Kanten zu poltern. Bemerkenswert ist, dass die Oberfläche genau so groß ist wie die einer Kugel, die den gleichen Radius hat wie die beiden das Oloid erzeugenden Kreise.

Der Winkel an den Mittelpunkten der Kanten beträgt 60°. Betrachtet man das Oloid senkrecht zu den beiden Kanten, so bilden die Konturen im Querschnitt exakt ein Quadrat, was bei handwerklich hergestellten Oloiden eine Qualitätseinschätzung möglich macht, da leichte Unsymmetrien schnell erkannt werden.

Mathematik

Datei:Oloid-rainbow.jpg

Der Farbverlauf illustriert die Lage der Verbindungsstrecken zwischen den Kanten für den gesamten Parameterbereich von $t$

Im Weiteren sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} der Radius der erzeugenden Kreise. Die beiden Kanten haben jeweils eine Länge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{4}{3} \pi r} . Die Oberfläche ist eine Regelfläche: Zu jedem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} gibt es (bis auf Spiegelung) genau einen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} auf der anderen Kante, sodass die Verbindungsstrecke komplett auf der Oberfläche des Oloids liegt. Die Länge dieser Strecke ist für alle Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{3} r} , eben die Länge der drei Raumdiagonalen der Tetraederkette und des zerlegten Würfels, der somit eine Seitenlänge von $r$ hat.

Die Seitenlänge des oben erwähnten Quadrats, das die Konturen in einem bestimmten Blickwinkel bilden, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2}r} , womit der minimale Quader, der das Oloid umfasst, die Maße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3r \cdot \sqrt{2}r \cdot \sqrt{2}r } hat.

Konstruktion

Für eine Einbettung in den dreidimensionalen euklidischen Raum setze den Mittelpunkt des liegenden Kreises auf den Ursprung, den des stehenden Kreises auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r,0,0)} . Damit ist für $t\in \left[{\tfrac {\pi }{3}},{\tfrac {5\pi }{3}}\right]$ der Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=(x_1,x_2,0)} auf der liegenden Kante gegeben durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 = r \cos{t}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_2=r\sin{t}} . Der Satz des Pythagoras liefert dann die beiden Punkte auf der stehenden Kante, die zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} einen Abstand von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{3}r} haben: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y=(y_1,0,\pm y_3)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_1=\tfrac{r}{1-\cos{t}}} und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle y_{3}={\tfrac {r{\sqrt {1-2\cos {t}}}}{1-\cos {t}}}} . Je nach Vorzeichen ist dies ein Punkt auf der oberen oder unteren Hälfte des Oloids. Für theoretische Betrachtungen ist aufgrund der Symmetrien im Oloid eine Einschränkung des Parameterbereichs von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} auf beispielsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right]} (also auf ein Viertel der Oberfläche und weiter auf ein Achtel mittels Festlegung des Vorzeichens in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_3} ) möglich. Auch zur Visualisierung kann dies sinnvoll sein. Damit umgeht man das singuläre Verhalten einiger der relevanten Funktionen an den Intervallgrenzen, also den Endpunkten der liegenden Kante.

Parametrisierung der Oberfläche

Mit Hilfe der Geradengleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i+s(y_i-x_i)} gelangt man nun zu folgender Parametrisierung der Oberfläche: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi\colon [0,1] \times\left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\right] \to \mathbb R^3} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi(s,t)= (\Phi_1,\Phi_2,\pm \Phi_3)} mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_1= r \left (\frac{s}{1-\cos{t}}+(1-s)\cos{t}\right )}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_2=r(1-s)\sin{t}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_3= r\frac{s \sqrt{1-2\cos{t}}}{1-\cos{t}}}

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=0} ist dies ein Punkt auf der liegenden Kante, für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=1 } auf der stehenden. Eine Koordinatendarstellung ist durch die unten stehende algebraische Fläche gegeben.

Parametrisierung des Volumens

Aus der Oberflächenparametrisierung erhält man eine Parametrisierung für den vollen Körper, indem man nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Phi_3} mit einem Höhenparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h \in [0, 1]} multipliziert: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi\colon [0,1] \times [0,1] \times\left[\tfrac{\pi}{3},\tfrac{5\pi}{3}\right] \to \mathbb R^3} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi(h,s,t)= (\Psi_1,\Psi_2,\pm \Psi_3)} mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi_1= \Phi_1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi_2=\Phi_2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi_3=h \, \Phi_3}

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=1} ergibt dies die Oberfläche, für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h=0} die waagrechte Schnittfläche durch die Mitte des Oloids. Zu beachten ist, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi} einen Teil der Symmetrien bricht, weshalb hier der Definitionsbereich von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} nur noch auf die Hälfte (und nicht mehr auf ein Viertel) eingeschränkt werden kann.

Oberflächeninhalt

Die Größe der Oberfläche lässt sich mit dem Oberflächenintegral exakt berechnen. Dazu bildet man den euklidischen Betrag des Kreuzprodukts der sechs partiellen Ableitungen der Oberflächenparametrisierung und integriert dies nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} . Es ergibt sich, dass die Oberfläche genau eine Größe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\pi r^2} hat – dasselbe wie eine Kugel vom Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} .

Mit der obigen Parametrisierung der Oberfläche und den erwähnten Einschränkungen ergibt sich für den Oberflächeninhalt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F =8\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\int_0^1 \left| \frac{\partial \Phi}{\partial s} \times \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right| \, ds \, dt= }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}}\int_0^1{\sqrt{2}r^2 \frac{(3s-2)\cos{t}+1}{\sqrt{(1- 2 \cos{t})(1- \cos{t})}}} \, ds \, dt =}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8r^2\int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{(1- 2 \cos{t})(1- \cos{t})}}\underbrace{\int_0^1(3s\cos{t}- (2 \cos{t}-1) \, ds}_{=\tfrac{1}{2}\left( 2-\cos{t}\right)} \, dt =}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8r^2 \int_{\pi}^{\frac{3\pi}{2}} \frac{2- \cos{t}}{\sqrt{2(1-2\cos{t})(1-\cos{t})}} \, dt = }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8r^2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2+ \cos{t}}{\sqrt{2(1+2\cos{t})(1+\cos{t})}} \, dt = }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8r^2 \left(\arctan{\sqrt{2}} + \arcsin{\tfrac{1}{\sqrt{3}}} \right) =}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 8r^2 \left(\arctan{\sqrt{2}} + \arctan{\tfrac{1}{\sqrt{2}}} \right) = 8r^2 \, \frac{\pi}{2} = 4\pi r^2 . }

Die Integraltransformation beruht auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos{x}= - \cos{\left(x \pm \pi\right)}} , womit man eine Stammfunktion erhält, bei der mit den entsprechenden Grenzen nur zwei Terme übrigbleiben. Für den Arkussinus gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \arcsin{x} = \arctan{\tfrac{x}{\sqrt{1-x^2}}}} (da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |x|<1} ), und der letzte Schritt ist die Funktionalgleichung des Arkustangens.

Volumeninhalt

Im Gegensatz dazu enthält jede bisher bekannte Volumenformel für das Oloid mehrere elliptische Integrale, die sich nur numerisch auswerten lassen. Beim analytischen Ansatz mit dem Volumenintegral des Betrags der Jacobideterminante der Volumenparametrisierung sorgt die Wahl von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi} für eine Vereinfachung in den ersten Schritten: Da nur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Psi_3} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} abhängt, sind zwei der partiellen Ableitungen gleich null. Damit entfallen zwei Drittel der Terme in der Determinantenberechnung, insbesondere taucht kein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} mehr auf. Die Determinante ist innerhalb der Grenzen stets positiv und damit gleich ihrem Betrag.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = 4 \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}}\int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \left| \det \, D \Psi \right| \, dh \, ds \, dt=}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4 r^3 \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}} \frac{\sqrt{1- 2\cos{t}}}{\left(1- \cos{t} \right)^2} \underbrace{\int_{0}^{1} s \left( \left( 3s-2 \right) \cos{t}+1 \right) \overbrace{\int_{0}^{1} 1 \, dh}^{= 1} \, ds}_{= \tfrac{1}{2}} \, dt=}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 r^3 \int_{\pi}^{\frac{5\pi}{3}} \frac{\sqrt{1- 2\cos{t}}}{\left(1- \cos{t} \right)^2} \, dt= } Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 r^3 \int_{0}^{\frac{2\pi}{3}} \frac{\sqrt{1+ 2\cos{t}}}{\left(1+ \cos{t} \right)^2} \, dt= }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 r^3 \, \cdot \tfrac{1}{\sqrt{3}} \, \left(F(\tfrac{\pi}{3} \,|\,\tfrac{4}{3}) + E(\tfrac{\pi}{3} \,|\,\tfrac{4}{3}) \right) =}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2 r^3 \, \left(\tfrac{1}{2} K(\tfrac{3}{4}) + \tfrac{2}{3} E(\tfrac{3}{4}) - \tfrac{1}{6} K(\tfrac{3}{4}) \right) =}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{2}{3}r^3 \left( K(\tfrac{3}{4}) + 2E(\tfrac{3}{4}) \right)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \approx3{,}0524 \; r^3}

Dabei lassen sich die unvollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ) durch die korrespondierenden vollständigen elliptischen Integrale (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ) ausdrücken, weil die Argumente über den Arkuskosekans zusammenhängen.

Die irrationale Konstante 3,052418468… lässt sich zwar beliebig genau berechnen, aber es sind keine algebraischen Zusammenhänge zu anderen Konstanten bekannt und auch nicht, ob sie transzendent ist.

Die Oloid-Fläche

Das Oloid kann als Teil einer algebraischen Fläche vom Grad 8 (also einer Oktik) gesehen werden. Die Lösungsmenge der definierenden Polynomgleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O} liefert die Oberfläche eines Oloids mit Radius Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=1} , eingebettet in den dreidimensionalen Raum mit den Koordinatenachsen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} , der Mittelpunkt der Fläche liegt bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\tfrac{1}{2},0,0)} . Allerdings sind die einschränkenden Nebenbedingungen, um ausschließlich das Oloid zu erhalten, nicht trivial. Die Polynomgleichung besteht aus 48 Termen mit ausschließlich ganzzahligen Koeffizienten, das Maximum der Exponentensummen der Monome ist 8 und es gibt keinen konstanten Term. Ersetzt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x-\tfrac{1}{2})} , wird die Fläche auf der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse so verschoben, dass der Mittelpunkt im Nullpunkt liegt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O\colon x^8 -3y^8 -3z^8 -6x^4y^4}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -8x^2y^6 -6x^4z^4 -8x^2z^6 +6y^2z^6}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +12x^2y^2z^4 -9y^4z^4 +6y^6z^2 +12x^2y^4z^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +6x^4y^2z^2 +4x^7 +12x^3y^4 +4xy^6}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -20xz^6 -36x^3z^4 +12x^3y^2z^2 +24xy^4z^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -12x^5z^2 +12x^5y^2 +2x^6 +10y^6}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -2z^6 +22x^2y^4 -46x^2y^2z^2 -50x^2z^4}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -12y^2z^4 -46x^4z^2 +14x^4y^2 -8x^5}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -8xy^4 -8xz^4 -52xy^2z^2 -48x^3z^2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -16x^3y^2 -7x^4 -11y^4 +z^4}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -18x^2y^2 -6x^2z^2 -10y^2z^2 +4x^3}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +4xy^2 +4xz^2 +4x^2 +4y^2 = 0}

• 

  Das Oloid als Teil einer algebraischen Fläche 8. Grades

• Oloid Surface 2.png

  … herausgezoomt …

• 

  … noch weiter herausgezoomt

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Ein Sphericon mit Abwicklung

Sphericon

Wird ein gleichseitiger, gerader (Kreis-)Doppelkegel in einer Ebene geschnitten, die beide Spitzen enthält, so haben die Schnittflächen die Form eines Quadrats. Wird eines dieser Quadrate um 90° rotiert und anschließend wieder mit der anderen Hälfte zusammengefügt, erhält man ein Sphericon.

Die Oberfläche des Sphericon beträgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F = 2\sqrt{2}\pi r^2} .

Das Volumen beträgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = \frac{2}{3}\pi r^3} .

Dies ist die Hälfte des Volumens einer Kugel mit gleichem Radius.

• Sphericon-bicone.gif
• Sphericon.jpg
• Sphericon.webm
• Sphericon.gif

Literatur

• Paul Schatz: Rhythmusforschung und Technik 3. Auflage unter dem Titel: Die Welt ist umstülpbar: Rhythmusforschung und Technik. niggli Verlag 2008
• Spektrum der Wissenschaft: Mathematische Unterhaltungen III, Artikel: Eine Reise in das Reich des Würfels, Seiten 12–17, Dossier 2/2004
• brand eins: Heft 12, 2017, Seiten 120–127 Das Geheimnis des umgestülpten Würfels

Weblinks

Commons

Commons: Oloid – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Franz Zahaurek: Das Oloid nach Paul Schatz
• Jürgen Meier: weitere Details und Visualisierungen
• Mathematischer Kontext zum Oloid mit Abbildungen (französisch)