Bandstruktur

Die Bandstruktur beschreibt die Zustände von Elektronen und Löchern eines kristallinen Festkörpers im Impulsraum und damit die Beschaffenheit dessen elektronischer Struktur. Sie ist die Dispersionsrelation von Elektronen unter dem Einfluss des Festkörpergitterpotentials. Das Energiebändermodell eines Festkörpers ist im Wesentlichen die im Impulsraum dargestellte Bandstruktur.

Bedeutung

Die Bandstruktur zählt zu den zentralen Konzepten der Festkörperphysik. Viele grundlegende Eigenschaften eines Festkörpers können mit Hilfe der Bandstruktur verstanden werden, beispielsweise:

• elektrische Leitfähigkeit
• thermische Eigenschaften (Wärmekapazität und -leitfähigkeit)
• optische Eigenschaften (Absorptionsspektrum, Emissionsspektrum)
• Größen wie effektive Masse oder Zustandsdichte.

Allgemeines

Freie Elektronen der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} besitzen eine parabolische Dispersionsrelation, d. h., der Zusammenhang zwischen Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k} (der Betrag des Wellenvektors ist die Kreiswellenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} ) und Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(\vec k) = \frac{ \hbar^2 \vec k^2}{2m}}

mit dem reduzierten Planckschen Wirkungsquantum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hbar.}

„Frei“ bedeutet dabei, dass die Elektronen nicht mit anderen Elektronen wechselwirken und sich in keinem Potential befinden. Diese Situation wird durch folgende Hamilton-Funktion beschrieben:

$H={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}$

mit dem Impuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p.}

Elektronen in einem Festkörper, auch als Kristallelektronen bezeichnet, können durch den Einfluss des periodischen Gitterpotentials nicht mehr als freie Teilchen angesehen werden. Im einfachsten Fall kann ein Kristallelektron dann als ein Quasiteilchen mit einer von der Masse des freien Elektrons Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} abweichenden effektiven Masse $m^{*}$ beschrieben werden, was in der Dispersionsrelation zu Parabelkurven abweichender Krümmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hbar^2/m^*} führt.

Die vollständige Dispersionsrelation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(\vec k)} der Kristallelektronen wird durch die Bandstruktur beschrieben: diese stellt die Energie über dem Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k} (graphisch) dar. In der direkten Umgebung der Hochsymmetriepunkte, wie dem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma} , ist die Parabelform der Kurven noch zu erkennen.

Ein Energieband, wie beispielsweise das Leitungs- oder Valenzband, ergibt sich durch den Energiebereich, welchen die zugehörige Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(\vec k)} -Kurve überdeckt: für diese Energien gibt es erlaubte Zustände im Impulsraum. Der Bereich der Bandlücke (nicht existent bei Metallen) ist jedoch frei von Elektronen, da es dort keine erlaubten elektronischen Zustände gibt. Deshalb wird dieser Bereich auch oft als „Energielücke“ oder auch „verbotene Zone“ bezeichnet.

Bandübergänge

Interbandübergang

Interbandübergänge erfolgen von einem Band zu einem anderen. Das Ereignis der Absorption eines Photons (und gegebenenfalls eines zusätzlichen Phonons), also einer Interbandanregung, stellt ein Beispiel für einen Interbandübergang dar.

Direkter Bandübergang

direkter Bandübergang
im (vereinfachten) Bandstrukturdiagramm

Direkte Bandübergänge erfolgen praktisch ohne Änderung des Impulsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k } , also senkrecht im Diagramm (der Impulsübertrag durch das Photon auf das Elektron ist vergleichsweise klein und daher zu vernachlässigen). Sie sind hoch wahrscheinlich, da neben der Zuführung der nötigen Sprungenergie, z. B. durch ein Photon, keine zusätzliche Bedingung erfüllt sein muss.

Indirekter Bandübergang

indirekter Bandübergang
im (vereinfachten) Bandstrukturdiagramm

Bei indirekten Bandübergängen ändert sich zusätzlich der Impulsvektor ${\vec {k}}$, im Diagramm erfolgen sie also „schräg“. Um solche Übergänge auszulösen, muss im Falle einer Interbandanregung also nicht nur die Energie zugeführt werden, sondern auch noch der zusätzliche Impuls. Dies kann z. B. durch ein passendes Phonon erfolgen, wie es bei Temperaturen oberhalb des absoluten Nullpunkts durch die thermische Gitterschwingung existieren kann. Durch diese Verknüpfung zweier Bedingungen sind indirekte Übergänge in der Regel deutlich weniger wahrscheinlich als direkte Übergänge. Die Wahrscheinlichkeit indirekter Bandübergänge ist zudem temperaturabhängig.

Bei Halbleitern spricht man je nach dieser Natur ihrer Fundamentalabsorption von direkten oder indirekten Halbleitern.

Intrabandübergang

Es sind auch Übergänge innerhalb eines Bands möglich, sie werden entsprechend Intrabandübergänge genannt. Dabei ändert sich immer der Impulsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k } , meistens auch die Energie. Genau wie bei einem indirekten Interbandübergang ist zur Auslösung also die Zuführung sowohl der Differenzenergie als auch des zusätzlichen Impulses notwendig.

Darstellungsarten

Trägt man in einem Diagramm die Dispersionsrelation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(\vec k)} , also die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} der Elektronen über deren Wellenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k} auf, so erhält man bezüglich eines Wellenvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} (entspricht der Ausbreitungsrichtung und ist proportional zum Impuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p} ) abwechselnd erlaubte Energiebereiche (Energiebänder) und verbotene Energiebereiche (Energie- oder Bandlücken). Ebenso können Überlappungen von Energiebändern auftreten (z. B. bei mehrwertigen Metallen). Einen kontinuierlichen Verlauf der Energie $E({\vec {k}})$ in Abhängigkeit vom Wellenvektor erhält man nur für einen unendlich ausgedehnten Kristall.

Reduziertes Zonenschema von GaAs bei 300 K (vereinfacht)

Reduziertes Zonenschema von Silicium, verbotene Bereiche grau.

Es gibt drei Varianten derartiger Bandstrukturdiagramme (auch als Zonenschemata oder Energie-Wellenvektor-Diagramme bezeichnet):

• erweitertes Zonenschema: Darstellung der verschiedenen Bänder in verschiedenen Zonen
• reduziertes Zonenschema: Darstellung aller Bänder in der 1. Brillouin-Zone
• periodisches Zonenschema: Darstellung aller Bänder in jeder Zone

Markante Punkte in der Bandstruktur sind die Symmetriepunkte wie unter anderem der Γ-Punkt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec k=(0,0,0)} . Hier ist der Impuls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p = \hbar \vec k =\vec 0} . Abhängig von der Kristallstruktur sind bestimmte Ausbreitungsrichtungen energetisch sehr günstig für Elektronen. An diesen Punkten kann man in der Bandstruktur Minima finden, was heißt, dass die Ladungsträgerdichte entlang dieser Ausbreitungsrichtungen (allerdings auch abhängig von der Temperatur) tendenziell höher ist.

Theorie von Bandstrukturen

Die Berechnung von Bandstrukturen realer Materialien erfolgt im Allgemeinen mit Hilfe des Bändermodells. Hierbei wird der Kristall lediglich über eine Einteilchen-Schrödingergleichung approximiert und mit Hilfe von Ansatzfunktionen in Form von Blochfunktionen gelöst. Diese setzen sich zunächst aus einem vollständigen Satz von unendlich vielen Basisfunktionen zusammen, wobei die explizite mathematische Form je nach verwendetem Modell sehr unterschiedlich ausfallen kann. Die bedeutendsten Ansätze sind der Fourierreihenansatz im Modell der quasifreien Elektronen und die Linearkombination von Atomorbitalen in der Tight-Binding-Methode. Die unendlich langen Summen approximiert man in der Praxis mit einer endlichen Anzahl von Basisfunktionen, wobei je nach verwendetem Modell und betrachtetem Material (v. a. Abhängigkeit des Bindungstyp) die Zahl der verwendeten Terme bis zur Konvergenz der Energien stark unterschiedlich ausfallen kann. Häufig reduziert sich der numerische Aufwand unter Ausnutzung von Symmetrieeigenschaften erheblich. Dadurch kann nun mit relativ überschaubarem numerischem Aufwand die Bandstruktur realer Materialien ermittelt werden. Die gebräuchlichsten drei Modelle sind:

• Modell der quasifreien Elektronen mit Fourierreihenansatz
• Tight-Binding-Methode mit Atomorbitalansatz
• k·p-Methode mit abstrakten, darstellungsunabhängigen Ansatz über die Gruppentheorie (genauer der Darstellungstheorie)

Bandstrukturen realer Festkörper

Bandstrukturen realer Kristalle können sehr komplex sein (Beispiel: GaAs und AlAs). Üblicherweise stellt man die Dispersionsrelation in einem eindimensionalen Schema dar, wobei die Verbindungslinien zwischen verschiedenen charakteristischen Punkten der Brillouin-Zone einfach aneinander gehängt werden.

In jedem realen Kristall gibt es im Energiebereich der Bandlücke zusätzliche lokalisierte Zustände, die von Verunreinigungen, Gitterfehlern oder Oberflächeneffekten herrühren. Diese Zustände können systematisch erzeugt und für Anwendungen genutzt werden, z. B. beim Dotieren von Halbleitern oder in Farbzentren.

Literatur

• Ch. Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. 14. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München 2005, ISBN 3-486-57723-9.
• Gerhard Fasching: Werkstoffe für die Elektrotechnik. Mikrophysik, Struktur, Eigenschaften. 4. Auflage. Springer, Wien, ISBN 3-211-22133-6. 
• Joseph Callaway: Quantum Theory of Solid State. 1. Auflage. Academic Press, New York und London, ISBN 978-0-12-155201-5. 

Weblinks

Commons: Direkte und indirekte Bandübergänge – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Anschauliche sowie ansprechende Erklärung zu Bandstrukturen und sonstigen Halbleitergrundlagen (englisch)
• Ausführliche Erklärung zu Bandstrukturen und weiteren Grundlagen der Festkörperphysik (deutsch)