Rationalisierte Planck-Einheiten

Die rationalisierten Planck-Einheiten bilden ein Einheitensystem, das eng mit den Planck-Einheiten verwandt ist. Der Unterschied ist, dass nicht dieselben Naturkonstanten den Zahlenwert 1 annehmen.

In den originalen Planck-Einheiten gilt: $c=\hbar =G=k_{B}=k_{C}=1$.

In den rationalisierten Planck-Einheiten gilt: $c=\hbar =k_{B}=1$ und $G=k_{C}={\frac {1}{4\pi }}$.

Während mit den Planck-Einheiten das Umrechnen von physikalischen Größen im Bereich der Relativitätstheorie einfach ist, ist mit den rationalisierten Planck-Einheiten das Umrechnen von Größen in der Elektrodynamik einfacher.

Gleichungen im Vergleich mit anderen Einheitssystemen

Wie bei allen rationalisierten Einheiten fallen bei den rationalisierten Planck-Einheiten in den Maxwell-Gleichungen die $4\pi$-Faktoren weg. Bei den rationalisierten Planck-Einheiten fallen zudem alle $c$ weg beziehungsweise nehmen den Zahlenwert $1$ an.

Maxwell-Gleichungen
Name	Formel	Konstante K (bzw. $K_{a}$, $K_{b}$) in folgenden Einheitensystemen:
		SI	Planck-Einheiten	Rationalisierte Planck-Einheiten	Heaviside-Lorentz
Gaußsches Gesetz	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=K\rho$	${\frac {1}{\varepsilon _{0}}}$	$4\pi$	$1$	$1$
Gaußsches Gesetz für Magnetfelder	${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {B}}=0$	-	-	-	-
Induktionsgesetz	${\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-K{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$	$1$	$1$	$1$	$c^{-1}$
Durchflutungsgesetz	${\vec {\nabla }}\times {\vec {B}}=K_{a}{\vec {J}}+K_{b}{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}$	$\mu _{0}$, $c^{-2}$	$4\pi$, $1$	$1$, $1$	$c^{-1}$, $c^{-1}$
Kraftgleichungen
Coulombsches-Gesetz	$K_{C}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$	${\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}$	$1$	${\frac {1}{4\pi }}$	${\frac {1}{4\pi }}$
Newtonsches Gravitationsgesetz	$K_{N}{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}$	$G$	$1$	${\frac {1}{4\pi }}$	$G$
Berechnungen elektrischer Bauteile
Widerstand	$R=\rho {\frac {l}{A}}$	-	-	-	-
Scheiben-Kondensator	$C=K\varepsilon _{r}{\frac {A}{l}}$	$\varepsilon _{0}$	${\frac {1}{4\pi }}$	$1$	$1$
Zylinder-Spule	$L=K\mu _{r}{\frac {N^{2}A}{l}}$	$\mu _{0}$	$4\pi$	$1$	$1$

Definition

Die rationalisierten Planck-Einheiten werden durch folgende Naturkonstanten definiert:

Konstante	Symbol	Dimension	Größe in SI-Einheiten
Lichtgeschwindigkeit	$c$	$LT^{-1}$	2.99792 · 108 ms−1
Gravitationskonstante	$G$	$L^{3}M^{-1}T^{-2}$	6.67430 · 10−11 m3 kg−1 s−2
Reduziertes Plancksches Wirkungsquantum	$\hbar$	$L^{2}MT^{-1}$	1.05457 · 10−34 J s
Elektrische Feldkonstante	$\varepsilon _{0}$	$Q^{2}T^{2}M^{-1}L^{-3}$	8.85419 · 109 C2 s2 kg−1 m−3
Boltzmann-Konstante	$k_{B}$	$L^{2}M\Theta ^{-1}T^{-2}$	1,38065 · 10−23 J k−1

Basisgrößen

Durch die Dimensionsbetrachtung dieser Konstanten lassen sich die Basisgrößen berechnen:

Name	Größe	Dimension	Term	Wert in SI-Einheiten
Rationale Masse	Masse	$M$	$m_{R}={\sqrt {\frac {\hbar c}{(4\pi G)}}}$	6.1396166 · 10−9 kg
Rationale Länge	Länge	$L$	$l_{R}={\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{3}}}}$	5.7294657 · 10−35 m
Rationale Zeit	Zeit	$T$	$t_{R}={\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{5}}}}$	1.9111441 · 10−43 s
Rationale Ladung	Ladung	$Q$	$q_{R}={\sqrt {\hbar c\varepsilon _{0}}}$	5.2908176 · 10−19 C
Rationale Temperatur	Temperatur	$\Theta$	$T_{R}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{(4\pi G)k_{B}^{2}}}}$	3.9966750 · 1031 K

Abgeleitete Größen

Aus den Basisgrößen lassen sich alle anderen Größen berechnen:

Name	Größe	Dimension	Term	Wert in SI-Einheiten
Mechanische Einheiten
Rationale Fläche	Fläche	$L^{2}$	$A_{R}=l_{R}^{2}={\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{3}}}$	3.2826778 · 10−69 m2
Rationales Volumen	Volumen	$L^{3}$	$V_{R}=l_{R}^{3}=\left({\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{3}}}}\right)^{3}$	1.8807990 · 10−103 m3
Rationale Dichte	Dichte	${\frac {M}{L^{3}}}$	$d_{R}={\frac {m_{R}}{V_{R}}}={\frac {c^{5}}{(4\pi G)^{2}\hbar }}$	3.2643661 · 1094 kg m−3
Rationale Frequenz	Frequenz	${\frac {1}{T}}$	$f_{R}={\frac {1}{t_{R}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{(4\pi G)\hbar }}}$	5.2324679 · 1042 Hz
Lichtgeschwindigkeit	Geschwindigkeit	${\frac {L}{T}}$	$v_{R}={\frac {l_{R}}{t_{r}}}=c$	2.9979246 · 108 m s−1
Rationale Beschleunigung	Beschleunigung	${\frac {L}{T^{2}}}$	$a_{R}={\frac {v_{R}}{t_{R}}}={\sqrt {\frac {c^{7}}{(4\pi G)\hbar }}}$	1.56868×1051 m s−2
Rationale Kraft	Kraft	${\frac {ML}{T^{2}}}$	$F_{R}={\frac {m_{R}l_{R}}{t_{R}^{2}}}={\frac {c^{4}}{4\pi G}}$	9.6309366 · 1042 N
Rationale Energie	Energie	${\frac {L^{2}M}{T^{2}}}$	$E_{R}=m_{R}v_{R}={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi G}}}$	5.5180121 · 108 J
Rationale Leistung	Leistung	${\frac {L^{2}M}{T^{3}}}$	$P_{R}={\frac {E_{R}}{t_{R}}}={\frac {c^{5}}{4\pi G}}$	2.8872822 · 1051 W
Rationaler Druck	Druck	${\frac {M}{LT^{2}}}$	$\Pi _{R}={\frac {F_{R}}{A_{R}}}={\frac {c^{7}}{(4\pi G)^{2}\hbar }}$	2.93404 · 10111 Pa
Elektromagnetische Einheiten
Rationaler elektrischer Strom	Elektrischer Strom	${\frac {Q}{T}}$	$i_{R}={\frac {q_{R}}{t_{R}}}={\sqrt {\frac {c^{6}\varepsilon _{0}}{4\pi G}}}$	2.76840312 · 1024 A
Rationales elektrisches Potential	Elektrisches Potential	${\frac {L^{2}M}{QT^{2}}}$	$U_{R}={\frac {P_{R}}{i_{R}}}={\sqrt {\frac {c^{4}}{(4\pi G)\varepsilon _{0}}}}$	1.04294138 · 1027 V
Vakuumsimpedanz	Elektrischer Widerstand	${\frac {L^{2}M}{TQ^{2}}}$	$Z_{R}={\frac {U_{R}}{i_{R}}}=Z_{0}$	3.7673031 · 102 Ω
Rationale Kapazität	Kapazität	${\frac {T^{2}Q^{2}}{ML^{2}}}$	$C_{R}={\frac {q_{R}}{U_{R}}}={\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar \varepsilon _{0}^{2}}{c^{3}}}}$	5.0729766 · 10−46 F
Rationale Induktivität	Induktivität	${\frac {L^{2}M}{Q^{2}}}$	$L_{R}=Z_{R}\cdot t_{R}={\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{7}\varepsilon _{0}^{2}}}}$	7.1998591 · 10−41 H
Rationaler magnetischer Fluss	Magnetischer Fluss	${\frac {L^{2}M}{TQ}}$	$\Psi _{R}=U_{R}\cdot t_{R}={\sqrt {\frac {\hbar }{c\varepsilon _{0}}}}$	1.9932114 · 10−16 Wb
Rationale magnetische Flussdichte	Magnetische Flussdichte	${\frac {M}{TQ}}$	$B_{R}={\frac {\Psi }{A_{R}^{2}}}={\sqrt {\frac {c^{5}}{(4\pi G)^{2}\hbar \varepsilon _{0}}}}$	6.07208 · 1052 T
Thermische Einheiten
Rationale Wärmekapazität	Wärmekapazität	${\frac {L^{2}M}{T^{2}\Theta }}$	$\Gamma _{R}={\frac {E_{R}}{T_{R}}}=k_{B}$	1,3806490 · 10−23 J K−1
Rationaler Wärmewiderstand	Wärmewiderstand	${\frac {T^{3}\Theta }{L^{2}M}}$	$R_{R}={\frac {T_{R}}{P_{R}}}={\sqrt {\frac {(4\pi G)\hbar }{c^{5}k_{B}^{2}}}}$	1.3842346 · 10−20 W K−1

Werte physikalischer Zahlen

Physikalische Zahl	Wert
Eigenschaften der Erde
Tag	4.52086 · 1047 tR
Jahr	1.65127 · 1050 tR
Alter	7.49677 · 1059 tR
Masse	9.72741 · 1032 mR
Beschleunigung	6.25153 · 10−51 aR
Volumen	5.75931 · 10123 VR
Äquatorradius	1.11321 · 1041 lR
Normalatmosphäre	3.45342 · 10−107 ΠR
Oberflächentemperatur	7.20598 · 10−30 TR
Eigenschaften von Wasser
Schmelzpunkt bei Normaldruck	6.83456 · 10−30 TR
Siedepunkt bei Normaldruck	9.33651 · 10−30 TR
Temperatur beim Tripelpunkt	6.83468 · 10−30 TR
Druck beim Tripelpunkt	2.08469 · 10−112 ΠR
Temperatur beim kritischen Punkt	1.61910 · 10−29 TR
Druck beim kritischen Punkt	7.52001 · 10−110 ΠR
Eigenschaften von Elementarteilchen
Elementarladung	3.02822 · 10−1 qR
Elektronenmasse	1.48371 · 10−22 mR
Protonenmasse	2.72431 · 10−19 mR
Neutronenmasse	2.72807 · 10−19 mR
Compton-Wellenlänge von Elektronen	4.23479 · 1022 lR
Compton-Wellenlänge von Protonen	2.30634 · 1019 lR
Compton-Wellenlänge von Neutronen	2.30316 · 1019 lR
Eigenschaften verschiedener Elemente
Bohrscher Radius	9.23607 · 1023 lR
Kovalenter Radius von Wasserstoff	5.41062 · 1023 lR
Van-der-Waals-Radius von Wasserstoff	2.09443 · 1024 lR
Atomare Masseinheit	2.70463 · 10−19 mR
Masse von 1H	2.72626 · 10−19 mR
Mittlere Lebensdauer eines Neutrons	4.60561 · 10−45 tR
Halbwertszeit von 3H	2.03433 * 1051 tR
Halbwertszeit von 8B	3.51726 * 1026 tR