Reguläre Darstellung

In der Mathematik definiert man für verschiedenartige mathematische Strukturen die linksreguläre und die rechtsreguläre Darstellung. Diese sind von besonderer Bedeutung in der Darstellungstheorie, einschließlich der harmonischen Analyse und der Darstellungstheorie von Banachalgebren in der Funktionalanalysis. Sie lassen sich dabei unabhängig von konkreten Eigenschaften einer Struktur explizit auf einfache Weise aus den Operationen der Struktur konstruieren und sichern damit die Existenz reichhaltiger, nicht-trivialer Darstellungen im allgemeinen Fall.

Darstellung einer Algebra

Sei ${\mathcal {A}}$ eine assoziative Algebra über einem Körper. Die linksreguläre Darstellung (oder auch nur reguläre Darstellung) ist dann eine Darstellung $\mathbf {L}$ auf dem Vektorraum ${\mathcal {A}}$, die durch Multiplikation von links wirkt, das heißt

$\mathbf {L} \colon {\mathcal {A}}\to L({\mathcal {A}}),(\mathbf {L} (A))B=AB$.

Die rechtsreguläre Darstellung $\mathbf {R}$ wirkt analog dazu von rechts:

$\mathbf {R} \colon {\mathcal {A}}\to R({\mathcal {A}}),(\mathbf {R} (A))B=BA$

Dabei handelt es sich um einen Antihomomorphismus, im Allgemeinen ist sie also keine Darstellung von ${\mathcal {A}}$, sondern eine Rechtsoperation und somit Darstellung der entgegengesetzten Algebra ${\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }$. Die rechtsreguläre Darstellung ist nichts anderes als die linksreguläre Darstellung von ${\mathcal {A}}^{\operatorname {op} }$ und stimmt für kommutatives ${\mathcal {A}}$ mit der linksregulären von ${\mathcal {A}}$ überein.

Besitzt die Algebra ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, so sind diese beiden Darstellungen injektiv. Im Allgemeinen muss dies nicht der Fall sein, für eine Algebra mit der Multiplikation $AB=0$ etwa sind diese Darstellungen gleich der Nullabbildung.

Fasst man Darstellungen von $A$ als ${\mathcal {A}}$-Moduln auf, so ist die linksreguläre Darstellung nichts anderes als ${\mathcal {A}}$ als Linksmodul über ${\mathcal {A}}$ aufgefasst.

Darstellung einer Banachalgebra

Sei nun ${\mathcal {A}}$ eine (assoziative) Banachalgebra. Die links- und die rechtsreguläre Darstellung sind dann ebenso wie im algebraischen Fall definiert, wobei der einem Element der Algebra zugeordnete lineare Endomorphismus nun sogar stetig ist bezüglich der Norm der Algebra. Denn durch

$\|\mathbf {L} (A)B\|=\|AB\|\leq \|A\|\|B\|$

ist der Operator $\mathbf {L} (A)$ beschränkt und seine Operatornorm ist maximal $\|A\|$. Daher ist auch die Darstellung selbst stetig und sogar eine Kontraktion, wenn man die Definitionsmenge mit der Norm der Algebra und die Zielmenge mit der Operatornorm ausstattet. Für die rechtsreguläre Darstellung gilt dies ebenso, da sie sich als linksreguläre der entgegengesetzten Banachalgebra auffassen lässt.

Besitzt die Banachalgebra eine Approximation der Eins, was etwa für jede C*-Algebra der Fall ist, so ist die (links)reguläre Darstellung injektiv, denn andernfalls enthielte der Kern der Darstellung ein Element verschieden von $0$, das somit multipliziert mit jedem anderen Element der Algebra, einschließlich der Elementen der approximativen Eins, $0$ ergäbe.

Darstellung einer Gruppe und der Gruppenalgebra

Sei nun $G$ eine Gruppe und $K$ ein beliebiger Körper. Die links- und die rechtsreguläre Darstellung werden nun auf dem $K$-Vektorraum $K(G)$, der frei von der Menge der Gruppenelemente erzeugt wird, das heißt jedes Gruppenelement wird mit einem Vektor identifiziert, sodass alle zusammen eine Basis von $K(G)$ bilden. Die linksreguläre Darstellung ist dann definiert als

$\mathbf {L} \colon G\to GL(K(G)),g\mapsto (h\mapsto gh)$,

wobei mittels $h\mapsto gh$ eine Abbildung nur für die Basiselemente definiert ist und zu einer linearen Abbildung auf $K(G)$ fortzusetzen ist. Diese lineare Abbildung ist invertierbar, da sie die Fortsetzung von $h\mapsto g^{-1}h$ auf $K(G)$ als Inverse besitzt. Analog ist die rechtsreguläre Darstellung definiert als

$\mathbf {R} \colon G\to GL(K(G)),g\mapsto (h\mapsto hg^{-1})$,

welche ebenfalls eine Darstellung ist. Fasst man die Elemente von $K(G)$ als Funktionen $G\to K$ mit endlichem Träger auf (dies liefert eine explizite Konstruktion des freien Objekts), so ist die Wirkung der beiden Darstellungen durch

$\forall g,h\in G,f\in K(G)\quad (\mathbf {L} (g)(f))(h)=f(g^{-1}h)\wedge (\mathbf {R} (g)(f))(h)=f(hg)$

gegeben.

Der Raum $K(G)$ lässt sich mit einer Multiplikation ausstatten, wodurch er zur sogenannten Gruppenalgebra wird. Jede Darstellung einer Gruppe lässt sich eindeutig zu einer Darstellung der Gruppenalgebra fortsetzen (unter Identifikation der Gruppenelemente mit Basisvektoren). Im Falle der linksregulären Darstellung ist diese durch

$\mathbf {L} \colon K(G)\to L(K(G)),a\mapsto (b\mapsto ab)$

gegeben, das heißt, es handelt sich um die oben definierte linksreguläre Darstellung der Gruppenalgebra. Die rechtsreguläre Darstellung einer Gruppe lässt sich auch als Homomorphismus auf der entgegengesetzten Gruppe $G^{\operatorname {op} }$ auffassen, als

$\mathbf {R} \colon G^{\operatorname {op} }\to GL(K(G)),g\mapsto (h\mapsto hg)$,

wobei die Multiplikation auf der rechten Seite in $G$ zu lesen ist. Hierfür verkette man einfach den Gruppenisomorphismus $G^{\operatorname {op} }\to G,g\mapsto g^{-1}$ mit der rechtsregulären Darstellung im obigen Sinne. Diese Darstellung lässt sich dann auf $K(G^{\operatorname {op} })=K(G)^{\operatorname {op} }$ fortsetzen und man erhält die rechtsreguläre Darstellung im obigen Sinne als Homomorphismus $K(G)^{\operatorname {op} }\to K(G)$.

Unitäre Darstellung einer topologischen Gruppe

In der harmonischen Analyse betrachtet man unitäre Darstellungen von lokalkompakten topologischen Gruppen in Hilberträume. Eine solche Gruppe $G$ lässt sich mit einem linken Haarmaß $\mu$ ausstatten, der Raum der quadratintegrablen Funktionen auf der Gruppe bezüglich dieses Maßes $L^{2}(G,\mu )$ ist dann ein Hilbertraum, auf dem sich die linksreguläre Darstellung wie oben definieren lässt als

$\mathbf {L} \colon G\to U(L^{2}(G,\mu )),(\mathbf {L} (x)(f))(y)=f(x^{-1}y)$.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{L}(x)} ist ein wohldefinierter Operator auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2(G,\mu)} , da aufgrund der Invarianz des Haarmaßes bis auf Nullmengen gleiche Funktionen wiederum auf bis auf Nullmengen gleiche Funktionen abgebildet werden. Die Darstellung ist unitär, das heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{L}(x)} ist stets ein unitärer Operator, da dieser aufgrund der Invarianz isometrisch ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{L}(x^{-1})} als Inverse besitzt. Zudem ist sie stetig, wenn man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U(L^2(G,\mu))} mit der schwachen Operatortopologie ausstattet. Hierfür genügt es zu zeigen, dass die Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\mapsto \langle \mathbf{L}(x)f, f \rangle}

für stetige Funktionen mit kompaktem Träger Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} stetig im neutralen Element der Gruppe ist, was daraus folgt, dass stetige Funktionen mit kompaktem Träger stets gleichmäßig stetig sind.

Die rechtsreguläre Darstellung wird auf dem Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2(G, \tilde\mu)} mit dem zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} gehörigen rechten Haarmaß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde\mu} definiert (für messbare Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E\subseteq G} gelte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde\mu(E)=\mu(E^{-1})} ):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{R}\colon G \to U(L^2(G,\tilde\mu)), (\mathbf{R}(x)(f))(y)=f(yx)}

Äquivalent dazu lässt sich die Darstellung unter Verwendung der Modularfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta} als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{R}\colon G \to U(L^2(G,\mu)), (\mathbf{R}(x)(f))(y)=\Delta(x)^{\frac{1}{2}}f(yx)}

definieren. Für unimodulare Gruppen ist die Modularfunktion gleich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu=\tilde\mu} und die rechtsreguläre Darstellung ist somit in diesem Fall einfach

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{R}\colon G \to U(L^2(G,\mu)), (\mathbf{R}(x)(f))(y)=f(yx)} .

In jedem Fall sind die linksreguläre und die rechtsreguläre Darstellung unitär äquivalent mittels des unitären Vertauschungsoperators Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2(G, \mu)\to L^2(G,\tilde\mu), f\mapsto (x\mapsto f(x^{-1}))} . Die links- und die rechtsreguläre Darstellung sind injektiv.

Physikalisches Beispiel

Die reguläre Darstellung des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} (üblicherweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=3} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=4} ) erlaubt in einfachen Fällen der Quantenmechanik (Raum für ein Teilchen, ohne Spin) und auch klassischen Feldtheorien die Beschreibung der Symmetrie des Raumes unter Translationen: Quantenmechanische Zustände oder auch klassische Felder können als quadratintegrable Funktionen aufgefasst werden, Verschiebungen des Raumes wirken auf diesen als unitäre Operatoren.

Gruppenalgebra L¹

Für jede lokalkompakte topologische Gruppe mit einem linken Haarmaß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} definiert man die Gruppenalgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^1(G,\mu)} mit der Faltung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle *} als Produkt. Diese bildet eine Banachalgebra mit approximativer Eins und mit einer passenden Involution sogar eine Banach-*-Algebra. Nach der Faltungsungleichung von Young sind für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\in L^1(G,\mu), g\in L^2(G,\mu)} sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f*g} als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g*f} quadratintegrabel, aus ihr folgt auch, dass die Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\mapsto f*g} bezüglich der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2} -Norm beschränkt ist. Es lässt sich somit die Hilbertraum-Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{L}\colon L^1(G,\mu)\to \mathcal{B}(L^2(G,\mu)), f \mapsto (g\mapsto f*g)}

definieren, genannt linksreguläre Darstellung. Diese ist nach der Faltungsungleichung von Young und wie jeder *-Homomorphismus einer Banach-*-Algebra in eine C*-Algebra eine Kontraktion. Für kompaktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2(G,\mu)} ein (zweiseitiges) Ideal der Gruppenalgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^1(G,\mu)} und es handelt sich einfach um die Einschränkung der linksregulären Darstellung einer Banachalgebra im obigen Sinne auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2(G,\mu)} unter Wechsel der Norm.

Andererseits lässt sich die linksreguläre (unitäre) Darstellung der Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} zu einer Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{L}} der Gruppenalgebra so „fortsetzen“, dass für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\in L^1(G,\mu)} im schwachen Sinne

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{L}(f) = \int_G f(x)\mathbf{L}(x) \mathrm{d}\mu(x)}

gilt, d. h. für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u,v\in L^2(G,\mu)} ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \mathbf{L}(f)u, v \rangle = \int_G f(x)\langle\mathbf{L}(x)u, v\rangle \mathrm{d}\mu(x)} .

Diese „Fortsetzung“ ist gerade die obige Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \mapsto (g\mapsto f*g)} , was die identische Bezeichnung rechtfertigt. Ist die Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} endlich und ihre Topologie diskret, so entspricht dies gerade obiger Fortsetzung der linksregulären Darstellung einer Gruppe auf die algebraische Gruppenalgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(G)} . Ist die Gruppe unimodular, lässt sich auch die allgemeine „Fortsetzung“ der rechtsregulären Darstellung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\mapsto (g\mapsto g*f)} wie im algebraischen Fall identifizieren. In jedem Fall ist diese „Fortsetzung“ unitär äquivalent zur linksregulären Darstellung der Gruppenalgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^1(G,\mu)} .

Zweiseitige reguläre Darstellung

Für eine lokalkompakte topologische Gruppe definiert man zudem die zweiseitige reguläre Darstellung, welche als zweiseitige Gruppenoperation aufgefasst werden kann, auf dem Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2(G,\mu)} durch Verkettung der links- und der rechtsregulären Darstellung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbf{L}\times\mathbf{R})\colon G\times G \to U(L^2(G,\mu)), (g,h)\mapsto \mathbf{L}(g)\mathbf{R}(h) = \mathbf{R}(h)\mathbf{L}(g)}

Teildarstellungen und Zerlegungen

Die Frage nach Verallgemeinerungen der Fouriertransformation und des Satzes von Plancherel in der harmonischen Analyse ist eng verbunden mit der Zerlegung der links-, der rechts- und der zweiseitig regulären Darstellung in irreduzible Darstellungen.

Die irreduziblen Teildarstellungen der linksregulären Darstellung bilden die sogenannte diskrete Serie. Eine irreduzible Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} gehört genau dann zur diskreten Serie, wenn sie einen nichttrivialen quadratintegrablen Matrixkoeffizienten besitzt, das heißt, es existieren Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u,v\ne 0} aus dem Darstellungsraum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} , sodass die Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\mapsto \langle \pi(x)u, v\rangle}

quadratintegrabel bezüglich eines linken Haarmaßes ist. Im unimodularen Fall sind dann bereits alle Matrixkoeffizienten quadratintegrabel, allgemein zumindest für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} aus einem dichten Untervektorraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} beliebig. Spannen die quadratintegrablen Matrixkoeffizienten der Elemente der diskreten Serie einen dichten Untervektorraum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2(G,\mu)} auf, so lässt sich die zweiseitige Darstellung als direkte Summe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bigoplus_{\pi\text{ irr. Teildarstellung von }\mathbf{L}} \pi\otimes\bar\pi}

zerlegen, wobei bezüglich unitärer Äquivalenz jeweils nur ein Vertreter solcher irreduzibler Teildarstellungen in der Summe gewählt werde und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \otimes} das äußere Tensorprodukt und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar\pi} die kontragrediente Darstellung bezeichnen. Insbesondere für kompakte Gruppen ist jede irreduzible Darstellung Element der diskreten Serie und ihre Multiplizität, mit der sie in der linksregulären Darstellung enthalten ist, ist gleich der endlichen Dimension ihres Darstellungsraumes, siehe für diesen speziellen Fall Satz von Peter-Weyl.

Dagegen besitzt die linksreguläre Darstellung nicht kompakter abelscher Gruppen keine irreduziblen Teildarstellungen. Hier und in anderen Fällen ist jedoch eine Zerlegung der zweiseitigen Darstellung in Irreduzible als direktes integral möglich. Für jede das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllende, unimodulare Typ-1-Gruppe ist die zweiseitige reguläre Darstellung unitär äquivalent zum direkten Integral

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int^\oplus_{\hat{G}} \pi\otimes\bar\pi \mathrm{d}\tilde\mu(\pi)} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{G}} ein Stellvertretersystem der irreduziblen Darstellungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde\mu} das Plancherel-Maß bezeichnen. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi} liegt genau dann in der diskreten Serie, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(\pi)>0} , daher der Name. Die unitären Vertauschungsoperatoren zwischen jenen direkten Summen bzw. Integralen sind gerade die verallgemeinerten Fouriertransformationen und ihre Umkehrungen, welche als Diagonalisierung der zweiseitigen Darstellung verstanden werden kann. Unter genannten Voraussetzungen lassen sich dann auch links- und rechtsreguläre Darstellung als direkte Integrale zerlegen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{L}\cong \int_{\pi\in\hat{G}}^\oplus I\otimes\bar\pi \mathrm{d}\tilde\mu(\pi)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{R}\cong \int_{\pi\in\hat{G}}^\oplus \pi\otimes I \mathrm{d}\tilde\mu(\pi)}

Dabei bezeichne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} die triviale Darstellung.

Beispielsweise ergibt sich die reguläre Darstellung des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} als direktes Integral über alle irreduziblen Darstellungen, welche gerade den Charakteren entsprechen, bezüglich des Lebesgue-Maßes mit einem Skalierungsfaktor.

Siehe auch

• Mittelbare Gruppe
• Eine Darstellung als reguläre Permutationsgruppe ist in der Theorie endlicher Gruppen eine Darstellung der Gruppe als Gruppe von Permutationen einer endlichen Menge M, mit der zusätzlichen Forderung, dass außer dem Einselement kein Gruppenelement bei der betrachteten Operation ein Fixelement in M haben darf (regulär). Für Einzelheiten siehe Permutationsgruppe#Links- und rechtsreguläre Darstellung.

Weblinks

• A. I. Shtern: Regular representation. Eintrag in der Online-Version der Encyclopaedia of Mathematics.