Spezifischer Widerstand
| Physikalische Größe | ||||||||||||||||
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| Name | spezifischer Widerstand | |||||||||||||||
| Formelzeichen | Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} | |||||||||||||||
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| Siehe auch: elektrische Leitfähigkeit | ||||||||||||||||
Der spezifische Widerstand (kurz für spezifischer elektrischer Widerstand oder auch Resistivität) ist eine temperaturabhängige Materialkonstante mit dem Formelzeichen (griechisch rho). Er wird vor allem zur Berechnung des elektrischen Widerstandes einer (homogenen) elektrischen Leitung oder einer Widerstands-Geometrie genutzt. Meistens wird der spezifische Widerstand in der Einheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm\tfrac{\Omega \cdot mm^2}{m}} angegeben. Die kohärente SI-Einheit ist das Ohmmeter (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega\cdot\mathrm m} ).
Der Kehrwert des spezifischen Widerstands ist die elektrische Leitfähigkeit.
Ursache und Temperaturabhängigkeit
Verantwortlich für den spezifischen elektrischen Widerstand in reinen Metallen sind zwei Anteile, die sich gemäß der Matthiessenschen Regel überlagern:
- Stöße der Ladungsträger (hier Elektronen) mit Gitterschwingungen (Phononen); dieser Anteil ist von der Temperatur abhängig, und
- Stöße der Ladungsträger (hier Elektronen) mit Verunreinigungen, Fehlstellen und Gitterbaufehlern; dieser Anteil ist nicht von der Temperatur, sondern von der Konzentration der Gitterfehler abhängig.
Der temperaturabhängige Anteil am spezifischen Widerstand ist bei allen Leitern in einem jeweils begrenzten Temperaturbereich näherungsweise linear:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho(T) = \rho(T_0) \cdot (1 + \alpha \cdot (T-T_0))}
wobei α der Temperaturkoeffizient, T die Temperatur und T0 eine beliebige Temperatur, z. B. T0 = 293,15 K = 20 °C, bei der der spezifische elektrische Widerstand ρ(T0) bekannt ist (siehe Tabelle unten).
Je nach Vorzeichen des linearen Temperaturkoeffizienten unterscheidet man zwischen Kaltleitern (engl.:
, PTC) und Heißleitern (engl.:
, NTC). Die lineare Temperaturabhängigkeit gilt nur in einem begrenzten Temperaturintervall. Dieses kann bei reinen Metallen vergleichsweise groß sein. Darüber hinaus muss man Korrekturen anbringen (siehe auch: Kondo-Effekt).
Reine Metalle haben einen positiven Temperaturkoeffizienten des spezifischen elektrischen Widerstandes von etwa 0,36 %/K bis über 0,6 %/K. Bei Platin (0,385 %/K) nutzt man das, um Platin-Widerstandsthermometer zu bauen.
Der spezifische elektrische Widerstand von Legierungen ist nur gering von der Temperatur abhängig, hier überwiegt der Anteil der Störstellen. Ausgenutzt wird dies beispielsweise bei Konstantan oder Manganin, um einen besonders geringen Temperaturbeiwert bzw. einen temperaturstabilen Widerstandswert zu erhalten.
Spezifischer Widerstand als Tensor
Bei den meisten Materialien ist der elektrische Widerstand richtungsunabhängig (isotrop). Für den spezifischen Widerstand genügt dann eine einfache skalare Größe, also eine Zahl mit Einheit.
Anisotropie beim elektrischen Widerstand findet man bei Einkristallen (oder Vielkristallen mit Vorzugsrichtung) mit weniger als kubischer Symmetrie. Die meisten Metalle haben kubische Kristallstruktur und sind schon daher isotrop. Zusätzlich hat man oft eine viel-kristalline Form ohne ausgeprägte Vorzugsrichtung (Textur). Ein Beispiel für anisotropen spezifischen Widerstand ist Graphit als Einkristall oder mit Vorzugsrichtung. Der spezifische Widerstand ist dann ein Tensor 2. Stufe, der die elektrische Feldstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec E } mit der elektrischen Stromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec j } verknüpft.
Zusammenhang mit dem elektrischen Widerstand
Der elektrische Widerstand eines Leiters mit einer über seine Länge konstanten Querschnittsfläche (Schnitt senkrecht zur Längsachse eines Körpers) beträgt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R=\rho\cdot\frac{l}{A}}
wobei R der elektrische Widerstand, ρ der spezifische Widerstand, l die Länge und A die Querschnittsfläche des Leiters ist.
Folglich kann man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} aus der Messung des Widerstandes eines Leiterstückes bekannter Geometrie bestimmen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho={R}\cdot\frac{A}{l}}
Die Querschnittsfläche A eines runden Leiters (zum Beispiel eines Drahtes) errechnet sich aus dem Durchmesser d zu:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\pi\cdot\frac{d^2}{4}}
Die Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Formel für den elektrischen Widerstand R ist eine konstante Stromdichteverteilung über den Leiterquerschnitt A, das heißt, an jedem Punkt des Leiterquerschnitts ist die Stromdichte J gleich groß. Näherungsweise ist das gegeben, wenn die Länge des Leiters groß im Vergleich zu den Abmessungen seines Querschnitts ist und der Strom ein Gleichstrom oder niederfrequent ist. Bei hohen Frequenzen führen der Skin-Effekt und bei inhomogenen hochfrequenten Magnetfeldern und Geometrien der Proximity-Effekt zu einer inhomogenen Stromdichteverteilung.
Weitere aus dem spezifischen Widerstand ableitbare Kenngrößen sind:
- der Flächenwiderstand R□ (Schichtwiderstand einer Widerstandsschicht); Einheit
- der Widerstand pro Länge eines Drahtes oder Kabels R/l; Einheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} /m
Einteilung von Materialien
Bei elektrischen Leitern wird der spezifische Widerstand statt in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega \cdot \mathrm m} oft in der für Drähte anschaulicheren Form Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathrm {\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}} } angegeben. Weiterhin ist auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega\cdot \mathrm{cm}} üblich.
Es gilt:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{1\, \frac{\Omega\, mm^2}m = 10^{-6}\,\Omega\,m}}
Der spezifische Widerstand eines Materials wird häufig für die Einordnung als Leiter, Halbleiter oder Isolator verwendet. Die Unterscheidung erfolgt anhand des spezifischen Widerstands:[1]
- Leiter: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho < 100 \,\mathrm{\frac{\Omega mm^2}{m} }}
- Halbleiter: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho = 100 \text{ bis }10^{12}\,\mathrm{\frac{\Omega mm^2}{m} }}
- Isolatoren oder Nichtleiter: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho > 10^{12} \,\mathrm{\frac{\Omega mm^2}{m} }}
Diese Einteilung ist lediglich als Richtwert zu betrachten und kann in der Literatur auch um bis zu zwei Größenordnungen davon abweichen.[2][3][4][5][6] Deshalb ist eine Einteilung nach der Lage der Fermi-Energie in der Bandstruktur und nach Art und Beweglichkeit der Ladungsträger häufig eindeutiger.
Spezifischer Widerstand verschiedener Materialien
| Material | Spezifischer Widerstand (Ω · mm2/m) |
Linearer Widerstands- Temperaturkoeffizient (10−3/K) |
|---|---|---|
| Aluminium | 0,0265 [7] | 3,9 |
| Aluminiumoxid | ≈1018 | ≈ −23 [8] |
| Bernstein | ≈1022 | |
| Blei | 0,208 [7] | 4,2 |
| Blut | ≈1,6 ⸱ 106 ≈1,4...1,9 ⸱ 106 (Mensch)[9] |
|
| Edelstahl (1.4301, V2A) | 0,72 [10] | |
| Eisen | 0,10...0,15 | 5,6 |
| Fettgewebe | ≈3,3 ⸱ 107 | |
| Germanium (Fremdanteil < 10−9) | ≈500 000 [11] | |
| Glas | 1016...1021 | |
| Glimmer | 1015...1018 | |
| Gold | 0,02214 [7] | 3,9 |
| Graphit | 2...5 (in Basalebene), 3...10 ⸱ 103 (orthogonal dazu) |
|
| Gummi (Hartgummi) (Werkstoff) | ≈1019 | |
| Holz (trocken) | 1010...1016 | |
| Kochsalzlösung (10 %) | 79 000 | |
| Kohlenstoff | 10−1...100 (Carbon-Nanotubes) 2...5 (Graphit, in Basalebene) ≈1018 (Diamant) |
|
| Konstantan | 0,5 | 0,05 |
| Kupfer (rein, „IACS“) | 0,01721 [7][12] | 3,9 |
| Kupfer (Elektro-Kabel)[13] | 0,0169...0,0175 | |
| Kupfersulfatlösung (10 %) | 300 000 | |
| Magnesium | 0,0439[14] | |
| Messing | 0,07 | 1,5 |
| Muskelgewebe | 2 ⸱ 106 | |
| Nickel | 0,0693 [7] | 6,7 |
| NiCr8020 (Legierung) | 1,32 [15] | ≈0,15 |
| Papier | 1015...1017 | |
| Platin | 0,105 [7] | 3,8 |
| Polypropylenfolie | ≈1011 | |
| Porzellan | ≈1018 | |
| Quarzglas | 7,5 ⸱ 1023 | |
| Quecksilber | 0,9412 (0 °C)[16] 0,961 (25 °C) 0,6836 (−38,5 °C, flüssig) 0,608 (−39,1 °C, fest) |
0,86 ≈200 bei −39,1 °C |
| Salzsäure (10 %) | ≈15 000 | |
| Schwefel | ≈1021 | |
| Schwefelsäure (10 %) | ≈25 000 | |
| Silber | 0,01587 [7] | 3,8 |
| Stahl | 0,1...0,2 | 5,6 |
| Titan | ≈0,8 | |
| Wasser (reinst, im Vakuum) | ≈1012 | |
| Wasser (typ. Leitungswasser) | ≈107 (abhängig von Wasserhärte) | |
| Wasser (typ. Meerwasser) | ≈500 000 | |
| Wolfram | 0,0528 [7] | 4,1 |
| Zinn | 0,109 | 4,5 |
Beispiel
Es sei die Länge eines unbekannten Metalldrahtes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l = 2\,\mathrm{m}} , dessen Querschnitt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = 0{,}01\, \mathrm{mm}^2} , die Testspannung betrage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U = 2\,\mathrm{V}} und der Strom sei zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I = 0{,}57\,\mathrm{A}} gemessen worden.
Gesucht ist der spezifische elektrische Widerstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} des Draht-Materials.
Es gilt
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R={\rho}\cdot\frac{l}{A} = \frac{U}{I}}
Nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} umgestellt, ergibt sich
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle { \rho} = \frac{R\cdot A}{l} = \frac{U\cdot A}{I\cdot l}}
und mit den Werten wird
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho=\frac{3{,}5 \,\Omega\cdot 0{,}01\,\mathrm{mm}^2}{2\,\mathrm{m}} = 0{,}0175 \,\mathrm \frac{\Omega\cdot mm^2}{m}}
Der so bestimmte spezifische Widerstand des untersuchten Drahtes deutet darauf hin, dass es sich wohl um Kupfer handeln könnte.
Literatur
Als Standardwerk für tabellarische Daten zum spezifischen (elektrischen) Widerstand empfiehlt sich:
- David R. Lide: CRC Handbook of Chemistry and Physics: A ready-reference book of chemical and physical data. 90. Auflage. CRC Taylor & Francis, Boca Raton FL 2009, ISBN 978-1-4200-9084-0.
- Kohlrausch - Tabelle 8.26 Spezifischer el. Widerstand von Metallen bei 0 °C, Temperaturkoeffizient 0-100 °C (PDF)
Weblinks
- Virtuelles Experiment zum Spezifischen Widerstand
- Conductivity and Resistivity Values for Iron & Alloys. (PDF; 116 kB) Collaboration for NDT Education, März 2002 (Tabelle mit spezifischem Widerstand vieler Legierungen).
Einzelnachweise
- ↑ Siegfried Hunklinger: Festkörperphysik. Oldenbourg Verlag, 2009, ISBN 978-3-486-59045-6, S. 378 (Halbleiter: ρ = 10−4…107 Ω·m).
- ↑ Karl-Heinrich Grote, Jörg Feldhusen: Dubbel: Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-17305-9, S. V 14 (Halbleiter: ρ = 10−3…108 Ω·m).
- ↑ Wolfgang Bergmann: Werkstofftechnik. 4. Auflage. Band 2. Hanser Verlag, 2009, ISBN 978-3-446-41711-3, S. 504 (Halbleiter: ρ = 10−5…109 Ω·m).
- ↑ Peter Kurzweil, Bernhard Frenzel, Florian Gebhard: Physik Formelsammlung: mit Erläuterungen und Beispielen aus der Praxis für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, 2009, ISBN 978-3-8348-0875-2, S. 211 (Halbleiter: ρ = 10−5…107 Ω·m).
- ↑ Horst Czichos, Manfred Hennecke: Das Ingenieurwissen. mit 337 Tabellen. Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20325-4, S. D 61 (Halbleiter: ρ = 10−5…106 Ω·m).
- ↑ Ekbert Hering, Karl-Heinz Modler: Grundwissen des Ingenieurs. Hanser Verlag, 2007, ISBN 978-3-446-22814-6, S. D 574 (Halbleiter: ρ = 10−4…108 Ω·m).
- ↑ a b c d e f g h David R. Lide (Hrsg.): CRC Handbook of Chemistry and Physics. 90. Auflage. (Internet-Version: 2010), CRC Press / Taylor and Francis, Boca Raton FL, Properties of Solids, S. 12-41 – 12-42.
- ↑ etwa Zehntelung alle 100 K
- ↑ http://www2.hs-esslingen.de/~johiller/biosignale/ausbreitung.htm
- ↑ Stainless Steels Chromium-Nickel (Memento vom 17. Februar 2004 im Internet Archive; PDF)
- ↑ Wilfried Plaßmann, Detlef Schulz (Hrsg.): Handbuch Elektrotechnik: Grundlagen und Anwendungen für Elektrotechniker. Vieweg+Teubner, 5. Aufl., 2009, S. 231.
- ↑ Spezifikationen des Herstellers AURUBIS: Reinkupfer (100% IACS) = 0,01721 (Memento des Originals vom 28. April 2014 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.
- ↑ Elektrokupfer E-Cu58 ident. Cu-ETP1, 1.69e-2 bis 1.75e-2, gelegentlich ≈1.9e-2 Ω · mm2/m
- ↑ Günter Gottstein: Materialwissenschaft und Werkstofftechnik Physikalische Grundlagen. 4., neu bearb. Aufl. 2014. Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-36603-1.
- ↑ Datenblatt einer für Präzisionswiderstände geeigneten Legierung
- ↑ L F Kozin, S C Hansen, Mercury Handbook, Royal Society of Chemistry 2013, Seite 25
