Unbedingt konvergente Reihe

Die unbedingte konvergente Reihe ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis, der ein bestimmtes Konvergenzverhalten von Reihen beschreibt. Man spricht von unbedingter Konvergenz einer Reihe, wenn die Konvergenz unempfindlich gegenüber Umordnungen der Reihe ist. Im Endlichdimensionalen ist dies äquivalent zur absoluten Konvergenz, im Unendlichdimensionalen ist das nicht mehr der Fall.

Definition

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ein topologischer Vektorraum. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} eine Indexmenge und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i \in X} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \in I} .
Man sagt, eine Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \sum_{i \in I} x_i} konvergiert unbedingt gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in X} , falls

• die Indexmenge $I_{0}:=\{i\in I:x_{i}\neq 0\}$ abzählbar ist und
• für jede bijektive Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a\colon\N \rightarrow I_0} die Gleichung

$\lim _{n\to \infty }\sum _{j=1}^{n}x_{a(j)}=x$

gilt.

Dieser Begriff wird meistens in Banachräumen untersucht, kann aber auch in normierten, lokalkonvexen oder wie oben allgemein in topologischen Vektorräumen betrachtet werden.

Anwendungen

• Mit Hilfe dieser Definition lässt sich z. B. in einem topologischen Vektorraum der übliche Begriff einer „konvergenten Summe von Unterräumen“ als Erweiterung der bereits bekannten Summe von Unterräumen einführen:
  • Summe von Unterräumen:
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i\in I}U_i := \left\{ \sum_{i\in I}u_i : u_i\in U_i,u_i=0 \text{ für fast alle } i \in I\right\}}
  • Erweiterung „Konvergente Summe von Unterräumen“:
    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i\in I}U_i := \left\{ \sum_{i\in I}u_i : u_i\in U_i,\sum_{i\in I}u_i \text{unbedingt konvergent}\right\}}
    Wichtig hierbei ist vor allem, dass der Wert der Reihe nicht von der Umordnung abhängt. Ansonsten wären die Elemente nicht wohldefiniert.
• Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe der unbedingten Konvergenz in Banachräumen definiert.

Zusammenhang zur absoluten Konvergenz

Satz von Riemann

→ Hauptartikel: Riemannscher Umordnungssatz und Steinitzscher Umordnungssatz

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X := \R^n} der zugrundeliegende Banachraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} eine abzählbare Indexmenge. Dann besagt ein Satz von Riemann, dass die Reihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \sum_{i \in I} x_i} genau dann unbedingt konvergiert, wenn sie absolut konvergiert.

Satz von Dvoretzky-Rogers

→ Hauptartikel: Satz von Dvoretzky-Rogers

In unendlichdimensionalen Räumen sind die unbedingte Konvergenz und die absolute Konvergenz nicht mehr äquivalent. Dies besagt der Satz von Dvoretzky-Rogers, der nach Aryeh Dvoretzky und Claude Ambrose Rogers benannt wurde. Präzise besagt er, dass in jedem unendlichdimensionalen Banachraum eine unbedingt konvergente Reihe existiert, die nicht absolut konvergiert. Die Umkehrung, nach der jede absolut konvergente Reihe unbedingt konvergiert, gilt auch im unendlichdimensionalen Fall.

Siehe auch

• Schwach unbedingte Cauchy-Reihe

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 232 ff.

Weblinks

• Chi Woo u. a.: Unconditional convergence. In: PlanetMath. (englisch)
• B. I. Golubov: Unconditional convergence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).