Universelle zentrale Erweiterung

In der Mathematik ist die universelle zentrale Erweiterung einer Gruppe ein Begriff aus der Gruppentheorie.

Definition

Eine zentrale Erweiterung einer Gruppe $G$ durch eine abelsche Gruppe $A$ besteht aus einer Gruppe $E$ und einem surjektiven Gruppenhomomorphismus $\phi \colon E\to G$ mit Kern isomorph zu $A$. Ein Morphismus zwischen zwei zentralen Erweiterungen $\phi \colon E\to G,\phi ^{\prime }\colon E^{\prime }\to G$ derselben Gruppe $G$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\psi \colon E\to E^{\prime }$ mit $\phi ^{\prime }\psi =\phi$.

Eine zentrale Erweiterung

$\phi \colon E\to G$

heißt universelle zentrale Erweiterung, wenn es für jede andere zentrale Erweiterung

$\phi ^{\prime }\colon E^{\prime }\to G$

einen eindeutigen Morphismus zentraler Erweiterungen von $\phi \colon E\to G$ nach $\phi ^{\prime }\colon E^{\prime }\to G$ gibt.

Existenz und Eindeutigkeit

Eine universelle zentrale Erweiterung ist bis auf Isomorphismus eindeutig bestimmt, aber eine Gruppe $G$ hat nur dann eine universelle zentrale Erweiterung, wenn sie perfekt ist. In diesem Fall ist eine zentrale Erweiterung $\phi \colon E\to G$ genau dann universell, wenn $E$ perfekt ist und alle zentralen Erweiterungen von $E$ trivial sind. Äquivalent ist eine zentrale Erweiterung einer perfekten Gruppe genau dann universell, wenn $H_{1}(E,\mathbb {Z} )=0$ und $H_{2}(E,\mathbb {Z} )=0$. Der Kern $A$ der universellen zentralen Erweiterung ist isomorph zu $H_{2}(G,\mathbb {Z} )$.

Unter dem Isomorphismus $Ext(G,A)\simeq H^{2}(G,A)\simeq Hom(H_{2}(G,\mathbb {Z} ),A)$ entspricht die universelle zentrale Erweiterung der Identität $H_{2}(G,\mathbb {Z} )\to A$.

Für eine perfekte Gruppe mit Präsentierung $\langle F\mid R\rangle$ konstruiert man die universelle zentrale Erweiterung als $E=\left[F,F\right]/\left[F,R\right]$.

Beispiele

• Für eine perfekte endliche Gruppe ist die Schur-Überlagerung die universelle zentrale Erweiterung. Der Kern ist der Schur-Multiplikator.
• $SU(2)$ ist die universelle zentrale Erweiterung von $SO(3)$. Der Kern ist isomorph zu $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$.
• Sei $R$ ein kommutativer Ring. Die Steinberg-Gruppe $St(R)$ ist die universelle zentrale Erweiterung der Kommutatorgruppe $\left[GL(R),GL(R)\right]$. Der Kern ist die algebraische K-Theorie $K_{2}(R)$.

Literatur

• J. Rosenberg: Algebraic K-Theory and Applications, Graduate Texts in Mathematics 147, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994