Zentrale Erweiterung

In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, sind zentrale Erweiterungen eine Möglichkeit, Gruppen durch eine zentrale Untergruppe und die sich ergebende Faktorgruppe zu beschreiben.

Definitionen

Sei $G$ eine beliebige Gruppe und $A$ eine abelsche Gruppe. Eine zentrale Erweiterung von $G$ durch $A$ besteht aus einer Gruppe $E$ und einem surjektiven Gruppenhomomorphismus $\phi \colon E\to G$ mit Kern isomorph zu $A$. Mit anderen Worten, es gibt eine exakte Sequenz

$0\to A\to E\to G\to 1$

mit $A\subset Z(E)$, d. h. $A$ ist zentral in $E$.

Ein Morphismus zwischen zwei zentralen Erweiterungen $\phi \colon E\to G,\phi ^{\prime }\colon E^{\prime }\to G$ derselben Gruppe $G$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\psi \colon E\to E^{\prime }$ mit $\phi ^{\prime }\psi =\phi$.

Beispiele

• Als triviale Erweiterung durch $A$ bezeichnet man die Projektion $G\times A\to G$.
• Sei $k\in \mathbb {Z} _{\geq 2}$. Eine nichttriviale Erweiterung von $\mathbb {C} ^{*}=\left\{z\in \mathbb {C} \colon \vert z\vert \not =0\right\}$ ist $E=S^{1}$ und $\phi (z)=z^{k}$. Nichttrivialität bedeutet hier, dass es keine auf ganz $\mathbb {C} ^{*}$ definierte $k$-te Wurzelfunktion gibt. Der Kern $A$ besteht aus den $k$-ten Einheitswurzeln und ist isomorph zu $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$.
• Für eine zusammenhängende Lie-Gruppe $G$ ist ihre universelle Überlagerung ${\widetilde {G}}$ eine zentrale Erweiterung durch die Fundamentalgruppe $\pi _{1}G$. Zum Beispiel ist die Spin-Gruppe $Spin(n)$ eine zentrale Erweiterung der speziellen orthogonalen Gruppe $SO(n)$, und die metaplektische Gruppe $Mp(2n,R)$ ist eine zentrale Erweiterung der symplektischen Gruppe $Sp(2n,R)$.
• Für einen Hilbert-Raum $H$ und seinen projektiven Raum $P(H)$ ist die unitäre Gruppe $U(H)$ eine zentrale Erweiterung der Gruppe der unitären projektiven Transformationen $U(P(H))$ durch $U(1)$.
• Selbst für abelsche Gruppen $H$ ist ein semidirektes Produkt $G\ltimes H$ nur dann eine zentrale Erweiterung, wenn es das direkte Produkt $G\times H$ ist, es sich also um die triviale Erweiterung handelt. Zum Beispiel ist die Gruppe der affinen Abbildungen $Aff(R^{n})$ ein semidirektes Produkt $GL(n,\mathbb {R} )\ltimes \mathbb {R} ^{n}$, aber keine zentrale Erweiterung von $GL(n,\mathbb {R} )$.

Klassifikation zentraler Erweiterungen durch Gruppenkohomologie

Als Parametrisierung einer zentralen Erweiterung bezeichnet man einen Isomorphismus $\iota \colon A\to Ker(\phi )$. Die Isomorphismenklassen parametrisierter zentraler Erweiterungen bilden mit der Baer-Summe eine abelsche Gruppe, die als $Ext(G,A)$ bezeichnet wird. Die triviale Erweiterung ist das neutrale Element dieser Gruppe. Das inverse Element einer parametrisierten zentralen Erweiterung ist dieselbe zentrale Erweiterung mit der entgegengesetzten Parametrisierung $-\iota$.

Man hat einen Isomorphismus

$Ext(G,A)\simeq H^{2}(G,A)$

zur zweiten Gruppenkohomologie. Dieser ordnet einer parametrisierten zentralen Erweiterung die Klasse des mit Hilfe einer die Bedingung $\phi s=id_{G}$ erfüllenden (nicht notwendig holomorphen) Abbildung durch

$s(gh)=\iota (f(g,h)s(g)s(h))$

festgelegten Abbildung $f\colon G\times G\to \mathbb {R}$ zu. Diese ist ein Kozykel und ihre Kohomologieklasse hängt nicht von der Wahl von $s$ ab. Umgekehrt kann man einen Kozykel innerhalb seiner Kohomologieklasse so normieren, dass $f(g,h)=0$ wenn $g=1$ oder $h=1$. Dann definiert man auf $G\times A$ die Operation $(g_{1},a_{1})(g_{2},a_{2})=(g_{1}g_{2},a_{1}+a_{2}-f(g_{1},g_{2}))$ und erhält die der Kohomologieklasse von $f$ entsprechende zentrale Erweiterung.

Literatur

• M. Kervaire: Multiplicateurs der Schur et K-theorie, S. 212–225 in: Essays on Topology and Related Topics (Memoires dedies a Georges de Rham), Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1970
• J. Milnor: Introduction to Algebraic K-Theory, Annals of Mathematical Studies 72, Princeton University Press, Princeton, 1971
• J. Rosenberg: Algebraic K-Theory and Applications, Graduate Texts in Mathematics 147, Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1994