Weg-Zeit-Gesetz

Ein Weg-Zeit-Gesetz beschreibt in der klassischen Physik den Ablauf der Bewegung eines Massenpunkts. Es gilt jeweils für eine bestimmte Bewegung, indem es den Ort des Massenpunkts als Funktion der Zeit angibt. Es stellt somit den zeitlichen Verlauf der Bewegung eines Körpers auf seiner Bahnkurve (Trajektorie) dar und wird daher auch als Zeit-Ort-Funktion bezeichnet. Bei gegebenen äußeren Kräften ist sie die durch die Anfangsbedingungen für Ort und Geschwindigkeit festgelegte spezielle Lösung der Bewegungsgleichung des Massenpunkts.

Ist die Bewegung durch Zwangsbedingungen von vorneherein auf eine bestimmte Linie festgelegt, wie beispielsweise die Bewegung einer Lokomotive durch die Schienen, so genügt als Ortsangabe die Bogenlänge längs der Bahn, die dann meist als Weg bzw. Wegstrecke bezeichnet wird. Der Nullpunkt des Weges ist frei wählbar. Die Bewegung kann dann in einem als Zeit-Ort-Diagramm bezeichneten Funktionsgraphen dargestellt werden. In allen anderen Fällen gibt die Zeit-Ort-Funktion die unabhängigen Koordinaten des Massenpunkts relativ zu einem frei gewählten Bezugssystem zur gegebenen Zeit an und ist daher vektorwertig.

Das Formelzeichen für den Wert der Weg-Zeit-Funktion ist oft ${\vec {r}}(t)$, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {X}(t)} oder Ähnliches. Dies soll zum Ausdruck bringen, dass der Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r} eine eindeutige Funktion der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} ist, welche im mathematischen Sinne eine freie Variable darstellt. Jedem Zeitpunkt ist also genau ein Ort zugeordnet, wo sich der Massepunkt gerade befindet. Die Umkehrung gilt nicht: Ein Massenpunkt kann sich sehr wohl zu verschiedenen Zeiten an ein und demselben Ort befinden. Die Weg-Zeit-Funktion ist stetig, da der Massepunkt nicht ohne Zeitverlust von einem Ort zu einem anderen „springen“ kann. Mathematisch ausgedrückt: Die Wegstrecke, die der Massepunkt zurücklegen kann, geht gegen Null, wenn das zur Verfügung stehende Zeitintervall ebenfalls gegen Null geht. Ferner ist die Weg-Zeit-Funktion – mindestens abschnittsweise – einmal differenzierbar; falls sich die Geschwindigkeit nicht ruckartig ändert, sogar zweimal. Die erste Ableitung nach der Zeit, nach Isaac Newton oft mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec {r}}(t)} bezeichnet, ist die Momentangeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {v}(t) =\dot{\vec {r}}(t)} . Diese Funktion wird auch Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz oder Zeit-Geschwindigkeits-Funktion genannt. Die zweite Ableitung ergibt die Beschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec {a}(t) =\dot{\vec {v}}(t) =\ddot{\vec {r}}(t)} .

Die Darstellung der Koordinaten des Orts hängt vom gewählten Koordinatensystem ab. So ist für eine Bewegung in einer Ebene etwa Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {r}}(t)=(x(t),y(t))} in einem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem, oder alternativ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}(t)= ( r(t),\varphi(t) )} in Polarkoordinaten. Die Anzahl der Komponenten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{r}(t)} ist gleich der Anzahl der Dimensionen des Raums, in dem die Bewegung stattfindet.

Beispiele

Die folgenden Beispiele beschreiben idealisiert vereinfachte Verläufe. Alle Bewegungen starten zum Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=0} am durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r_0} bezeichneten Startpunkt.

• Im Stillstand hängt die Position nicht von der Zeit ab und der Massenpunkt bleibt für immer am Startpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r_0} :

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{0}=\mathrm {konst.}$

• Gleichförmig geradlinige Bewegung mit Geschwindigkeit ${\vec {v}}$:

${\vec {r}}(t)={\vec {v}}t+{\vec {r}}_{0}$.

• Gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

${\vec {r}}(t)={\frac {1}{2}}{\vec {a}}t^{2}+{\vec {v}}_{0}t+{\vec {r}}_{0}$.

Falls die (konstante) Beschleunigung ${\vec {a}}$ und Anfangsgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v_0} parallel bzw. antiparallel sind, handelt es sich um eine gleichmäßig beschleunigte bzw. verzögerte geradlinige Bewegung. Ansonsten ist es eine parabelförmige Bewegung wie etwa beim schiefen Wurf.

• Harmonische Schwingung, wie sie etwa die Masse an einem Federpendel entlang der Achse der Feder ausführt, wenn sie um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vert \vec A_0 \vert} aus der Gleichgewichtslage Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r_0} schwingt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r(t) = \vec r_0 + \vec A_0\cdot \sin(\omega t)} .