Diskussion:Norm (Mathematik)

Was fehlt

Die geschichte des Begriffs ist völlig abwesend. Polentario ^{Ruf! Mich! An!} 00:28, 15. Dez. 2011 (CET)

Ich frage mich, ob die Information in diesen Artikel oder in den Artikel normierter Raum gehört. Meiner Recherche nach hat Stefan Banach als erster die axiomatische Definition der Norm beziehungsweise des normierten Vektorraums aufgestellt. --Christian1985 (Diskussion) 17:38, 15. Dez. 2011 (CET)

Im Werner, Kapitel I.5 finden sich einige historische Notizen. Demnach waren die ersten Arbeiten zu normierten Räumen von Helly (1921), Hahn (1922), Wiener (1923) und natürlich Banach in seiner Diss (1922). Das Normsymbol $\|\cdot \|$ ist erstmals von Schmidt (1908) im Sinne eines Abstands $\|x-y\|$ verwendet worden, Riesz verwendet dann 1918 das Normsymbol systematisch für die Supremumsnorm. Der Betragsbegriff ist aber sicher wesentlich älter und der Längenbegriff geht auf Euklid bzw. die Pythagoräer zurück. Schwierig zu sagen, wo man jetzt die Geschichte genau einbaut, möglicherweise könnten beide Artikel ihren eigenen Abschnitt bekommen. Ich werde mich irgendwann demnächst mal dransetzen. Viele Grüße, --Quartl 19:54, 15. Dez. 2011 (CET)

Glaubst Du nicht, dass größere Redundanzen entstehen würden, wenn man in beide Artikel einen Geschichtsabschnitt packt? Ich würde es bei einem Artikel belassen und in dem anderen einen dicken Link auf den Geschichtsabschnitt des anderen setzen. --Christian1985 (Diskussion) 20:00, 15. Dez. 2011 (CET)

Ich bin da ganz offen. Bislang gab es offenbar auch keinen Bedarf für zwei Artikel Norm und Normierter Raum, obwohl es sich um lexikalisch unterschiedliche Dinge handelt (auch wenn es letzteres nicht ohne ersteres gibt). Ich werde mich mal dransetzen und was schreiben (wird aber eine Weile dauern), wie und wo man den Text dann einbaut kann man dann immer noch sehen. Viele Grüße, --Quartl 20:27, 15. Dez. 2011 (CET)

Ich habe selbst mal angefangen einen Geschichtsabschnitt zu schreiben. Die Anfänge sind hier zu finden. Grüße --Christian1985 (Diskussion) 22:32, 15. Dez. 2011 (CET)

Sieht schon mal ganz gut aus und würde sich in der Form sicher gut in Normierter Raum machen. Zum ersten Satz habe ich noch eine Frage, weil ich das Buch von Scriba, Schreiber gerade nicht zur Hand habe: im Werner steht, dass der Begriff des Vektorraums sich erst in den 1920er Jahren ausgebildet hat, das würde dann nicht mit dem Text zusammenpassen. Viele Grüße, --Quartl 09:16, 16. Dez. 2011 (CET)

Ja Du hast Recht. Ich denke, im Buch von Scriba ist gemeint, dass er sich mit einem Objekt beschäftigt hat, das wir heute normierter Raum nennen. Die axiomatische Definition des Vektorraums hat er wohl nicht gekannt. --Christian1985 (Diskussion) 10:04, 16. Dez. 2011 (CET)

Danke und kleiner Fehler

Wow, schöner und ausführlicher Artikel. Die Matrixnormen sind vielleicht fast schon etwas zu ausführlich, da steht ja mehr als im Hauptartikel. Und bei den Sobolev-Normen ist mir gerade aufgefallen, dass die Definition von Skalarprodukt und 2-Norm nicht ganz zusammenpassen, im Artikel Sobolev-Raum stimmt's mMn. -- HilberTraum 17:13, 15. Dez. 2011 (CET)

Ich fänds auch gut, wenn einige Passagen von hier nach Matrixnorm ausgelagert würden. --Christian1985 (Diskussion) 17:29, 15. Dez. 2011 (CET)

Danke für das Lob und den Hinweis! Ja, der Artikel ist aufgrund des Versuches ihn in sich konsistent zu gestalten etwas lang geworden. Dabei ist er noch nicht einmal vollständig, man könnte beliebig mit Schwarz-Räumen, Hardy-Räumen usw. und den entsprechenden Normen weitermachen. Ich denke aber, ihn mit Sobolevnormen aufgrund ihrer großen Bedeutung enden zu lassen ist ein guter Kompromiss. In gewisser Weise war für mich auch der Sinn der Übung einen Überblick zu bekommen und rauszufinden, welche Artikel möglicherweise noch fehlen. Wenn man Artikel Matrixnorm und Operatornorm hat, dann sollte es konsistenterweise auch Artikel Vektornorm, Folgennorm und Funktionennorm geben, möglicherweise sogar für die Einzelnormen. Im Prinzip habe ich nichts dagegen alles auszulagern, ich habe nur bisher davon Abstand genommen, weil der Artikel bei Einzelauslagerungen unbalanciert wird und weil mir nicht klar ist, wie die ausgelagerten Abschnitte dann hier gut zusammengefasst werden können. Jetzt wo der ganze Artikel da ist, ist es aber vielleicht einfacher. Viele Grüße, --Quartl 20:21, 15. Dez. 2011 (CET)

Nun der Unterschied zwischen den Artikeln Matrixnorm bzw. Operatornorm auf der einen Seite und Vektornorm, Folgennorm bzw. Funktionennorm auf der anderen Seite liegt darin, dass die Definitionen der Matrixnorm bzw. der Operatornorm nicht genau die gleichen sind wie die der (normalen) Norm, zumindest dann wenn man submultiplikative Matrixnormen betrachtet. Die Begriffe Vektornorm, Folgennorm und Funktionennorm sind meiner Erfahrung nach auch nicht so üblich. Daher denke ich, können die letzten drei auch gut eine Weiterleitung hier hin darstellen, wohingegen die ersten beiden Begriffe noch einen eigenen Artikel verdient haben. Wie wäres es damit den Artikel Matrixnorm etwas umzustrukturieren und dort den Abschnitt Norm_(Mathematik)#Matrixnormen_.C3.BCber_Singul.C3.A4rwerte einzubauen? Viele Grüße--Christian1985 (Diskussion) 20:42, 15. Dez. 2011 (CET)

Naja, darüber ob die Submultiplikativität jetzt Axiom oder Eigenschaft ist, kann man streiten, bzw. das wird unterschiedlich in den Büchern gehandhabt. Zumindest Vektornorm ist ein sehr gängiger Begriff. Ich wollte mir den Artikel Matrixnorm ohnehin als nächstes vornehmen (allein schon zwangsweise aufgrund der Redundanz). Die Frage ist: was verbleibt dann in diesem Artikel bzw. wie könnte man Matrixnorm hier gut zusammenfassen? Ich wollte eigentlich auch noch weitergehen und Beispiele zu den Matrixnormen machen bzw. einige Normeigenschaften genauer erläutern, was relativ schnell auch den Artikel Matrixnorm sprengen würde. Letztendlich wird auch der Artikel Matrixnorm nur ein Verteiler auf speziellere Artikel werden, so wie dieser hier. Viele Grüße, --Quartl 21:05, 15. Dez. 2011 (CET)

Ich kenne den Begriff der Vektornorm nur aus einem Buch zur Numerik, in dem die Norm explizit von der Matrixnorm unterschieden werden musste, aber vielleicht lese ich auch die falschen Bücher. ;) Ich fände es völlig ausreichend, wenn in diesem Artikel der Abschnitt unter Matrixnormen bis zur nächsten Unterüberschrift stehen würde. Und es ist auch völlig Okey, wenn der Artikel Matrixnorm zu einem Verteiler würde. Im Moment fehlen allerdings wohl noch entsprechende Artikel. --Christian1985 (Diskussion) 21:43, 15. Dez. 2011 (CET)

Unterschätze die Numerik-Bücher nicht, da sind wenigstens Beispiele drin, die man nachrechnen kann :-). Ich habe jetzt den Abschnitt zu Matrixnormen gekürzt und in den Artikel Matrixnorm ausgelagert, wobei ich die Grundstruktur in beiden Artikeln beibehalten habe. Ist es jetzt ok, oder soll ich hier noch mehr straffen? Viele Grüße, --Quartl 10:22, 16. Dez. 2011 (CET)

Danke für Deine Mühen. Ich habe Dir auf der Diskussionsseite von Matrixnorm noch zwei Fragen hinterlassen. Ich finde den Abschnitt Matrixnormen hier so wie er ist gut. --Christian1985 (Diskussion) 11:15, 16. Dez. 2011 (CET)

Sobolev-Normen

Mit meinem Hinweis oben zur Definition der Sobolev-Norm meinte ich was anderes: Du hast die Norm als Summe der Einzelhalbnormen definiert. Das geht auch, so habe ich es auch schon gesehen. Aber so passt es nicht zur Definition des Skalarprodukts, denn die davon induzierte Norm wäre die Wurzel aus der Summe der Quadrate. In Artikel Sobolev-Raum wird's anders gemacht. -- HilberTraum 21:07, 15. Dez. 2011 (CET)

Ok, so besser? Ich hatte die Definition so aus dem Alt, allerdings ohne das Skalarprodukt. Was wäre denn das Skalarprodukt zu der anderen Variante (oder gibt es da keines)? Viele Grüße, --Quartl 21:23, 15. Dez. 2011 (CET)

Jetzt sollte es passen. Puh, spontan würde ich sagen, die andere Norm hat kein Skalarprodukt, aber beweisen könnte ich's jetzt nach einem Feierabendglühwein nicht mehr ;-) -- HilberTraum 22:15, 15. Dez. 2011 (CET)

Reihenfolge Zeilen, Spalten

Mir ist gerade aufgefallen, dass die Reihenfolge der Zeilen- und Spaltenindizes im Matrix-Abschnitt und auch in Matrixnorm ziemlich durcheinander/falsch ist. Ich würde am besten die Bezeichnungen so wählen wie in Matrix (Mathematik), also $A\in K^{m\times n}$, $i=1,\dots ,m$, $j=1,\dots ,n$. -- HilberTraum 21:02, 21. Dez. 2011 (CET)

Du hast natürlich vollkommen recht. Irgendwann wird man blind und Opfer von cut&paste. Viele Grüße, --Quartl 22:07, 21. Dez. 2011 (CET)

Danke für die schnelle Korrektur. -- HilberTraum 08:43, 22. Dez. 2011 (CET)

Hilbert-Schmidt-Norm?

Die Hilbert-Schmidt-Norm ist zwar eine Norm für Operatoren, aber doch keine Operatornorm, oder verwechsle ich da was? -- HilberTraum 13:11, 27. Dez. 2011 (CET)

Ja, konsistenterweise müsste der Abschnitt allgemein "Normen auf Operatoren" heißen, da dummerweise der Begriff Operatornorm einen Spezialfall einer Norm auf einem Operator darstellt. Ich weiß jetzt aber auch nicht, wie man das Problem elegant lösen kann. Weitere Artikel zu Normen auf Operatoren (z.B. Integral- oder Differentialoperatoren) haben wir nicht, oder? Zumindest die Begriffsverwechslung habe ich behoben, danke für den Hinweis. Viele Grüße, --Quartl 13:56, 27. Dez. 2011 (CET)

Nun wir haben noch den Artikel Schatten-Klasse. Dort werden Normen von speziellen, linearen kompakten Operatoren mittels Singulärwertzerlegung betrachtet. Viele Grüße --Christian1985 (Diskussion) 17:25, 27. Dez. 2011 (CET)

Und offenbar auch noch Spurklasseoperator. Am besten wir fragen Benutzer:FerdiBf, ob er evtl. die Inhalte für diesen Artikel zusammenfassen kann. Viele Grüße, --Quartl 18:21, 27. Dez. 2011 (CET)

Ich habe jetzt mal ein paar Abschnitte anhand dieser Quelle [1], die sich weitgehend mit unseren Artikeln deckt, ergänzt. Bitte kritisch gegenlesen. Viele Grüße, --Quartl 21:19, 1. Jan. 2012 (CET)

Normen auf Algebren?

Meiner Meinung nach fehlen noch Erwähnungen von Normierte Algebra, Banach-Algebra und C*-Algebra. Sollten die eher einen eigenen Abschnitt bekommen oder bei "Verallgemeinerungen" eingebaut werden? -- HilberTraum 16:46, 30. Dez. 2011 (CET)

Die Submultiplikativität kommt momentan recht spät im Artikel. Direkt kann ich anbieten, den folgenden Satz aus Matrixnorm

Der Raum der quadratischen Matrizen ${\mathbb {K} }^{n\times n}$ ist mit der Matrixaddition und -multiplikation sowie einer submultiplikativen Matrixnorm eine normierte Algebra, insbesondere eine Banachalgebra.

im Abschnitt Matrixnormen einzubauen. Das ganze geht natürlich auch allgemeiner, ich selbst kenne ich mich aber in der Algebra zu wenig aus, um da einen Abschnitt fundiert schreiben zu können. Viele Grüße, --Quartl 17:12, 30. Dez. 2011 (CET)

Ich habe eben dem Artikel eine etwas andere Struktur gegeben, indem ich vier Abschnitte aus dem Abschnitt "Grundkonzepte" in einen eigenen Abschnitt "Weitere Normkonzepte" verschoben habe und den endlich-dimensionalen von dem unendlich-dimensionalen Fall klarer getrennt habe. Diese Struktur sollte den Lesern mit geringeren mathematischen Kenntnissen entgegenkommen. Nun könnte man z.B. nach dem Abschnitt "Normierte Räume" einen Abschnitt "Normierte Algebren" einfügen. Viele Grüße, --Quartl 11:24, 31. Dez. 2011 (CET)

Hm, dann müsste man wahrscheinlich den Operatornormabschnitt irgendwie vorziehen, denn die gängigsten Beispiel für normierte Algebren sind eigentlich die mit Operatornormen. -- HilberTraum 11:52, 31. Dez. 2011 (CET)

Normierte Algebren gibt es doch auch auf Funktionenräumen, siehe Banachalgebra#Beispiele. Viele Grüße, --Quartl 12:00, 31. Dez. 2011 (CET)

Na ja, aber die kamen an dieser Stelle auch noch nicht vor. -- HilberTraum 12:12, 31. Dez. 2011 (CET)

Vielleicht wäre es ja gar nicht so schlecht, die Operatornormen auch in den Abschnitt "Weitere Normkomzepte" zu verschieben? -- HilberTraum 12:16, 31. Dez. 2011 (CET)

Spricht meiner Einschätzung nach nichts dagegen, ich würde aber längerfristig schon an einen Abschnitt "Normen auf Operatoren" denken, von denen die Operatornormen ja nur ein Spezialfall sind (siehe eins drüber). Viele Grüße, --Quartl 12:20, 31. Dez. 2011 (CET)

Ich habe eben einen kurzen Abschnitt zu normierten Algebren ergänzt. Eine Erwähnung von C*-Algebra würde, finde ich, etwas zu weit führen. Viele Grüße, --Quartl 12:34, 31. Dez. 2011 (CET)

Ich denke jetzt auch, dass es in dieser Form fürs erste ausreicht. Danke! -- HilberTraum 13:05, 31. Dez. 2011 (CET)

Und es fehlen...

Beispiele, die fehlen!!! Aber ansonsten sehr gut! Endlich mal eine schöne Seite für die Norm (nicht signierter Beitrag von 94.216.200.115 (Diskussion) 18:48, 16. Jan. 2012 (CET))

Danke für das Lob! Beispiele würden diesen Artikel sprengen, denn er kann nur ein Übersichtsartikel sein und ist ohnehin schon etwas zu lang. Einige Beispiele finden sich aber in den Artikeln zu den Einzelnormen (Frobeniusnorm, Euklidische Norm, Spektralnorm, usw.). Es gibt nur noch nicht zu allen Normen Artikel und manche müssen noch überarbeitet werden, aber da bin ich dran. Viele Grüße, --Quartl 19:41, 16. Jan. 2012 (CET)

Ich denke, dass ein Artikel zur p-Norm fehlt. Das war die erste Norm (abgesehen vom Betrag), die ich kennengelernt habe, bevor ich überhaupt die Normaxiome kennengelernt habe. Dort könnte man auch elementare Beispiele unterbringen. Elementare Rechenbeispielebeispiele in diesem Artikel würde ihn überfrachten.--Christian1985 (Diskussion) 20:07, 16. Jan. 2012 (CET)

Genau an dem Artikel arbeite ich gerade :-). Viele Grüße, --Quartl 20:13, 16. Jan. 2012 (CET)

Halbnorm

Wieso findet sich eigentlich die Halbnorm im Abschnitt weiterführende Begriffe? Würde der Begriff nicht eher unter die Überschrift Verallgemeinerungen gehören? Grüße --Christian1985 (Diskussion) 12:26, 17. Jan. 2012 (CET)

Letztlich weil man den Begriff und die Restklassenbildung später bei den Lp-Normen braucht. Viele Grüße, --Quartl 12:53, 17. Jan. 2012 (CET)

Link zu Dirk Werner

Der Link zu Dirk Werner ist nicht richtig. Nach meinen Kenntnissen hat er keinen Wikipedia Eintrag, wohl aber eine Homepage http://page.mi.fu-berlin.de/werner99/ (nicht signierter Beitrag von 141.2.169.197 (Diskussion) 15:41, 10. Jun. 2012 (CEST))

Danke für den Hinweis. Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:30, 10. Jun. 2012 (CEST)

Und? Warum sollte man keine roten Links in Einzelnachweisen haben? --Chricho ¹ ² ³ 11:12, 7. Aug. 2012 (CEST)

Du meinst auf Dirk Werner (Mathematiker) rotverlinken? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 11:28, 7. Aug. 2012 (CEST)

Achso, das Problem war, dass ein anderer verlinkt war. Ok. Nein, ich bestehe nicht drauf, sehe nur nichts, dass dagegen spricht. --Chricho ¹ ² ³ 11:44, 7. Aug. 2012 (CEST)

Besser so? :-) Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:28, 7. Aug. 2012 (CEST)

Umso besser, du hast gerade meine Beo geflutet. :D --Chricho ¹ ² ³ 16:32, 7. Aug. 2012 (CEST)

Dass du den Artikel erstellt hast, war allein an der Beo abzulesen, faszinierend. --Chricho ¹ ² ³ 16:33, 7. Aug. 2012 (CEST)

Überschneidungen

Es gibt hier einige Überschneidungen, es müsste mE mal aufgeräumt werden. So wird zuerst die durch ein Skalarprodukt induzierte Norm erwähnt, später dann nochmal die Spezialfälle euklidische Norm und Betragsnorm. Später wird erst die Operatornorm eingeführt dann die Norm im Dualraum. Abgesehen davon gibt es Überschneidungen mit Normierter Raum--Frogfol (Diskussion) 23:18, 4. Aug. 2012 (CEST)

Das ist schon in Ordnung, denn dieser Artikel ist ein Übersichtsartikel und da ist eine gewisse Redundanz zu spezielleren Artikeln unvermeidbar bzw. sogar gewollt. Genau zu diesem Zweck gibt es die Vorlage:Hauptartikel, die auf die jeweiligen Spezialartikel verweisen soll, in denen dann neben der Definition auch weiterführende Informationen, Beispiele, Anwendungen, Geschichtliches, etc. stehen (sollten). Aber ich habe mal im Artikel alle Definitionszeichen durch Gleichheitszeichen ersetzt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:25, 5. Aug. 2012 (CEST)

Du gehst nur auf eine meiner zwei erwähnten Überschneidungen ein, und dein allgemeines Argument zieht in diesem speziellen Fall mE nicht.

• Überschneidungen mit Normierter Raum

Erstmal ist es fraglich, ob es sich hier um einen Spezialartikel handelt, da eine Norm immer über einem Raum definiert ist. Zum anderen ist der Hauptartikel Norm wesentlicher detailreicher als der Spezialartikel, was mir nicht sinnvoll erscheint bzw. das Prinzip Hauptartikel/Spezialartikel ad absurdum führt.

• Überschneidungen im Artikel

Mir scheint das hier so zu sein, dass viele engagiert etwas eingefügt haben, der Artikel immer größer wurde, was aber zur Lasten der inneren Koheränz ging. Wie gesagt, ähnliche Prinzipien wurden nicht zusammengefügt.

Meine

• Konsequenz: Entschlacken und Sortieren--Frogfol (Diskussion) 02:47, 7. Aug. 2012 (CEST)

Nur zu einem Punkt: Die Überschneidung von Norm (Mathematik) und Normierter Raum ist gewollt, genauso wie Skalarprodukt und Skalarproduktraum. Es gab sogar schon den Vorschlag, Topologie (Struktur) und Topologischer Raum sowie Uniforme Struktur und Uniformer Raum zu trennen, was mir dann aber definitiv zu absurd erscheint. Auch wenn ich selber von diesen Aufteilungen nicht hundertprozentig überzeugt bin, gibt es doch gewisse Argumente, die schon in der ein oder anderen Diskussion aufgeführt wurden: Artikel wie Norm (Mathematik) und Skalarprodukt holen Leser ab, die normalerweise mit Räumen nichts am Hut haben. Zudem erscheint die Verlinkung sinnvoller, will man im Artikel Hilbertraum auf die vom Skalarprodukt induzierte Norm verweisen, ist es gewissermaßen unnatürlich, Normierter Raum zu verlinken, und für den darauf geleiteten womöglich verwirrend etc. Auch wenn es da keinen endgültigen Konsens gibt, so wie ich das sehe, würde ich dir empfehlen, an dieser Aufteilung jetzt erstmal nicht zu rütteln. --Chricho ¹ ² ³ 03:38, 7. Aug. 2012 (CEST)

^^Das merke ich schon. Aber mein Argument will ich gar nicht nur so verstehen, dass man die Artikel zusammen führen sollte. Sondern eher zB. darin, dass man die ganzen normierten Räume des Norm-Artikels eher in den anderen Artikel verschieben sollte. Das ist umso wichtiger, wenn man im Norm-Artikel die mathematisch unbedarfteren Leser abholen will.--Frogfol (Diskussion) 03:50, 7. Aug. 2012 (CEST)

Hallo Frogfol, dieser Artikel wurde – entgegen deiner Einschätzung – im wesentlichen von einem engagierten Benutzer geschrieben und nicht von vielen (auch wenn natürlich viele Verbesserungen vorgenommen haben). Ich bin aber immer offen, was Verbesserungsmöglichkeiten betrifft.

Nochmal zur Aufteilung der Artikel: Normen und normierte Räume sind, auch wenn es das eine ohne das andere nicht gibt, zwei verschiedene mathematische Objekte: das eine ist eine Abbildung, das andere ein Raum. Dass in den Artikeln gewisse Informationen redundant aufgeführt werden erhöht einfach die Lesbarkeit. Notationen und Begriffe muss man ohnehin einführen und außerdem können so besser die Querbezüge aufgezeigt werden. Dies betrifft nicht nur diesen Artikel sondern beispielsweise auch Euklidische Norm – Euklidischer Raum, Skalarproduktnorm – Skalarproduktraum usw. Den wichtigen Punkt der Verlinkung hat Chricho schon angesprochen (und ja, mich stören weiterhin die Links [[Topologischer Raum|Topologie]] :-) ).

Zur inneren Strukturierung dieses Artikels: der Artikel ist vom Grundlegenden zum Speziellen hin strukturiert. Die ersten beiden Abschnitte werden üblicherweise in einem Kurs zur Linearen Algebra oder in einem Einführungskurs zur Numerik in den ersten Semestern eines Mathestudiums behandelt. Die Abschnitte 3 und 4 sind dann Inhalt einer weiterführenden Analysis oder Funktionalanalysis-Vorlesung. In einer früheren Artikelversion hatte ich Abschnitt 3 direkt nach Abschnitt 1, ich hatte mich aber des einfacheren Einstiegs wegen dann für diese Variante entschieden, da man Studenten im ersten oder zweiten Semester noch nicht mit Dualnormen erschlagen muss. In dem Sinne sind normierter Raum, normierte Algebra, usw. tatsächlich weiterführende Artikel. Wenn du dir die beiden Begriffsabschnitte wegdenkst, dann werden einfach die wichtgsten Normen für mathematische Objekte in der natürlichen Reihenfolge Zahlen, Vektoren, Matrizen, Folgen, Funktionen und Operatoren aufgezählt.

Zur internen Redundanz: ja, die euklidische Norm und die Betragsnorm sind Spezialfälle einer Skalarproduktnorm. Daher wird die Skalarproduktnorm erst eingeführt, damit man später darauf hinweisen kann. Wenn man die wichtigsten Skalarproduktnormen an einer Stelle zusammengefasst sucht, dann ist der Artikel Skalarproduktnorm der richtige Ort nicht der Artikel Norm (Mathematik). Die natürlichen Matrixnormen sind zwar auch Spezialfälle einer Operatornorm, hier ist die Reihenfolge aber aus oben genannten Gründen andersrum. Was mich aber tatsächlich noch etwas stört ist dass die bei den Vektornormen erwähnten Metriken erst später definiert werden. Abgesehen davon sehe ich in diesem Artikel keine interne Redundanz in dem Sinne, dass Dinge doppelt aufgeführt werden. Man kann natürlich immer über eine andere Strukturierung nachdenken, was für eine Struktur würde dir denn vorschweben?

Zur Auslagerung von Inhalten: was würdest du denn gerne nach Normierter Raum auslagern? Um den (kurzen) Abschnitt "Normierte Räume" selbst kann es ja nicht gehen. Die Abschnitte zu Halbnormen, Normäquivalenzen und dualen Normen gehören sicherlich in diesen Artikel, lediglich über die normierten Algebren könnte man nachdenken. Der restliche Artikel handelt von den Einzelnormen, nicht von den Räumen. Welche wichtigen Inhalte fehlen dir denn in Normierter Raum?

Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:41, 7. Aug. 2012 (CEST)

Danke für die wirklich ausführliche Antwort. Ich werd mich nochmal ausführlich mit dem Artikel beschäftigen, um dann möglichst konkrete Verbesserungsvorschläge zu machen, das kann aber vielleicht ein paar Tage dauern. Und ja, dass eine Norm eine Metrik induziert, kommt mE zu spät, das ist einer der Punkte.--Frogfol (Diskussion) 23:19, 7. Aug. 2012 (CEST)

Bild

Ich habe mal wieder eine Vektorgrafik zu einer hier benutzten Pixelgrafik erstellt:

• 

  Original

• 

  Mein neues Bild

Gibt es Vesserungsvorschläge, Wünsche oder Anregungen? Falls nicht, ersetze ich das Bild. Grüße, --Martin Thoma 19:56, 14. Sep. 2012 (CEST)

Sieht gut aus. Könntest du evtl. die Farben noch etwas abdunkeln (gerade das grün ist sehr hell) und einen größeren oder serifenfreien Font verwenden, damit die Schrift auch in der Vorschau besser lesbar ist? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:34, 14. Sep. 2012 (CEST)

Ja, sieht gut aus. Aber sollte man die Ungleichung nicht besser in den Text unter dem Bild schreiben statt ins Bild? (nicht signierter Beitrag von Digamma (Diskussion | Beiträge) 20:44, 14. Sep. 2012‎ (CEST))

Zustimmung, die Formel gehört in den Text (da ist sie auch schon). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:26, 15. Sep. 2012 (CEST)

Ok, ich habe die Formel entfernt und das Grün abgedunkelt. --Martin Thoma 21:19, 16. Sep. 2012 (CEST)

Ich fand ehrlich gesagt die kursiven Buchstaben besser. --Digamma (Diskussion) 22:15, 16. Sep. 2012 (CEST)

Ich auch. Andere Frage: Wofür ist eigentlich das $z$? Soll das dem Laien klar machen, dass $x+y$ ebenso eine Größe ist wie $x$ oder $y$? --Chricho ¹ ² ³ 22:22, 16. Sep. 2012 (CEST)

Nach der Dreiecksungleichung ist die Länge der Summe zweier Vektoren höchstens so groß wie die Summe der Längen; Gleichheit gilt genau dann, wenn die Vektoren x und y in die gleiche Richtung zeigen.

Ich finde das $z$ eigentlich auch unnötig. Es scheint - nach einem sehr kurzen Blick in die Stelle des Artikels - auch nicht weiter verwendet zu werden.

Mit kursiven Buchstaben ist das Bild schwerer zu lesen, wenn es relativ klein ist. Ich finde die kursiven Buchstaben auch schöner, aber das liegt vermutlich daran, dass ich inzwischen wohl schon recht stark LaTeX-geschädigt bin :-)

Nach einem Blick in die Vorschau, könnte ich mir vorstellen, dass die 220px auch mit kursiver Schrift für eine gute Lesbarkeit reichen.

Soll ich also das $z$ weg und die Buchstaben wieder kursiv machen?

Grüße, --Martin Thoma 07:01, 17. Sep. 2012 (CEST)

Für diesen Artikel braucht man das z jedenfalls nicht. Was die Schrift betrifft sind mir beide Varianten recht. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:39, 17. Sep. 2012 (CEST)

Ich finde es immer unschön, wenn die Variablen im Text in TeX gesetzt sind und - wie es sich gehört - kursiv, in den Bildern dann aber sansserif und aufrecht. Das ist einer der Hauptgründe, warum mir die Bilder von Martin Thoma gut gefallen: dass die Beschriftung in TeX ist. --Digamma (Diskussion) 20:45, 17. Sep. 2012 (CEST)

Ist jetzt drin. Vielen Dank, --Quartl (Diskussion) 06:05, 18. Sep. 2012 (CEST)

Euklidische Norm

Jungs, in der Formel für die 2-Norm is was falsch: Die Betragsstriche. Wenn ich etwas aus dem R quadriere ist es positiv, da brauch ich keine Betragsstriche mehr. Wenn ich nich im R sondern im C oder so rechne, ist es keine Euklidische Norm mehr sondern eine unitäre. --130.149.58.218 14:30, 19. Dez. 2012 (CET)

Auch im Komplexen wird die 2-Norm „Euklidische Norm“ genannt, siehe Euklidische Norm und die dortige Diskussionsseite. Die Nomenklatur ist aber leider tatsächlich nicht einheitlich. Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:45, 19. Dez. 2012 (CET)

Norm und Spur in der Zahlentheorie

Es fehlt IMHO noch ein Abschnitt über Norm und Spur in Körpererweiterungen zB s. Neukirch Zahlentheorie S. 9 --78.53.184.47 16:43, 31. Dez. 2012 (CET)

Dafür gibt es einen eigenen Artikel Norm (Körpererweiterung), ich habe mal einen Begriffsklärungshinweis angeheftet. Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:54, 31. Dez. 2012 (CET)

Lesenswert?

Also ich finde den Artikel wirklich gelungen; sehr ausführlich, das Fachchinesisch ist nicht sofort überwältigend, sodaß man zumindest am Anfang relativ leicht mitkommt. Die Bilder sind gut, die Verlinkung hervorragend. Kurzum: Meiner Meinung könnte man den Artikel für »lesenswert« vorschlagen. --Lemzwerg (Diskussion) 19:38, 4. Aug. 2013 (CEST)

Hallo Lemzwerg, danke für deine Einschätzung, ich habe mir viel Mühe mit dem Artikel gegeben. Ich selbst bin zwar noch nicht ganz mit dem aktuellen Stand zufrieden (siehe zum Beispiel die Kritik von Frogfol ein paar Abschnitte drüber), aber das größte Problem für eine Lesenswert-Kandidatur sehe ich bei der Allgemeinverständlichkeit. Das ist allerdings bei etwas fortgeschrittenen mathematischen Themen immer der Fall und ein Problem, das mir nicht so einfach lösbar erscheint. Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:10, 4. Aug. 2013 (CEST)

Ein Review könnet bei der Allgemeinverständlichkeit durchaus helfen. Meiner Erfahrung nach wird bei solchen Themen aber auch eine schwerere Verständlichkeit akzeptiert. Schließ kann theoretisch jeder Artikel lesenswert werden.--Christian1985 (Disk) 20:32, 4. Aug. 2013 (CEST)

Ok, ich habe den Artikel nun ins Review gestellt. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:50, 4. Aug. 2013 (CEST)

Äquivalenz

Warum ist bei der Definitheit der Norm kein Äquivalenzpfeil? Luigi173 (Diskussion) 16:35, 23. Okt. 2013 (CEST)

Meinst du im ersten Axiom

• $\|x\|=0\;\Rightarrow \;x=0$ ?

Weil die Umkehrung aus dem zweiten Axiom

• $\|\alpha \cdot x\|=|\alpha |\cdot \|x\|$

folgt ($0=0\cdot x$). --Digamma (Diskussion) 16:51, 23. Okt. 2013 (CEST)

Ja, ich meine das erste Axiom.

Ich sehe nicht wie das aus dem zweiten Axiom folgt. Wenn das reichen würde, hätten wir es doch in der Uni nicht immer in die Definition reingeschrieben und mitüberprüft.

Die Umkehrung wäre doch: $\ x=0\;\Rightarrow \;|x\|=0$ ?

Luigi173 (Diskussion) 13:07, 30. Okt. 2013 (CEST)

Ausführlich: $x=0\Rightarrow \|x\|=\|0\|=\|0\cdot 0\|=0\cdot \|0\|=0$. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:58, 30. Okt. 2013 (CET)

Danke!

Luigi173 (Diskussion) 20:32, 30. Okt. 2013 (CEST)

Review vom 4. August bis 1. November 2013

Eine Norm (von lateinisch norma „Richtschnur“) ist in der Mathematik eine Abbildung, die einem mathematischen Objekt, beispielsweise einem Vektor, einer Matrix, einer Folge oder einer Funktion, eine Zahl zuordnet, die auf gewisse Weise die Größe des Objekts beschreiben soll. Die konkrete Bedeutung von „Größe“ hängt dabei vom betrachteten Objekt und der verwendeten Norm ab, beispielsweise kann eine Norm die Länge eines Vektors, den größten Singulärwert einer Matrix, die Variation einer Folge oder das Maximum einer Funktion darstellen. Eine Norm wird durch zwei senkrechte Striche $\|\cdot \|$ links und rechts des Objekts symbolisiert.

Nachdem ich wiederholt aufgefordert wurde, diesen mathematischen Artikel als lesenswerten Artikel kandidieren zu lassen, möchte ich ihn gerne als ersten Schritt ins Review stellen. Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:47, 4. Aug. 2013 (CEST)

Ich habe den Artikel mal durchgeschaut, einige Kleinigkeiten:

• Einleitung und Definition: "Formal ist eine Norm eine Abbildung, die einem Element eines Vektorraums über den reellen oder komplexen Zahlen" - wirklich nur reelle oder komplexe Zahlen?
• "erhält man einen normierten Raum mit weitgehenden Eigenschaften" (unter Einleitung und weiterführende Begriffe) - was sind weitgehende Eigenschaften? Kann man nicht zu jedem Objekt eine unendliche Liste an Eigenschaften finden?
• Beim ersten Bild würde ich eher eine Kugel erwarten (ggf. zusammen mit einer anderen Norm)
• "Das heute übliche Normsymbol wurde erstmals von Erhard Schmidt 1908 als Abstand ||x−y|| zwischen Vektoren x und y verwendet" - Abstand zwischen Vektoren?
• Das Beispiel der euklidischen Norm hängt irgendwo zwischen der Definition und der Erklärung der Definition.
• "was durch Anwendung [...] ersichtlich ist" - würde ich generell eher als "gezeigt werden kann" oder sowas schreiben. Sofort ersichtlich ist das für die meisten Leser wohl nicht.
• "so nennt man die entstehenden Mengen Einheitskugeln bzw. Einheitssphäre" wieso einmal Plural und einmal Singular?
• "Eine Norm lässt sich zumindest in endlichdimensionalen Vektorräumen auch über die zugehörige Normkugel definieren" - geht es in unendlichdimensionalen VR oder nicht? Der Satz lässt die Frage offen
• Kleine Verständnisfrage zum semi-inneren Produkt, weil das hier schneller gesehen wird als auf der dortigen Disk: Wie kann bei "Definition" Punkt 1 ein einzelnes x abgebildet werden? Müsste dort nicht ein Element aus VxV stehen?
• "Die Operatornormen sind sogar unter allen mit einer Vektornorm verträglichen Matrixnormen jeweils die kleinsten." - was heißt "die kleinsten"? Wenn es um den numerischen Wert von ||A|| geht: Ich kann jede Norm mit einem beliebigen konstanten Faktor skalieren. Ergibt zwar keinen Sinn, aber es kommt wieder eine Norm heraus. Die Formel wirkt auf den ersten Blick so als lege sie die Norm fest - wenn danach von Beispielen die Rede ist, sollte vielleicht erwähnt werden, dass diese Formel sich für jede beliebige Vektornorm anwenden lässt.
• Äquivalente Normen hätte ich etwas früher erwartet. "Auf endlichdimensionalen Vektorräumen sind alle Normen zueinander äquivalent, da die Normkugeln dann kompakte Mengen sind" - wieso wurde die Kompaktheit weiter oben nicht erwähnt?
• "Eine Funktion ist genau dann von beschränkter Variation, wenn sie sich als Summe einer monoton steigenden und einer monoton fallenden Funktion darstellen lässt" - muss das Intervall dazu nicht abgeschlossen sein?

Generell:

Sehr viele kleine Abschnitte. Es ist ein Übersichtsartikel der auf xx weiterführende Artikel verweist, ok. Aber irgendwie wirkt es damit etwas wie ein Glossar oder eine Formelsammlung und nicht wie ein einziger Artikel. "Anwendungen" von Normen wären interessant, auch wenn ich weiß das sowas schwer zu schreiben ist. --mfb (Diskussion) 00:09, 5. Aug. 2013 (CEST)

Wow, das ging ja schnell! Vielen Dank für dein Review, ich werde voraussichtlich heute abend auf deine vorgebrachten Punkte eingehen können. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 08:34, 5. Aug. 2013 (CEST)

So, hier meine Antworten:

• Definition: Ja, wirklich nur reelle oder komplexe Zahlen. Was man braucht ist einen Betrag (für die absolute Homogenität) und die Vollständigkeit des Körpers (für die weitere Analysis). Entsprechende Verallgemeinerungen unter anderem auf andere Körper führen dann in die Bewertungstheorie.
• Weitgehende Eigenschaften: Das ist eine richtige Anmerkung. Gemeint sind für die Analysis wichtigen Eigenschaften. Ich habe das Wort weitgehend entsprechend ersetzt.
• Eingangsbild: Ja und Nein. Die Euklidische Norm ist zwar eine wichtige Norm, der zentrale Punkt von Normen ist aber, dass man eben nicht auf ein Skalarprodukt angewiesen ist. Evtl. könnte man 1-, 2- und Maximumsnorm in einem Bild darstellen, aber das kann auch schnell unübersichtlich werden und durchsichtige Kugeln sind schwer zu zeichnen.
• Abstand: Ja, wenn man einen Vektor als (abstraktes) Element eines Vektorraums ansieht. Im euklidischen Raum ist der Abstand zweier Vektoren die Länge des Differenzvektors.
• Beispiel: Habe ich nun abgetrennt. An der Formatierung dieses Absatzes habe ich in der Vergangenheit schon viel rumprobiert.
• Ersichtlich: Danke für den Hinweis, manchmal vergisst man das als Mathematiker, für den alles trivial ist, sobald es bewiesen wurde ;-).
• Einheitskugeln: Ja, einmal offen und einmal abgeschlossen (siehe drüber). Ich habe aber den Plural entfernt.
• Zumindest: Das ist eine nicht ganz so leicht zu beantwortende Frage. Die als Minkowski-Funktional bzgl. einer Menge $K$ definierte Norm ist $\|v\|_{K}=\inf\{\lambda >0\mid \lambda v\in K\}$. Damit dieses Infimum in unendlichdimensionalen Vektorräumen existiert, braucht man noch zusätzliche Eigenschaften. Ich habe das zumindest gestrichen (siehe auch den Punkt Äquivalenz unten).
• Semi-inneres Produkt: Das ist eine andere Funktion und in dem Artikel evtl. etwas verwirrend aufgeschrieben. Gemeint ist: $[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$ und $[\lambda x,z]=\lambda [x,z]$, also Linearität im ersten Argument.
• Verträglichkeit: Du kannst eine Norm zwar beliebig skalieren, das ist richtig, aber irgendwann verlierst du die Verträglichkeit. Gemeint ist: Betrachtet man alle Matrixnormen, die mit einer gegebenen Vektornorm verträglich sind, dann ist die Operatornorm die mit dem kleinsten numerischen Wert. Ich habe den Satz etwas umformuliert.
• Äquivalenz: Weil die Äquivalenz in endlichdimensionalen Vektorräumen keine Rolle spielt, da dort alle Normen zueinander äquivalent sind. Der Aufbau des Artikels ist wie folgt: Kapitel 1+2 bezieht sich vor allem auf den endlichdimensionalen Fall, während Kapitel 3+4 sich dann vor allem auf den unendlichdimensionalen Fall behandeln. Vielleicht sollte ich das noch stärker herausstellen.
• Beschränkte Variation: Das Intervall $[a,b]$ ist doch abgeschlossen. Ich habe es aber sicherheitshalber nochmal dazugeschrieben.
• Generell: Anwendungen werde ich noch versuchen zu ergänzen. Mit den vielen kleinen Abschnitten hast du aber sicher recht. Der Artikel ist ein Übersichtsartikel (übrigens der einzige, den man in dieser Ausführlichkeit findet). Zum endlichdimensionalen Fall sind mittlerweile einige eigene Artikel zu Normen entstanden, siehe Kategorie:Norm (Mathematik). Für den unendlichdimensionalen Fall ist dieser Prozess aber noch nicht so fortgeschritten, sodass sich einige Informationen nur in diesem Artikel finden und entsprechend schlecht zusammenfassbar sind. Ich selbst bin mit dem ersten Teil (Kapitel 1-3) mittlerweile recht zufrieden, der zweite Teil (Kapitel 4-5) kann aber sicher noch weiter verbessert werden.

Jedenfalls vielen Dank für das Review und deine Bereitschaft, sich mit dieser doch recht schweren Kost zu beschäftigen. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 09:20, 6. Aug. 2013 (CEST)

Eingangsbild: Die euklidische Norm wird für die meisten Leser sicher die wichtigste sein, und die Kugel lässt sich leicht erkennen (kann in einen Würfel einbeschrieben sein, dann muss sie nicht transparent sein).

Äquivalenz: Ich finde diese Äquivalenz für den endlichdimensionalen Fall sogar sehr wichtig - gerade weil dort alle Normen äquivalent sind, was doch ein erstaunliches Resultat ist. --mfb (Diskussion) 10:28, 6. Aug. 2013 (CEST)

Ich würde im ersten Beispiel zur Norm den Satz zur absoluten Homogenität zwecks größerer Exaktheit folgendermaßen umformulieren: statt "... wenn jede Komponente eines Vektors mit einer Zahl multipliziert wird, ...", würde ich schreiben: "... wenn jede Komponente eines Vektors mit der gleichen Zahl multipliziert wird, ..." Grüße --Oskar71 (Diskussion) 19:04, 9. Aug. 2013 (CEST)

Ich denke man könnte/sollte dem Artikel noch ein paar EN spendieren und auch die Literaturangaben könnten noch verbessert werden (bessere Auswahl/weniger Redundanz und Seitenangaben). Ich fände es sinnvoll wenn möglichst jeder Abschnitt/jedes Kapitel/jede Norm am Ende einen Literaturverweis als EN besitzt, denn der Artikel einhält sehr viele unterschiedliche Normen und Aspekte, die man meist nicht in einem einzelnen Buch findet (jedenfalls nicht in den angegeben Lineare-Algebra-Büchern). Dadurch ist es für Leser ohne die Verwendung von EN dann zunächst unklar, woher die Informationen aus einem bestimmten Abschnitt stammen. Des Weiteren werden mehr EN vermutlich ohnehin verlangt werden, wenn der Artikel irgendwann einen Lesenswert oder Exzellent-Status erhalten soll.--Kmhkmh (Diskussion) 22:25, 31. Okt. 2013 (CET)

Ja, da hast du recht – wird gemacht. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 06:12, 1. Nov. 2013 (CET)

"Absolut homogen"

Heißt die zweite Eigenschaft wirklich "absolute Homogenität"? Das klingt für mich so, als wäre es eine stärkere Aussage als Homogenität. Im verlinkten Artikel Homogene Funktion kommt der Begriff auch gar nicht vor, sondern nur die "positive Homogenität". --Digamma (Diskussion) 19:30, 25. Okt. 2014 (CEST)

Da ist schon ein kleiner aber feiner Unterschied. Für reelle Funktionen hat man zum Beispiel:

• homogen: $f(\alpha x)=\alpha f(x)$ für alle $\alpha \in \mathbb {R}$
• positiv homogen: $f(\alpha x)=\alpha f(x)$ für alle $\alpha \in \mathbb {R} ^{+}$
• absolut homogen: $f(\alpha x)=|\alpha |f(x)$ für alle $\alpha \in \mathbb {R}$

Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:47, 25. Okt. 2014 (CEST)

Danke. In der Sache ist das klar. Ich kann aber die Bezeichnungen "absolut homogen" und "absolute Homogenität" nirgendwo finden. --Digamma (Diskussion) 20:15, 25. Okt. 2014 (CEST)

Das ist schon ein Standardbegriff, siehe z.B. Google Books. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 20:33, 25. Okt. 2014 (CEST)

Das sind gerade mal 4 Treffer und alles nicht gerade Standardwerke. --Digamma (Diskussion) 09:32, 26. Okt. 2014 (CET)

Die Google-Suche ist offenbar nicht ganz vollständig [2], ich kann aber auch in der Bibliothek noch weiter recherchieren. Es gibt auch Autoren, die für die Eigenschaft den Begriff „positive Homogenität“ verwenden [3] [4] [5] [6] [7]. Andere Autoren verwenden jedoch den Begriff „positive Homogenität“ so wie wir [8] [9] [10]. Wieder andere Autoren nennen die Eigenschaft nur „Homogenität“ [11] [12] [13] [14] [15], was ebenfalls im Widerspruch zu der anderen Definition steht [16] [17] [18]. Mal wieder schön zu sehen, wie wenig sich Mathematiker manchmal einig sind. Ich finde, gerade im Hinblick auf obige Gegenüberstellung ist "absolute Homogenität" der am wenigsten missverständliche Begriff. Was stört dich denn daran? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:50, 26. Okt. 2014 (CET)

Die Bezeichnung "absolut homogen" klingt für mich wie eine Steigerung von "homogen", so wie "absolut stetig" eine Verschärfung von "stetig" ist. Man könnte auch denken, es gäbe daneben ein "relativ homogen". Ich weiß allerdings auch keine bessere Bezeichnung. Mir ist klar, dass "positiv homogen", wie viele Autoren die Eigenschaft nennen, nicht ganz treffend ist, da damit "eigentlich" die Eigenschaft $f(rx)=rf(x)$ für $r>0$ gemeint ist. Bei Vektorräumen über \C kommt man sowieso nicht um den Betrag herum, "positiv" ergibt dort wenig Sinn.

Ich habe nur öfter mal Befürchtungen, dass wir hier Dinge erfinden, die sich dann außerhalb der Wikipedia verbreiten. Da es tatsächlich Treffer bei Google Books gibt, und insbesondere solche, die älter sind als das Auftreten im Wikipedia-Artikel, dürfte meine Furcht aber hier unbegründet sein. --Digamma (Diskussion) 19:33, 26. Okt. 2014 (CET)

Subadditivität

Im Artikel steht in der Definition, dass Normen die Eigenschaft "Subadditivität oder Dreiecksungleichung" erfüllen müssen. Im Artikel Additivität#Beispiele steht "Gemäß der Dreiecksungleichung sind Normen und Beträge stets subadditiv.".

Sollte man hier im Artikel "Norm" nur die Dreiecksungleichung nennen oder im Artikel "Additivität" schreiben

Definitionsgemäß sind Normen stets subadditiv.

Viele Grüße, --Martin Thoma 15:49, 8. Sep. 2015 (CEST)

Subadditivität und die Gültigkeit der Dreiecksungleichung sind dasselbe. Die Formulierung in Additivität kannst du aber gerne abändern. Die Tabellenformatierung finde ich übrigens nicht so günstig, da sie weniger barrierefrei ist. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 16:41, 8. Sep. 2015 (CEST)