Carmichael-Zahl

Eine natürliche Zahl heißt Carmichael-Zahl, benannt nach dem Mathematiker Robert Daniel Carmichael, wenn sie eine fermatsche Pseudoprimzahl bezüglich aller zu ihr teilerfremden Basen ist. Carmichael-Zahlen spielen eine Rolle bei der Analyse von Primzahltests.

Jede Carmichael-Zahl ist quadratfrei und das Produkt mindestens dreier Primzahlen. Die kleinste Carmichael-Zahl ist die Zahl 561 = 3·11·17. Im Jahr 1994 bewiesen Carl Pomerance, W. R. Alford und Andrew Granville die Existenz unendlich vieler Carmichael-Zahlen.

Es ist einfach, eine Carmichael-Zahl zu erkennen, wenn man ihre Primfaktorzerlegung kennt. Dies ist dem Satz von Korselt zu verdanken (siehe weiter unten). Es ist auch relativ einfach, Carmichael-Zahlen zu erzeugen, zumal Algorithmen wie der nach J. Chernick existieren. Problematisch ist es aber – gerade bei großen Zahlen – zu erkennen, ob es sich bei einer Zahl um eine Carmichael-Zahl handelt. Diese Schwierigkeit haben die Carmichael-Zahlen mit den Primzahlen gemeinsam, denn entweder man führt eine Faktorisierung durch, oder man wendet den kleinen fermatschen Satz auf die Zahl an, wobei man für die Basen, die nicht auf eine Primalität weisen und die bei Primzahlen nicht vorkommen, auf Teilbarkeit testen muss. In der Praxis wird das Unterscheiden einer unzerlegten Carmichael-Zahl von einer Primzahl dadurch erleichtert, dass es keine starken Carmichael-Zahlen gibt. Man kann zu jeder Carmichael-Zahl $n$ stets eine teilerfremde Basis $a$ finden, so dass die Primzahleigenschaft $a^{(n-1)/2}\equiv \left({\tfrac {a}{n}}\right){\pmod {n}}$ (unter Verwendung des Jacobi-Symbols und der Schreibweise für Kongruenz) verletzt ist.

Definition

Definition
Eine zusammengesetzte natürliche Zahl $n$ heißt Carmichael-Zahl, falls für alle zu $n$ teilerfremden Zahlen $a,$ hier „Basis“ genannt, die folgende Kongruenz erfüllt ist:

$a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$ .

Beispiel
Wie erwähnt, ist $n:=561=3\cdot 11\cdot 17$ die kleinste Carmichael-Zahl. Für alle Basen $a,$ die keinen Primfaktor mit $n$ gemeinsam haben, gilt nämlich $a^{n-1}\equiv 1{\pmod {n}}$.

561 ist durch 3, 11, 17, 33, 51 und 187 teilbar. Für diese Teiler gilt die Kongruenz jedoch nicht: 3⁵⁶⁰ ≡ 375 mod 561, 11⁵⁶⁰ ≡ 154 mod 561, 17⁵⁶⁰ ≡ 34 mod 561 usw.

Satz von Korselt

Bereits im Jahr 1899 bewies Alwin Reinhold Korselt folgenden Satz:

Eine natürliche Zahl $n$ ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn sie nicht prim und quadratfrei ist und für alle ihre Primteiler $p$ gilt, dass $p-1$ die Zahl $n-1$ teilt.

Verschärfung
Aufgrund der Identität $n-1={\frac {n}{p}}-1+(p-1){\frac {n}{p}}$ gilt für jeden Primteiler $p$ einer natürlichen Zahl $n$:

$n-1\equiv {\frac {n}{p}}-1{\pmod {p-1}}.$

Somit lässt sich der zweite Teil von Korselts Satz auch formulieren als: Eine Zahl $n$ ist genau dann eine Carmichael-Zahl, wenn für jeden ihrer Primteiler gilt: $p-1$ teilt ${\frac {n}{p}}-1$.

Carmichael hat dann 1910 mit 561 die erste Zahl gefunden, die den Eigenschaften des Theorems von Korselt entspricht.

Die Folge der Carmichael-Zahlen

Carmichael-Zahlen haben mindestens drei Primfaktoren, davon keinen doppelt. Wie in der Einleitung erwähnt, weiß man seit 1994, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt.

Die Tabelle zeigt die Carmichael-Zahlen (Folge A002997 in OEIS) unterhalb 100000 und bringt sie mit der Carmichael-Funktion $\lambda$ und der Eulerschen $\varphi$-Funktion in Beziehung.

Carmichael-Zahl $n$	Primfaktoren	$\lambda (n)$	$(n-1)/\lambda (n)$	$\varphi (n)$	$\varphi (n)/\lambda (n)$
561	3⋅11⋅17	80	7	320	4
1105	5⋅13⋅17	48	23	768	16
1729	7⋅13⋅19	36	48	1296	36
2465	5⋅17⋅29	112	22	1792	16
2821	7⋅13⋅31	60	47	2160	36
6601	7⋅23⋅41	1320	5	5280	4
8911	7⋅19⋅67	198	45	7128	36
10585	5⋅29⋅73	504	21	8064	16
15841	7⋅31⋅73	360	44	12960	36
29341	13⋅37⋅61	180	163	25920	144
41041	7⋅11⋅13⋅41	120	342	28800	240
46657	13⋅37⋅97	288	162	41472	144
52633	7⋅73⋅103	1224	43	44064	36
62745	3⋅5⋅47⋅89	2024	31	32384	16
63973	7⋅13⋅19⋅37	36	1777	46656	1296
75361	11⋅13⋅17⋅31	240	314	57600	240

Erzeugung von Carmichael-Zahlen

Methode von Chernick

J. Chernick fand 1939 ein relativ einfaches System, um Carmichael-Zahlen zu konstruieren:

Falls die drei Zahlen $6m+1,12m+1$ und $18m+1$ Primzahlen sind, so ist ihr Produkt $(6m+1)(12m+1)(18m+1)$ eine Carmichael-Zahl.

Beispielsweise hat 1729 = 7·13·19 diese Struktur. Interessant ist, dass die Carmichael-Zahl 172081 = 31·61·91 die Bedingung „fast erfüllt“: 91 ist nicht prim, aber fermatsche Pseudoprimzahl zur Basis 3.

Methode von Michon

Gérard P. Michon fand eine ähnliche Methode, um Carmichael-Zahlen zu konstruieren:

Wenn $m\equiv 326{\pmod {616}}$ und die drei Zahlen $7m+1,8m+1$ und $11m+1$ Primzahlen sind, so ist ihr Produkt $(7m+1)(8m+1)(11m+1)$ eine Carmichael-Zahl.

$m$ muss dann durch 3 teilbar sein, da sonst einer der drei Faktoren durch 3 teilbar ist.
Beispiel: für $m=24966$ sind die drei Zahlen $174763,199729$ und $274627$ prim und ihr Produkt ist eine Carmichael-Zahl.
Eine mit dieser Methode erzeugte Carmichael-Zahl mit 1000 Stellen ist

$(12936\cdot 10^{329}-59827428149)\cdot (14784\cdot 10^{329}-68374203599)\cdot (20328\cdot 10^{329}-94014529949).$

Neuere Konstruktionen

Basierend auf einer Idee von Paul Erdős können mit Hilfe gruppentheoretischer Überlegungen und moderner Computer-Algorithmen weitaus größere Carmichael-Zahlen konstruiert werden. Im Juli 2012 wurde nach weitgehendem Ausreizen bereits bekannter Verfahren eine Carmichael-Zahl mit mehr als 10 Milliarden Primfaktoren und fast 300 Milliarden Dezimalstellen vorgestellt.

Asymptotische Anzahl

Erdős vermutete bereits 1956, dass es unendlich viele Carmichael-Zahlen gibt, und dass für ihre Anzahl $C(x)$ unterhalb einer Schranke $x$ kein Exponent $a<1$ existiert mit $C(x)<x^{a}$ bei beliebig großem $x$.

Der Beweis von Alford/Granville/Pomerance liefert die untere Abschätzung der Anzahlfunktion $C(x)>x^{2/7}$ für alle hinreichend großen $x$. Dieses Ergebnis wurde im Jahr 2005 verbessert zu $C(x)>x^{0.33}$ für hinreichend große $x$. Rechnungen bis $x=10^{15}$ legen ein Wachstum mit der unteren Abschätzung $x^{1/3}$ nahe, so dass Daniel Shanks überzeugt war, $x^{1/2}$ sei eine sehr sichere obere Abschätzung für die Anzahlfunktion. Er ließ sich jedoch durch Diskussion mit den genannten Autoren davon überzeugen, dass die Vermutung von Erdös der wahren Asymptotik entsprechen könnte. Im Jahre 2002 publizierten Granville und Pomerance eine Analyse der Verteilung der Carmichael-Zahlen anhand weiterer plausibler und begründeter Vermutungen, die ein Ergebnis (keinen Beweis) sowohl entsprechend dem Argument von Erdős als auch im Einklang mit den empirischen Resultaten für kleine $x$ lieferte und so den von Shanks hervorgehobenen scheinbaren Widerspruch auflöste.

Literatur

• Paulo Ribenboim: The New Book of Prime Number Records. 3rd edition. Springer, New York NY u. a. 1996, ISBN 0-387-94457-5.
• Richard Crandall, Carl Pomerance: Prime Numbers. A Computational Perspective. Springer, New York NY u. a. 2001, ISBN 0-387-94777-9.

Siehe auch

• Lucas-Carmichael-Zahl
• Knödel-Zahl

Weblinks

Wikibooks: Tabelle von Carmichael-Zahlen – Lern- und Lehrmaterialien

• Eric W. Weisstein: "Carmichael number" (MathWorld)
• G. J. O. Jameson: Finding Carmichael numbers. (PDF-Datei; 128 kB) und Carmichael numbers with three prime factors. (pdf, engl.; 211 kB)

V – D

Primzahl­mengen