Wienerprozess

Zwei Beispielpfade eines Standard-Wienerprozesses

Ein Wienerprozess (nach dem US-amerikanischen Mathematiker Norbert Wiener) ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der normalverteilte, unabhängige Zuwächse hat. Er stellt ein mathematisches Modell für die brownsche Bewegung dar und wird deswegen selbst häufig als „brownsche Bewegung“ bezeichnet.

Seit der Einführung der stochastischen Analysis durch Itō Kiyoshi in den 1940er Jahren spielt der Wienerprozess die zentrale Rolle im Kalkül der zeitstetigen stochastischen Prozesse und dient in vielen Gebieten der Natur- und Wirtschaftswissenschaften als Grundlage zur Modellierung zufälliger Entwicklungen.

Geschichte

Thorvald N. Thiele

Datei:Louis Bachelier.jpg

Louis Bachelier

1827 beobachtete der schottische Botaniker Robert Brown unter dem Mikroskop, wie Pflanzenpollen sich in einem Wassertropfen unregelmäßig hin- und herbewegten (daher der Name brownsche Bewegung).

1880 beschrieb der Statistiker und Astronom Thorvald Nicolai Thiele (1838–1910) in Kopenhagen erstmals einen solchen „Prozess“ (die Theorie der stochastischen Prozesse war damals noch nicht entwickelt), als er wirtschaftliche Zeitreihen und die Verteilung von Residuen bei der Methode der kleinsten Quadrate studierte. 1900 griff der französische Mathematiker Louis Bachelier (1870–1946), ein Schüler Henri Poincarés, Thieles Idee auf, als er versuchte, die Kursbewegungen an der Pariser Börse zu analysieren. Beide Ansätze hatten letztendlich nur geringen Einfluss auf die zukünftige Entwicklung des Prozesses, zum Teil wohl, weil Finanzmathematik damals eine untergeordnete Rolle in der Mathematik spielte; heute jedoch gilt sie als Hauptanwendungsgebiet von Wienerprozessen. Dennoch bevorzugte z. B. der Stochastiker William Feller die Bezeichnung Bachelier-Wiener-Prozess.

Der Durchbruch kam, als Albert Einstein 1905 in seinem annus mirabilis, offenbar ohne Kenntnis von Bacheliers Arbeiten, und unabhängig von ihm Marian Smoluchowski 1906 den Wienerprozess in seiner heutigen Gestalt definierte. Einsteins Motivation war es, die Bewegung der brownschen Partikel durch die molekulare Struktur des Wassers zu erklären – ein Ansatz, der damals äußerst kontrovers war, heute aber unbestritten ist – und diese Erklärung mathematisch zu untermauern. Interessanterweise forderte er dabei eine weitere, physikalisch sinnvolle Eigenschaft, die Rektifizierbarkeit der Zufallspfade, nicht für sein Modell. Obwohl dies bedeutet, dass die Partikel in jeder Sekunde eine unendlich lange Strecke zurücklegen (was das gesamte Modell theoretisch disqualifiziert), bedeutete der einsteinsche Ansatz den Durchbruch sowohl für die molekulare Theorie als auch für den stochastischen Prozess.

Einen Beweis für die wahrscheinlichkeitstheoretische Existenz des Prozesses blieb Einstein allerdings schuldig. Dieser gelang erst 1923 dem US-amerikanischen Mathematiker Norbert Wiener, der dabei neue Hilfsmittel von Lebesgue und Borel auf dem Gebiet der Maßtheorie nutzen konnte. Dennoch war sein Beweis so lang und kompliziert, dass ihn wohl nur eine Handvoll Zeitgenossen verstehen konnten. Von Itō Kiyoshi ist überliefert, dass er einige seiner größten Fortschritte bei der Entwicklung des stochastischen Integrals bei dem Versuch erreichte, Wieners Arbeit nachzuvollziehen.

Letztendlich war es auch Itō, der dem Wienerprozess den Weg von der Physik in andere Wissenschaften ebnete: Durch die von ihm aufgestellten stochastischen Differentialgleichungen konnte man die brownsche Bewegung an mehr statistische Probleme anpassen. So löst die aus einer stochastischen Differentialgleichung abgeleitete geometrische brownsche Bewegung das Problem, dass der Wienerprozess, unabhängig von seinem Startwert, im Laufe der Zeit fast sicher einmal negative Werte erreicht, was für Aktien unmöglich ist; Bacheliers Ansatz war daran letztendlich noch gescheitert. Seit der Entwicklung des berühmten Black-Scholes-Modells gilt die geometrische brownsche Bewegung daher als Standard.

Das von den nicht rektifizierbaren Pfaden des Wienerprozesses aufgeworfene Problem bei der Modellierung brownscher Pfade führt zum Ornstein-Uhlenbeck-Prozess und macht ebenfalls den Bedarf einer Theorie der stochastischen Integration und Differentiation deutlich – hier wird nicht die Bewegung, sondern die Geschwindigkeit des Teilchen als ein nicht rektifizierbarer vom Wienerprozess abgeleiteter Prozess modelliert, aus dem man rektifizierbare Teilchenpfade durch Integration erhält.

Heute werden in praktisch allen Natur- und vielen Sozialwissenschaften brownsche Bewegungen und verwandte Prozesse als Hilfsmittel verwendet.

Definition

Ein Wienerprozess ist ein zeitstetiger stochastischer Prozess, der normalverteilte, unabhängige Zuwächse hat:
Ein stochastischer Prozess $(W_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ heißt (Standard-)Wienerprozess, wenn folgende vier Bedingungen gelten:

1. $W_{0}=0$ (P-fast sicher).
2. Für gegebene Zeitpunkte $0\leq t_{0}<t_{1}<t_{2}<\dotsb <t_{m}$ sind die Zuwächse $W_{t_{1}}-W_{t_{0}},W_{t_{2}}-W_{t_{1}},\dotsc ,W_{t_{m}}-W_{t_{m-1}}$ stochastisch unabhängig. Der Wienerprozess hat also unabhängige Zuwächse.
3. Für alle $0\leq s<t$ gilt $W_{t}-W_{s}\;\sim \;{\mathcal {N}}\left(0,t-s\right)$. Die Zuwächse sind also stationär und normalverteilt mit dem Erwartungswert null und der Varianz $t-s$.
4. Die einzelnen Pfade sind (P-)fast sicher stetig.

Der vierte Punkt kann auch aus der Definition insofern gestrichen werden, als sich mit dem Stetigkeitssatz von Kolmogorow-Tschenzow zeigen lässt, dass es unter den o. g. Voraussetzungen immer eine fast sicher stetige Version des Prozesses gibt.

Alternativ lässt sich ein Wienerprozess $(W_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}$ nach Paul Lévy durch folgende zwei Eigenschaften charakterisieren:

1. $W_{t}$ ist ein stetiges lokales Martingal mit $W_{0}=0$.
2. ${W_{t}}^{2}-t$ ist ein Martingal.

Eigenschaften

Einordnung

• Der Wienerprozess zählt zur Familie der Markowprozesse und dort speziell zur Klasse der Lévyprozesse. Außerdem erfüllt er die starke Markoweigenschaft.
• Der Wienerprozess ist ein spezieller Gaußprozess mit der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion $f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}$, der Erwartungswertfunktion $\operatorname {E} (W_{t})=0$, der Varianz $\operatorname {Var} (W_{t})=t$, der Kovarianzfunktion $\operatorname {Cov} (W_{s},W_{t})=\min(s,t)$ und der Korrelation $\operatorname {Korr} (W_{s},W_{t})={\frac {\operatorname {Cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {\min(s,t)}{\sqrt {st}}}=\min \left({\sqrt {\frac {s}{t}}},{\sqrt {\frac {t}{s}}}\right)$.
• Der Wienerprozess ist ein Martingal. Ist also $({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0}$ die von $(W_{t})_{t\geq 0}$ erzeugte Filtrierung, dann gilt für die bedingte Erwartung $E(W_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s})=W_{s}$ für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \leq s < t} .
• Der Wienerprozess ist ein Lévyprozess mit stetigen Pfaden und konstantem Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} .

Eigenschaften der Pfade

• Die Pfade eines Wienerprozesses sind fast sicher an keiner Stelle differenzierbar (Satz von Paley-Wiener-Zygmund) und fast sicher nicht rektifizierbar. Betrachtet man die Menge der nirgends-differenzierbaren Pfade in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,n)} , so erhält man eine Menge, von der man nicht weiß, ob sie messbar ist. Allerdings wurde 1961 von Dvoretzky-Erdős-Kakutani eine Beweismöglichkeit der Nirgends-Differenzierbarkeit geliefert, bei der man ein Gitter von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1/k,\dots,kd/k} über die brownsche Bewegung konstruiert und zeigt, dass die Menge der differenzierbaren Pfade in

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bigcup\limits_{K=1}^{\infty}\bigcup\limits_{m=1}^{\infty}\bigcap\limits_{n=m}^{\infty}\bigcup\limits_{j=1}^{nd} \bigcap\limits_{i=j+1}^{j+3}\{|W(\tfrac{i}{n})-W(\tfrac{i-1}{n})|\leq 7K/n\},\quad j=1,\dots,dk}

enthalten ist. Diese Menge besitzt als äußeres Maß den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} .

• Die Pfade haben in jedem Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [s,t] \subset \R_{+} } fast sicher unendliche Variation.
• Für die quadratische Variation gilt fast sicher Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [W, W]_t = \langle W, W \rangle_t = t} .
• Über Asymptotik im Unendlichen und um den Nullpunkt geben die Gesetze des iterierten Logarithmus Auskunft.
• Für einen Wienerprozess Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (W_t)_{t\geq0}} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \limsup_{h\rightarrow 0}\left(\frac{\sup_{t\in[0,h]}|W_{t+h}-W_t|}{(2h \log(\frac{1}{h}))^{\frac{1}{2}}}\right) = 1}

fast sicher. Damit sind die Pfade des Wienerprozesses insbesondere hölderstetig zum Exponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha<\frac{1}{2}} , jedoch nicht für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha=\frac{1}{2}} .

Selbstähnlichkeiten, Reflexionsprinzip

• Auch das Negative eines Standard-Wienerprozesses, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-W_t), \;t\ge0,} ist ein Standard-Wienerprozess. Allgemeiner gilt auch das Reflexionsprinzip: Ein an einer beliebigen Stoppzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} gespiegelter Wienerprozess ist wieder ein Wienerprozess. Der gespiegelte Prozess Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{W}_t} ist dabei wie folgt definiert: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{W}_t(\omega)=W_t(\omega)} falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\le \tau(\omega)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{W}_t(\omega)=2W_{\tau(\omega)}(\omega)-W_t(\omega)} falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t >\, \tau(\omega)} .
• Der Wienerprozess ist selbstähnlich unter Streckung der Zeitachse, d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t=\tfrac{1}{\sqrt{\alpha}} \cdot W_{\alpha \cdot t}} ist für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha > 0 } ein Standard-Wienerprozess.
• Inversion der Zeitachse: auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t=t W_{\frac{1}{t}} } ist ein Standard-Wienerprozess
• Verschiebung der Zeitachse: Für jedes deterministische Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s\ge 0 } ist der stochastische Prozess Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t=W_{t+s}-W_s} ebenfalls ein Wienerprozess; hier werden die Zuwächse vom Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} an betrachtet, d. h. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} erfüllt die schwache Markoweigenschaft.

Wiener-Maß

Eine Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_t:E^T\to E:Y\mapsto Y_t(\omega)=\omega(t)} nennt man Koordinaten-Abbildung. Der durch zugehörige Prozess Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=(Y_t)_{t\in T}} heißt Koordinaten-Prozess.

Das eindeutige Bildmaß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W^{\#}P} für den Wienerprozess Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W:\Omega\to C_0(\mathbb{R}_+,\mathbb{R}^d)} auf dem Wienerraum, einer unendlichdimensionalen Sphäre im Funktionenraum der stetigen Funktionen, nennt man Wiener-Maß, wenn der Koordinaten-Prozess eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d} -dimensionale Standard-Brownsche-Bewegung ist.

Generator

Eine brownsche Bewegung auf der Kugel. Der Generator dieses Prozesses ist ½ mal der Laplace-Beltrami-Operator auf einer Mannigfaltigkeit, hier einer Kugeloberfläche.

Für den Generator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} eines eindimensionalen Standard-Wienerprozesses gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A f(x) = \lim\limits_{t\downarrow 0} \frac{E(f(x+W_t)) - f(x)}{t} = \frac{1}{2}f''(x)} ,

das heißt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ist ½ mal der Operator der zweiten Ableitung. Allgemeiner ist der Generator eines mehrdimensionalen Wienerprozesses ½ mal der Laplaceoperator. Diese Beziehung kann verwendet werden, um Wienerprozesse auch auf anderen Mannigfaltigkeiten wie z. B. auf einer Kugel (siehe Bild) zu definieren, nämlich als Markowprozess mit dem Laplace-Beltrami-Operator als Generator.

Verallgemeinerter Wienerprozess

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (W_t) } ein Standard-Wienerprozess, so nennt man den stochastischen Prozess

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t= \mu t +\sigma W_t}

brownsche Bewegung mit Drift Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} und Volatilität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} . Damit lassen sich auch stochastische Prozesse darstellen, die tendenziell eher fallen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu<0} ) oder tendenziell eher steigen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu>0} ). Dabei gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t -X_s \sim \mathcal{N}\left(\mu (t-s), \sigma^2 \left(t-s\right) \right)} .

Auch allgemeine Wienerprozesse sind Markow- und Lévyprozesse, aber die Martingaleigenschaft gilt nur noch in abgeschwächter Form:

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu \leq 0} , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t} ein Supermartingal, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu \geq 0} , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t} ein Submartingal. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu=0} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t} ein Martingal.

Der mehrdimensionale Fall

75 Schritte einer diskreten Annäherung an eine zweidimensionale brownsche Bewegung. So ähnlich könnte sich auch das Partikel unter Browns Mikroskop bewegt haben.

Ein mehrdimensionaler stochastischer Prozess Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_t= (W_{1,t}, W_{2,t},\ldots W_{n,t})^T, \; t\ge 0 } heißt n-dimensionaler (Standard-)Wienerprozess oder n-dimensionale brownsche Bewegung, falls die Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (W_{i,t}) } unabhängige (Standard-)Wienerprozesse sind.

Die Zuwächse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_{t}-W_{s}} sind dann ebenfalls unabhängig und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{N}(0,(t-s)I_n) } -verteilt (n-dimensionale Normalverteilung), wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_n } die Einheitsmatrix der Dimension n ist.

Der n-dimensionale Wienerprozess hat eine besonders schöne Eigenschaft, die ihn von den meisten anderen mehrdimensionalen Prozessen abhebt und die ihn für die Modellierung des brownschen Partikels prädestiniert: Er ist invariant unter Drehungen der Koordinatenachsen. Das bedeutet, dass für jede orthogonale Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q \in \mathbb {R}^{n \times n} } der gedrehte (oder gespiegelte) Prozess Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t:=QW_t, \; t\ge 0 } genau dieselbe Verteilung wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_t} besitzt.

Genau wie die eindimensionale brownsche Bewegung kann man nun auch die n-dimensionale verallgemeinern: Für jeden Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu \in \mathbb{R}^n } und jede Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in \mathbb{R}^{n \times n} } wird durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t := \mu t + A W_t, \; t \ge 0 }

eine brownsche Bewegung mit Drift Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} und Varianz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle AA^T} definiert. Dementsprechend gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t \sim \mathcal{N}(\mu t, t AA^T) } . Hierbei können die einzelnen Koordinaten also auch miteinander korreliert sein.

Zusammenhang zu anderen stochastischen Prozessen

• Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X_t)_{t\ge 0} } eine geometrische brownsche Bewegung, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_t := \ln(X_t) } eine brownsche Bewegung (mit Drift). Andererseits kann man aus jedem Wienerprozess Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X_t)_{t\ge 0} } mit Drift Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} und Volatilität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y_t:=\mathrm e^{X_t-\frac{\sigma^2 t}{2}} } eine geometrische brownsche Bewegung gewinnen.
• Mit Hilfe des stochastischen Integralbegriffes von Itô lässt sich der Wienerprozess zum Itōprozess verallgemeinern.
• Der symmetrische Random Walk kann als zeitdiskretes Pendant zum Wienerprozess angesehen werden, denn es gilt der folgende Konvergenzsatz: ist für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \mathbb{N} } der Random Walk Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (R_t)_{t\in T} } auf dem diskreten Zeitgitter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T= \left\{ 0, \tfrac{1}{n}, \tfrac{2}{n}, \ldots \right\} } so definiert, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R_0=0 } gilt und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} sich in jedem Zeitschritt mit Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1/2} um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{1}{n}} } nach oben und mit Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1/2} um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{\tfrac{1}{n}}} nach unten bewegt, so konvergiert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \to \infty} gegen einen Standard-Wienerprozess (für die Art der Konvergenz, siehe Invarianzprinzip von Donsker).
• Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (W_t)_{t\ge 0} } ein Standard-Wienerprozess und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T > 0 } , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_t:=W_t-\tfrac{t}{T}W_T ,\ 0\leq t\leq T} eine brownsche Brücke.

Simulation von brownschen Pfaden

Um mit Hilfe von Zufallszahlen Pfade eines Wienerprozesses zu simulieren, stehen verschiedene Methoden zur Verfügung, die allesamt auf verschiedenen Eigenschaften des Prozesses aufbauen:

Einfacher Random Walk

Die einfachste Möglichkeit besteht darin, die oben erwähnte Konvergenz des einfachen Random Walk gegen einen Wienerprozess auszunutzen. Dazu muss man lediglich rademacherverteilte Zufallsvariablen B₁, B₂, B₃, … simulieren, die untereinander unabhängig sind und jeweils mit Wahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} die Werte 1 und −1 annehmen. Dann kann man zu einer vorgegebenen Schrittweite Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta t \ge 0 } einen Wienerprozess an den Stellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0, \;\Delta t,\; 2\,\Delta t,\; 3\,\Delta t \ldots } durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_{n\Delta t} \approx \sqrt{\Delta t}\sum_{i=1}^n B_i }

approximieren. Der Vorteil dieser Methode liegt darin, dass nur sehr einfach herzustellende rademacherverteilte Zufallsvariablen benötigt werden. Allerdings handelt es sich nur um eine Approximation: Das Resultat ist kein Gauß-Prozess, sondern hat quasi binomialverteilte Zustände (genauer gesagt ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^n B_i + n\right) } binomial(n; 0,5)-verteilt). Um die Normalverteilung hinreichend gut anzunähern, muss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta t } deshalb sehr klein gewählt werden. Diese Methode ist deshalb nur zu empfehlen, wenn man den Prozess ohnehin auf einem sehr feinen Zeitgitter simulieren möchte.

Gaußscher Random Walk

Die folgende Methode ist dem einfachen Random Walk überlegen (sofern kein besonders feines Zeitgitter benötigt wird), da sie den Prozess exakt simuliert (d. h. die resultierenden Zustände stimmen in Verteilung mit denen eines Wienerprozesses überein):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_{n\Delta t} \approx \sqrt{\Delta t}\sum_{i=1}^n Z_i } ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_1, \; Z_2, \; Z_3\ldots } unabhängige, standardnormalverteilte Zufallszahlen sind (beispielsweise erzeugt durch die Polar-Methode von Marsaglia). Diese als gaußscher Random Walk bezeichnete Diskretisierung ist nur dann von Nachteil, wenn die vorhandenen normalverteilten Zufallsvariablen nicht von gleichmäßiger „Qualität“ sind. Wenn zum Beispiel Quasi-Zufallszahlen verwendet werden, weisen spät auftretende Zahlen bisweilen Abhängigkeitsstrukturen auf, die das Ergebnis verzerren können. In einem solchen Fall ist eine der folgenden Methoden vorzuziehen:

Brownsche Brücke

Die ersten fünf Halbierungsschritte der brownschen Brücke, die jeweils neu simulierte Iteration ist rot eingezeichnet.

Diese auf Paul Lévy zurückgehende Methode (die nur am Rande etwas mit dem stochastischen Prozess der Brownschen Brücke zu tun hat) nutzt die Kovarianzstruktur des Wienerprozesses aus und legt ein höheres Gewicht auf frühe standardnormalverteilte Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_1, Z_2, \ldots } .

Hier wird zuerst Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_1 } , welches normalverteilt mit Varianz 1 ist, durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_1 = Z_1 } simuliert. Nun wird das Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1]} schrittweise halbiert und folgender Schritt wiederholt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_{\frac{1}{2}} } ergibt sich als arithmetisches Mittel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2}(W_0+W_1) } plus eine weitere Normalverteilte Zufallsvariable, um die Varianz zu korrigieren. Also:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}(W_0+W_1)+\frac{1}{2}Z_2 }

Analog:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} W_{\frac{1}{4}}&=\frac{1}{2}(W_0+W_{\frac{1}{2}})+\frac{1}{\sqrt{8}}Z_3 \\ W_{\frac{3}{4}}&=\frac{1}{2}(W_{\frac{1}{2}}+W_1)+\frac{1}{\sqrt{8}}Z_4 \\ W_{\frac{1}{8}}&=\frac{1}{2}(W_0+W_{\frac{1}{4}})+\frac{1}{4}Z_5 \end{align}}

und so weiter. Die Faktoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2},\; \tfrac{1}{\sqrt{8}},\;\tfrac{1}{4}\ldots} verringern sich dabei in jedem Halbierungsschritt um den Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sqrt{2}} und sorgen dafür, dass die Zustände die richtige Varianz erhalten.

Um einen Wienerprozess statt auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1]} auf ein beliebiges Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,a]} auszuweiten, kann man nun die oben beschriebene Transformation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_t=\sqrt{a} W_{\frac{t}{a}} } anwenden; Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist dann ein Wienerprozess auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,a]} .

Hintergrund dieser nichtkausalen Modellierung ist, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_{(t_0+t_1)/2}} bedingt auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_{t_0}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_{t_1}} wiederum normalverteilt ist.

Spektralzerlegung

Bei der Spektralzerlegung wird der Wienerprozess in einer Art stochastischer Fourieranalyse als trigonometrische Polynome mit zufälligen Koeffizienten approximiert. Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z_0, \;Z_1,\; Z_2\ldots } unabhängig und standardnormalverteilt, so konvergiert die Reihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(t) = Z_0 \cdot t + \sum_{k=1}^\infty Z_k ~ \frac{\sqrt{2} \cdot \sin(k \pi t)}{k \pi}}

gegen einen Wienerprozess. Diese Methode konvergiert bezüglich der L²-Norm zwar mit maximaler Geschwindigkeit, beinhaltet aber im Gegensatz zur brownschen Brücke viele aufwändige trigonometrische Funktionsauswertungen. Daher findet sie, vor allem in der Monte-Carlo-Simulation, weniger oft Anwendung.

• Annäherung an einen Wienerprozess durch Fourierreihe
• 
• Spektralzerlegung.png

Geometrie

Die ein- und zwei-dimensionale brownsche Bewegung ist rekurrent, in allen höheren Dimensionen ist sie transient. (Satz von Pólya (Irrfahrten): „Ein betrunkener Mann findet immer heim, ein betrunkener Vogel nicht.“)

Siehe auch: Markowkette

Siehe auch

• Gebrochene Brownsche Bewegung
• Wurzel-Diffusionsprozess
• Satz von Itō-Nisio

Literatur

• Andrei N. Borodin, Paavo Salminen: Handbook of Brownian Motion - Facts and Formulae. Birkhäuser, Basel 2002, ISBN 3-7643-6705-9.
• Ioannis Karatzas, Steven E. Shreve: Brownian Motion and Stochastic Calculus (Graduate Texts in Mathematics). Springer, New York 1997, ISBN 0-387-97655-8.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin/Heidelberg 2005, ISBN 3-540-21676-6, Kap. 12, S. 341–374.
• René L. Schilling, Lothar Partzsch: Brownian Motion. An Introduction to Stochastic Processes. De Gruyter, Berlin/Boston 2012, ISBN 978-3-11-027889-7.
• John Michael Steele: Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer, New York 2000, ISBN 0-387-95016-8.