Pauli-Matrizen

Die Pauli-Matrizen $\sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3}$ (nach Wolfgang Pauli) sind spezielle komplexe hermitesche 2×2-Matrizen. Zusammen mit der 2×2-Einheitsmatrix, die in diesem Zusammenhang mit $\sigma _{0}$ bezeichnet wird, bilden sie sowohl eine Basis des 4-dimensionalen reellen Vektorraums aller komplexen hermiteschen 2×2-Matrizen als auch eine Basis des 4-dimensionalen komplexen Vektorraums aller komplexen 2×2-Matrizen.

Sie wurden von Wolfgang Pauli 1927 zur Beschreibung des Spins eingeführt, waren in der Mathematik aber auch schon vorher bekannt.

Definition

Die Pauli-Matrizen lauten ursprünglich:

$\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}},\quad \sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}.$

Hierbei bezeichnet $\mathrm {i}$ die imaginäre Einheit. Die Matrizen wurden ursprünglich in der Quantenmechanik eingeführt, um die grundlegenden Kommutationsregeln der Komponenten des Spin-Operators zu erfüllen (siehe unten). Häufig wird, besonders in der relativistischen Quantenmechanik, noch die Einheitsmatrix als nullte Paulimatrix dazugenommen:

$\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Multiplikation

Für die Multiplikation einer Pauli-Matrix mit einer anderen Pauli-Matrix ergibt sich aus den Rechenregeln der Matrixmultiplikation folgende Tafel:

$\cdot$	$\sigma _{0}$	$\sigma _{1}$	$\sigma _{2}$	$\sigma _{3}$
$\sigma _{0}$	$\sigma _{0}$	$\sigma _{1}$	$\sigma _{2}$	$\sigma _{3}$
$\sigma _{1}$	$\sigma _{1}$	$\sigma _{0}$	$\mathrm {i} \,\sigma _{3}$	$-\mathrm {i} \,\sigma _{2}$
$\sigma _{2}$	$\sigma _{2}$	$-\mathrm {i} \,\sigma _{3}$	$\sigma _{0}$	$\mathrm {i} \,\sigma _{1}$
$\sigma _{3}$	$\sigma _{3}$	$\mathrm {i} \,\sigma _{2}$	$-\mathrm {i} \,\sigma _{1}$	$\sigma _{0}$

Das Produkt $\sigma _{i}\cdot \sigma _{j}$ befindet sich in der mit $\sigma _{i}$ gekennzeichneten Zeile und der mit $\sigma _{j}$ gekennzeichneten Spalte. Das Beispiel $\sigma _{2}\cdot \sigma _{1}=-\mathrm {i} \,\sigma _{3}$ zeigt, dass die Pauli-Matrizen mit der Matrixmultiplikation als Verknüpfung keine Gruppe bilden.

Die von ihnen erzeugte Gruppe hat den Namen $G_{16}^{10}$. Sie enthält das Element $\sigma _{1}\cdot \sigma _{2}\cdot \sigma _{3}=\mathrm {i} \,\sigma _{0}=\left({\begin{smallmatrix}\mathrm {i} &0\\0&\mathrm {i} \end{smallmatrix}}\right)$, welches im Zentrum liegt, also mit allen Elementen kommutiert. Die Gruppe $G_{16}^{10}$ besteht somit aus den 16 Elementen $\mathrm {i} ^{j}\,\sigma _{k}\;\;(j,k=0,1,2,3).$ Sie enthält die Quaternionengruppe Q₈ als Normalteiler (siehe Die Quaternionen als Unterring von C⁴ und Liste kleiner Gruppen), woraus sich $G_{16}^{10}\cong Q_{8}\rtimes \{\sigma _{0},\sigma _{1}\}$ ergibt. Der Zykel-Graph ist .

Dekomposition von Matrizen

Gegeben sei eine komplexe 2×2-Matrix $\mathbf {A}$ mit den Elementen $\left\{a_{ij}\ |\ i,j\in \left\{0,1\right\},a_{ij}\in \mathbb {C} \right\}$. Dann lassen sich komplexe Zahlen $\left\{z_{i}\ |\ i\in \left\{0,1,2,3\right\},z_{i}\in \mathbb {C} \right\}$ finden, für die gilt:

$\mathbf {A}$	$={\begin{pmatrix}a_{00}&a_{01}\\a_{10}&a_{11}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{0}+z_{3}&z_{1}-\mathrm {i} \,z_{2}\\z_{1}+\mathrm {i} \,z_{2}&z_{0}-z_{3}\\\end{pmatrix}}$
	$=z_{0}\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$	$+\,z_{1}\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$	$+\,z_{2}\,{\begin{pmatrix}0&-\mathrm {i} \\\mathrm {i} &0\end{pmatrix}}$	$+\,z_{3}\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle =z_0\;\;\sigma_0 }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +\, z_1\;\;\sigma_1 }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +\, z_2\;\;\sigma_2 }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +\, z_3\;\;\sigma_3 \; .}

Es gelten die Umrechnungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{00} = z_0 + z_3,\quad a_{01} = z_1 - \mathrm{i}\,z_2,\quad a_{10} = z_1 + \mathrm{i}\,z_2,\quad a_{11} = z_0-z_3,}

bzw.:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0 = \frac{a_{00} + a_{11}}{2},\quad z_1 = \frac{a_{01} + a_{10}}{2},\quad z_2 = \mathrm{i}\frac{a_{01} - a_{10}}{2},\quad z_3 = \frac{a_{00} - a_{11}}{2}. }

Eine komplexe 2×2-Matrix kann demnach als Linearkombination der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_i} geschrieben werden, und diese Darstellung ist eindeutig. Die Pauli-Matrizen bilden also eine Basis des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} -Vektorraums (und Matrizenrings) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex^{2\times 2}} , und diese Basis ist eine orthogonale unter dem Frobenius-Skalarprodukt.

Die Umrechnungen definieren einen Ringisomorphismus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex^{2\times 2} \to \Complex^{4}}

mit der üblichen Vektoraddition, der üblichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} -Skalarmultiplikation und der Vektor-Multiplikation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_0,x_1,x_2,x_3)\star (y_0,y_1,y_2,y_3) := (}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0 y_0 + \, x_1 y_1 + \, x_2 y_2 + \, x_3 y_3,}
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0 y_1 + \, x_1 y_0 + \mathrm{i} x_2 y_3 - \mathrm{i} x_3 y_2,}
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0 y_2 - \mathrm{i} x_1 y_3 + \, x_2 y_0 + \mathrm{i} x_3 y_1,}
	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0 y_3 + \mathrm{i} x_1 y_2 - \mathrm{i} x_2 y_1 + \, x_3 y_0 \, )}

in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex^4.} Zwei Vektoren sind genau dann miteinander vertauschbar, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} & x_2 y_3 - x_3 y_2 = \begin{vmatrix} x_2 & x_3 \\ y_2 & y_3 \end{vmatrix} = 0 \\ & x_3 y_1 - x_1 y_3 = \begin{vmatrix} x_3 & x_1 \\ y_3 & y_1 \end{vmatrix} = 0 \\ & x_1 y_2 - x_2 y_1 = \begin{vmatrix} x_1 & x_2 \\ y_1 & y_2 \end{vmatrix} = 0 , \end{align}}

wenn also die Vektorteile Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1,x_2,x_3)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (y_1,y_2,y_3)} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex} -linear voneinander abhängen.

Die inverse Matrix von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}=z_0\,\sigma_0 + z_1\,\sigma_1 + z_2\,\sigma_2 + z_3\,\sigma_3} berechnet sich im Fall von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0^2 - z_1^2 - z_2^2 - z_3^2 \ne 0} hieraus zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{-1} = \frac{z_0\,\sigma_0 - z_1\,\sigma_1 - z_2\,\sigma_2 - z_3\,\sigma_3}{z_0^2 - z_1^2 - z_2^2 - z_3^2}.}

Hermitesche 2×2-Matrizen

Die Teilmenge der hermiteschen 2×2-Matrizen, also der Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}} mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} = \overline{\mathbf{A}}^{\mathrm T},}

ist ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} -Untervektorraum, für den die Pauli-Matrizen ebenfalls eine Basis bilden, die Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_i} sind aber reell. Anders gesagt: es gibt bei hermiteschen 2×2-Matrizen vier (reelle) freie Parameter, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{00}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{11}} reell sind und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{01} = \overline{a_{10}}} .

Das Produkt zweier hermitescher Matrizen ist hermitesch, wenn sie kommutieren. Der Untervektorraum ist also kein (Unter)ring.

Die Quaternionen als Unterring von C⁴

(Unter)ring ist aber ein anderer Untervektorraum von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex^4} , der sich durch Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_0\in\R,} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_1\in \mathrm i\R,} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_2\in \mathrm i\R,} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z_3\in \mathrm i\R} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\sigma_0, \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3)} aufspannen lässt. Er ist ebenfalls mit der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} -Skalarmultiplikation verträglich und zusätzlich hinsichtlich der Multiplikation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \star} abgeschlossen. Dieser Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} -Untervektorraum ist isomorph zu den Quaternionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb H} .

Als Basis für reelle Koeffizienten kann man die mit der imaginären Einheit multiplizierten Pauli-Matrizen zusammen mit der Einheitsmatrix nehmen, also die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\sigma_0, \mathrm i \sigma_1, \mathrm i \sigma_2, \mathrm i \sigma_3\}} , mit der isomorphen Zuordnung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \mapsto \sigma_0, \quad i_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_1, \quad j_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_2, \quad k_{\mathbb H} \mapsto - \mathrm i \sigma_3, }

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_{\mathbb H},j_{\mathbb H},k_{\mathbb H}} als den bekannten Einheitsquaternionen. Vor diese Zuordnung lässt sich jeder der 24 Automorphismen der Quaternionengruppe Q₈ schalten. So kann auch ein Isomorphismus „in umgekehrter Ordnung“ gebaut werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \mapsto \sigma_0, \quad i_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_3, \quad j_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_2, \quad k_{\mathbb H} \mapsto +\mathrm i \sigma_1. }

Anwendung

In der Quantenphysik, in der den physikalischen Observablen auf mathematischer Seite hermitesche Operatoren bzw. Matrizen entsprechen, wird der Drehimpulsoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat S_i ,\ i\in\{1,2,3\}} von Spin-½-Zuständen, beispielsweise bei Elektronen, durch die Paulimatrizen dargestellt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat S_i \doteq \tfrac{\hbar}{2} \sigma _i} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \doteq} „wird dargestellt durch“ bedeutet.

In der relativistischen Quantenmechanik, wo man entsprechend dem relativistischen Vierervektor Formalismus vier Raum-Zeit bzw. Energie-Impuls Variablen hat, tritt die Einheitsmatrix gleichberechtigt zu den drei Pauli-Matrizen (als „nullte“ Pauli-Matrix) und es wird mit ihrer Hilfe die Dirac-Gleichung mit den Dirac-Matrizen aufgebaut.

Direkt tauchen die Pauli-Matrizen in der Pauli-Gleichung zur quantenmechanischen Beschreibung von Teilchen mit Spin im Magnetfeld auf, die sich aus der nichtrelativistischen Reduktion der Diracgleichung ergibt, und in der Beschreibung von Majorana-Fermionen (Majorana-Gleichung).

Darstellung

Die Pauli-Matrizen können neben der Darstellung als Matrizen mit Hilfe der Dirac-Notation dargestellt werden: Dabei können für die Linearkombination entweder die Standard-Basisvektoren oder die Eigenvektoren der Pauli-Matrizen verwendet werden.

Pauli-Matrix	Matrix	Linearkombination (Standard-Basisvektoren)	Linearkombination (Eigenvektoren)
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_1=\sigma_x}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |0\rangle\langle1|+|1\rangle\langle0|}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |+\rangle\langle+|\,-\,|-\rangle\langle-|}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_2=\sigma_y}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}0 & -\mathrm i\\\mathrm i & 0 \end{pmatrix}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm i \left( |1\rangle\langle0| - |0\rangle\langle1| \right)}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\phi^+\rangle\langle\phi^+|-|\phi^-\rangle\langle\phi^-|}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_3=\sigma_z}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |0\rangle\langle0|-|1\rangle\langle1|}

Die verwendeten Vektoren sind wie folgt definiert, wobei die verwendeten Kets durch Vektoren des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Complex ^2} dargestellt werden, was durch „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \doteq} “ gekennzeichnet ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |0\rangle=|s_z+\rangle}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \doteq \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |1\rangle=|s_z-\rangle}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \doteq \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |+\rangle}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |-\rangle}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\phi^+\rangle}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\\mathrm i\end{pmatrix}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\phi^-\rangle}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \doteq \frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1\\-\mathrm i\end{pmatrix}.}

Eigenschaften

Die Pauli-Matrizen sind hermitesch und unitär. Daraus folgt mit dem durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_0:= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}} definierten vierten Basiselement

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \sigma_0^2 = \sigma_0.}

Die Determinanten und Spuren der Pauli-Matrizen sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{matrix} \det \sigma_i &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{tr} \sigma_i &=& 0 &\end{matrix}}   für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i = 1, 2, 3. }

Aus Obigem folgt, dass jede Pauli-Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{\sigma}_i} die Eigenwerte +1 und −1 besitzt.

Des Weiteren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_1 \, \sigma_2 \, \sigma_3 = \mathrm i \, \sigma_0.}

Die Pauli-Matrizen erfüllen die algebraische Relation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_i \, \sigma_j = \delta_{ij}\sigma_0 + \mathrm i\, \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\; \sigma_k}   für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i,j = 1, 2, 3\,}

(Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon_{ijk}} ist das Levi-Civita-Symbol), also insbesondere bis auf einen Faktor 2 dieselben Relationen wie die Drehimpulsalgebra

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [\sigma_i\,,\sigma_j] = \sigma_i \, \sigma_j - \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \mathrm i\, \sum_{k=1}^3 \epsilon_{ijk}\; \sigma_k}   für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i,j = 1, 2, 3.}

und die Clifford- oder Dirac-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Cl}(0,3,\mathbb R)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\sigma_i\,,\sigma_j\} = \sigma_i \, \sigma_j + \sigma_j \, \sigma_i = 2\, \delta_{ij}\sigma_0}   für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i,j = 1, 2, 3.}

Die Pauli-Matrizen gehören zum Spezialfall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l=1/2} von Drehimpulsoperatoren, die auf Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda_{m}} eines Drehimpuls-Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} -Multipletts mit Quantenzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} in Maßsystemen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hbar=1} folgendermaßen wirken:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_3 \Lambda_{m}=m \Lambda_{m}\,,\ m\in\{-l,-l+1,\dots ,l\}\,,}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_+ \Lambda_{m}=\sqrt{(l-m)(l+m+1)}\, \Lambda_{m+1}\,,}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_- \Lambda_{m}=\sqrt{(l+m)(l-m+1)}\, \Lambda_{m-1}\,.}

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2l+1} eine natürliche Zahl und für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} treten die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2l+1} verschiedenen Quantenzahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=-l,-l+1,\dots ,l} auf. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l=1/2} wirken die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Linearkombinationen der beiden Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda_{1/2}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda_{-1/2}} demnach durch Multiplikation mit den folgenden Matrizen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_3 = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0& -1 \end{pmatrix}\,, L_+ = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\,, L_- = \begin{pmatrix} 0& 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}\,.}

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_1=\frac{1}{2}(L_++L_-)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_2=\frac{1}{2\mathrm i}(L_+-L_-)} ergibt sich dann, dass die Drehimpulsoperatoren auf die Komponenten von Spin-1/2-Zuständen durch Multiplikation mit den halben Pauli-Matrizen wirken.

Zugeordnete Drehgruppe, Zusammenhang mit Spin-1/2-Systemen

Die lineare Hülle der mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm i} multiplizierten Pauli-Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm i\,\sigma_1,\,\mathrm i\,\sigma_2,\,\mathrm i\,\sigma_3} ist mit der üblichen Matrizenmultiplikation eine Lie-Algebra. Aufgrund der mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec n \cdot \vec{\sigma} \,= n_1 \sigma_1 + n_2 \sigma_2 + n_3 \sigma_3} für jeden Einheitsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec n\in\mathbb R^3} geltenden Identität

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exp\left(-\mathrm i\,\tfrac{\alpha}{2} \vec n \cdot \vec{\sigma} \right) = \sigma_0\,\cos\tfrac{\alpha}{2} - \mathrm{i}\, (\vec n \cdot \vec{\sigma})\, \sin\tfrac{\alpha}{2}}

sind diese drei Matrizen die Generatoren der komplexen Drehgruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SU(2)} .

Der Faktor 1/2 in der obigen Gleichung ist zwar mathematisch verzichtbar. Die Gleichung wird jedoch in der physikalischen Anwendung häufig in genau dieser Form benötigt. Denn (wie in der Einleitung erwähnt) stellen in der Quantenphysik die Matrizen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_i = \tfrac{\hbar}{2} \sigma _i} die Operatoren für die Spinkomponenten eines Spin-1/2-Systems (beispielsweise eines Elektrons) dar. Andererseits beschreibt die durch den Exponentialausdruck gegebene Matrix die Veränderung des Spinzustands bei einer räumlichen Drehung. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} ist dabei der Drehwinkel, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec n } die Drehachse. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha = 2\pi} ergibt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exp\bigl(\!\!-\mathrm i\,\pi \; \vec n \cdot \vec{\sigma} \bigr) = -\sigma_0} ; d. h. der Zustandsvektor eines Spin-1/2-Systems wird durch Drehung um den Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\pi} in sein Negatives und erst durch Drehung um den Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\pi} wieder in sich selbst übergeführt („Spinordrehungen“).

Eigenvektoren

Die Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_3} hat die Eigenvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \chi_{32} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} }

wie man leicht erkennen kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_3 \chi_{31} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_3 \chi_{32} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} }

entsprechend den Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pm 1} . Die Eigenvektoren von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_1} sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi_{11} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \chi_{12} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}: }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_1 \chi_{11} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_1 \chi_{12} = \begin{pmatrix} 0 & 1\\1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} }

und die Eigenvektoren von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi_{21} = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}, \quad \chi_{22} = \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix}: }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_2 \chi_{21} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \mathrm i \end{pmatrix}, \quad \sigma_2 \chi_{22} = \begin{pmatrix} 0 & - \mathrm i\\ \mathrm i & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - \mathrm i \\ -1 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} \mathrm i \\ 1 \end{pmatrix} .}

Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen

In der Mathematik können mit Hilfe des Tensorprodukts (Kronecker-Produkts) von Pauli-Matrizen (mit Einheitsmatrix) die Darstellungen der höheren Clifford-Algebren über den reellen Zahlen aufgebaut werden.

Pauli-Matrizen können zur Darstellung von Hamilton-Operatoren und zur Näherung der Exponentialfunktion solcher Operatoren verwendet werden. Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_0 , \sigma_1 , \sigma_2 , \sigma_3 } die vier Pauli-Matrizen, so kann man mit Hilfe des Kronecker-Produkt höherdimensionale Matrizen erzeugen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p := \sigma_{\mu_{1}} \otimes \sigma_{\mu_{2}} \otimes ... \otimes \sigma_{\mu_{n}} \quad ; \quad \mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{n} \in \{0,1,2,3\} \quad ; \quad n \in \N }

Eigenschaften der Pauli-Matrizen vererben sich auf diese Matrizen. Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_2 } zwei Kronecker Produkte von Pauli-Matrizen, so gilt:

• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1 , p_2 } sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^n \times 2^n } Matrizen
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1^2 = p_2^2 = 1 \qquad } (Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^n \times 2^n } Einheitsmatrix)
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1 p_2 = p_2 p_1 } oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1 p_2 = - p_2 p_1 \qquad } (Kommutativität)
• Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Spur} \sigma_{\mu_1} \otimes \sigma_{\mu_2} \otimes ... \otimes \sigma_{\mu_n} = 2^{n} \delta_{\mu_1,0} \delta_{\mu_2,0} ... \delta_{\mu_n,0} }
• Die Kronecker-Produkte von Pauli-Matrizen sind linear unabhängig und bilden eine Basis im Vektorraum der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^n \times 2^n } -Matrizen. Hamilton-Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H } vieler physikalischer Modelle lassen sich aufgrund der Basiseigenschaft als Summe solcher Matrizen ausdrücken (Linearkombination). Insbesondere lassen sich Erzeuger und Vernichter von Fermionen, die endlich viele Zustände einnehmen können, einfach durch sie ausdrücken.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H = \sum_{k=0}^{N} h_{k} p_{k} \quad} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \quad N \in \N , h_{k} \in \R , p_{k} } ist Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen.

Beispiele für derartige Modelle sind Hubbard-Modell, Heisenberg-Modell und Anderson-Modell.

Das Kronecker-Produkt von Pauli-Matrizen tritt bei der Beschreibung von Spin-1/2-Systemen auf, die aus mehreren Teilsystemen aufgebaut sind. Der Zusammenhang ist dadurch gegeben, dass das Tensorprodukt zweier Operatoren in der zugehörigen Matrixdarstellung gerade durch das Kronecker-Produkt der Matrizen gegeben ist (siehe Kronecker-Produkt#Zusammenhang mit Tensorprodukten).

Näherung der Exponentialfunktion des Hamilton-Operators

Häufig interessiert man sich für die Exponentialfunktion des Hamilton-Operators.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exp\{-\beta H\} = \sum_{l=0}^{\infty} \frac{(-\beta)^l}{l!} \biggl( \sum_{k=0}^{N} h_{k} p_{k} \biggr)^l}   mit   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta \in \R }

Aufgrund der Kommutativität kann man in einem Produkt die Matrizen beliebig anordnen. Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi } eine Permutation, so ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{\pi_{1}} p_{\pi_{2}} ... p_{\pi_{n}} = a p_{1} p_{2} ... p_{n}}   mit   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \N , a \in \{1,-1\} }

Deshalb existieren rationale Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} } mit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exp\{-\beta H\} = \sum_{k_{1}=0}^{\infty} \sum_{k_{2}=0}^{\infty} ... \sum_{k_{N}=0}^{\infty} E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} (-\beta h_{1})^{k_{1}} (-\beta h_{2})^{k_{2}}...(-\beta h_{N})^{k_{N}} p_{1}^{k_{1}} p_{2}^{k_{2}} ... p_{N}^{k_{N}} }

Diese rationalen Zahlen sind, von Ausnahmen abgesehen, schwer zu berechnen.

Eine erste Näherung ergibt sich, indem man nur Summanden berücksichtigt, die aus kommutierenden Matrizen bestehen.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} = 0 } falls ein Paar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \le a,b \le N } mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{a} p_{b} = - p_{b} p_{a} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_{a},k_{b} > 0 } existiert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{k_{1}k_{2}...k_{N}} = \frac{1}{k_{1}!} \frac{1}{k_{2}!} ... \frac{1}{k_{N}!} } sonst

Die Näherung lässt sich weiter verbessern, indem man Paare, Tripel, … von nicht kommutierenden Matrizen berücksichtigt.

Siehe auch

• Gell-Mann-Matrizen

Literatur

• Willi-Hans Steeb: Kronecker Product of Matrices and Applications. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim 1991, ISBN 3-411-14811-X.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Pauli Matrices. In: MathWorld (englisch).