Benutzer:Alva2004/koko

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Konvektive Koordinatensysteme sind Krummlinige Koordinatensysteme, die an einen Träger gebunden sind und von allen Transformationen, die der Träger erfährt, mitgeführt werden, daher die Bezeichnung konvektiv. In der Kontinuumsmechanik ergeben sich konvektive Koordinaten auf natürliche Weise, wenn die Koordinatenlinien materielle Linien sind, die dann von allen Deformationen des materiellen Körpers mit transponiert werden. Bildlich kann man sich ein Koordinatennetz auf einen Luftballon aufgemalt denken, der dann aufgeblasen wird und das Koordinatennetz mit nimmt.

Praktische Bedeutung haben konvektive Koordinatensysteme in der Kinematik schlanker Strukturen (Stäbe, Balken) und dünnwandiger Strukturen (Schalen und Membranen), wo die Spannungen und Dehnungen parallel zu den Vorzugsrichtungen der Struktur interessieren. Außerdem können materielle Vorzugsrichtungen nicht isotroper Materialien, wie z. B. von Holz, in konvektiven Koordinaten beschrieben werden. In der Kinematik deformiertbarer Körper bekommen die in der Kontinuumsmechanik benutzten Tensoren in konvektiven Koordinaten ausgedrückt besonders einfache Darstellungen.

Definition

Konfigurationen und konvektive Koordinaten

Betrachtet wird ein deformierbarer Körper wie im Bild, der mittels Konfigurationen in einen euklidischen Vektorraum $\mathbb {V} ^{3}$ abgebildet wird. Die konvektiven Koordinaten eines materiellen Punktes $P$ werden durch die Referenzkonfiguration $\kappa _{R}(P)$ zugewiesen. Für jedes Partikel $P$ eines Körpers $K$ sind die konvektiven Koordinaten der Partikel gegeben durch:

${\begin{array}{llll}\kappa _{R}:&K&\rightarrow &V\subset \mathbb {V} ^{3}\\&P&\mapsto &{\vec {\Theta }}=(\Theta _{1},\Theta _{2},\Theta _{3})\end{array}}$.

Diese Zuordnung ist ein-eindeutig (bijektiv), so dass ${\vec {\Theta }}$ auch der Benennung des Partikels $P$ dient. Weil die Koordinaten ${\vec {\Theta }}$ an das Partikel gebunden sind, werden sie von jeder Bewegung des Partikels mitgenommen.

Tangenten- und Gradientenvektoren

Die Bewegungsfunktion ${\vec {x}}={\vec {\chi }}_{t}({\vec {\Theta }},t)$ beschreibt die Bewegung des Partikels ${\vec {\Theta }}$ durch den Raum. Die Bewegung starte zu einem Zeitpunkt $t_{0}$, in dem sich der Körper in der Ausgangskonfiguration befindet. Die Funktion

${\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }}):={\vec {\chi }}_{t}({\vec {\Theta }},t_{0})={\vec {X}}=\sum _{i=1}^{3}X_{i}{\vec {e}}_{i}$

ordnet den Koordinaten ${\vec {\Theta }}$ ein-eindeutig (bijektiv) einen Punkt ${\vec {X}}$ im Raum zu, den das Partikel zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_{0}$ eingenommen hat. Wegen der Bijektivität kann man

${\vec {X}}=:{\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }})\quad \Leftrightarrow \quad {\vec {\Theta }}=:{\vec {\chi }}_{0}^{-1}({\vec {X}})$

schreiben. Variiert man im Vektor ${\vec {\Theta }}$ nur eine Koordinate, dann fährt ${\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }})$ eine materielle Koordinatenlinie ab, die im allgemeinen Fall eine Kurve im Raum ist. Die Tangentenvektoren

${\vec {G}}_{i}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\chi }}_{0}}{\mathrm {d} \Theta _{i}}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} \chi _{0j}}{\mathrm {d} \Theta _{i}}}{\vec {e}}_{j}$

an diese Kurven nennt man kovariante Basisvektoren des krummlinigen Koordinatensystems. Bestimmt man andererseits die Richtung, in der sich die Koordinate $\Theta _{i}$ am stärksten ändert, bildet man den Gradienten

${\vec {G}}^{i}=\mathrm {GRAD} (\Theta _{i})={\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}={\frac {\mathrm {d} {({\vec {\chi }}_{0}^{-1}({\vec {X}}))}_{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}$

und bekommt die kontravarianten Basisvektoren ${\vec {G}}^{i}$ in einem materiellen Punkt. Wegen

${\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} \Theta _{j}}}={\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {\chi }}_{0}}{\mathrm {d} \Theta _{j}}}={\vec {G}}^{i}\cdot {\vec {G}}_{j}=\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{array}{lll}1&\mathrm {falls} &i=j\\0&\mathrm {sonst} &\end{array}}\right.$

sind die ko- und kontravarianten Basisvektoren dual zueinander und man kann die kontravarianten Basisvektoren aus

$\mathbf {J} ={\frac {\mathrm {d} {\vec {\chi }}_{0}}{\mathrm {d} {\vec {\Theta }}}}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{i}\rightarrow \mathbf {J} ^{-1}=\left(\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{i}\right)^{-1}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}$

berechnen. Darin wurde das dyadische Produkt "$\otimes$" benutzt. In der Jacobimatrix $\mathbf {J}$ sind die kovarianten Basisvektoren ${\vec {G}}_{i}$ spaltenweise eingetragen und die kontravarianten Basisvektoren ${\vec {G}}^{i}$ finden sich in den Zeilen von $\mathbf {J} ^{-1}$.

Die ko- und kontravarianten Basisvektoren werden nur lokal (in den Tangentialräumen) im Punkt ${\vec {X}}$ benutzt: Die kovarianten Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_i } bilden eine Basis des Tangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{\vec{X}}\mathbb{V}^3 } und die kontravarianten Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}^i } bilden eine Basis des Kotangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^\ast_{\vec{X}}\mathbb{V}^3 } im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{X} } .

Verfolgt man die Bewegung, bekommt man in jedem Punkt und zu jedem Zeitpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t> t_{0} } einen Satz kovarianter Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i } und kontravarianter Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}^i } , die die Tangenten bzw. Gradienten der materiellen Koordinatenlinien im deformierten Körper zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t } sind. Sie sind mithin Basen der Tangentialräume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{\vec{x}}\mathbb{V}^3 } bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^\ast_{\vec{x}}\mathbb{V}^3 } .

Differentialoperatoren und Nabla Operator

Die Differentialoperatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot) aus der Vektoranalysis können durch den Nabla-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla } definiert werden. In konvektiven Koordinaten hat der Nabla-Operator die Form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla=\sum_{i=1}^3\vec{G}^i\frac{\partial }{\partial \Theta_i} } .

Die Gradienten von Skalar- und Vektorfeldern werden mit ihm wie folgt dargestellt:

Skalarfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{GRAD}(\phi ):=\nabla\phi =\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \phi}{\partial \Theta_i}\vec{G}^i =\frac{\partial \phi}{\partial \vec{X}} }

Vektorfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{GRAD}(\vec{v}) :=\vec{v}\otimes\nabla =\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \vec{v}}{\partial {\Theta}_i}\otimes\vec{G}^i =\frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{X}} }

Die Divergenzen werden aus dem Skalarprodukt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla } erhalten:

Vektorfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{DIV}(\vec{v}) :=\vec{v}\cdot\nabla =\sum_{i=1}^3 \frac{\partial \vec{v}}{\partial \Theta_i}\cdot\vec{G}^i =\mathrm{Spur}\left(\frac{\partial \vec{v}}{\partial \vec{X}}\right) }

Tensorfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{DIV}(\mathbf{T}):=\mathbf{T}\nabla =\sum_{i=1}^3\frac{\partial \mathbf{T}}{\partial \Theta_i}\vec{G}^i }

Die Rotation eines Vektorfeldes bekommt mit dem Kreuzprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{ROT}(\vec{v}):=\nabla\times\vec{v} =\sum_{i=1}^3 \vec{G}^i\times\frac{\partial \vec{v}}{\partial \Theta}_i } .

Entsprechende Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{div} } , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{rot} } für Felder in der Momentankonfiguration bekommt man mit dem Nabla-Operator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla=\sum_{i=1}^3 \vec{g}^i \frac{\partial }{\partial \Theta_i} } .

Der Einheitstensor

Der Einheitstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{I} } bildet jeden Vektor auf sich selbst ab. Somit muss für zwei beliebige Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v} } jederzeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}\cdot\textbf{I}\vec{v}=\vec{u}\cdot\vec{v} }

erfüllt sein. Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}=\sum_{i=1}^3 u^i\vec{G}_i } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}=\sum_{i=1}^3 v_i\vec{G}^i } bekommt man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v} =\left(\sum_{i=1}^3 u^i\vec{G}_i\right) \cdot\left(\sum_{j=1}^3 v_j\vec{G}^j\right) =\sum_{i=1}^3 u^i v_i =\left(\sum_{i=1}^3{u}^i\vec{G}_i\right) \cdot \left(\sum_{k=1}^3\vec{G}^{k}\otimes \vec{G}_{k}\right) \left(\sum_{j=1}^3{v}_j\vec{G}^j\right) =\vec{u}\cdot\mathbf{I}\vec{v} }

für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}, \vec{v} } . Also ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{I}=\sum_{i=1}^3\vec{G}^i\otimes \vec{G}_i } .

In gleicher Weise bekommt man die Darstellungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{I} =\sum_{i=1}^3\vec{G}^i\otimes \vec{G}_i =\sum_{i=1}^3\vec{G}_i\otimes \vec{G}^i =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 G_{ij}\vec{G}^i\otimes \vec{G}^j =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 G^{ij}\vec{G}_i\otimes \vec{G}_j } .

Die Skalarprodukte der kovarianten Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_{ij}=\vec{G}_i\cdot\vec{G}_j }

sind die kovarianten Metrikkoeffizienten des Tangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{\vec{X}}\mathbb{V}^3 } . Entsprechend sind die Skalarprodukte der kontravarianten Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G^{ij}=\vec{G}^i\cdot\vec{G}^j }

die kontravarianten Metrikkoeffizienten des Kotangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^\ast_{\vec{X}}\mathbb{V}^3 } .

In der Momentankonfiguration bekommt man die Darstellungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{I} =\sum_{i=1}^3\vec{g}^i\otimes \vec{g}_i =\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{g}^i =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 g_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 g^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j }

mit den ko- und kontravarianten Metrikkoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_{ij}=\vec{g}_i\cdot\vec{g}_j } bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g^{ij}=\vec{g}^i\cdot\vec{g}^j } des Tangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{\vec{x}}\mathbb{V}^3 } bzw. Kotangentialraumes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^\ast_{\vec{x}}\mathbb{V}^3 } .

Deformationsgradient

→ Hauptartikel: Deformationsgradient

In konvektiven Koordinaten ausgedrückt bekommt der Deformationsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F} } eine besonders einfache Form. Der Deformationsgradient bildet gemäß seiner Definition die Tangentenvektoren an materielle Linien in der Ausgangskonfiguration auf die in der Momentankonfiguration ab und diese Tangentenvektoren sind gerade die kovarianten Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_i } bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i } . Also ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i=\mathbf{F}\vec{G}_i \quad\Leftrightarrow\quad \mathbf{F}=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i } .

Das ergibt sich auch aus der Ableitung der Bewegungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}=\vec{\chi}(\vec{X},t)=\vec{\chi}_{t}(\vec{\Theta},t) }  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}=\mathrm{GRAD}\vec{\chi}(\vec{X},t) =:\frac{\mathrm{d}\vec{\chi}}{\mathrm{d}\vec{X}} =\sum_{i=1}^3\frac{\mathrm{d}\vec{\chi}_{t}} {\mathrm{d}\Theta_i}\otimes \frac{\mathrm{d}\Theta_i}{\mathrm{d}\vec{X}} =\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i } .

In dieser Darstellung läßt sich auch sofort mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}^{-1}=\sum_{i=1}^3\vec{G}_i\otimes \vec{g}^i }

die Inverse des Deformationsgradienten angeben, denn wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}^i\cdot\vec{G}_j=\delta_j^i } folgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F\,F}^{-1} = \left(\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i\right) \left(\sum_{j=1}^3\vec{G}_j\otimes \vec{g}^j\right) =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3(\vec{G}^i\cdot\vec{G}_j)\vec{g}_i\otimes \vec{g}^j=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{g}^i=\mathbf{I} } .

Der transponiert inverse Deformationensgradient bildet die kontravarianten Basisvektoren aufeinander ab:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}^{-\mathrm{T}} =\sum_{i=1}^3\vec{g}^i\otimes \vec{G}_i \quad\Leftrightarrow\quad \vec{g}^i=\mathbf{F}^{-\mathrm{T}}\vec{G}^i } .

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient

Die Zeitableitung des Deformationsgradienten ist der materielle Geschwindigkeitsgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\mathbf{F}}=\sum_{i=1}^3\dot{\vec{g}}_i\otimes \vec{G}^i } ,

denn die Ausgangskonfiguration hängt nicht von der Zeit ab und das gilt dann auch für die Basisvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_i } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}^i } . Der räumliche Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{L} } bekommt in konvektiven Koordinaten so die einfache Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{L} =\mathrm{grad}(\vec{v}(\vec{x},t)) =\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}\vec{x}} =\dot{\mathbf{F}}\mathbf{F}^{-1} =\sum_{i=1}^3\dot{\vec{g}}_i\otimes \vec{g}^i } .

worin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}(\vec{x},t)} die Geschwindigkeit eines Partikels am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}} zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} ist. Er transformiert die Basisvektoren in ihre Raten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec{g}}_i=\mathbf{L}\vec{g}_i } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec{g}}^i=-\mathbf{L}^{\mathrm{T}}\vec{g}^i } .

Streck-, Verzerrungs- und Spannungstensoren

Die folgenden Tensoren treten in der Kontinuumsmechanik auf. Ihre Darstellung in konvektiven Koordinaten ist in der Tabelle zusammengestellt.

Name	Darstellung in konvektiven Koordinaten
Deformationsgradient	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}=\sum_{i=1}^3\vec{g}_i\otimes \vec{G}^i }
Rechter Cauchy-Green Tensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C}=\mathbf{F}^{\mathrm{T}}\mathbf{F} =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 g_{ij}\vec{G}^i\otimes \vec{G}^j }
Linker Cauchy-Green Tensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{b}=\mathbf{F}\mathbf{F}^{\mathrm{T}} =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 G^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j }
Green-Lagrange-Verzerrungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{E}=\frac{1}{2}(\mathbf{F}^{\mathrm{T}}\mathbf{F}-\mathbf{I}) =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 E_{ij}\vec{G}^i\otimes \vec{G}^j } mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{ij}=\frac12(g_{ij}- G_{ij}) }
Euler-Almansi- Verzerrungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{e}=\frac{1}{2}(\mathbf{I}-\mathbf{F}^{-\mathrm{T}}\mathbf{F}^{-1}) =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 E_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j }
Räumlicher Geschwindigkeitsgradient	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{L}=\sum_{i=1}^3\dot{\vec{g}_i}\otimes \vec{g}^i }
Räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{D}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \dot{g}_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j =-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \dot{g}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j }
Cauchyscher Spannungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 T^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j }
Gewichteter Cauchyscher Spannungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S}=\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathbf{T} =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j }
Erster Piola-Kirchoff'scher Spannungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}_{0} =\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathbf{T}\mathbf{F}^{-\mathrm{T}} =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{G}_j }
Zweiter Piola-Kirchoff'scher Spannungstensor	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{T}=\mathrm{det}(\mathbf{F})\mathbf{F}^{-1}\mathbf{T}\mathbf{F}^{-\mathrm{T}} =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{G}_i\otimes \vec{G}_j }

Weil der rechte Cauchy-Green Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C} } , der Green-Lagrange-Verzerrungstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{E} } und der Euler-Almansi-Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{e} } in ihrer (hier angegebenen) natürlichen Form mit den kovarianten Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_{ij} } bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_{ij} } gebildet werden, werden diese Tensoren üblicher Weise als kovariante Tensoren bezeichnet. Die Spannungstensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}, \mathbf{S} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde\mathbf{T} } sind entsprechend kontravariante Tensoren.

Objektive Zeitableitungen

Objektive Größen sind solche, die sich unter einer euklidischen Transformation in charakteristischer Weise transformieren. Die Zeitableitung objektiver Tensoren ist im allgemeinen nicht objektiv. Die konvektiven ko- bzw. kontravarianten Oldroyd-Ableitungen objektiver Tensoren sind jedoch objektiv. Sie sind definiert über

Kovariante Oldroyd-Ableitung, z.B. von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{e}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3E_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j } :    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\Delta}{\mathbf{e}}:=\dot{\mathbf{e}}+\mathbf{e L}+\mathbf{L}^{\mathrm{T}}\mathbf{e} =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\dot{E}_{ij}\vec{g}^i\otimes \vec{g}^j } .

Kontravariante Oldroyd-Ableitung, z.B. von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S}=\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\tilde{T}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j } :    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{{\nabla}}{\mathbf{S}} :=\dot{\mathbf{S}}-\mathbf{L S}-\mathbf{S L}^{\mathrm{T}} =\sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3\dot{\tilde{T}}^{ij}\vec{g}_i\otimes \vec{g}_j } .

Bemerkenswert sind die Transformationseigenschaften der kovarianten Tensoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{e}=\mathbf{F}^{-\mathrm{T}}\mathbf{E F}^{-1} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{\Delta}{\mathbf{e}}=\mathbf{F}^{-\mathrm{T}}\dot{\mathbf{E}}\mathbf{F}^{-1} }

sowie der kontravarianten Tensoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S}=\mathbf{F}\tilde{\mathbf{T}}\mathbf{F}^{\mathrm{T}} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \stackrel{{\nabla}}{\mathbf{S}}=\mathbf{F}\dot{\tilde{\mathbf{T}}}\mathbf{F}^{\mathrm{T}} } .

Beispiel

Parallelogramm in Ausgangs- und Momentankonfiguration

Ein Parallelogramm mit Grundseite und Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L } und Neigungswinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha } wird zu einem flächengleichen Quadrat verformt, siehe Bild. Als Referenzkonfiguration eignet sich das Einheitsquadrat

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta_1,\Theta_2\in [0,L]^2 \subset\mathbb{R}^2 } .

In der Ausgangskonfiguration haben alle Punkte des Parallelogramms die Koordinaten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{X}=\vec{\chi}_{0}(\Theta_1,\Theta_2) =\left(\begin{array}{c} \Theta_1+\tan (\alpha )\Theta_2 \\ \Theta_2 \end{array}\right) } .

Die kovarianten Basisvektoren sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{G}_1=\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\Theta_1} =\left(\begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array}\right) = \vec{e}_{x} \,,\; \vec{G}_2=\frac{\mathrm{d}\vec{X}}{\mathrm{d}\Theta_2} =\left(\begin{array}{c} \tan(\alpha )\\ 1 \end{array}\right) } .

Die kontravarianten Basisvektoren bekommt man aus den Zeilen der Inversen der Jacobimatrix:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{l} \mathbf{J}= \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \frac{\mathrm{d} X_i}{\mathrm{d}\Theta_j}\vec{e}_i\otimes \vec{e}_j =\left(\begin{array}{cc} 1& \tan(\alpha )\\ 0& 1 \end{array}\right) \;\rightarrow\; \mathbf{J}^{-1}=\left(\begin{array}{cc} 1& -\tan(\alpha )\\ 0& 1 \end{array}\right) \\ \rightarrow \vec{G}^1= \left(\begin{array}{c}1\\ -\tan (\alpha )\end{array}\right) \,,\; \vec{G}^2=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\end{array} } .

In der Momentankonfiguration ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha =0^\circ} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}=\vec{\chi}_{t}(\Theta_1,\Theta_2) =\left(\begin{array}{c}\Theta_1\\ \Theta_2\end{array}\right) }

und die konvektiven ko- und kontravarianten Basisvektoren bilden die Standardbasis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_1=\vec{g}^1=\vec{e}_{x}=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right) \,,\; \vec{g}_2=\vec{g}^2=\vec{e}_{y}=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) } .

Der Deformationsgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F=\sum_{i=1}^2 \vec{g}_i \otimes \vec{G}^i =\left(\begin{array}{c} 1\\ 0\end{array}\right) \otimes \left(\begin{array}{c}1\\ -\tan (\alpha )\end{array}\right) + \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) \otimes \left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc}1& -\tan (\alpha )\\ 0& 1\end{array}\right) }

ist ortsunabhängig und hat die Determinante eins, was die Erhaltung des Flächeninhalts bestätigt. Die kovarianten Metrikkoeffizienten lauten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G_{11}=1 \,,\; G_{12}=G_{21}=\tan (\alpha ) \,,\; G_{22}=1+\tan {(\alpha )}^2 \,,\; g_{11}=1 \,,\; g_{12}=g_{21}=0 \,,\; g_{22}=1 } .

Damit bekommt man den Green-Lagrange-Verzerrungstensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \mathbf{E} &=& \sum_{i=1}^2 \sum_{j=1}^2 \frac{1}{2}(g_{ij}-G_{ij}) \vec{G}^i\otimes\vec{G}^j \\[2ex] &=& \frac{1}{2}(1-1)\vec{G}^1\otimes\vec{G}^1 + \frac{1}{2}(0-\tan(\alpha)) \left(\vec{G}^1\otimes\vec{G}^2+\vec{G}^2\otimes\vec{G}^1\right) + \frac{1}{2}(1-1-\tan(\alpha )^2) \vec{G}^2\otimes\vec{G}^2 \\[2ex] &=& \frac{1}{2}\left[ -\tan(\alpha)\left(\begin{array}{c}1\\-\tan(\alpha)\end{array}\right) \otimes \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) - \tan(\alpha)\left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) \otimes \left(\begin{array}{c}1\\ -\tan(\alpha)\end{array}\right) - \tan(\alpha )^2\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right) \otimes \left(\begin{array}{c}0\\1\end{array}\right) \right] \\[2ex] &=& \frac{1}{2} \left(\begin{array}{cc} 0& -\tan (\alpha )\\ -\tan (\alpha )& (1+1-1)\tan(\alpha )^2 \end{array}\right) = \frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc} 0& -\tan(\alpha)\\ -\tan(\alpha)& \tan(\alpha)^2 \end{array}\right) = \frac{1}{2} (\mathbf{F}^{\mathrm{T}}\mathbf{F}-\mathbf{I}) \end{array} } .

Siehe auch

• Kontinuumsmechanik

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
• Ralf Greve: Kontinuums- und Kontaktmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-43539-8,books.google.de/books?isbn=3540435298
• K. Willner: 'Kontinuums- und Kontaktmechanik: synthetische und analytische Darstellung. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43529-8, books.google.de/books?isbn=3540435298

Kategorie: Kontinuumsmechanik