Benutzer:Alva2004/koko

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Konvektive Koordinatensysteme sind Krummlinige Koordinatensysteme, die an einen Träger gebunden sind und von allen Transformationen, die der Träger erfährt, mitgeführt werden, daher die Bezeichnung konvektiv. In der Kontinuumsmechanik ergeben sich konvektive Koordinaten auf natürliche Weise, wenn die Koordinatenlinien materielle Linien sind, die dann von allen Deformationen des materiellen Körpers mit transponiert werden. Bildlich kann man sich ein Koordinatennetz auf einen Luftballon aufgemalt denken, der dann aufgeblasen wird und das Koordinatennetz mit nimmt.

Praktische Bedeutung haben konvektive Koordinatensysteme in der Kinematik schlanker Strukturen (Stäbe, Balken) und dünnwandiger Strukturen (Schalen und Membranen), wo die Spannungen und Dehnungen parallel zu den Vorzugsrichtungen der Struktur interessieren. Außerdem können materielle Vorzugsrichtungen nicht isotroper Materialien, wie z. B. von Holz, in konvektiven Koordinaten beschrieben werden. In der Kinematik deformiertbarer Körper bekommen die in der Kontinuumsmechanik benutzten Tensoren in konvektiven Koordinaten ausgedrückt besonders einfache Darstellungen.

Definition

Konfigurationen und konvektive Koordinaten

Betrachtet wird ein deformierbarer Körper wie im Bild, der mittels Konfigurationen in einen euklidischen Vektorraum $\mathbb {V} ^{3}$ abgebildet wird. Die konvektiven Koordinaten eines materiellen Punktes $P$ werden durch die Referenzkonfiguration $\kappa _{R}(P)$ zugewiesen. Für jedes Partikel $P$ eines Körpers $K$ sind die konvektiven Koordinaten der Partikel gegeben durch:

${\begin{array}{llll}\kappa _{R}:&K&\rightarrow &V\subset \mathbb {V} ^{3}\\&P&\mapsto &{\vec {\Theta }}=(\Theta _{1},\Theta _{2},\Theta _{3})\end{array}}$.

Diese Zuordnung ist ein-eindeutig (bijektiv), so dass ${\vec {\Theta }}$ auch der Benennung des Partikels $P$ dient. Weil die Koordinaten ${\vec {\Theta }}$ an das Partikel gebunden sind, werden sie von jeder Bewegung des Partikels mitgenommen.

Tangenten- und Gradientenvektoren

Die Bewegungsfunktion ${\vec {x}}={\vec {\chi }}_{t}({\vec {\Theta }},t)$ beschreibt die Bewegung des Partikels ${\vec {\Theta }}$ durch den Raum. Die Bewegung starte zu einem Zeitpunkt $t_{0}$, in dem sich der Körper in der Ausgangskonfiguration befindet. Die Funktion

${\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }}):={\vec {\chi }}_{t}({\vec {\Theta }},t_{0})={\vec {X}}=\sum _{i=1}^{3}X_{i}{\vec {e}}_{i}$

ordnet den Koordinaten ${\vec {\Theta }}$ ein-eindeutig (bijektiv) einen Punkt ${\vec {X}}$ im Raum zu, den das Partikel zu einem bestimmten Zeitpunkt $t_{0}$ eingenommen hat. Wegen der Bijektivität kann man

${\vec {X}}=:{\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }})\quad \Leftrightarrow \quad {\vec {\Theta }}=:{\vec {\chi }}_{0}^{-1}({\vec {X}})$

schreiben. Variiert man im Vektor ${\vec {\Theta }}$ nur eine Koordinate, dann fährt ${\vec {\chi }}_{0}({\vec {\Theta }})$ eine materielle Koordinatenlinie ab, die im allgemeinen Fall eine Kurve im Raum ist. Die Tangentenvektoren

${\vec {G}}_{i}={\frac {\mathrm {d} {\vec {\chi }}_{0}}{\mathrm {d} \Theta _{i}}}=\sum _{j=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} \chi _{0j}}{\mathrm {d} \Theta _{i}}}{\vec {e}}_{j}$

an diese Kurven nennt man kovariante Basisvektoren des krummlinigen Koordinatensystems. Bestimmt man andererseits die Richtung, in der sich die Koordinate $\Theta _{i}$ am stärksten ändert, bildet man den Gradienten

${\vec {G}}^{i}=\mathrm {GRAD} (\Theta _{i})={\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}={\frac {\mathrm {d} {({\vec {\chi }}_{0}^{-1}({\vec {X}}))}_{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}$

und bekommt die kontravarianten Basisvektoren ${\vec {G}}^{i}$ in einem materiellen Punkt. Wegen

${\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} \Theta _{j}}}={\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {\chi }}_{0}}{\mathrm {d} \Theta _{j}}}={\vec {G}}^{i}\cdot {\vec {G}}_{j}=\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{array}{lll}1&\mathrm {falls} &i=j\\0&\mathrm {sonst} &\end{array}}\right.$

sind die ko- und kontravarianten Basisvektoren dual zueinander und man kann die kontravarianten Basisvektoren aus

$\mathbf {J} ={\frac {\mathrm {d} {\vec {\chi }}_{0}}{\mathrm {d} {\vec {\Theta }}}}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{i}\rightarrow \mathbf {J} ^{-1}=\left(\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{i}\right)^{-1}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}$

berechnen. Darin wurde das dyadische Produkt "$\otimes$" benutzt. In der Jacobimatrix $\mathbf {J}$ sind die kovarianten Basisvektoren ${\vec {G}}_{i}$ spaltenweise eingetragen und die kontravarianten Basisvektoren ${\vec {G}}^{i}$ finden sich in den Zeilen von $\mathbf {J} ^{-1}$.

Die ko- und kontravarianten Basisvektoren werden nur lokal (in den Tangentialräumen) im Punkt ${\vec {X}}$ benutzt: Die kovarianten Basisvektoren ${\vec {G}}_{i}$ bilden eine Basis des Tangentialraumes $T_{\vec {X}}\mathbb {V} ^{3}$ und die kontravarianten Basisvektoren ${\vec {G}}^{i}$ bilden eine Basis des Kotangentialraumes $T_{\vec {X}}^{\ast }\mathbb {V} ^{3}$ im Punkt ${\vec {X}}$.

Verfolgt man die Bewegung, bekommt man in jedem Punkt und zu jedem Zeitpunkt $t>t_{0}$ einen Satz kovarianter Basisvektoren ${\vec {g}}_{i}$ und kontravarianter Basisvektoren ${\vec {g}}^{i}$, die die Tangenten bzw. Gradienten der materiellen Koordinatenlinien im deformierten Körper zur Zeit $t$ sind. Sie sind mithin Basen der Tangentialräume $T_{\vec {x}}\mathbb {V} ^{3}$ bzw. $T_{\vec {x}}^{\ast }\mathbb {V} ^{3}$.

Differentialoperatoren und Nabla Operator

Die Differentialoperatoren Gradient (grad), Divergenz (div) und Rotation (rot) aus der Vektoranalysis können durch den Nabla-Operator $\nabla$ definiert werden. In konvektiven Koordinaten hat der Nabla-Operator die Form:

$\nabla =\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}^{i}{\frac {\partial }{\partial \Theta _{i}}}$.

Die Gradienten von Skalar- und Vektorfeldern werden mit ihm wie folgt dargestellt:

Skalarfeld	$\mathrm {GRAD} (\phi ):=\nabla \phi =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \phi }{\partial \Theta _{i}}}{\vec {G}}^{i}={\frac {\partial \phi }{\partial {\vec {X}}}}$
Vektorfeld	$\mathrm {GRAD} ({\vec {v}}):={\vec {v}}\otimes \nabla =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial {\Theta }_{i}}}\otimes {\vec {G}}^{i}={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial {\vec {X}}}}$

Die Divergenzen werden aus dem Skalarprodukt mit $\nabla$ erhalten:

Vektorfeld	$\mathrm {DIV} ({\vec {v}}):={\vec {v}}\cdot \nabla =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial \Theta _{i}}}\cdot {\vec {G}}^{i}=\mathrm {Spur} \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial {\vec {X}}}}\right)$
Tensorfeld	$\mathrm {DIV} (\mathbf {T} ):=\mathbf {T} \nabla =\sum _{i=1}^{3}{\frac {\partial \mathbf {T} }{\partial \Theta _{i}}}{\vec {G}}^{i}$

Die Rotation eines Vektorfeldes bekommt mit dem Kreuzprodukt:

$\mathrm {ROT} ({\vec {v}}):=\nabla \times {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}^{i}\times {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial \Theta }}_{i}$.

Entsprechende Operatoren $\mathrm {div}$, $\mathrm {grad}$ und $\mathrm {rot}$ für Felder in der Momentankonfiguration bekommt man mit dem Nabla-Operator

$\nabla =\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}^{i}{\frac {\partial }{\partial \Theta _{i}}}$.

Der Einheitstensor

Der Einheitstensor $\mathbf {I}$ bildet jeden Vektor auf sich selbst ab. Somit muss für zwei beliebige Vektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ jederzeit

${\vec {u}}\cdot {\textbf {I}}{\vec {v}}={\vec {u}}\cdot {\vec {v}}$

erfüllt sein. Mit ${\vec {u}}=\sum _{i=1}^{3}u^{i}{\vec {G}}_{i}$ und ${\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}{\vec {G}}^{i}$ bekommt man

${\vec {u}}\cdot {\vec {v}}=\left(\sum _{i=1}^{3}u^{i}{\vec {G}}_{i}\right)\cdot \left(\sum _{j=1}^{3}v_{j}{\vec {G}}^{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}u^{i}v_{i}=\left(\sum _{i=1}^{3}{u}^{i}{\vec {G}}_{i}\right)\cdot \left(\sum _{k=1}^{3}{\vec {G}}^{k}\otimes {\vec {G}}_{k}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}{v}_{j}{\vec {G}}^{j}\right)={\vec {u}}\cdot \mathbf {I} {\vec {v}}$

für alle ${\vec {u}},{\vec {v}}$. Also ist

$\mathbf {I} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}^{i}\otimes {\vec {G}}_{i}$.

In gleicher Weise bekommt man die Darstellungen

$\mathbf {I} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}^{i}\otimes {\vec {G}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}G_{ij}{\vec {G}}^{i}\otimes {\vec {G}}^{j}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}G^{ij}{\vec {G}}_{i}\otimes {\vec {G}}_{j}$.

Die Skalarprodukte der kovarianten Basisvektoren

$G_{ij}={\vec {G}}_{i}\cdot {\vec {G}}_{j}$

sind die kovarianten Metrikkoeffizienten des Tangentialraumes $T_{\vec {X}}\mathbb {V} ^{3}$. Entsprechend sind die Skalarprodukte der kontravarianten Basisvektoren

$G^{ij}={\vec {G}}^{i}\cdot {\vec {G}}^{j}$

die kontravarianten Metrikkoeffizienten des Kotangentialraumes $T_{\vec {X}}^{\ast }\mathbb {V} ^{3}$.

In der Momentankonfiguration bekommt man die Darstellungen

$\mathbf {I} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}g_{ij}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}g^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}$

mit den ko- und kontravarianten Metrikkoeffizienten $g_{ij}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j}$ bzw. $g^{ij}={\vec {g}}^{i}\cdot {\vec {g}}^{j}$ des Tangentialraumes $T_{\vec {x}}\mathbb {V} ^{3}$ bzw. Kotangentialraumes $T_{\vec {x}}^{\ast }\mathbb {V} ^{3}$.

Deformationsgradient

→ Hauptartikel: Deformationsgradient

In konvektiven Koordinaten ausgedrückt bekommt der Deformationsgradient $\mathbf {F}$ eine besonders einfache Form. Der Deformationsgradient bildet gemäß seiner Definition die Tangentenvektoren an materielle Linien in der Ausgangskonfiguration auf die in der Momentankonfiguration ab und diese Tangentenvektoren sind gerade die kovarianten Basisvektoren ${\vec {G}}_{i}$ bzw. ${\vec {g}}_{i}$. Also ist

${\vec {g}}_{i}=\mathbf {F} {\vec {G}}_{i}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}$.

Das ergibt sich auch aus der Ableitung der Bewegungsfunktion ${\vec {x}}={\vec {\chi }}({\vec {X}},t)={\vec {\chi }}_{t}({\vec {\Theta }},t)$ :

$\mathbf {F} =\mathrm {GRAD} {\vec {\chi }}({\vec {X}},t)=:{\frac {\mathrm {d} {\vec {\chi }}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}=\sum _{i=1}^{3}{\frac {\mathrm {d} {\vec {\chi }}_{t}}{\mathrm {d} \Theta _{i}}}\otimes {\frac {\mathrm {d} \Theta _{i}}{\mathrm {d} {\vec {X}}}}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}$.

In dieser Darstellung läßt sich auch sofort mit

$\mathbf {F} ^{-1}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {G}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}$

die Inverse des Deformationsgradienten angeben, denn wegen ${\vec {G}}^{i}\cdot {\vec {G}}_{j}=\delta _{j}^{i}$ folgt

$\mathbf {F\,F} ^{-1}=\left(\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}{\vec {G}}_{j}\otimes {\vec {g}}^{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}({\vec {G}}^{i}\cdot {\vec {G}}_{j}){\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}=\mathbf {I}$.

Der transponiert inverse Deformationensgradient bildet die kontravarianten Basisvektoren aufeinander ab:

$\mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }=\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {G}}_{i}\quad \Leftrightarrow \quad {\vec {g}}^{i}=\mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }{\vec {G}}^{i}$.

Räumlicher Geschwindigkeitsgradient

Die Zeitableitung des Deformationsgradienten ist der materielle Geschwindigkeitsgradient

${\dot {\mathbf {F} }}=\sum _{i=1}^{3}{\dot {\vec {g}}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}$,

denn die Ausgangskonfiguration hängt nicht von der Zeit ab und das gilt dann auch für die Basisvektoren ${\vec {G}}_{i}$ und ${\vec {G}}^{i}$. Der räumliche Geschwindigkeitsgradient $\mathbf {L}$ bekommt in konvektiven Koordinaten so die einfache Form

$\mathbf {L} =\mathrm {grad} ({\vec {v}}({\vec {x}},t))={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}={\dot {\mathbf {F} }}\mathbf {F} ^{-1}=\sum _{i=1}^{3}{\dot {\vec {g}}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{i}$.

worin ${\vec {v}}({\vec {x}},t)$ die Geschwindigkeit eines Partikels am Ort ${\vec {x}}$ zur Zeit $t$ ist. Er transformiert die Basisvektoren in ihre Raten:

${\dot {\vec {g}}}_{i}=\mathbf {L} {\vec {g}}_{i}$ und ${\dot {\vec {g}}}^{i}=-\mathbf {L} ^{\mathrm {T} }{\vec {g}}^{i}$.

Streck-, Verzerrungs- und Spannungstensoren

Die folgenden Tensoren treten in der Kontinuumsmechanik auf. Ihre Darstellung in konvektiven Koordinaten ist in der Tabelle zusammengestellt.

Name	Darstellung in konvektiven Koordinaten
Deformationsgradient	$\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}$
Rechter Cauchy-Green Tensor	$\mathbf {C} =\mathbf {F} ^{\mathrm {T} }\mathbf {F} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}g_{ij}{\vec {G}}^{i}\otimes {\vec {G}}^{j}$
Linker Cauchy-Green Tensor	$\mathbf {b} =\mathbf {F} \mathbf {F} ^{\mathrm {T} }=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}G^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}$
Green-Lagrange-Verzerrungstensor	$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {F} ^{\mathrm {T} }\mathbf {F} -\mathbf {I} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}E_{ij}{\vec {G}}^{i}\otimes {\vec {G}}^{j}$ mit $E_{ij}={\frac {1}{2}}(g_{ij}-G_{ij})$
Euler-Almansi- Verzerrungstensor	$\mathbf {e} ={\frac {1}{2}}(\mathbf {I} -\mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }\mathbf {F} ^{-1})=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}E_{ij}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}$
Räumlicher Geschwindigkeitsgradient	$\mathbf {L} =\sum _{i=1}^{3}{\dot {{\vec {g}}_{i}}}\otimes {\vec {g}}^{i}$
Räumlicher Verzerrungsgeschwindigkeitstensor	$\mathbf {D} ={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\dot {g}}_{ij}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\dot {g}}^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}$
Cauchyscher Spannungstensor	$\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}T^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}$
Gewichteter Cauchyscher Spannungstensor	$\mathbf {S} =\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\tilde {T}}^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}$
Erster Piola-Kirchoff'scher Spannungstensor	$\mathbf {T} _{0}=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathbf {T} \mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\tilde {T}}^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {G}}_{j}$
Zweiter Piola-Kirchoff'scher Spannungstensor	${\tilde {T}}=\mathrm {det} (\mathbf {F} )\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {T} \mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\tilde {T}}^{ij}{\vec {G}}_{i}\otimes {\vec {G}}_{j}$

Weil der rechte Cauchy-Green Tensor $\mathbf {C}$, der Green-Lagrange-Verzerrungstensor $\mathbf {E}$ und der Euler-Almansi-Tensor $\mathbf {e}$ in ihrer (hier angegebenen) natürlichen Form mit den kovarianten Komponenten $g_{ij}$ bzw. $E_{ij}$ gebildet werden, werden diese Tensoren üblicher Weise als kovariante Tensoren bezeichnet. Die Spannungstensoren $\mathbf {T} ,\mathbf {S}$ und ${\tilde {\mathbf {T} }}$ sind entsprechend kontravariante Tensoren.

Objektive Zeitableitungen

Objektive Größen sind solche, die sich unter einer euklidischen Transformation in charakteristischer Weise transformieren. Die Zeitableitung objektiver Tensoren ist im allgemeinen nicht objektiv. Die konvektiven ko- bzw. kontravarianten Oldroyd-Ableitungen objektiver Tensoren sind jedoch objektiv. Sie sind definiert über

Kovariante Oldroyd-Ableitung, z.B. von $\mathbf {e} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}E_{ij}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}$:    ${\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }}:={\dot {\mathbf {e} }}+\mathbf {eL} +\mathbf {L} ^{\mathrm {T} }\mathbf {e} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\dot {E}}_{ij}{\vec {g}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}$.

Kontravariante Oldroyd-Ableitung, z.B. von $\mathbf {S} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\tilde {T}}^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}$:    ${\stackrel {\nabla }{\mathbf {S} }}:={\dot {\mathbf {S} }}-\mathbf {LS} -\mathbf {SL} ^{\mathrm {T} }=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}{\dot {\tilde {T}}}^{ij}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}$.

Bemerkenswert sind die Transformationseigenschaften der kovarianten Tensoren

$\mathbf {e} =\mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }\mathbf {EF} ^{-1}$ und ${\stackrel {\Delta }{\mathbf {e} }}=\mathbf {F} ^{-\mathrm {T} }{\dot {\mathbf {E} }}\mathbf {F} ^{-1}$

sowie der kontravarianten Tensoren

$\mathbf {S} =\mathbf {F} {\tilde {\mathbf {T} }}\mathbf {F} ^{\mathrm {T} }$ und ${\stackrel {\nabla }{\mathbf {S} }}=\mathbf {F} {\dot {\tilde {\mathbf {T} }}}\mathbf {F} ^{\mathrm {T} }$.

Beispiel

Parallelogramm in Ausgangs- und Momentankonfiguration

Ein Parallelogramm mit Grundseite und Höhe $L$ und Neigungswinkel $\alpha$ wird zu einem flächengleichen Quadrat verformt, siehe Bild. Als Referenzkonfiguration eignet sich das Einheitsquadrat

$\Theta _{1},\Theta _{2}\in [0,L]^{2}\subset \mathbb {R} ^{2}$.

In der Ausgangskonfiguration haben alle Punkte des Parallelogramms die Koordinaten:

${\vec {X}}={\vec {\chi }}_{0}(\Theta _{1},\Theta _{2})=\left({\begin{array}{c}\Theta _{1}+\tan(\alpha )\Theta _{2}\\\Theta _{2}\end{array}}\right)$.

Die kovarianten Basisvektoren sind

${\vec {G}}_{1}={\frac {\mathrm {d} {\vec {X}}}{\mathrm {d} \Theta _{1}}}=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)={\vec {e}}_{x}\,,\;{\vec {G}}_{2}={\frac {\mathrm {d} {\vec {X}}}{\mathrm {d} \Theta _{2}}}=\left({\begin{array}{c}\tan(\alpha )\\1\end{array}}\right)$.

Die kontravarianten Basisvektoren bekommt man aus den Zeilen der Inversen der Jacobimatrix:

${\begin{array}{l}\mathbf {J} =\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\frac {\mathrm {d} X_{i}}{\mathrm {d} \Theta _{j}}}{\vec {e}}_{i}\otimes {\vec {e}}_{j}=\left({\begin{array}{cc}1&\tan(\alpha )\\0&1\end{array}}\right)\;\rightarrow \;\mathbf {J} ^{-1}=\left({\begin{array}{cc}1&-\tan(\alpha )\\0&1\end{array}}\right)\\\rightarrow {\vec {G}}^{1}=\left({\begin{array}{c}1\\-\tan(\alpha )\end{array}}\right)\,,\;{\vec {G}}^{2}=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\end{array}}$.

In der Momentankonfiguration ist $\alpha =0^{\circ }$:

${\vec {x}}={\vec {\chi }}_{t}(\Theta _{1},\Theta _{2})=\left({\begin{array}{c}\Theta _{1}\\\Theta _{2}\end{array}}\right)$

und die konvektiven ko- und kontravarianten Basisvektoren bilden die Standardbasis

${\vec {g}}_{1}={\vec {g}}^{1}={\vec {e}}_{x}=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)\,,\;{\vec {g}}_{2}={\vec {g}}^{2}={\vec {e}}_{y}=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)$.

Der Deformationsgradient

$F=\sum _{i=1}^{2}{\vec {g}}_{i}\otimes {\vec {G}}^{i}=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)\otimes \left({\begin{array}{c}1\\-\tan(\alpha )\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\otimes \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}1&-\tan(\alpha )\\0&1\end{array}}\right)$

ist ortsunabhängig und hat die Determinante eins, was die Erhaltung des Flächeninhalts bestätigt. Die kovarianten Metrikkoeffizienten lauten

$G_{11}=1\,,\;G_{12}=G_{21}=\tan(\alpha )\,,\;G_{22}=1+\tan {(\alpha )}^{2}\,,\;g_{11}=1\,,\;g_{12}=g_{21}=0\,,\;g_{22}=1$.

Damit bekommt man den Green-Lagrange-Verzerrungstensor

${\begin{array}{lcl}\mathbf {E} &=&\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{2}{\frac {1}{2}}(g_{ij}-G_{ij}){\vec {G}}^{i}\otimes {\vec {G}}^{j}\\[2ex]&=&{\frac {1}{2}}(1-1){\vec {G}}^{1}\otimes {\vec {G}}^{1}+{\frac {1}{2}}(0-\tan(\alpha ))\left({\vec {G}}^{1}\otimes {\vec {G}}^{2}+{\vec {G}}^{2}\otimes {\vec {G}}^{1}\right)+{\frac {1}{2}}(1-1-\tan(\alpha )^{2}){\vec {G}}^{2}\otimes {\vec {G}}^{2}\\[2ex]&=&{\frac {1}{2}}\left[-\tan(\alpha )\left({\begin{array}{c}1\\-\tan(\alpha )\end{array}}\right)\otimes \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)-\tan(\alpha )\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\otimes \left({\begin{array}{c}1\\-\tan(\alpha )\end{array}}\right)-\tan(\alpha )^{2}\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\otimes \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\right]\\[2ex]&=&{\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{cc}0&-\tan(\alpha )\\-\tan(\alpha )&(1+1-1)\tan(\alpha )^{2}\end{array}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\begin{array}{cc}0&-\tan(\alpha )\\-\tan(\alpha )&\tan(\alpha )^{2}\end{array}}\right)={\frac {1}{2}}(\mathbf {F} ^{\mathrm {T} }\mathbf {F} -\mathbf {I} )\end{array}}$.

Siehe auch

• Kontinuumsmechanik

Literatur

• H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.
• Ralf Greve: Kontinuums- und Kontaktmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-43539-8,books.google.de/books?isbn=3540435298
• K. Willner: 'Kontinuums- und Kontaktmechanik: synthetische und analytische Darstellung. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-43529-8, books.google.de/books?isbn=3540435298

Kategorie: Kontinuumsmechanik