Benutzer:NikelsenH/Stochastische Modellbildung

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Einleitung

Modellierung von Zufallsexperimenten durch Wahrscheinlichkeitsräume

Ergebnisse und Ergebnisraum

Grundlegend für die Modellierung von einfachen Zufallsexperimenten ist die Frage, was alles passieren kann und welcher Teil davon relevant ist. So kann bei dem Wurf mit einem Würfel nicht nur die Augenzahl beobachtet werden, sondern zum Beispiel auch die Position an welcher der Würfel zum liegen kommt. Die Wahl der geeigneten Beobachtungstiefe ist hier wichtig. Hat man diese gewählt, so werden die möglichen Ausgänge des modellierten Zufallsexperimentes formalisiert und dann Ergebnisse bezeichnet. Alle diese Ergebnisse werden im Ergebnisraum zusammengefasst.

Betrachtet man als Beispiel dieses Vorgehens den oben beschriebenen Würfel, so wäre bei Beobachtung der Augenzahl eine ergebnis gegeben durch die $3$. Ebenso wäre die $1$ ein Ergebnis. Der Ergebnisraum wäre dann $\{1,2,3,4,5,6\}$. Beobachtet man noch zusätzlich die Position des Würfels, so wäre ein Ergebnis $(3,x,y)$. Hierbei ist $3$ die Augenzahl, $x,y$ sind passende Koordinaten, auf denen der Würfel zum liegen kommt.

Oftmals ist es von Vorteil, den Ergebnisraum etwas zu groß zu wählen, also mehr Ergebnisse zuzulassen als man beobachten kann. So werden Körpergrößen Beispielsweise mit den reellen Zahlen als Ergebnisraum modelliert, auch wenn negative Körpergrößen nicht vorkommen, ebensowenig wie Körpergrößen mit unendlich vielen Nachkommastellen beoabachtet bzw. gemessen werden können. Durch eine geeignete Wahl von Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder ??? ab hier neuBLLLLLLLNachteragen wird dies Kompensiert. Vorteil ist die größere Allgemeinheit des Modells und eine einheitlichere Behandlung.

Ereignissysteme und Ereignisse

AUfgrund von Negativresultaten wie dem Satz von Vitali und dem Banach-Tarski-Paradoxon kann nich jeder Teilmenge des Ergebnisraumes eine Wahrscheinlichkeits zugeordnet werden. Man definiert daher ein Ereignissystem, das alle Mengen enthält, denen später eine Wahrscheinlichkeits zugeordnet werden soll. Diese Mengen werden Ereignisse genannt. Das Ereignissystem ist immer eine σ-Algebra, kanonisch wählt man folgende Ereignissysteme:

• Ist der Ereignisraum endlich oder abzählbar unendlich, so wählt man als Ereignissystem die Potenzmenge
• Ist der Ereignisraum $\mathbb {R}$, $\mathbb {R} ^{n}$ oder eine Teilmenge der reellen Zahlen, so wählt man die Borelsche σ-Algebra
• Ist der Ereignisraum als Produkt dargestellt, so wählt man die Produkt-σ-Algebra als Ereignissystem.

Damit ist die Wahl des Ereignissystems im wesentlichen durch die Angabe des Ergebnisraumes vorbestimmt. Wesentliche Aufgabe des Ereignissystems ist , die widerspruchsfreie Formalisierung der Wahrscheinlichkeiten zu ermöglichen und die oben genannten Widersprüche zu vermeiden.

Wahrscheinlicheitsverteilung

Die Modellbildung wird wesentlich durch die Wahl einer Wahrscheinlichkeitsverteilung beeinflusst. Dies ist die Abbildung, die den Ereignissen, also den Mengen aus dem Ereignissystem, eine Wahrscheinlichkeit zuordnet. Durch unterschiedliche Zuordnungen entstehen somit auch grundlegen andere Modelle. Beliebte Methoden zur Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind

• Wahrscheinlichkeitsfunktionen bei diskreten Ergebnismengen
• Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen, wenn die Ergebnismenge $\mathbb {R}$, $\mathbb {R} ^{n}$ oder eine Teilmenge ist.

Für weitere Konstruktionsmethoden siehe Wahrscheinlichkeitsmaß#Konstruktion von Wahrscheinlichkeitsmaßen. Hat man sich einmal auf eine Wahrscheinlichkeitsverteilung festgelegt, blblbl

Beispiel

Wir betrachten als Beispiel den Wurf von zwei gewöhnlichen, voneinander unterscheidbaren fairen Würfeln. Beobachtet wird nur die Augenzahl beim Wurf, alle Weiteren Parameter wie Ruhelage der Würfel oder Luftfeuchtigkeit werden ignoriert.

Ergebnisse sind nun alle Möglichen Kombinationen von Augenzahlen der Würfel. Somit ist $(1,4)$ ebenso ein Ergebnis wie $(5,5)$.

Ergebnisraum ist die Menge aller Ergebnisse, streng formalisiert als

$\Omega =\{(n_{1};n_{2})\mid n_{1}\in \{1,2,3,\dots ,6\},\;n_{2}\in \{1,2,3,\dots ,6\}\}$.

Er enthält jede mögliche Kombination aus AUgenzhalen von zwei Würfeln.

Da der Ergebnisraum endlich ist (er enthält 36 Elemente), ist das Ereignissystem als Potenzmenge definiert, also

$\Sigma ={\mathcal {P}}(\Omega )$.

Die Ereignisse sind dann beliebige Teilmengen des Ergebnisraums. SO wäre $\{(1,1);(1,2);(1,3);(1,4);(1,5);(1,6)\}$ das Ereignis, dass der erste Würfel eine eins Zeigt.