Benutzer:Tensorproduct/Stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten

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Die stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten (auch stochastische Differentialgeometrie genannt) bezeichnet ein Teilgebiet der Stochastik, in dem die stochastischen Analysis auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten angewendet wird. Es handelt sich somit um die Synthese der stochastischen Analysis mit der Differentialgeometrie.

Ein Punkt, der eine natürliche Brücke zwischen der Analysis und der Stochastik schlägt, ist die Tatsache, dass der infinitesimale Generator eines stetigen starken Markow-Prozesses ein elliptischer Operator zweiter Ordnung ist. Der infinitesimale Generator der brownschen Bewegung ist der Laplace-Operator, werden brownsche Pfade als charakteristische Kurven des Operators interpretiert, so lässt sich die Lösung einer Problemstellung mit diesem Operator als brownsche Bewegung darstellen.

Die stochastische Differentialgeometrie bietet neue Einsicht in die klassische Analysis und liefert neue wahrscheinlichkeitstheoretische Beweismöglichkeiten, zum Beispiel kann die brownsche Bewegung auf das Dirichlet-Problem im Unendlichen für die Cartan-Hadamard-Mannigfaltigkeit angewendet werden, des Weiteren gibt es probabilistischen Beweis für den Atiyah-Singer-Indexsatz. Die stochastische Differentialgeometrie findet aber auch Anwendungen in anderen Gebieten wie der Finanzmathematik. So lässt sich zum Beispiel die klassische Arbitrage-Theorie in differentialgeometrische Sprache übertragen (geometrische Arbitrage-Theorie genannt).

Untersuchungsgegenstände der stochastische Analysis auf Mannigfaltigkeiten sind stochastische Prozesse auf nicht-linearen Zustandsräumen oder Mannigfaltigkeiten. Die klassische Theorie wird neu in koordinatenfreier Darstellung formuliert, eine Schwierigkeit dabei ist, dass es meistens nicht möglich ist, mit Koordinaten das Ganze auf $\mathbb {R} ^{d}$ zu formulieren. Eine Folge davon ist, dass man für die Definition des Martingales und der brownschen Bewegung auf einer Mannigfaltigkeit zusätzliche geometrische Strukturen wie lineare Zusammenhänge und riemannschen Metriken benötigt.

Die brownsche Bewegung wird als durch den halben Laplace-Beltrami-Operators ${\tfrac {1}{2}}\Delta _{M}$ generierten Diffusionsprozess bezüglich einer Mannigfaltigkeit $M$ definiert und lässt sich als Lösung einer nicht-kanonischen stochastischen Differentialgleichung auf einer riemannschen Manigfaltigkeit konstruieren. Da der Operator $\Delta _{M}$ auf einer nicht-parallelisierbaren Mannigfaltigkeit keine natürliche Darstellung in Hörmanderform besitzt, existiert auch kein kanonisches Verfahren zur Konstruktion der brownschen Bewegung. Allerdings lässt sich diese Problem für Mannigfaltigkeiten mit Zusammenhang durch die Einführung des stochastischen horizontalen Lifts eines Semimartingals und der stochastischen Abwicklung mit der sogenannten Eells-Elworthy-Malliavin-Konstruktion lösen.

Ersteres ist eine Verallgemeinerung des horizontalen Lifts von differenzierbarer Kurven zu horizontalen Kurven im Rahmenbündel, so dass die anti-Abwicklung und der horizontale Lift durch eine stochastische Differentialgleichung im Zusammenhang stehen. Dadurch kann wiederum eine SDGL auf dem Orthonormalbasenbündel (auch orthogonales Rahmenbündel genannt) einer riemannschen Mannigfaltigkeit betrachtet werden, deren Lösung die brownsche Bewegung ist und man projiziert diese auf die Mannigfaltigkeit via stochastischer Abwicklung. Als bildliche Interpretation entspricht dies dem "Rollen" einer Mannigfaltigkeit entlag der Pfade der Brownschen Bewegung.

Vorwort

Der Übersicht zuliebe setzen wir für alle Begriffe vorraus (falls nicht explizit formuliert), dass ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},{\mathcal {F}}_{t},P)$ und eine differenzierbare Mannigfaltigkeit $M$ existiert. Die Filtrierung soll rechtsstetig und vollständig sein, d. h. die üblichen Bedingungen gelten. Wir verwenden das Stratonowitsch-Integral, dieses hat gegenüber dem Itō-Integral den Vorteil, dass stochastischen Differentialgleichungen unter Diffeomorphismen $f:M\to N$ zwischen Mannigfaltigkeiten konsistent bleiben, das heißt, wenn $X$ eine Lösung ist, dann ist auch $f(X)$ eine Lösung unter Transformation der stochastischen Differentialgleichung.

Notation:

• $TM$ das Tangentialbündel von $M$.
• $T*M$ das Kotangentialbündel von $M$.
• $\Gamma (TM)$ das $C^{\infty }(M)$-Modul der Vektorfelder auf $M$.
• $X\circ dZ$ bezeichnet das Stratonowitsch-Integral.
• $C_{c}^{\infty }(M)$ ist der Raum der Testfunktionen auf $M$, das heißt $f\in C_{c}^{\infty }(M)$ ist differenzierbar und besitzt einen kompakten Träger.

Stochastische Differentialgleichung auf einer Mannigfaltigkeit

Flussprozesse

Flussprozesses (auch $L$-Diffusion genannt) sind das stochastische Pendant der Integralkurven (Flusslinien) eines Vektorfeldes. Im Gegensatz zur deterministischen Variante wird der Fluss bezüglich eines Differentialoperators zweiter Ordnung definiert.

PDO in Hörmanderform

Sei $A\in \Gamma (TM)$ ein Vektorfeld und definiere für $f\in C^{\infty }(M)$ die Komposition $A^{2}:=A(A(f))$. Ein partieller Differentialoperator (PDO) $L:C^{\infty }(M)\to C^{\infty }(M)$ ist genau dann in Hörmanderform, wenn Vektofelder $A_{0},A_{1},\dots ,A_{r}\in \Gamma (TM)$ existieren und sich $L$ in der Form

$L=A_{0}+\sum \limits _{i=1}^{r}A_{i}^{2}$

schreiben lässt.

Flussprozess

Sei $L$ ein PDO in Hörmanderform auf $M$ und $x\in M$ ein Startpunkt. Ein adaptierter und stetiger $M$-Prozess $X$ mit $X_{0}=x$ heißt Flussprozess zu $L$ mit Startpunkt $x$, falls für jede Testfunktion $f\in C_{c}^{\infty }(M)$ und $t\in \mathbb {R} _{+}$ der Prozess

$N(f)_{t}:=f(X_{t})-f(X_{0})-\int _{0}^{t}(Lf)(X_{r})\mathrm {d} r$

ein Martingal ist, d. h.

$\mathbb {E} [N(f)_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=N(f)_{s},\quad \forall s\leq t$.

Bemerkung

Für eine Testfunktion $f\in C_{c}^{\infty }(M)$, einen PDO $L$ in Hörmanderform und einen Flussprozess $X_{t}^{x}$ (mit Startwert $x$) gelten nun anders als im deterministischen Fall die Flussgleichungen nur im Mittel

${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\mathbb {E} [f(X_{t}^{x})]=\mathbb {E} [(Lf)(X_{t}^{x})]$

und den PDO erhält man wieder durch ${\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\bigg |}_{t=0}\mathbb {E} [f(X_{t}^{x})]=(Lf)(x)$.

Lebenszeit und Explosionszeit

Sei $U\subset \mathbb {R} ^{n}$ eine offene und nicht-leeren Menge und $\xi >0$ vorhersagbare Stoppzeit. Dann bezeichnen wir $\xi$ als Lebenszeit eines stetigen Semimartingales $X=(X_{t})_{0\leq t<\xi }$ auf $U$ wenn

• eine Folge von Stoppzeiten $(\xi _{n})$ mit $\xi _{n}\nearrow \xi$ existiert, für die gilt $\xi _{n}<\xi$ $P$-fast sicher auf $\{0<\xi <\infty \}$.
• der gestoppte Prozess $(X_{t\wedge \xi _{n}})$ ein Semimartingal ist.

Gilt zusätzlich $X_{\xi _{n}(\omega )}\to \partial U$ für fast alle $\omega \in \{\xi <\infty \}$, so nennen wir $\xi$ Explosionszeit.

Ein Flussprozess $X$ kann eine endliche Lebenszeit $\xi$ besitzen. Das bedeutet das $X=(X)_{t<\xi }$ so definiert ist, dass wenn $t\to \xi$ dann gilt $P$-fast sicher auf $\{\xi <\infty \}$, dass $X_{t}\to \infty$ in der Einpunktkompaktifizierung ${\hat {M}}:=M\cup \{\infty \}$. In diesem Fall setzen wir den Prozess pfadweise durch $X_{t}:=\infty$ für $t\geq \xi$ fort.

Semimartingal auf einer Mannigfaltigkeit

Ein Prozess $X$ ist genau dann ein Semimartingal auf $M$, wenn für alle $f\in C^{2}(M)$ die Variable $f(X)$ ein $\mathbb {R}$-Semimartingal ist. Es lässt sich zeigen, dass jedes $M$-Semimartingal die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung auf $M$ ist. Ist das Semimartingal nur bis zu einer endlichen Lebenszeit $\xi$ definiert, so kann man durch Zeittransformation stets ein Semimartingal mit unendlicher Lebenszeit konstruieren. Ein Semimartingal besitzt eine quadratische Variation bezüglich eines Schnitts im Bündel der Bilinearformen auf $TM$.

Mit Einführung des Begriffes des Stratonowitsch-Integral einer Differentialformen $\alpha$ längs eines Semimartingales $X$ lässt sich das sogenannte Windungsverhalten von $X$, einer Verallgemeinerung der Umlaufzahl, studieren.

Stratonowitsch-Integral einer 1-Form

Sei $X$ ein $M$-Semimartingal und $\alpha \in \Gamma (T^{*}M)$ eine $1$-Form, dann nennen wir das Integral $\int _{X}\alpha :=\int \alpha (\circ dX)$ Stratonowitsch-Integral von $\alpha$ längs $X$. Für $f\in C^{\infty }(M)$ definiern wir $f(X)\circ \alpha (\circ dX):=f(X)\circ d(\int _{X}\alpha )$.

SDGL auf einer Mannigfaltigkeit

Eine stochastische Differentialgleichung auf einer Mannigfaltigkeit $M$, geschrieben SDGL auf $M$, kann entweder als Paar $(A,Z)$ durch einen Bündelhomomorphismus (ein Homomorphismus von Vektorbündeln) oder als $r+1$-Tupel $(A_{1},\dots ,A_{r},Z)$ mit vorgegebenen Vektorfeldern definiert werden. Mit Hilfe der Whitney-Einbetung lässt sich zeigen, dass zu jeder SDGL auf $M$ mit Anfangsbedingung $X_{0}=x$ exakt eine Maximallösung existiert. Hat man eine Maximallösung, so erhält man gerade einen Flussprozess $X^{x}$ für den Operator $L$.

Definition der SDGL auf M

Eine SDGL auf $M$ ist ein Paar $(A,Z)$, wobei

• $Z=(Z_{t})_{t\in \mathbb {R} _{+}}$ ein stetiges Semimartingal auf einem endlichdimensionalen $\mathbb {R}$-Vektorraum $E$ ist.
• $A:M\times E\to TM$ ein Homomorphismus von Vektorbündeln über $M$

$A:(x,e)\mapsto A(x)e$

ist, wobei $A(x):E\to TM$ eine lineare Abbildung bezeichnet.

Die stochastische Differentialgleichung $(A,Z)$ notieren wir als

$dX=A(X)\circ dZ$

oder

$dX=\sum \limits _{i=1}^{r}A_{i}(X)\circ dZ^{i}.$

Letzteres erklärt sich durch $A_{i}:=A(\cdot )e_{i}$ bezüglich einer Basis $(e_{i})_{i=1,\dots ,r}$ und $\mathbb {R}$-Semimartingalen $(Z^{i})_{i=1,\dots ,r}$ mit $Z=\sum \limits _{i=1}^{r}Z^{i}e_{i}$.

Da für gegebene Vektorfelder $A_{1},\dots ,A_{r}\in \Gamma (TM)$ exakt ein Bündelhomomorphismus $A$ mit der Eigenschaft $A_{i}:=A(\cdot )e_{i}$ existiert, ergibt sich daraus die Gültigkeit der Definition einer SDGL auf $M$ als $(A_{1},\dots ,A_{r},Z)$.

Zusätzlich nehmen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit an, dass $Z$ eine unendliche Lebenszeit besitzt. $Z$ kann aber auch eine endliche Lebenszeit besitzen, dann transformiert man einfach die Zeit auf den unendlichen Fall.

Lösung einer SDGL auf einer Mannigfaltigkeit

Sei $(A,Z)$ eine SDGL auf $M$ und $x_{0}:\Omega \to M$ eine ${\mathcal {F}}_{0}$-messbare Zufallsvariable. Sei $(X_{t})_{t<\zeta }$ ein stetiger adaptierter $M$-Prozess mit Lebenszeit $\zeta$ auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum wie $Z$. Dann bezeichnet man $(X_{t})_{t<\zeta }$ genau dann als Lösung der SDGL

$dX=A(X)\circ dZ$

zur Anfangsbedingung $X_{0}=x_{0}$, wenn für jede Testfunktion $f\in C_{c}^{\infty }(M)$ der Prozess $f(X)$ ein $\mathbb {R}$-Semimartingal mit Lebenszeit $\zeta$ ist und für jede Stoppzeit $\tau$ die Gleichung

$f(X_{\tau })=f(x_{0})+\int _{0}^{\tau }(df)_{X_{s}}A(X_{s})\circ \mathrm {d} Z_{s},\quad 0\leq \tau <\zeta$

$P$-fast sicher gilt. Ist die Lebenszeit maximal, dann spricht man von einer Maximallösung.

Martingale und die brownsche Bewegung

Die brownschen Bewegungen sind stochastische Flüsse des Laplace-Beltrami-Operators. Es ist möglich diese auf riemannschen Mannigfaltigkeiten $(M,g)$ zu konstruieren, allerdings wie in der Einleitung erwähnt, benötigt man für ein kanonisches Verfahren einen anderen Ansatz. Sei ${\mathcal {O}}(d)$ die orthogonale Gruppe, dann betrachtet man eine kanonische SDGL auf dem Orthonormalbasenbündel $O(M)$ über $M$ deren Lösung die brownsche Bewegung ist. Das Orthonormalbasenbündel ist die Gesamtheit aller Mengen $O_{x}(M)$ der orthonormalen Rahmen des Tangentialraumes $T_{x}M$

$O(M):=\bigcup \limits _{x\in M}O_{x}(M)$

oder anders gesagt, das zu $TM$ assozierte ${\mathcal {O}}(d)$-Prinzipalbündel. Die Lösung $U$ der SDGL definiert dann durch die Projektion $\pi :O(M)\to M$ eine Brownsche Bewegung $X$ auf der riemannschen Mannigfaltigkeit, einer stochastischen Abwicklung des $\mathbb {R} ^{d}$-Prozesses auf $M$. Umgekehrt nennt man den $\mathbb {R} ^{d}$-Prozess $W$ die Anti-Abwicklung von $U$ oder $\pi (U)=X$.

Zentral für die Konstruktion ist die für $f\in C^{\infty }(M)$ definierte Beziehung

$\Delta _{M}f(x)=\Delta _{O(M)}(f\circ \pi )(u)$

für alle $u\in O(M)$ mit $\pi u=x$ und dem Operator $\Delta _{O(M)}$ auf $O(M)$ wohldefiniert für horizontale Vektorfelder, $\Delta _{O(M)}$ nennt man auch Bochners horizontaler Laplace-Operator.

Martingale mit linearem Zusammenhang

Um Martingale zu definieren, benötigt man einen linearen Zusammenhang $\nabla$. Nun lässt sich das $\nabla$-Martingal charaktersisieren, falls seine Anti-Abwicklung ein lokales Martingal ist. Es ist aber auch möglich, das Ganze ohne die Anti-Abwicklung zu formulieren.

Mit der Bezeichnung ${\stackrel {m}{=}}$ bezeichnen wir Modulo bezüglich Differentialen von lokalen Martingalen.

Sei $X$ ein $M$-Semimartingal und . Dann ist $X$ genau dann ein Martingal oder $\nabla$-Martingal falls für jedes $f\in C^{\infty }(M)$ gilt

$d(f\circ X){\stackrel {m}{=}}{\tfrac {1}{2}}(\nabla df)(dX,dX)$

Brownsche Bewegung auf einer Riemannschen Mannigfaltigkeit

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit Laplace-Beltrami-Operator $\Delta _{M}$. Ein adaptierter $M$-wertiger Prozeß $X$ mit maximaler Lebenszeit $\xi$ heißt Brownsche Bewegung auf $(M,g)$, falls für jedes $f\in C^{\infty }(M)$

$f(X)-{\frac {1}{2}}\int \Delta _{M}f(X)\mathrm {d} t$

ein lokales $\mathbb {R}$-Martingal mit Lebenszeit $\xi$ ist.

Literatur

• Wolfgang Hackenbroch und Anton Thalmaier: Stochastische Analysis: Eine Einführung in die Theorie der stetigen Semimartingale. Hrsg.: Vieweg+Teubner Verlag Wiesbaden. ISBN 978-3-519-02229-9, S. 349–544. 
• Nobuyuki Ikeda und Shinzo Watanabe: Stochastic Differential Equations and Diffusion Processes. Hrsg.: North Holland. 
• Elton P. Hsu: Stochastic Analysis on Manifolds. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Graduate Studies in Mathematics. Band 38. 
• K. D. Elworthy: Stochastic Differential Equations on Manifolds. Hrsg.: Cambridge University Press. 1982, doi:10.1017/CBO9781107325609.