Benutzer:Weialawaga/HMS

In diesem Glossar werden kurze Erklärungen mathematischer Attribute gesammelt. Unter einem Attribut wird eine Eigenschaft verstanden, die einem mathematischen Objekt zugesprochen wird. Ein Attribut hat oft die Form eines Adjektivs (endlich, offen, surjektiv), kann aber auch ein Substantiv involvieren (vom Grad 3). Dieses Glossar soll insbesondere in Fällen, in denen ein und dasselbe Attribut auf Objekte ganz verschiedenen Typs angewandt wird, zur schnellen Orientierung dienen, Querverbindungen aufzeigen und vor möglichen Verwechslungen bewahren.

A

abelsch

• Eine Gruppe heißt abelsch (nach Niels Henrik Abel), wenn die Gruppenverknüpfung kommutativ ist.

abgeschlossen

• In der abstrakten Algebra heißt eine Menge abgeschlossen bezüglich einer auf ihren Elementen definierten Operation (z.B. einer zweistelligen Verknüpfung), wenn das Ergebnis der Operation, angewandt auf beliebige Elemente der Menge, wieder ein Element dieser Menge ist.
• Eine Teilmenge von eines topologischen Raums heißt abgeschlossen, wenn ihr Komplement eine offene Menge ist.
• Siehe auch das Stichwort algebraisch abgeschlossen.

abzählbar

• Eine Menge bezeichnet man als abzählbar (oder abzählbar unendlich), wenn sie mit der Menge der natürlichen Zahlen gleichmächtig ist. Je nach Definition können auch endliche Mengen abzählbar heißen. Mächtigere Mengen heißen überabzählbar.

adjungiert

• Zwei Matrizen A, B heißen adjungiert oder Hermitesch adjungiert zueinander, wenn sie durch komplexe Konjugation und Transposition auseinander hervorgehen, wenn also $B={\overline {A}}^{T}=:A^{\dagger }=\mathrm {adj} (A)$. Von der ebenfalls verbreiteten Notation $A^{*}$ statt $A^{\dagger }$ ist abzuraten, weil $A^{*}$ verschiedentlich statt ${\overline {A}}$ zur Bezeichnung der komplexen Konjugation verwandt wird. Selbstadjungierte Matrizen heißen auch Hermitesch.
• In der Funktionalanalysis heißen lineare Operatoren adjungiert zueinander, wenn ...
• In der Kategorientheorie heißen zwei Funktoren adjungiert zueinander (Adjunktion), falls ...

ähnlich

• In der Geometrie sind zwei Figuren ähnlich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung, Spiegelung und isotrope Streckung ineinander übergeführt werden können. Ähnlichkeit erweitert also Kongruenz (Geometrie) um die Möglichkeit der Streckung.
• In der linearen Algebra heißen zwei quadratische Matrizen A und B ähnlich, wenn sie durch eine invertierbare Matrix S ineinander überführt werden können, A = S B S^-1. Ähnlichkeit ist hier ein Spezialfall von Äquivalenz.

algebraisch

• Eine Funktion heißt algebraisch, wenn sie durch eine endliche Anzahl elementarer Rechenoperationen (die Verknüpfungen der zugrunde liegenden Zahlenmenge, das sind meist die Grundrechenarten, einschließlich Berechnung von Inversen) dargestellt werden kann. Andernfalls heißt die Funktion transzendent.
• Analog dazu heißt eine Gleichung algebraisch, wenn sie durch eine endliche Anzahl elementarer Rechenoperationen formuliert werden kann.
• In der Funktionentheorie heißt eine hebbare Singularität auch algebraisch.
• Eine komplexe Zahl heißt algebraisch, wenn sie Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist. Die Menge der algebraischen Zahlen bildet einen algebraischen Abschluss der Menge Q.
• Ein Element einer Körpererweiterung heißt algebraisch, wenn es Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus dem zu erweiternden Körper ist, siehe algebraisches Element.

algebraisch abgeschlossen

• Ein Körper K heißt algebraisch abgeschlossen, wenn jedes Polynom vom Grad >= 1 mit Koeffizienten aus K eine Nullstelle in K hat. Der Körper der komplexen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, der der reellen Zahlen nicht. Siehe auch algebraischer Abschluss.

analytisch

• In der Funktionentheorie heißt eine Funktion einer komplexen Veränderlichen analytisch, wenn sie lokal durch eine konvergente Potenzreihe gegeben ist. Das ist äquivalent damit, dass die Funktion unendlich oft differenzierbar ist, und das wiederum ist (im Gegensatz zur reellen Analysis) äquivalent damit, dass die Funktion stetig und differenzierbar, also holomorph oder regulär ist. Tatsächlich werden die Begriffe analytisch, holomorph und regulär äquivalent gebraucht.
• Eine unendlich oft differenzierbare Mannigfaltigkeit wird zuweilen analytisch genannt, auch wenn dabei nur reelle Funktionen involviert sind.

antisymmetrisch

• Eine Relation R heißt antisymmetrisch, wenn aus xRy und yRx folgt, dass x und y gleich sind. Dies ist eine der definierenden Eigenschaften einer partiellen Ordnung.

äquivalent

• Zwei Aussagen heißen äquivalent, wenn sie unter gleichen Voraussetzungen denselben Wahrheitswert haben. Insbesondere heißen zwei Gleichungen mit einer oder mehreren Unbekannten äquivalent, wenn sie dieselbe Lösungsmenge haben.
• Zwei Elemente einer Menge heißen äquivalent, wenn sie in der gleichen Äquivalenzklasse bezüglich einer Äquivalenzrelation liegen.
• In der linearen Algebra heißen zwei m×n Matrizen A und B äquivalent, wenn es invertierbare Matrizen S und T gibt, so dass A = S·B·T. Äquivalente Matrizen beschreiben bezüglich geeigneter Basen die gleiche lineare Abbildung; Matrizen sind genau dann äquivalent, wenn sie den gleichen Rang haben. Falls die äquivalenten Matrizen A und B quadratisch sind (m=n) und T=S^-1>gewählt werden kann, sind A und B sogar ähnlich.
• Zwei Darstellungen heißen äquivalent, wenn sie bis auf Basenwechsel aus den gleichen linearen Abbildungen bestehen.

assoziativ

• Eine zweistellige Verknüpfung "*" heißt assoziativ, wenn für alle Elemente a, b und c der Grundmenge stets die Gleichung a*(b*c) = (a*b)*c gilt. Die Assoziativität der Verknüpfung erlaubt es, bestimmte Klammern wegzulassen und einfach a*b*c zu schreiben. Eine Menge mit einer assoziativen Verknüpfung ist eine Halbgruppe.

asymmetrisch

• Eine Relation R heißt asymmetrisch, wenn aus xRy stets nicht yRx folgt. Dies ist eine der Eigenschaften einer strikten partiellen Ordnung.

B

befreundet

• Ein Paar natürlicher Zahlen heißt befreundet, wenn die Summe der echten Teiler der einen Zahl die jeweils andere ergibt. Beispiel: 220 und 284 (1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284, 1+2+4+71+142 = 220). Siehe befreundete Zahlen.

beschränkt

• Eine Teilmenge U eines metrischen Raums (X, d) heißt beschränkt, wenn es eine reelle Zahl c gibt, so dass der Abstand zweier Elemente von U stets kleinergleich c ist, wenn also die Abstände in U beschränkt sind.
• Als Spezialfall davon heißt eine Menge U reeller Zahlen beschränkt, wenn es zwei reelle Zahlen a und b gibt, so dass U eine Teilmenge des abgeschlossenen Intervalls [a, b] ist.

bijektiv

• Eine Funktion heißt bijektiv oder umkehrbar eindeutig (engl.: bijective oder one-to-one and onto), wenn sie injektiv und surjektiv ist, also verschiedenen Elementen der Definitionsmenge verschiedene Elemente der Wertemenge zuordnet, wobei jedes Element der Wertemenge erreicht wird. Ein bijektiver Homomorphismus heißt Isomorphismus.

bilinear

• Eine Funktion f: V×V → W, die zwei Elemente eines Vektorraums V auf ein Element eines Vektorraums W abbildet, heißt bilinear, wenn sie bei festgehaltenem ersten Argument linear im zweiten Argument und bei festgehaltenem zweiten linear im ersten Argument ist. Wenn W der dem Vektorraum V unterliegende Skalarkörper ist, heißt f Bilinearform. Über dem Körper der komplexen Zahlen betrachtet man oft sesquilineare statt bilinearer Funktionen.

C

charakteristisch

• Charakteristisches Polynom und charakteristische Gleichung einer Matrix oder eines Operators, siehe Eigenvektor.
• In der Gruppentheorie ist eine charakteristische Untergruppe einer Gruppe G eine Untergruppe H, die unter jedem Automorphismus von G fest bleibt. Das heißt, eine Untergruppe H von G heißt charakteristisch, wenn für jeden Automorphismus (bijektiven Gruppenhomomorphismus von G nach G) f gilt, dass f(H) Teilmenge von H ist.

D

definit

• Siehe positiv definit und negativ definit.

dicht

• Eine Teilmenge M liegt dicht in einem topologischen Raum R, wenn es keine Teilmenge von R außer R selbst gibt, die M enthält. Mit anderen Worten, M ist dicht (in R), wenn der Abschluss von M mit R übereinstimmt. Beispiel: die Menge der rationalen Zahlen Q liegt dicht in der Menge der reellen Zahlen R (und macht diese dadurch separabel).
• Die Teilordnung einer Menge S heißt dicht, wenn es zu jedem x und y aus S mit x < y ein z aus S gibt, so dass x < z < y. Beispiel: die übliche Ordnung der rationalen oder der reellen Zahlen ist dicht.

Dimension

• In der linearen Algebra ist die Dimension eines Vektorraums die Anzahl seiner Basisvektoren, also die minimale Ordnung eines Erzeugendensystems. Diese Dimension heißt auch Hamel-Dimension.
• Die Dimension einer Mannigfaltigkeit ist die Anzahl der Koordinaten in einem lokalen Koordinatensystem. Dass eine Mannigfaltigkeit eine eindeutige Dimension hat, ist gesichert, wenn sie zusammenhängt.
• Die Hausdorff-Dimension kann nichtganzzahlig sein und wird zur Beschreibung von Fraktalen verwandt.

disjunkt

• Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn sie kein gemeinsames Element besitzen.

dual

• Sei V ein Vektorraum über einem Körper K. Dann heißt der Vektorraum V^*:=Hom_K(V,K), der die linearen Abbildungen von V nach K enthält, dual zu V (Dualraum).
• In einer Booleschen Algebra entsteht eine duale Aussage, wenn man alle Elementaraussagen negiert, 0 mit 1 und ∧ mit ∨ vertauscht, und die gesamte Aussage negiert.
• Analog dazu geht ein komplementärer Verband (z.B. eine Mengenalgebra) in sein duales Gegenstück über, wenn man die beiden inneren Verknüpfungen miteinander vertauscht und jedes Element durch sein Komplement ersetzt.

eineindeutig

• Soviel wie injektiv.

einfach

• Eine Gruppe heißt einfach, wenn sie mindestens zwei Elemente und keinen nichttrivialen Normalteiler besitzt. Die Menge {e}, die nur das Einselement enthält, und die Gruppe selbst werden als triviale Normalteiler angesehen. Siehe auch Einfache Gruppe.
• Ein Modul heißt einfach, wenn er keine echten Untermoduln hat.

elliptisch

• In der Geometrie eine Kurve, die als Ellipse beschrieben werden kann.
• In der Analysis sind die elliptischen Funktionen eine wichtige Klasse spezieller Funktionen; sie treten als Lösungen elliptischer Integrale auf.
• Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt elliptisch.
• Eine fundamentale Klasse nichteuklidischer Geometrien heißt elliptisch.
• Eine elliptische Kurve ist eine singularitätenfreie algebraische Kurve der Ordnung 3 in der projektiven Ebene. Von besonderem Interesse z.B. für die Faktorisierung natürlicher Zahlen sind aufgrund ihrer einfachen Struktur elliptische Kurven der Form cy² = x³ + ax + b mit c ≠ 0 und 4a³ + 27b² ≠ 0.

endlich

• Eine Menge heißt endlich, wenn ihre Mächtigkeit (die Anzahl ihrer Elemente) eine natürliche Zahl ist. Oder äquivalent: wenn keine Bijektion zwischen der Menge und einer ihrer Teilmengen existiert.
• Ein Maß heißt endlich, wenn das Maß der Grundmenge Ω des Maßraums eine endliche Zahl ist. Ein Maß heißt σ-endlich, wenn Ω die abzählbare Vereinigung messbarer Mengen endlichen Maßes ist.
• In der Gruppentheorie ist die Unterscheidung zwischen endlichen und unendlichen Gruppen fundamental.
• In der Physik verwendet man das Wort endlich auch, um "von Null verschieden" zu sagen.

entartet

• Eine bilineare Abbildung b (eine Bilinearform) heißt entartet, wenn es einen Vektor x ≠ 0 gibt, der für jeden Vektor y die Gleichung b(x, y) = 0 erfüllt. Das Gegenteil heißt regulär.

euklidisch

• Ein euklidischer Raum ist in der Mathematik ein Raum, für welchen die Gesetze der euklidischen Geometrie gelten.
• Eine Relation R heißt euklidisch, wenn aus xRy und xRz auch yRz folgt.

F

fast alle

• Man sagt, dass eine Eigenschaft E für fast alle Elemente einer Menge oder Folge gilt, wenn sie für alle bis auf endlich viele gilt. Zum Beispiel gilt für eine konvergente Folge, dass in jeder Umgebung des Grenzwertes fast alle Folgeglieder enthalten sind.

fast überall

• Man sagt, dass eine Eigenschaft E fast überall in einer Menge X gilt, wenn auf X ein Maß definiert ist und die Menge der Punkte, für die die Eigenschaft E nicht gilt, eine Nullmenge ist. Wenn die Menge X Teil eines Euklidischen Raums ist, die Punkte von X also reelle Koordinaten haben, legt man in der Regel das Lebesgue-Maß zugrunde. Siehe Nullmenge für weitere Erklärungen und Beispiele.

frei

• Aus nichtleeren Mengen kann man durch geeignete Konstruktionen algebraische Strukturen gewinnen, die gerade nur soviele Eigenschaften haben, wie von den Axiomen der Strukturen gefordert wird. Beispiele sind freier Gruppoid, freie Halbgruppe, freier Monoid, freie Gruppe, freie abelsche Gruppe.
• Ein Modul heißt frei, wenn er eine Basis hat. Eine Basis ist hier ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

G

gerade

• Eine ganze Zahl heißt gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist.
• Eine Permutation σ heißt gerade, wenn sie eine gerade Anzahl von Fehlständen hervorbringt. Ein Fehlstand ist ein Paar i, j mit i<j aber σ(i)>σ(j). Siehe alternierende Gruppe.

geordnet

• ...Ordnungsrelation
• ...Geordneter Körper

Grad

• In der Geometrie ist das Grad Maß für die Größe eines ebenen Winkels.
• In der Algebra ist der Grad eines Summanden in einem Polynom der Exponent, mit dem die Variable in diesem Term potenziert ist; der Grad des Polynoms ist der größte Grad eines in dem Polynom enthaltenen Summanden.
• In der Darstellungstheorie ist der Grad der Darstellung die Dimension des Vektorraums, in dem die Darstellung stattfindet.
• In der Graphentheorie ist der Grad einer Ecke die Anzahl der in dieser Ecke zusammentreffenden Kanten.
• Für den Grad einer Karte zwischen Mannigfaltigkeiten, siehe [1].

größtes

• Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt größtes Element, wenn alle anderen Elemente kleiner sind, d.h. für jedes Element y die Relation x ≥ y gilt. Das größte Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch maximal und kleinstes.

H

Hausdorff'sch

• Ein topologischer Raum ist ein Hausdorff-Raum, wenn das Trennungsaxiom T₂ gilt: jedes Paar von unterschiedlichen Punkten besitzt disjunkte Umgebungen.

hebbar

• In der Funktionentheorie heißt eine Singularität hebbar (auch algebraisch oder regulär), wenn in der Entwicklung nach ganzzahligen Potenzen der komplexen Veränderlichen nur endliche negative Potenzen vorkommen.
• Eine Definitionslücke, in die eine Funktion stetig fortgesetzt werden kann, heißt stetig behebbare Definitionslücke.

Hermitesch

• In der linearen Algebra heißen zwei quadratische Matrizen Hermitesch adjungiert zueinander, wenn sie durch komplexe Konjugation und Transposition auseinander hervorgehen. Siehe adjungiert.
• Eine quadratische Matrix heißt Hermitesch oder selbstadjungiert oder unitär, wenn sie zu sich selbst Hermitesch adjungiert ist. Unter dem Einfluss des Englischen scheint sich der Sprachgebrauch im Deutschen von Hermitesch zu unitär zu verschieben. Siehe deshalb unitär und unitäre Matrix für weitere Informationen.
• Eine Hermitesche Form ist eine Sesquilinearform <,>: V×V→C mit $\langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$. Das innere Produkt in einem unitärem Raum ist per definitionem eine Hermitesche Form.
• In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator f auf einem Hilbert-Raum Hermitesch, wenn er selbstadjungiert und zusätzlich gewisse topologische Anforderungen erfüllt (so zumindest bei Dieudonné). In weniger formalen Darstellungen werden die Attribute Hermitesch und selbstadjungiert austauschbar gebraucht.

holomorph

• In der Funktionentheorie heißt eine Funktion einer komplexen Variablen holomorph oder regulär in einem Bereich, wenn sie in diesem Bereich eindeutig ist und eine stetige Ableitung hat; diese Definition impliziert Stetigkeit der Funktion selbst.

homogen

• Ein topologischer Raum R ist homogen, falls es für alle x und y aus R einen Homöomorphismus f: R→R gibt, so dass f(x) = y. Anschaulich gesagt bedeutet dies, dass der Raum an jedem Punkt gleich aussieht. Alle topologischen Gruppen sind homogen.
• Ein lineares Gleichungssystem heißt homogen, wenn seine m Gleichungen in den n Unbekannten die Form a_j1x₁ + ... + a_jnx_n = 0 haben (für alle j aus 1,2,..,m). Wenn auf der rechten Seite in mindestens einer Gleichung eine andere Zahl als die 0 steht, heißt das Gleichungssystem inhomogen.
• In der Zahlentheorie heißen Zahlen homogen, wenn sie aus den gleichen Primfaktoren aufgebaut sind. Beispiel: $60=2^{2}\times 3\times 5$ und $90=2\times 3^{2}\times 5$.
• Eine Funktion f zwischen Strukturen über einem gemeinsamen Grundring R (z.B. Vektorräume über demselben Körper, Moduln über demselben Ring) heißt homogen, wenn für alle x aus dem Definitionsbereich und alle a aus R die Gleichung f(a·x) = a·f(x) erfüllt ist. Ist sie darüberhinaus auch additiv, dann heißt sie lineare Abbildung.

homöomorph

• Zwei topologische Räume X und Y heißen homöomorph, falls es eine bijektive Abbildung f : X -> Y gibt, so dass f und f ^-1 stetig sind. Vom Standpunkt der Topologie aus sind X and Y gleich. Die Funktion f wird Homöomorphismus genannt.

hyperbolisch

• In der Geometrie eine Kurve, die als Hyperbel beschrieben werden kann.
• Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt hyperbolisch.
• Eine fundamentale Klasse nichteuklidischer Geometrien heißt hyperbolisch.
• Ein zweidimensionaler Bilinearraum (V, b) heißt hyperbolische Ebene, wenn er zwei Vektoren x und y mit der Eigenschaft b(x,x) = 0, b(y, y) = 0, b(x, y) = 1 enthält.
• Ein Bilinearraum, der als orthogonale Summe von hyperbolischen Ebenen dargestellt werden kann, heißt hyperbolischer Raum.

I

ideal

• In der Zahlentheorie wurden gewisse auf komplexe Wurzeln der Eins (Einheitswurzeln) aufgebaute Zahlen von Ernst Kummer ideal genannt; diese Idee wurde von Dedekind in der abstrakt algebraischen Entität Ideal verallgemeinert.

indefinit

• Die Matrix A heißt indefinit, wenn A mindestens einen positiven und einen negativen Eigenwert besitzt.

inhomogen

• Für ein lineares Gleichungssystem siehe unter homogen.

injektiv

• Eine Funktion heißt injektiv, wenn niemals zwei verschiedene Elemente denselben Funktionswert haben. Eine injektive Funktion ist auf ihrer Wertemenge eindeutig umkehrbar und heißt deshalb auch eineindeutig. Ein injektiver Homomorphismus heißt auch Monomorphismus.

invers

• Zwei mathematische Operationen heißen invers zueinander, wenn sich ihre Wirkung aufhebt. Beispiel: Integration ist invers zur Differentiation.
• Zwei Elemente einer Gruppe heißen invers zueinander, wenn ihre Verknüpfung das neutrale Element der Gruppe ergibt. Siehe Inverses Element.

invertierbar

• In der linearen Algebra heißt eine quadratische Matrix A invertierbar, wenn die inverse Matrix A^-1 existiert. Dann gilt A A^-1 = A^-1 A = 1.

irrational

• siehe irrationale Zahlen

irreduzibel

• Ringtheorie: irreduzibles Element
• Eine lineare Darstellung heißt irreduzibel, wenn sie nicht reduzibel ist, wenn also der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, keine nichttrivialen Unterräume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Die Klassifikation nach irreduziblen Darstellungen ist die Hauptaufgabe der Darstellungstheorie.

irreflexiv

• Eine zweistellige Relation R heißt irreflexiv, wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht: ¬ ∃ x: xRx. "Irreflexiv" ist somit nicht das Gegenteil von "reflexiv": eine Relation kann ohne weiteres weder reflexiv noch irreflexiv sein. Die Relation auf der leeren Menge ist sowohl reflexiv als auch irreflexiv. Eine irreflexive Ordnungsrelation heißt strikt.

isometrisch isomorph

• Zwei metrische Räume heißen isometrisch isomorph, wenn sie durch eine bijektive Isometrie aufeinander abgebildet werden können.

isomorph

• Zwei Mengen heißen isomorph, wenn sie durch einen Isomorphismus, also eine bijektive strukturerhaltende Abbildung aufeinander abgebildet werden können.

isotrop

• Ein Element x eines Bilinearraumes (V, b) heißt isotrop, wenn die Gleichung b(x, x) = 0 gilt.

K

kleinstes

• Ein Element x einer halbgeordneten Menge heißt kleinstes Element, wenn alle anderen Elemente größer sind, d.h. für jedes Element y die Relation x ≤ y gilt. Das kleinste Element einer halbgeordneten Menge existiert nicht immer, ist aber im Falle seiner Existenz eindeutig bestimmt. Siehe auch minimal und größtes.

Kolmogoroff'sch

• Ein topologischer Raum ist ein Kolmogoroff-Raum, wenn das Trennungsaxiom T₀ gilt: zu jedem Paar von unterschiedlichen Punkten gibt es eine offene Menge, die einen Punkt enthält, jedoch nicht den anderen.

kommutativ

• Eine zweistellige Verknüpfung · heißt kommutativ, wenn für alle x und y gilt, dass x·y = y·x.

kompakt

• Ein topologischer Raum ist kompakt, falls jede offene Abdeckung eine endliche Unterabdeckung besitzt. Kompakte Räume sind immer lindelöf und parakompakt. Kompakte Hausdorff-Räume sind somit normal.

kongruent

• Zwei geometrische Figuren heißen kongruent oder deckungsgleich, wenn sie durch Verschiebung, Drehung und Spiegelung aufeinander abgebildet werden können. Siehe Kongruenz (Geometrie). Wird zusätzlich zentrische Streckung zugelassen, heißen die Figuren ähnlich.
• In Algebra und Zahlentheorie heißen zwei Zahlen kongruent modulo m, wenn sie denselben Rest bezüglich eines Divisors m haben. Beispiel: 3 ≡ 24 mod 7. Siehe Kongruenz (Zahlentheorie).

konjugiert

• Zwei Komplexe Zahlen a und b heißen komplex konjugiert zueinander, wenn ihre Realteile übereinstimmen und ihre Imaginärteile unterschiedliches Vorzeichen haben. Beispiel: die komplex Konjugierte von 2+i ist 2-i.
• Matrizen heißen komplex konjugiert zueinander, wenn ihre Koeffizienten komplex konjugiert zueinander sind. Eine Matrix, die komplex konjugiert zu sich selbst ist, ist reell. Matrizen, die komplex konjugiert zu ihrer Transponierten ist, heißt Hermitesch.
• In der Funktionalanalysis heißen lineare Operatoren komplex konjugiert zueinander, wenn ...
• In der abstrakten Algebra heißen zwei über K algebraische Elemente einer Körpererweiterung L/K zueinander konjugiert, wenn sie dasselbe Minimalpolynom über K haben. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a in L heißen Konjugierte von a (in L). Jeder K-Automorphismus von L (der K punktweise festhält) bildet a auf eine seiner Konjugierten ab.
• In einer Gruppe (G, *) heißen die Elemente $a$ und $b$ zueinander konjugiert, wenn es ein Gruppenelement $c$ gibt, so dass $b=c^{-1}ac$ ist. Die Abbildung $a\mapsto c^{-1}ac$ heißt Konjugation mit c. Sie ist ein Automorphismus der Gruppe.

L

lindelöf

• Ein topologischer Raum ist lindelöf, falls jede offene Abdeckung eine abzählbare Unterabdeckung besitzt. Nach dem Mathematiker Ernst Leonhard Lindelöf.

linear

• Eine Funktion der Form f(x) = a + bx heißt affin-linear. In der Elementarmathematik und vielen Anwendungen sagt man stattdessen nur linear. Das ist mit der folgenden, in weiten Teilen der Mathematik üblichen Definition von linear nur im Sonderfall a=0 kompatibel:
• In der Algebra und zahlreichen darauf zurückgreifenden Gebieten der Mathematik heißt ein funktionaler Zusammenhang f(x) linear, wenn er folgende zwei Bedingungen erfüllt: (1) Superposition: f(x + y) = f(x) + f(y); (2) Homogenität: f(αx) = αf(x) für alle α aus einem zugrunde liegenden Körper.
• In der Logik heißen Terme linear, wenn sie jede Variable höchstens einmal enthalten.
• Die Funktionalanalysis handelt von linearen Operatoren.
• Eine lineare Ordnungsrelation heißt auch total, siehe dort.

lokal endlich

• Ein System von Teilmengen eines topologischen Raums ist lokal endlich, falls jeder Punkt eine Umgebung hat, die nur endlich viele der Teilmengen berührt.

lokal metrisierbar

• Ein topologischer Raum ist lokal metrisierbar, falls jeder Punkt eine metrisierbare Umgebung besitzt.

lösbar

• Eine Lie-Gruppe heißt lösbar, wenn sie weder einfach noch halbeinfach ist.

M

maximal

• Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt maximal, wenn es in der Ordnung kein größeres Element gibt. Dieses Element muss nicht das größte Element sein: Wenn es mehrere maximale Elemente gibt, gibt es kein größtes.
• Ideal (Mathematik), Untermodul

messbar

• Messbarer Raum wäre die wörtliche Übersetzung des englischen measurable space, der auf Deutsch eingeführterweise Messraum heißt; siehe Maßtheorie. Die einzelnen Mengen der σ-Algebra eines Maßraums (d.h. eines Messraums, auf dem ein Maß definiert ist) heißen jedenfalls messbar; siehe auch dazu den Artikel Maßtheorie.
• Messbar ist nicht das gleiche wie metrisierbar, da ein Maß keine Metrik ist.

metrisierbar

• Ein topologischer Raum ist metrisierbar, falls er homöomorph zu einem metrischen Raum ist. Metrisierbare Räume sind immer Hausdorff'sch und parakompakt (und daher normal und Tychonoff'sch) und erst-abzählbar).

minimal

• Ein Element einer halbgeordneten Menge heißt minimal, wenn es in der Ordnung kein kleineres Element gibt. Dieses Element muss nicht das kleinste Element sein: Wenn es mehrere minimale Elemente gibt, gibt es kein kleinstes.

multilinear

• Eine Abbildung die Argumente aus mehreren Vektorräumen in einen Vektorraum abbildet, heißt multilinear, wenn sie in jedem Argument linear ist, wobei alle Vektorräume über demselben Skalarkörper definiert sein müssen. Eine multilineare Abbildung in den Skalarkörper ist eine Multilinearform.

N

negativ

• Eine reelle Zahl heißt negativ, wenn sie kleiner als Null ist. Eine Zahl, die kleiner oder gleich Null ist, bezeichnet man am kürzesten als nicht-positiv. Siehe positive und negative Zahlen.

negativ definit

• Eine reelle symmetrische oder komplexe Hermitesche Bilinearform s:V×V→K heißt negativ definit, wenn s(v,v) < 0 für alle v aus V\{0}. Siehe auch positiv definit.

nilpotent

• Ein Endomorphismus f eines Vektorraums oder eine quadratische Matrix A heißen nilpotent, wenn es eine Zahl p≥1 gibt, so dass f^p=0 bzw. A^p=0.
• Nilpotente Gruppe

nirgendwo dicht

• Eine Teilmenge M eines topologischen Raums R ist nirgendwo dicht, wenn das Innere ihres Abschlusses leer ist. Beispiel: die Menge der ganzen Zahlen Z ist nirgendwo dicht in der Menge der reellen Zahlen R.

normal

• In der Geometrie, insbesondere in der analytischen Geometrie, heißt eine Gerade normal zu einer Ebene, wenn sie senkrecht auf dieser steht.
• In der Topologie heißt ein topologischer Raum normal, falls beliebige zwei disjunkte abgeschlossene Mengen disjunkte Umgebungen haben. Normalräume erlauben Zerlegungen der Eins. Normale T₁-Räume sind immer Tychonoff-Räume.
• In der Statistik ist eine Zufallsvariable normal, wenn sie normalverteilt (Gauß-verteilt) ist.
• In der Gruppentheorie sagt man im Deutschen statt normale Untergruppe üblicherweise Normalteiler. Ein Normalteiler ist invariant unter Konjugation beliebiger Gruppenelemente.
• In der linearen Algebra heißt eine Matrix A normal, wenn sie mit ihrer komplex konjugierten Transponierten (Hermitesch Adjungierten) kommutiert, $A^{\dagger }A=AA^{\dagger }$.
• In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator in einem Hilbert-Raum normal, wenn er mit seinem adjungierten Operator kommutiert.

normiert

• Ein Normierter Raum ist ein Vektorraum, der mit einer Norm ausgestattet ist.
• Ein Vektor in einem normierten Raum heißt normiert (oder Einheitsvektor), wenn er die Norm 1 hat.

O

offen

• Auf der reellen Zahlengerade heißt ein Intervall I := ]a,b[ = (a,b) offen, wenn es durch I = {x∈R | a<x<b } gegeben ist.
• Welche Teilmengen eines topologischen Raums offen heißen, wird axiomatisch in einer Weise festgelegt, die den Begriff des offenen Intervalls sinnvoll verallgemeinert.

Ordnung

• Die Ordnung einer Gruppe ist die Anzahl ihrer Elemente (die Mächtigkeit der der Gruppe zugrunde liegenden Menge).
• In der Gruppentheorie ist die Ordnung n eines Gruppenelements g die kleinste positive ganze Zahl, für die gⁿ=e gilt (mit dem neutralen Element e).
• Die Ordnung einer Nullstelle oder einer Polstelle ist dessen Vielfachheit.
• Die Ordnung einer Differentialgleitung ist der höchste vorkommende Ableitungsgrad.
• Die Ordnung eines Terms, mit einem Landu-Symbol O(x) bezeichnet, beschreibt die Geschwindigkeit, mit der dieser Term in einem Grenzübergang divergiert.
• Ordnung kann außerdem Anordnung bedeuten, also die durch eine Ordnungsrelation induzierte Struktur bezeichnen.

orthogonal

• In der Geometrie sind zwei Geraden oder Ebenen orthogonal zueinander, wenn sie einen rechten Winkel bilden.
• Ein Koordinatensystem heißt orthogonal, wenn seine Achsen paarweise orthogonal zueinander sind.
• Eine Projektion heißt orthogonal, wenn die Projektionsstrahlen senkrecht auf die Projektionsflläche treffen.
• In der linearen Algebra und analytischen Geometrie sind zwei Vektoren orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist.
• Da in der Funktionalanalysis Funktionen als Vektoren aufgefasst werden, folgt unmittelbar, dass zwei Funktionen f und g orthogonal zueinander heißen, wenn ihr inneres Produkt null ist; das innere Produkt in Funktionenräumen ist in der Regel definiert als Integral von f^*(x)g(x), gegebenenfalls multipliziert mit einer Gewichtsfunktion w(x).
• Eine quadratische Matrix A heißt orthogonal, wenn ihre Inverse A^-1 mit ihrer Transponierten A^T übereinstimmt, wenn also A A^T = A^T A = 1. Siehe: orthogonale Matrix. Orthogonale Matrizen besitzen in aller Regel reelle Koeffizienten. Matrizen mit komplexen Koeffizienten, die analoge Symmetrieeigenschaften besitzen, heißen unitär; die Transposition wird dabei durch die Hermitesche Konjugation ersetzt.
• Die Menge aller orthogonalen Matrizen vom Rang n über dem Körper K heißt orthogonale Gruppe O(n,K).

P

parabolisch

• In der Geometrie eine Kurve, die als Parabel beschrieben werden kann.
• Eine fundamentale Klasse partieller Differentialgleichungen heißt parabolisch.

parakompakt

• Ein topologischer Raum ist parakompakt, falls jede offene Überdeckung eine offene, lokal endliche Verfeinerung besitzt. Parakompakte Hausdorff-Räume sind normal.

perfekt

• In der Zahlentheorie heißen natürliche Zahlen perfekt, wenn sie gleich der Summe ihrer Teiler sind. Beispiele: 6=3+2+1; 28=1+2+4+7+14. Ob es ungerade perfekte Zahlen gibt, ist bis heute unbekannt. Siehe vollkommene Zahl.

positiv

• Eine reelle Zahl heißt nach vorherrschendem Sprachgebrauch positiv, wenn sie größer als Null ist. Zahlen, die größer oder gleich Null sind, werden am kürzesten als nicht-negativ bezeichnet. Siehe positive und negative Zahlen.

positiv definit

• Eine reelle symmetrische oder komplexe Hermitesche Bilinearform s:V×V→K heißt positiv definit, wenn s(v,v) > 0 für alle v aus V\{0}. Siehe auch negativ definit.

präkompakt

• Siehe total beschränkt

prim

• Eine natürliche Zahl (unter Ausschluss der 0 und der 1) heißt prim oder eine Primzahl, wenn sie genau zwei natürliche Teiler hat.
• Allgemein heißt ein Element eines Integritätsrings prim, wenn es ungleich 0 und keine Einheit ist, und als Teiler eines Produkts auch immer einen der Faktoren teilt.

Pythagoräisch

• Ein Pythagoräisches Tripel sind drei natürliche Zahlen x,y,z, welche die aus dem Satz des Pythagoras bekannte Gleichung x2 + y2 = z2 erfüllen. Beispiele: 3,4,5; 5,12,13. Siehe Pythagoräisches Tripel.

R

Rang

• In der linearen Algebra ist der Rang einer linearen Abbildung die Dimension des Bildraums. Die Dimension einer Matrix ist die Dimension der durch die Matrix vermittelten linearen Abbildung.
• Der Rang eines Tensors ist die Anzahl der Vektorräume, aus deren direktem Produkt der Tensor gebildet ist.
• In Anlehnung an den Rang eines Tensors ist in der Informatik, jedenfalls in der Fachsprache von Fortran, der Rang eines Feldes (Arrays) die Anzahl seiner Indizes.
• Für den Rang einer abelschen Gruppe siehe vorerst den englischen Artikel en:Rank of an abelian group.

rational

• Eine rationale Zahl ist eine Zahl, die sich als Quotient aus zwei ganzen Zahlen darstellen läßt.
• Eine rationale Funktion ist eine Funktion, die in die Menge der rationalen Zahlen abbildet.
• Ein rationaler Baum ist ein möglicherweise unendlicher gerichteter Baum, der aber nur endlich viele verschiedene Unterbäume enthält.

reduzibel

• Eine lineare Darstellung heißt reduzibel, wenn der Vektorraum, in dem die Darstellung stattfindet, nichttriviale Unterräume hat, die unter allen darstellenden Transformationen erhalten bleiben. Eine reduzible Darstellung kann in eine direkte Summe aus irreduziblen Darstellungen ausreduziert werden.
• Ringtheorie: reduzibles Element

regelmäßig

• In der Geometrie heißen gleichseitige, gleichwinklige Vielecke und gleichflächige Körper (Platonische Körper) regelmäßig.

regulär

• In der Geometrie werden regelmäßige Vielecke und Körper aufgrund schlechter Übersetzungen aus dem Englischen auch regulär genannt.
• Eine parametrisierte differenzierbare Kurve heisst regulär, falls ihre Ableitung in keinem Punkt verschwindet.
• In der Topologie heißt ein topologischer Raum regulär wenn jede Umgebung eines Punkts eine abgeschlossene Umgebung desselben Punkts enthält. Äquivalent dazu ist die Bedingung, dass alle abgeschlossenen Mengen C und Punkte p, die nicht in C liegen, disjunkte Umgebungen besitzen. Siehe Regulärer Raum. Reguläre T₀-Räume sind immer Hausdorff'sch.
• In der linearen Algebra heißt eine invertierbare Matrix auch regulär.
• In der Funktionentheorie wird regulär manchmal gleichbedeutend mit holomorph gebraucht.
• In der Funktionentheorie bezeichnet man ferner eine hebbare (oder algebraische) Singularität als regulär.
• In der theoretischen Informatik bezeichnet man eine formale Sprache als regulär, wenn sie durch einen regulären Ausdruck, eine reguläre Grammatik oder einen endlichen Automaten erkannt werden kann.
• Eine Bilinearform, die nicht entartet ist, heißt regulär.

reell

• Natürliche, ganze, rationale und reelle Zahlen sind alle reell.
• Komplexe Zahlen sind reell, wenn ihr Imaginärteil Null ist.
• Eine Matrix ist reell, wenn ihre sämtlichen Koeffizienten reell sind.
• Ein Körper heißt formal reell, wenn sein Element -1 nicht als Summe von Quadraten darstellbar ist.

reflexiv

• Eine zweistellige Relation R heißt reflexiv, wenn jedes Element in Relation zu sich selbst steht: ∀ x: xRx. Wenn kein Element in Relation zu sich selbst steht, heißt die Relation irreflexiv.

S

selbstadjungiert

• Als Eigenschaft einer quadratischen Matrix heißt selbtsadjungiert soviel wie Hermitesch oder unitär. Siehe: unitär, unitäre Matrix.
• In der Funktionalanalysis heißt ein linearer Operator f auf einem Hilbert-Raum H selbstadjungiert, wenn das innere Produkt (,) für alle x und y aus H die Beziehung (x,fy)=(fx,y) erfüllt. Unter zusätzlichen topologischen Bedingungen heißt ein selbstadjungierter Operator auch Hermitesch.

semidefinit

• Positiv semidefinit:
• Negativ semidefinit:

semilinear

• Eine Abbildung f: V→W zwischen zwei Vektorräumen über dem Körper C der komplexen Zahlen heißt semilinear (oder auch antilinear), wenn $f(v+w)=f(v)+f(w)$ und $f(\lambda v)={\overline {\lambda }}f(v)$ mit v, w aus V und λ aus C. Der Strich über dem Koeffizienten λ bezeichnet komplexe Konjugation.

separabel

• Ein topologischer Raum ist separabel falls er eine abzählbare dichte Teilmenge hat. Beispiel: Die Menge R ist separabel, weil Q dicht in R liegt.

sesquilinear

• Eine Abbildung <,>: V×W→C (mit zwei Vektorräumen V, W und dem Körper C der komplexen Zahlen) heißt sesquilinear (anderthalbfach linear), wenn sie linear im einen und semilinear im anderen Argument ist, wenn also $\langle cx,dy\rangle =c{\overline {d}}\langle x,y\rangle$ oder, in der entgegengesetzten, ebenfalls gebräuchlichen Konvention, $\langle cx,dy\rangle ={\overline {c}}d\langle x,y\rangle$. Das innere Produkt in einem unitären Raum ist eine Hermitesche Form, also eine Sesquilinearform <,>: V×V→C, die unter Vertauschung der beiden Argumente in ihr komplex Konjugiertes übergeht.

singulär

• Eine quadratische Matrix heißt singulär, wenn sie nicht invertierbar ist.

speziell

• Die spezielle lineare Gruppe SL(V), die spezielle orthogonale Gruppe SO(V), die spezielle unitäre Gruppe SU(V) entstehen aus der allgemeinen linearen Gruppe GL(V), der orthogonalenGruppe O(V) und der unitären Gruppe U(V) durch Beschränkung auf Matrizen mit der Determinante (Mathematik) 1.

stetig

• Eine Funktion von einem topologischen Raum in einen anderen heißt stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist.

strikt

• Eine Relation "<" heißt strikte Halbordnung, wenn sie transitiv und irreflexiv ist, wenn es also kein Element x gibt, für das x<x.

surjektiv

• Eine Funktion heißt surjektiv, wenn jedes Element der Wertemenge Funktionswert mindestens eines Elements der Definitionsmenge ist. Wenn man in dieser Definition mindestens durch genau ersetzt, erhält man die Definition von bijektiv. Eine surjektive Funktion heißt gelegentlich Surjektion, in bestimmtem Kontext auch Projektion. Ein surjektiver Homomorphismus von M nach N heißt auch Homomorphismus "von M auf N".

symmetrisch

• Eine Relation R heißt symmetrisch, wenn aus a R b stets b R a folgt.
• Eine Matrix heißt symmetrisch, wenn sie bei Austausch der Indizes (gleichbedeutend mit Spiegelung an der Hauptdiagonalen) in sich selbst übergeht, wenn also für ihre Koeffizienten gilt a_ij=a_ji. Eine symmetrische Matrix stimmt mit ihrer Transponierten überein. Viele Symmetrieeigenschaften reeller symmetrischer Matrizen gelten im Fall komplexer Koeffizienten nicht für symmetrische, sondern für Hermitesche Matrizen.
• Die symmetrische Gruppe Sym_n oder S_n besteht aus allen Permutationen einer Menge mit n Elementen, Gruppenoperation ist die Verkettung der Permutationen.

T

teilbar

• Ein Element a eines Integritätsrings R heißt teilbar durch ein Element b, wenn es ein Element c gibt, so dass die Gleichung a = b · c gilt. b und c heißen dann Teiler von a.

total

• Eine Relation R heißt total oder linear, wenn je zwei Elemente in der Relation zueinander stehen, wenn also für jedes Paar von Elementen a, b gilt: a R b oder b R a. Ein Spezialfall davon ist der folgende Punkt:
• Eine strenge Halbordnung "<" heißt total oder linear, wenn für jedes Paar verschiedener Elemente a, b gilt: a < b oder b < a.

total beschränkt

Äquivalente Bezeichnung: präkompakt

Salopp: Eine Menge heißt präkompakt, wenn sie sich mit endlich vielen epsilon-Kugeln überdecken lässt.

Exakt: Eine Menge M heißt präkompakt, wenn es zu jedes positive reelle epsilon eine natürliche Zahl n gibt, so dass es Punkte m_1,...m_n gibt, so dass die Vereinung über die Kugeln mit Radius epsilon um die Punkte m_i gerade M enthält.

transitiv

• Eine Relation R heißt transitiv, wenn aus xRy und yRz folgt, dass xRz.
• In der Gruppentheorie ist eine Operation transitiv, wenn sie nur eine Bahn hat, also jedes Element durch ein geeignetes Gruppenelement auf jedes andere Element abgebildet wird. Die Operation heißt zweifach transitiv, wenn die Gruppe transitiv auf der Menge aller Paare operiert, sie heißt scharf transitiv, wenn jedes Element durch genau ein Gruppenelement auf ein gegebenes anderes Element abgebildet wird. Entsprechend gibt es die Begriffe dreifach transitiv, zweifach scharf transitiv etc.

transponiert

• In der linearen Algebra heißen die Matrizen A = (a_ij) vom Format m×n und A^T = (a_ji) vom Format n×m zueinander transponiert.

transzendent

• Eine Funktion heißt transzendent, wenn sie nicht durch eine endliche Anzahl elementarer Rechenoperationen dargestellt werden kann, also nicht algebraisch ist.
• Eine komplexe Zahl heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch, also nicht Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten ist, siehe transzendente Zahl.
• Ein Element einer Körpererweiterung heißt transzendent, wenn sie nicht algebraisch, also nicht Nullstelle eines Polynoms mit Koeffizienten aus dem zu erweiternden Körper ist, siehe algebraisches Element.

treu

• Eine Darstellung heißt treu, wenn der Darstellungshomomorphismus injektiv ist, wenn also verschiedene Gruppenelemente stets durch verschiedene Transformationen dargestellt werden.

trivial

• Eine mathematische Aussage heißt trivial, wenn sie sich ohne jeden Zwischenschritt aus einer Definition oder einem Satz ergibt. Missbräuchlich wird dieses Attribut auch auf Aussagen angewandt, die auf einem gegebenen Niveau mit vergleichsweise elementaren Mitteln hergeleitet werden können (trivial ist, was der Prof nicht noch einmal erklären möchte).
• Mathematische Objekte heißen trivial, wenn sich ihre Existenz unmittelbar aus einer Definition ergibt. Beispiel: Die trivialen Teiler einer natürlichen Zahl n sind 1 und n.

U

umkehrbar eindeutig

• Soviel wie bijektiv.

unitär

• In der abstrakten Algebra heißt ein Ring unitär oder Ring mit 1, wenn er ein bezüglich der Multiplikation neutrales Element besitzt.
• Eine quadratische Matrix A heißt unitär, wenn ihre Inverse A^-1 mit ihrer Hermitesch Adjungierten $A^{\dagger }:={\overline {A}}^{\rm {T}}$ übereinstimmt, wenn also $AA^{\dagger }=A^{\dagger }A=1$. Siehe: unitäre Matrix. Unitäre Matrizen haben komplexe Koeffizienten; unitäre Matrizen mit reellen Koeffizienten heißen orthogonal. Anders formuliert: Unitäre Matrizen sind das komplexe Analogon zu orthogonalen Matrizen.
• Die Menge aller unitären Matrizen vom Rang n über dem Körper K heißt unitäre Gruppe U(n,K).
• Ein Innenproduktraum (insbesondere also ein Hilbertraum) heißt unitär, wenn das innere Produkt eine positiv definite Hermitesche Form ist. Siehe unitärer Raum.

V

vollkommen

• Eine natürliche Zahl heißt vollkommen (auch perfekt oder ideal), wenn sie die Summe ihrer echten Teiler (das heißt aller Teiler außer sich selber) ist. Beispiel: 6=1+2+3. Siehe vollkommene Zahl.

vollständig

• Ein formaler Kalkül heißt vollständig, wenn .. [?] siehe Vollständigkeit (Logik).
• In der Maßtheorie heißt ein Maß vollständig, wenn jede Teilmenge jeder Nullmenge messbar, also Teilmenge der dem Maß zugrunde liegenden σ-Algebra ist.
• Ein metrischer Raum heißt vollständig, wenn jede Cauchy-Folge in ihm konvergiert. Beispiel: ein Hilbertraum ist als ein vollständiger Innenproduktraum definiert. Siehe vollständiger Raum.
• Ein Verband heißt vollständig, wenn für jede Teilmenge Supremum und Infimum existieren.