Bernoulli-Zahl

Die Bernoulli-Zahlen oder Bernoullischen Zahlen, 1, ±¹⁄₂, ¹⁄₆, 0, −¹⁄₃₀, … sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: in den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob I Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt.

Definition

In der mathematischen Fachliteratur werden die Bernoulli-Zahlen als drei unterschiedliche Folgen definiert, die aber sehr eng zusammenhängen. Da ist einmal die ältere Notation (bis ins 20. Jahrhundert im Wesentlichen genutzt), die hier mit $\beta _{n}$ bezeichnet wird, und die beiden neueren Formen, die in diesem Artikel mit $B_{n}$ und $B_{n}^{\ast }$ bezeichnet und seit circa Mitte des 20. Jahrhunderts meistens benutzt werden. Eine genauere Verbreitung oder der historische Übergang der Konventionen lässt sich schwer objektivieren, da dies stark vom jeweiligen Mathematiker und dem Verbreitungsgebiet seiner Schriften abhing bzw. abhängt. Eine heutzutage gängige implizite Definition der Bernoulli-Zahlen ist, sie über die Koeffizienten folgender Taylorreihen entweder als

${\frac {x}{e^{x}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}{\frac {x^{k}}{k!}}$

oder (durch Spiegelung an der y-Achse) als

${\frac {x}{1-e^{-x}}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}^{\ast }{\frac {x^{k}}{k!}}$

bzw. früher als

${\frac {x}{e^{x}-1}}=1-{\frac {1}{2}}x-\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\beta _{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}$

einzuführen. Hierbei sind die Zahlen $B_{k}$ und $B_{k}^{\ast }$ die Koeffizienten der Reihenentwicklung bzw. die Glieder der Bernoulli-Zahlenfolge. Die Reihenentwicklungen konvergieren für alle x mit $|x|<2\pi .$ Ersetzt man $x$ durch $-x$, so erkennt man die Gültigkeit von $B_{k}=(-1)^{k}B_{k}^{\ast }$, d. h. die beiden erstgenannten Definitionen unterscheiden sich lediglich für den Index 1, alle anderen $B_{k}$ bzw. $B_{k}^{\ast }$ mit ungeradem Index sind null. Zur sicheren Unterscheidung können die Glieder $B_{k}$ als die der ersten Art (mit $B_{1}=-1/2$) und die $B_{k}^{\ast }$ als die der zweiten Art (mit $B_{1}^{\ast }=1/2$) bezeichnet werden.

Auf der zuletzt aufgeführten Reihe fußt die ältere Definition; bei dieser kommen nur Glieder mit Indizes $k\geq 2$ vor, d. h. die Glieder mit Index 0 und 1 müssen separat betrachtet werden. Für die verbleibenden Koeffizienten mit geradem Index $k=2k^{\prime }$ (genau diese sind nicht null) wählt man eine eigene Definition, so dass diese alle positiv sind. Daher gilt $\beta _{k^{\prime }}=(-1)^{k^{\prime }+1}B_{2k^{\prime }}.$

Genau dies hatte auch Jakob I Bernoulli bei seiner Erstbestimmung gemacht und so die ältere Notation begründet, er hatte sie allerdings noch nicht durchnummeriert. Er entdeckte diese Zahlen durch die Betrachtung der Polynome, welche die Summe der Potenzen natürlicher Zahlen von 1 bis zu einem gegebenen $n$ mit kleinen ganzzahligen Exponenten beschreiben. Z. B.

${\begin{array}{lll}1^{\;}+2^{\;}+\cdots +n^{\;}&={\frac {1}{2}}(n+1)n&={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n\\1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}&={\frac {1}{6}}n(n+1)(2n+1)&={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\\1^{3}+2^{3}+\cdots +n^{3}&={\frac {1}{4}}n^{2}(n+1)^{2}&={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2},\end{array}}$

Dies führt letztlich über die Faulhaberschen Formeln auf die Euler-Maclaurin-Formel, in der die Bernoulli-Zahlen eine zentrale Rolle spielen. Bewiesen hat er ihre allgemeinen Werte nicht, nur die der kleineren Koeffizienten korrekt errechnet – seine entsprechenden Aufzeichnungen wurden postum veröffentlicht.

Zahlenwerte

Die ersten Bernoulli-Zahlen $B_{k}$, $B_{k}^{\ast }$ ≠ 0 lauten

Index	Zähler	Nenner	auf 6 Nach- kommastellen	multipliziert mit  $\mathbf {\;2^{k+1}\!-\!2}$	$\mathbf {|T_{k-1}|}$
0	1	1	1,000000	0
1	± 1	2	± 0,500000	± 1	1
2	1	6	0,166666	1	1
4	−1	30	−0,033333	−1	2
6	1	42	0,023809	3	16
8	−1	30	−0,033333	−17	272
10	5	66	0,075757	155	7936
12	−691	2730	−0,253113	−2073	353792
14	7	6	1,166666	38227	22368256
16	−3617	510	−7,092156	−929569	1903757312
18	43867	798	54,971177	28820619	209865342976
20	−174611	330	−529,124242	−1109652905	29088885112832
22	854513	138	6192,123188	51943281731	4951498053124096
24	−236364091	2730	−86580,253113	−2905151042481	1015423886506852352

$\forall \,k\in \mathbb {N} :\quad B_{2k+1}=0$

$\forall \,k\in \mathbb {N} :\quad \beta _{2k-1}=B_{4k-2}>0$

$\forall \,k\in \mathbb {N} :\quad -\beta _{2k}=B_{4k}<0$

Die Zahlen $\beta _{k}$ bilden eine streng konvexe (ihre Differenzen wachsen) Folge. Die Nenner der $\beta _{k}$ sind stets ein Vielfaches von 6, denn es gilt
der Satz von Clausen und von-Staudt, auch Staudt-Clausen’scher Satz genannt:

$\forall \,k\in \mathbb {N} \colon \qquad {\text{Nenner}}(B_{2k})=\prod _{p\in \mathbb {P} \atop p-1\,|\,2k}p$

Er ist benannt nach der unabhängigen Entdeckung von Thomas Clausen und Karl von Staudt 1840. Der Nenner der $B_{2k}$ ist also das Produkt aller Primzahlen, für die gilt, dass $p-1$ den Index $2k$ teilt. Unter Nutzung des kleinen Fermatschen Satzes folgt somit, dass der Faktor $2(2^{2k}-1)$ diese rationalen Zahlen in ganze Zahlen überführt.

Auch wenn die Folge der $B_{2k}$ zunächst betragsmäßig relativ kleine Zahlenwerte annimmt, geht $|B_{2k}|$ mit wachsendem $k$ doch schneller gegen Unendlich als jede Exponentialfunktion. So ist z. B.

$B_{100}\approx -2{,}838\cdot 10^{78}$ und $B_{1000}\approx -5{,}319\cdot 10^{1769}.$

Ihr asymptotisches Verhalten lässt sich mit

$\beta _{k}=|B_{2k}|\sim {\frac {2\,(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}$

beschreiben, daher ist auch der Konvergenzradius der Taylorreihen, die oben zu ihrer Definition herangezogen wurden, gleich $2\pi .$

Ein möglicher Algorithmus zur Berechnung der Bernoullizahlen in Julia (programming language) ist gegeben durch

    b=Array{Float64}(undef, n+1)
    b[1]=1
    b[2]=-0.5
    for m=2:n
        for k=0:m
            for v=0:k
            b[m+1]+=(-1)^v *binomial(k,v)*v^(m)/(k+1)
            end
        end
    end
    return b

Rekursionsformeln

Möchte man die Bernoulli-Zahlen der ersten Art beschreiben, also $B_{1}=-1/2$, so ergeben sich diese Bernoulli-Zahlen $B_{k}$ aus der Rekursionsformel mit $n\in \mathbb {N}$

$B_{n}=-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}{n+1 \choose k}B_{k}$

und dem Startwert $B_{0}=1$. Für ungerade Indizes $k\geq 3$ folgt daraus wieder $B_{k}=0$. Diese Formel entstammt der impliziten Definition der Bernoulli-Zahlen erster Art, die bis Mitte des 20. Jahrhunderts auch die gebräuchlichste Definition war, da sie eine leicht zu merkende Gestalt hat:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\,n \in \N_0\setminus\{1\}\colon \qquad B^n = (1+B)^n,}

die auch in der weniger verbreiteten Form geschrieben werden kann als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\,n \in \N_0\colon \qquad (-B)^n = (1+B)^n,}

wobei in diesen Darstellungen Potenzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} als die entsprechend indizierten Bernoulli-Zahlen zu interpretieren sind. Für die Bernoulli-Zahlen der zweiten Art lässt sich analog

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\,n \in \N_0\setminus\{1\}\colon \qquad {B^\ast}^n = (B^\ast-1)^n}

als auch

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oder eleganter

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schreiben und als induktive Definition der Bernoulli-Zahlen zweiter Art verwenden mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \N} zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B^\ast_n = \frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{n+1-k} {n + 1\choose k}B^\ast_k}

mit dem Startwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B^\ast_0=1} oder für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$ als

$B_{n}^{\ast }=1-{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n-1}{n+1 \choose k}B_{k}^{\ast }$

Reihen mit Bernoulli-Zahlen

Diese Zahlen treten beispielsweise in der Taylorreihe des Tangens, des Tangens hyperbolicus oder des Cosecans auf; im Allgemeinen, wenn eine Funktion eine geschlossene Darstellung hat, wo die Sinusfunktion (oder Sinus-hyperbolicus-Funktion) im Nenner steht – d. h. durch die Summe oder Differenz zweier e-Funktionen dividiert wird:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall x \text{ mit } |x| < \frac \pi 2\colon \qquad \tan(x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^k\frac{2^{2k}(1-2^{2k})}{(2k)!} B_{2k}x^{2k-1}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall x \text{ mit } |x| < \frac \pi 2\colon \qquad \tanh(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{2^{2k}(2^{2k}-1)}{(2k)!} B_{2k}x^{2k-1}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall x \text{ mit } |x| < \pi\colon \qquad \csc(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{2-2^{2k}}{(2k)!} B_{2k}x^{2k-1}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall x \text{ mit } |x| < \pi\colon \qquad \cot(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\frac{2^{2k}}{(2k)!} B_{2k}x^{2k-1}}

Hier zwei nicht konvergierende asymptotische Reihen, die der Trigamma-Funktion (der zweiten Ableitung des natürlichen Logarithmus der Gammafunktion)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi_1(z) \simeq \sum_{k=0}^\infty \frac{B_{k}^\ast}{z^{k+1}},\quad z\to\infty}

und die des natürlichen Logarithmus der Gammafunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ln \Gamma(x+1) \simeq x \ln x - x + \frac{\ln x}{2} + \ln \sqrt{2\pi} + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k(2k-1) x^{2k-1}},\quad x\to\infty,}

die als Logarithmus der Stirlingformel bekannt ist. Diese lässt sich einfach aus der asymptotischen Form der Euler-Maclaurin-Formel ableiten, die in ihrer symmetrischen Schreibweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{i = m}^{n} f(i) = \sum_{j = 0}^{\infty} \frac{1}{j!} \left(B_{j}^\ast f^{(j-1)}(n) - B_{j} f^{(j-1)}(m)\right)}

lautet – wobei hier der Ausdruck $f^{(j-1)}(x)$ die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle j\!-\!1} -te Ableitung (speziell für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle j\!=\!0} das Integral) der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ausgewertet an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} bedeutet –, wenn man dort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(i) = \ln i } setzt, die untere Summationsgrenze $\textstyle m$ zu $\textstyle 1$ wählt und die obere Summationsgrenze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle n} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle x} variabel hält. Dies ist eine der bekanntesten Anwendungen der Bernoulli-Zahlen und gilt für alle analytischen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , auch wenn diese asymptotische Entwicklung in den meisten Fällen nicht konvergiert.

Zusammenhang mit der Riemannschen Zeta-Funktion

Die folgenden Reihenentwicklungen liefern die (im oben genannten Sinne) „klassischen“ Bernoulli-Zahlen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \beta_n = \frac{(2n)!}{2^{2n - 1} \pi^{2n}} \zeta(2n) = \frac{(2n)!}{2^{2n - 1} \pi^{2n}} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}} = \frac{2 \, (2n)!}{(2^{2n} - 1) \pi^{2n}} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k + 1)^{2n}} = \frac{(2n)!}{(2^{2n - 1} - 1) \pi^{2n}} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k - 1}}{k^{2n}}. \end{align}}

Für die „modernen“ Bernoulli-Zahlen gilt

${\begin{aligned}B_{n}^{\ast }&=-{\frac {n!\,\cos({\frac {\pi }{2}}n)}{2^{n-1}\pi ^{n}}}\zeta (n)=-{\frac {n!\,\cos({\frac {\pi }{2}}n)}{2^{n-1}\pi ^{n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{n}}}=-{\frac {2\,n!\,\cos({\frac {\pi }{2}}n)}{(2^{n}-1)\pi ^{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)^{n}}}\\&={\frac {n!\,\cos({\frac {\pi }{2}}n)}{(2^{n-1}-1)\pi ^{n}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k^{n}}},\end{aligned}}$

wobei im Fall der neueren Definition für n=1 undefinierte Ausdrücke der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{0}{0}} entstehen, die aber gemäß der Regel von de L’Hospital wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \lim_{n \to 1} \cos(\frac \pi 2 n) = \lim_{n \to 1} \frac \pi 2 (1-n)} den Pol erster Ordnung der Riemannschen Zetafunktion bei 1 (bzw. in der letzten Darstellung den Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle 2^{n-1}-1} im Nenner) aufheben und somit korrekt den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{1}{2}} liefern.

Für die Bernoulli-Zahlen zweiter Art gibt es noch die prägnante Darstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_n^\ast = -n\,\zeta(1-n)\quad \forall\,n\in\N_0,}

so dass die gesamte Theorie der Riemannschen Zetafunktion zur Charakterisierung der Bernoulli-Zahlen bereitsteht.

Beispielsweise geht aus der Produktdarstellung der Riemannschen Zeta-Funktion und obigen Reihenentwicklungen der Bernoulli-Zahlen die folgende Darstellung hervor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \beta_n = \frac{2\,(2n)!}{ (2\pi)^{2n}} \ \prod_{p \in \mathbb P} \left( 1 - \frac{1}{p^{2n}} \right)^{-1} = \frac{2\,(2n)!}{ (2\pi)^{2n}} \ \frac{1}{\left(1 - \frac{1}{2^{2n}} \right)\left(1 - \frac{1}{3^{2n}} \right)\left(1 - \frac{1}{5^{2n}} \right) \cdots}} .

Hierbei erstreckt sich das Produkt über alle Primzahlen (siehe auch Eulerprodukt der Riemannschen Zetafunktion).

Integraldarstellungen

Es gibt viele uneigentliche Integrale mit Summen oder Differenzen von zwei Exponentialfunktionen im Nenner des Integranden, deren Werte durch Bernoulli-Zahlen gegeben sind. Einige einfache Beispiele sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\,n\in\N\;\forall\,a\in\R^+\colon\qquad \int_0^\infty \frac{x^{2n-1}}{e^{ax} - e^{-ax}}\; \text{d}x = \frac{2^{2n}-1}{4n} \beta_n \left(\frac{\pi}{a}\right)^{2n}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\,n\in\N\;\forall\,a\in\R^+\colon\qquad \int_0^\infty \frac{x^{2n-1}}{e^{ax} - 1}\; \text{d}x = \frac{\beta_n}{4n} \left(\frac{2\pi}{a}\right)^{2n}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\,n\in\N\;\forall\,a\in\R^+\colon\qquad \int_0^\infty \frac{x^{2n-1}}{e^{ax} + 1}\; \text{d}x = \frac{2^{2n}-1}{2n} \beta_n \left(\frac{\pi}{a}\right)^{2n}}

aber auch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\,n\in\N\;\forall\,a\in\R^+\colon\qquad \int_0^1 (\ln x)^{2n-2} \ln (1-x^a) \frac{1}{x}\; \text{d}x = \frac{-(2\pi)^{2n-1}\beta_{n}}{4n(2n-1)a^{2n-1}}}

aus.

Bernoulli-Polynome

Datei:Bernoulli Polynome.svg

Die Graphen der Bernoulli-Polynome des Grades 1 bis 6

Für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \N_0} ist das Bernoulli-Polynom eine Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_n\colon[0,1] \rightarrow \mathbb{R}} und durch folgende Rekursionsgleichungen vollständig charakterisiert: Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n = 0} setzen wir

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_0(x) := 1}

und für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \geq 1} ergibt sich das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te Bernoulli-Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_n} eindeutig durch die beiden Bedingungen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_n(x) = n \int \text{B}_{n-1}(x) \, \text{d}x}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_0^1 \text{B}_n(x) \, \text{d}x = 0}

rekursiv aus dem vorherigen. Als Summe der Potenzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} geschrieben lautet der Ausdruck für das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -te Polynom

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_n(x) = \sum\limits_{k=0}^n {n\choose k}B_k\,x^{n-k},}

wobei hier wieder die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_k} die Bernoulli-Zahlen erster Art bezeichnen. Diese Form folgt direkt aus der symbolischen Formel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_n(x) = (B + x)^n}

worin man die Potenzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} als die entsprechende n-te Bernoulli-Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_n} interpretiert. Die ersten Bernoulli-Polynome lauten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_0(x) = 1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_1(x) = x - \tfrac{1}{2}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_2(x) = x^2 - x + \tfrac{1}{6}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_3(x) = x^3 -\tfrac{3}{2}x^2 +\tfrac{1}{2}x}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_4(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - \tfrac{1}{30}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_5(x) = x^5 - \tfrac{5}{2}x^4 + \tfrac{5}{3}x^3 - \tfrac{1}{6}x}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_6(x) = x^6 - 3x^5 + \tfrac{5}{2}x^4 - \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{1}{42}}

Diese Polynome sind symmetrisch um ${\tfrac {1}{2}}$, genauer

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_{k}(\tfrac 1 2+x) = (-1)^k \text{B}_{k}(\tfrac 1 2 -x).}

Ihre konstanten Terme sind die Bernoulli-Zahlen erster Art, also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_k(0) = B_k,}

die Bernoulli-Zahlen zweiter Art erhält man aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_k(1) = B_k^\ast}

und schließlich gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \text{B}_k(\tfrac 1 2) = -(1-2^{1-k}) B_k^\ast = -(1-2^{1-k}) B_k }

in der Intervallmitte. Das k-te Bernoulli-Polynom hat für k > 5 weniger als k Nullstellen in ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} und für gerades n ≠ 0 zwei und für ungerades n ≠ 1 die drei Nullstellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0, \tfrac 1 2 , 1} im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1]} . Sei $R(n)=\{x\in \mathbb {R} \colon {\text{B}}_{n}(x)=0\}$ die Nullstellenmenge dieser Polynome. Dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\tfrac 1 4 |R(n)| +\tfrac 3 4 \le \min R(n) \le \max R(n) \le \tfrac 1 4 |R(n)| + \tfrac 1 4 }

für alle n ≠ 5 und n ≠ 2 und es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{ |R(n)| }{n} = \frac{2}{\pi e} \approx 0{,}2342,}

wobei die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\cdot|} angewandt auf eine Menge deren Elementanzahl angibt.

Die Funktionswerte der Bernoulli-Polynome im Intervall [0,1] sind für geraden Index durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -|B_{k}| \le \text{B}_{k}(x) \le |B_{k}|}

und für ungeraden Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \not= 1} (aber nicht scharf) durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\frac{2\zeta(k)k!}{(2\pi)^k} < \text{B}_{k}(x) < \frac{2\zeta(k)k!}{(2\pi)^k}}

beschränkt.

Ferner genügen sie der Gleichung

${\text{B}}_{k}(x+1)={\text{B}}_{k}(x)+kx^{k-1}$,

falls man sie auf ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} analytisch fortsetzt, und die Summe der Potenz der ersten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} natürlichen Zahlen lässt sich mit ihnen als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=1}^n j^k = \int_0^{n+1} B_k(t)\, \text{d}t = \frac{ \text{B}_{k+1}(n+1) - \text{B}_{k+1}(0)}{k+1} }

beschreiben. Die Indexverschiebung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n+1} auf der rechten Seite der Gleichung ist hier notwendig, da man historisch die Bernoulli-Poynome an den Bernoulli-Zahlen erster Art (und nicht zweiter Art) „fälschlicherweise“ festmachte und somit statt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac k 2 {n^k}} den Summanden $-{\tfrac {k}{2}}n^{k}$ in obigen Bernoulli-Poynomen erhält, was hier genau den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n^k} zu wenig ergibt (den letzten Term der Summe auf der linken Seite), und daher auf der rechten Seite dieser Index noch „eins weiter“ laufen muss.

Bernoulli-Zahlen in der algebraischen Zahlentheorie

Satz von Staudt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\,p \in \mathbb P \;\forall\,n \in \mathbb N \text{ mit } (p-1)\,|\, 2n\;\colon\qquad p B_{2n} \equiv -1 \pmod p }

Als Satz von Staudt-Clausen ist auch die Aussage

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_{2n}+\!\sum_{p \in \mathbb P \atop p-1\,|\,2n}\!\frac 1 p \quad \in\;\Z }

bekannt, die etwas stärker ist als der vorherige Satz von Clausen und von-Staudt zur Charakterisierung der Nenner. Die Folge der so bestimmten ganzen Zahlen für geradzahligen Index lautet $1,1,1,1,1,1,2,-6,56,-528,6193,\ldots$.

Kummersche Kongruenz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\,p \in \mathbb P \;\forall\,n \in \mathbb N \text{ mit } (p-1) \not|\, 2n\;\colon\qquad \frac{B_{2n+p-1}}{2n+p-1} \equiv \frac{B_{2n}}{2n} \pmod p }

Eine ungerade Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p \in \mathbb{P}} heißt reguläre Primzahl, wenn sie keinen der Zähler der Bernoulli-Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B_{2n}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2n \le p-3} teilt. Kummer zeigte, dass diese Bedingung äquivalent dazu ist, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} nicht die Klassenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_{\mathbb{Q}(\zeta_p)}} des p-ten Kreisteilungskörpers $\mathbb {Q} (\zeta _{p})$ teilt. Er konnte so 1850 beweisen, dass der große Fermatsche Satz, nämlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^p+b^p=c^p} hat für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p > 2} keine Lösungen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \N} , für alle Exponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} gilt, die eine reguläre Primzahl sind. Damit war beispielsweise durch das Überprüfen der Bernoulli-Zahlen bis Index 94 der große Fermatsche Satz mit Ausnahme der Exponenten 37, 59, 67 und 74 für alle anderen Exponenten ≤ 100 bewiesen.

Tangentenzahlen und Anwendungen in der Kombinatorik

Betrachtet man die Eulerschen Zahlen und die Taylorentwicklung der Tangens-Funktion, so kann man die Tangenten-Zahlen implizit definieren zu

$\forall x{\text{ mit }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\colon \qquad \tan(x)=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {2^{2k}(1-2^{2k})}{(2k)!}}B_{2k}x^{2k-1}=\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {T_{2k-1}}{(2k-1)!}}x^{2k-1}$

und für Index Null noch $T_{0}=1$ setzen. Man hat somit die Transformation

$\forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad T_{n-1}=-{\frac {2^{n}(2^{n}-1)}{n}}B_{n}$

die aus den Bernoulli-Zahlen erster Art diese Folge ganzer Zahlen erzeugt:

$(T_{n})_{n\in \mathbb {N} _{0}}=(1,-1,0,2,0,-16,0,272,0,-7936,\ldots )$

Da die Vorzeichenwahl in der impliziten Definition völlig willkürlich ist, kann man genauso berechtigt mittels

$\forall \,n\in \mathbb {N} \colon \quad T_{n-1}^{\ast }=\mp {\frac {2^{n}(2^{n}-1)}{n}}B_{n}^{\ast }$

die Tangentenzahlen definieren, mit der Konsequenz

$(T_{n}^{\ast })_{n\in \mathbb {N} _{0}}=(\mp 1,\mp 1,0,\pm 2,0,\mp 16,0,\pm 272,0,\mp 7936,\ldots )$

und hat für alle Indizes $T_{n}^{\ast }=\pm 2^{n+1}(2^{n+1}-1)\zeta (-n).$

In jedem Fall sind mit Ausnahme von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_0} alle Zahlen mit geradem Index Null und die mit ungeradem Index haben alternierendes Vorzeichen.

Die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2|T_{2k+1}|} sind nun genau die Anzahl alternierender Permutationen einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2k+1} elementigen Menge. Weitere Informationen zur direkten Bestimmung der Tangentenzahlen findet man im Artikel Eulersche Zahlen.

In der Kombinatorik lassen sich die Bernoulli-Zahlen zweiter Art auch durch die Stirling-Zahlen zweiter Art Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \left\{{n \atop k}\right\}} darstellen als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall\,n\in\N_0\colon\quad B^\ast_{n}=\sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{k!}{k+1} \left\{{n \atop k}\right\}}

Die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k! \left\{{n \atop k}\right\}} werden auch als Worpitzky-Zahlen bezeichnet. Ein weiterer Zusammenhang ergibt sich über die erzeugende Potenzreihe der Stirling-Polynome Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_k(x)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k\in\N_0} wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{k=0}^\infty \frac{S_k(x)}{k!} t^k = \left( \frac t {1-e^{-t}} \right)^{x+1}}

mit den Stirling-Zahlen erster Art Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \left[{n \atop \ell}\right]} zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_k(m) = \frac{ (-1)^k }{ {m \choose k} } \left[{m+1 \atop m\!+\!1\!-\!k}\right]\qquad \text{für } m \in \N_0 , \; k \le m+1,}

die man so für negatives Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ell} definieren könnte. Daher sind die Bernoulli-Zahlen zweiter Art auch die Werte der Sterling-Polynome bei Null

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_k(0) = B^\ast_{k}}

aufgrund der gleichen formalen Potenzreihe.

Algebraische Topologie

Hier im Artikel sind die Bernoulli-Zahlen zu Anfang willkürlich mittels erzeugender Potenzreihen definiert worden. Die formale Potenzreihe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac x {1-e^{-x}}} tritt aber auch direkt bei der Bestimmung der Todd-Klasse eines Vektorbündels Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} auf einem topologischen Raum $X$ auf:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{td}(E)=\prod_{i\in\N} \frac{c_i}{1-e^{-c_i}} = \prod_{i\in\N}\; \sum_{k=0}^\infty B_k^\ast \frac{c_i^k}{k!}}

wobei die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i} die Kohomologieklassen von $E$ sind. Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} endlich-dimensional ist, dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle td(E)} ein Polynom. Die Bernoulli-Zahlen zweiter Art „zählen“ hier also ganz natürlich gewisse topologische Objekte. Diese formale Potenzreihe schlägt sich genauso im L-Geschlecht bzw. Todd-Geschlecht der charakteristischen Potenzreihe einer orientierbaren Mannigfaltigkeit nieder.

Siehe auch

• Eulersche Zahlen sind eng mit den Bernoulli-Zahlen verwandt.
• Ada Lovelace legte einen Algorithmus zur maschinellen Berechnung der Bernoulli-Zahlen ca. 1845 vor.
• Faulhabersche Formel

Literatur

• Jakob Bernoulli: Ars conjectandi, opus posthumum. (Kunst des Vermutens, hinterlassenes Werk), Basileæ (Basel) 1713 (lateinisch).
• Julius Worpitzky: Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen. Crelles Journal 94, 1883, S. 203–232.
• Senon I. Borewicz, Igor R. Šafarevič: Zahlentheorie. Birkhäuser Verlag Basel, 1966, Kap. 5, § 8, S. 408–414.
• Jürgen Neukirch: Algebraische Zahlentheorie. Springer-Verlag, 1992.
• Kenneth F. Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory. Graduate Texts in Mathematics, Bd. 84, Springer-Verlag, 2. Auflage 1990, Kap. 15, S. 228–248.
• I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series and Products. Academic Press, 4. Aufl. 1980, ISBN 0-12-294760-6, Kap. 9.6.
• Ulrich Warnecke: Zur Polynomdarstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{\nu=1}^{n} \nu^{k} } für beliebiges Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k \in \mathbb{N}.} In: Mathematische Semesterberichte. Band XXX / 1983, S. 106–114.

Weblinks

• Die ersten 498 Bernoulli-Zahlen als Projekt-Gutenberg-e-Text.
• Helmut Richter, Bernhard Schiekel: Potenzsummen, Bernoulli-Zahlen und Euler’sche Summenformel. (doi:10.18725/OPARU-1819, PDF; 212 kB).
• Bibliographie für Bernoullizahlen. Englisch.
• Eric W. Weisstein: Bernoulli Number. In: MathWorld (englisch).
• The Bernoulli Number Page. Grundlagen, Programm zur Berechnung von Bernoulli-Zahlen.