Die Deformationsinvarianten
bezeichnen in der Kontinuumsmechanik die drei Hauptinvarianten des rechten oder linken Cauchy-Green Deformationstensors. Sie stellen die Koeffizienten des charakteristischen Polynoms bei Hauptachsentransformation des Strecktensors dar. Gleichzeitig lassen sie sich nach dem Satz von Vieta auch durch die Hauptstreckungen
ausdrücken:
![{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}I_{1}&=&\mathrm {Spur} (\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}\\I_{2}&=&\mathrm {Spur} (\mathbf {b} ^{-1})\,\det(\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2}\,\lambda _{2}^{2}+\lambda _{1}^{2}\,\lambda _{3}^{2}+\lambda _{2}^{2}\,\lambda _{3}^{2}\\I_{3}&=&\det(\mathbf {b} )&=&\lambda _{1}^{2}\,\lambda _{2}^{2}\,\lambda _{3}^{2}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65799a4d3eaa644080ca567c8ee165e620447627)
mit
der Deformationstensor
der Spur des Deformationstensors,
der Determinante des Deformationstensors,
der Inversen des Deformationstensors und
der Eigenwerte des Deformationstensors.
Obige Zusammenhänge gelten für den linken Cauchy-Green Tensor
und den rechten Cauchy-Green Tensor
, denn beide Tensoren haben wegen
![{\displaystyle \mathbf {b} \cdot {\vec {v}}=\eta {\vec {v}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {F^{\top }\cdot b} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {F^{\top }\cdot F\cdot F^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {C\cdot (F^{\top }} \cdot {\vec {v}})=\eta (\mathbf {F^{\top }} \cdot {\vec {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f66d1c08d401a7bc2773b406418404e40cd6eee7)
Veranschaulichung der Polarzerlegung
dieselben Eigenwerte und damit auch dieselben Invarianten, was sie einander mathematisch ähnlich macht. Der Tensor F ist der Deformationsgradient. Gleiches gilt für die symmetrischen, positiv definiten, rechten und linken Deformationstensoren U bzw. v, die sich gemäß
![{\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {R\cdot U} =\mathbf {v\cdot R} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7cc6643d44a56018880d9f871f40872193744ab)
aus der Polarzerlegung des Deformationsgradienten ergeben, siehe Bild. Darin ist R ein eigentlich orthogonaler Tensor mit den Eigenschaften RT · R = 1 und det(R) = +1 (1 ist der Einheitstensor.) Der rechte und linke Deformationstensor haben wegen
![{\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\vec {v}}=\lambda {\vec {v}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbf {b} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {F\cdot F^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {v\cdot R\cdot R^{\top }\cdot v^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\lambda \mathbf {v} \cdot {\vec {v}}=\lambda ^{2}{\vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f86bef0542d55dbe4d5b5bf364c1a50b7729486)
die Hauptstreckungen λ1,2,3 als Eigenwerte, denn sie sind ebenfalls einander ähnlich:
![{\displaystyle \mathbf {R^{\top }\cdot v} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {R^{\top }\cdot v\cdot R\cdot R^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {R^{\top }\cdot R\cdot U\cdot R^{\top }} \cdot {\vec {v}}=\mathbf {U\cdot (R^{\top }} \cdot {\vec {v}})=\lambda (\mathbf {R^{\top }} \cdot {\vec {v}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c6c3bb2f34577267ec9190c514654aa6248f9e)
Weil der Deformationsgradient immer und überall invertierbar ist, sind dies die Strecktensoren auch.
Die dritte Invariante stellt gleichzeitig das Quadrat des Volumenverhältnisses
dar:
![{\displaystyle I_{3}(\mathbf {b} )=I_{3}(\mathbf {C} )=J^{2}=I_{3}^{2}(\mathbf {v} )=I_{3}^{2}(\mathbf {U} ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83d1fde23e3fa4d6757e48ab9cb20686aaf0f9d4)
Bei Inkompressibilität im Werkstoffverhalten (
) bleibt also die dritte Invariante der Strecktensoren gleich der Identität.
Literatur
- H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5.