Diskussion:Gruppentheorie

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Einleitung und Übersicht

Einleitung

Die ersten 1 bis 3 Einleitungssätze müssen noch wesentlich verbessert werden. Es ist gut, dass es einen Abschnitt "Erklärung für Nichtmathematiker gibt", aber auch in die Einleitung gehört eine ganz kurze allgemeine Erklärung. Stattdessen fängt sie an:

• "Die Gruppentheorie ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik." - so fangen Lehrbücher oder Vorlesungen an, aber keine Enzyklopädiebeiträge.
• Nachdem dann die Neugier geweckt ist, kommt statt einer allgemeinen (kurzen, groben, vereinfachenden) Erklärung sofort ein Beispiel.

Sollte die Einleitung nicht eher dahin gehen: Die Gruppentheorie befaßt sich mit mathematischen Strukturen, wie Gruppen oder Ringen. (Der 2. Satz müßte dann mit einem Satz ganz grob beschreiben, was eine Gruppe ist.) --84.137.7.69 16:35, 1. Jan. 2008 (CET)

Beispiel in der Einleitung

Das Beispiel in der Einleitung mit den N-Ecken und der Modulo-Rechnung erscheint mir an der Stelle etwas dick aufgetragen. Gruppen kommen zumindest im Grundstudium Informatik deutlich vor Modulo-Rechnung und geometrischen Rotationen, also sollte man diese evtl. nicht voraussetzen. Möglicherweise wäre es sinnvoller, die ganzen Zahlen mit Addition als Beispiel zu nehmen, und etwas zu finden, was dazu isomorph ist. Kompliziertere Beispiele können dann in einen Abschnitt, in dem die erklärte Zielgruppe Mathematiker sind. --80.136.104.64 18:41, 11. Jul. 2007 (CEST)

Ja, zum Beispiel könnte man den Absatz durch folgenden Satz austauschen: Beispielsweise folgt die Gruppe der ganzen Zahlen $\mathbb {Z}$ mit der Addition den selben Gesetzen wie die Gruppe der rationalen Zahlen $\mathbb {Q}$ ohne Null mit der Multiplikation. Auf zu viele Feinheiten wie Neutrale Element uws. sollte in der Einleitung noch nicht eingegangen werden, da das Neutrale Element an dieser Stelle noch gar nicht definiert ist. Der Absatz der momentan an der Stelle steht, könnte man in die Beispiele in der Erklärung für nicht-Mathematiker verschieben. Wobei ich denke, dass man für die Beispiele lieber einen neuen Abschnitt macht, da die Beispiele nicht nur für nicht-Mathematiker sind. Außerdem sollte man noch erwähnen das die Äquivalenz zwischen Gruppen Homomrphismus genannt wird und auf den Artikel verlinken und eventuell auch noch in "Grundkonzepte der Gruppentheorie" aufnehmen... Wenn niemand ein Problem damit hat kann ich das ja demnächst mal machen. Gruß Azrael. 14:13, 12. Jul. 2007 (CEST)

Ich habe eine Neuformulierung versucht, aber es bleibt natürlich schwierig. Ich denke, die Einleitung sollte schon sagen, was eine Gruppe ist (möglichst knapp und klar) aber auch ein oder zwei prägnante Beispiele bringen. Meinen Vorschlag stelle ich hiermit zur Diskussion. --Timofey Pnin 11:51, 27. Nov. 2009 (CET)

Module mit in die Übersicht

was haltet ihr davon, wenn man die Moduln mit in den Übersichtskasten setzt, etwa so:

Gruppe (Axiome EANI)

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Gruppentheorie

ist Spezialfall von

Magma (Axiom E) Halbgruppe (EA) Monoid (EAN)

umfasst als Spezialfälle

Abelsche Gruppe (EANIK) Ring Körper Modul (Mathematik) Vektorraum endliche Gruppe 18 Familien endlicher einfacher Gruppen Kleinsche Vierergruppe Permutationsgruppe symmetrische Gruppe alternierende Gruppe zyklische Gruppe Diedergruppe Punktgruppe 230 Raumgruppen 26 sporadische Gruppen unendliche Gruppe Lie-Gruppe allgemeine lineare Gruppe

Ich finde parallel zu Ringe - Körper sollte hier auch Modul - Vektorraum stehen. Ich habe dies eben so eingetragen und auch noch ein paar andere kleine Schwächen korrigiert. Ich hoffe, dies findet Anklang und kann als Grundlage zur weiteren Verbesserung dienen. --Timofey Pnin 11:54, 27. Nov. 2009 (CET)

Kategorien

Anwendungsgebiet zu sein genügt nicht für eine Kategorisierung, sonst müsste man noch 20 Mathematik-Kategorien hinzufügen. Mir ist auch immer noch nicht klar, was Gruppentheorie mit Chemie zu tun hat. Es kommen Symmetriegruppen vor, aber geht es dann nicht eher um die Darstellungstheorie dieser Gruppen?-- Gunther 21:20, 11. Apr 2005 (CEST)

Transformationsgruppen

Die mathematischen Erläuterungen zu den Begriffen (Normalteiler & Co.) finde ich gut, aber, was nahezu komplett untergeht, ist, dass Gruppen fast immer als Gruppen von Permutationen innerhalb einer Menge von Objekten konstruiert werden (eben als Transformationsgruppen) und dass die gesamte Struktur (bestehend aus Gruppe G und Menge M, wobei G auf M operiert) Permutationsstruktur heißt.

(Diese Bezeichnung kenne ich nur von meinem Algebra-Prof, ich habe diesen Begriff kaum woanders vorgefunden. Vermutlich gibt es einen anderen Namen, den sich Informatiker oder diskrete Leute ausgedacht haben.)

Dieses Verständnis einer Gruppe liegt schon bei Abel und Galois vor. Die hierzu passenden Drehungen auf regelmäßigen Vielecken werden nur sehr beiläufig erwähnt, wie wenn ihre Beschreibung als Gruppe nur aufgrund eines sehr umfassenden Gruppenbegriffs möglich gewesen wäre. Um den Gruppenbegriff zu erläutern, muss man nicht den Ring der ganzen Zahlen auf Gruppenniveau runterschrumpfen. Wünschenswert wäre, wenn eine Kompetenz hier eine Definition einer Permutationsstruktur riskieren würde. --Stefan Neumeier 00:16, 18. Jul. 2010 (CEST)

Es gibt die so genannten Gruppenwirkungen, die je nach Prof auch Operationen oder Aktionen genannt werden (wobei letzteres eher eine schlechte Übersetzung aus dem englischen durch meinen Algebra Prof ist.) In der Tat ist darüber ein noch tieferer Zugang in die Gruppentheorie möglich. Eine wichtige Erkenntnis ist zum Beispiel, das jede Gruppe Untergruppe einer Permutationsgruppe ist. Auch die Sylowsätze lassen sich so sehr geschickt herleiten. Wäre sicherlich einen Abschnitt Wert, allerdings fühle ich mich in dem Thema gerade nicht mehr so fit als das ich diesen spontan verfassen könnte. -- Kaffeejunkie1988 13:24, 20. Aug. 2010 (CEST)

Gruppentheorie und Algebra

Ist Gruppentheorie nicht mit Algebra gleichzusetzen?

Algebra bedeutet lediglich das Ausführen einer Zahl von Operationen in einer Rechenstruktur, die durch bestimmte Regeln vorgegeben ist. Existiert zu den Regeln auch noch eine oder mehrere Trägermengen (beispielsweise die ganzen Zahlen),auf denen operiert wird, so spricht man von einer konkreten Algebra, ansonsten von einer abstrakten Algebra. Gruppentheorie ist also eine spezielle Form von abstrakter Algebra, und die Betrachtung spezieller Gruppen eine Form von konkreter Algebra. --Hermel

Das Gebiet der abstrakten Algebra beschaeftigt sich noch mit ganz anderen Strukturen. Von Ringen, Koerpern, Verbaenden etc. kommt man zu Moduln, Algebren und anderen Strukten. Das kann beliebig kompliziert werden. Gruppentheorie ist da nur eine von mehreren Grundlagen. --SirJective 12:47, 11. Dez 2003 (CET)

Beispiele für die Grundkonzepte der Gruppentheorie

Es wäre schön, wenn wir ein paar Beispiele zu den Grundkonzepten erarbeiten könnten. Conny 10:56, 2. Jan 2005 (CET).

Was genau fehlt deiner Meinung nach denn? Gruppentheorie#Beispiele existiert jedenfalls. --MartinThoma (Diskussion) 13:55, 6. Apr. 2012 (CEST)

Erklärung für Nicht-Mathematiker

Die Abgeschlossenheit als Bedingung für eine Gruppe fehlt noch im Artikel. (nicht signierter Beitrag von 128.131.195.25 (Diskussion | Beiträge) 11:37, 3. Mai 2010 (CEST))

Ich habe die "Definition für nicht Mathematiker" unbenannt und überarbeitet, bin aber noch nicht ganz glücklich damit. Vielleicht möchte sich das nochmal jemand anschauen, der da etwas mehr "nicht-mathematischen" Zugang hat? --Glotzfrosch 21:13, 14. Mär 2005 (CET)

1. Die Hauptschwierigkeit eines interessierten Nicht-Mathematikers mit dem Begriff "Gruppe" vermute ich darin, dass er mit den Begriffen Menge und Verknüpfung nichts anzufangen weiß. Vielleicht sollte man da noch etwas langsamer (mit Einführung durch ein Beispiel wie C_3 oder S_3) vorgehen?

2. Die Idee, "Slogans" für die Axiome zu geben, gefällt mir. Durch "Alles aus demselben Topf" oder "Es gibt ein Spiegelbild" wird meiner Meinung nach aber nicht die Bedeutung der Axiome klar: Die Abgeschlossenheit muss eigentlich nicht mehr als Axiom genannt werden, wenn man von einer "inneren Verknüpfung" spricht, und statt von einem "Spiegelbild" zu sprechen, schlage ich vor: "Jede Verknüpfung kann umgekehrt werden" (ist das erhellender???).

3. Beispiele finde ich gut (eines sollte meines Erachtens sogar an den Anfang); von einem Nicht-Mathematiker würde ich aber nicht erwarten, dass er etwas mit den "Buchstaben" Z und Q anzufangen weiß. --FRR 11:20, 28. Jul 2005 (CEST)

ad 1: Symmetriegruppen einfacher geometrischer Figuren wären eine Möglichkeit.

ad 2: "Spiegelbild" ist für endliche Spiegelungsgruppen natürlich Unsinn, aber für Liegruppen genau richtig. Ich halte diese "Abgeschlossenheit" für ziemlichen Unsinn, seit ich einmal in einer Klausur lesen durfte: "Ein Ring ist eine abgeschlossene Menge in einem Vektorraum." Hauptsache abgeschlossen :-(

ad 3: abgesehen davon, dass die Begriffe nicht verlinkt sind, steht ja dabei, dass es sich um die ganzen bzw. rationalen Zahlen handelt.

--Gunther 11:53, 28. Jul 2005 (CEST)

Slogans sind ok, aber "alles aus demselben Topf" trifft den Kern nicht. Für Abgeschlossenheit müsste es "alles in denselben Topf" heißen.

Darüberhinaus gehört Abgeschlossenheit sowieso nicht hierher, da der Begriff nur Sinn macht, wenn von Unterstrukturen die Rede ist, er hat also bei der Definition einer :Gruppe nichts verloren. Bei der Mathematikerdefinition ist das sowieso klar, aber auch für Nichtmathematiker sollte man darauf verzichten, denn je

weniger Axiome, desto besser. Darüberhinaus stelle ich mir vor, ein Nichtmathematiker fängt an darüber zu grübeln, was die Abgeschlossenheit eigentlich bedeuten soll,

gerade im Hinblick auf die Beispiele, sollte es also passieren können, dass die Summe zweier Zahlen keine Zahl mehr ist? Ich glaube, sowas führt nur zur Verwirrung.

--Anna Torsion8:00, 5.10.2005 (CEST)

Seh ich genauso, hat hier nix verloren und hab's deshalb gelöscht --Donpron 15:29, 20. Aug. 2009 (CEST)

Wikipedia als Zugang zur Mathematik

Hallo zusammen,

bin schlicht weg begeistert endlich mal einen Abschnitt für Nicht-Fachleute in einem Artikel zu einem mathematischen Begriff vorzufinden. So sehr ich Wikipedia auch liebe, so ist es meiner Meinung nach bisher leider nicht möglich, als Außenstehender über die Wikipedia Artikel einen Zugang zur Mathematik zu finden.

Dies finde ich persönlich ausgesprochen bedauernswert, da ich neben Wikipedia, auch der Mathematik äußerst zugetan bin.

Deshalb meine Bitte: Bitte, bitte, bitte ... so einen Abschnitt (im laufe der Zeit) in jeden Artikel zu mathematischen Begriffen einzufügen.

Dabei geht es zuerst mal gar nicht darum das dieser Abschnitt dann auch für jeden sofort absolut verständlich sein muss, denn das ist meiner Meinung nach nicht zu bewerkstelligen, da der Bildungsstand des Lesers nicht bekannt ist.

(Bitte auch nie vergessen: Wikipedia ist ein allgemeines Nachschlagewerk, und kein mathematisches Fachlexikon.)

Bin gerne bereit bei der Erstellung solcher Abschnitte als Nicht-Mathematiker mit Rat und Tat zu helfen.

Vielen Dank für euer Verständnis

Ich stimme voll zu, vor allem für Übersichtsartikel wie diesen. Zugegebenermaßen wird dies in Artikeln zu spezielleren Unterthemen wohl zunehmend schwierig werden, aber dorthin wird sich ein Nicht-Spezialist wohl selten verirren. Als Anregung will ich diese Idee für die Zukunft gerne aufnehmen. --Timofey Pnin 13:00, 27. Nov. 2009 (CET)

Hallo, auch ich stimme zu, dieser Abschnitt ist für mich eine positive Überraschung. Habe auch schon vorher oft die Wikipedia als Nachschlagewerk verwendet wenn ich ein Thema aus der Mathematik nicht verstanden habe, nur leider bin ich zu den meisten Themen auch nur auf Artikel gestoßen die die Definition wiedergeben und Eigenschaften auflisten. Dieser Abschnitt ist sehr begrüßenswert und wenn jemand die Zeit und das Wissen hat kann er ja überlegen ob er zu anderen Themen ähnliche Abschitte erstellen könnte. Ich werde mich jedenfalls auch mal umschauen ob ich da beitragen kann. (nicht signierter Beitrag von 88.73.70.31 (Diskussion | Beiträge) 23:56, 23. Jan. 2010 (CET))

Bei der Erstellung solcher abschnitte sollte aber trotzdem mit Vorsicht vorgegangen werden um zu vermeiden, dass durch gewisse Ungenauigkeiten bzw. Schwammigkeit Stoff falsch vermittelt wird. Dieser Abschnitt allerdings ist sehr gut gelungen. Kaffeejunkie1988 17:20, 19. Aug. 2010 (CEST)

Kommentare zu den Anwendungen in der Chemie

• Symmetrieeigenschaften haben primär nichts mit Gruppentheorie zu tun. In der Gruppentheorie geht es um Eigenschaften der Menge der Symmetrien als Gruppe, nicht um das Vorhandensein von Symmetrien. (Das betrifft den Satz zum Dipolmoment und die beiden folgenden.)

--Gunther 15:50, 26. Apr 2005 (CEST)

Definition

1. Die Abgeschlossenheit könnte aus dem Axiomensystem gestrichen werden, wenn dem Leser klar ist, was eine "innere Verknüpfung" ist: Ich nehme an, daß dieses "Axiom" deshalb aufgenommen wurde, weil es zu den Dingen gehört, die man bei dem Nachweis der Gruppeneigenschaft berücksichtigt. Sie erscheint mir trotzdem unnötig.

2. Durch Auslagern des Kommutativitätsaxioms in eine Randbemerkung würde die Anzahl der Axiome auf drei verringert und der elementare Gruppenbegriff weniger furchteinflößend.

3. Eine Randbemerkung wert wäre auch die Eindeutigkeit von neutralem und inversem Element. --FRR 11:57, 28. Jul 2005 (CEST)

Im "Ausblick" wird auf die - in der Uebersicht nicht mehr aufgefuehrte - Abgeschlossenheit Bezug genommen, und es werden die Axiome mit Nummern bezeichnet, die so nicht mehr stimmen. Meiner Meinung nach sollte die Definition vollstaendig sein. ---stk 22:58, 2. Nov 2005 (CET)

Mir ist aufgefallen, dass die ganze Rechnerei mit der Gruppenverknüpfung doch recht schwerfällig wird. Insbesondere je weiter man in die Tiefe steigt (vgl. Artikel zu Faktorgruppe). Deshalb meine Anregung: Vielleicht ist es einfacher, wie allgemein üblich auf den Kringel zu verzichten und additiv bzw. multiplikativ zu schreiben. ich persönlich würde die multiplikative Schreibweise bevorzugen... Grüße.

Wieso wurde diese komplizierte Definition gewählt?? Wieso nicht die, die auch für Nichtmathematiker hergehalten hat. Gruppe ist eine Menge mit einer Verknüpfung mit folgenden Eigenschaften... Diese Sache mit dem Tripel ist doch eigentlich eher verwirrend. Mir ist noch kein Gruppentheoretiker begegnet, der eine Gruppe so definieren würde. Ich stimme gerne zu, dass eine solche Definition hilfreich ist, wenn man in anderen Bereichen der Mathematik Gruppentheorie anwenden will, aber dieser Artikel heisst doch Gruppentheorie Grüße, Jan.

Neutrales Element

Neutrales Element: Es existiert ein Element e (auch 1 genannt) in M, so dass für alle Elemente gilt a × e = e × a = a.

Das neutrale element wird nur im falle der Multiplikation 1 genannt. Bei addition z.B. wäre es ja 0.

Ich hab den Klammerzusatz entfernt. Alle Notationsvarianten in der Definition zu nennen, wäre vollkommen unübersichtlich. Die Frage ist, ob man darauf weiter unten noch ausführlicher eingehen sollte.--Gunther 01:14, 5. Okt 2005 (CEST)

Womöglich könnte man den Abschnitt 'Notation for Groups' aus dem Englischen Artikel übernehmen. Bei 'Abschwächung der Definition' sollte vielleicht noch bemerkt werden das diese definition nur bei Kommutativität gilt. Oder habe ich da unrecht? Helohe 01:21, 5. Okt 2005 (CEST)

Nein, die gilt in jedem Fall, die Begründung steht eigentlich auch im Artikel dabei.--Gunther 01:26, 5. Okt 2005 (CEST)

Ok, stimmt. Helohe 01:32, 5. Okt 2005 (CEST)

Trennung

Hallo,

1. 1 ich denke, daß man die Def. des Gruppenbegriffs aus diesem Artikel in einen eigenen Artikel verschieben sollte: In einem Artikel über Gruppentheorie sollten IMHO eher allgemeiner gehaltene Sachen (wie etwa Anwendungen, die Rolle von Gruppen bei der Auflösung alg. Gleichungen [Galois-Theorie]), Verallgemeinerungen/Erweiterungen (Begriff der Gruppenaktion, Topologische Gruppen usw.) stehen. Nicht zu vergessen, die Klassifizierung endlicher Gruppen (Erwähnung des "Klassifikationssatzes).
2. 2 Der Beweis, daß, wenn man in den Axiomen zunächst nur das Linksinverse/-neutrale Element fordert, sich daraus ergibt, dass sie auch rechtsinvers/neutral sind, kann man noch was verkürzen - bloß ein Vorschlag. Dadurch kann man auch die Häufung von Klammern etwas reduzieren ;-); außerdem bin ich nicht sicher, ob doppelte Hochstellungen immer korrekt angezeigt werden.
3. 3 Die Stelle, an der das inverse Element als Spiegelbild bezeichnet wird, ist noch nicht so gut geraten: Bei einem Spiegelbild denk ich eher an etwas, daß 2mal hintereinander angewendet wieder "auf sich selbst zurückfällt". Das wäre dann aber eher eine allgemeine Eigenschaft der "Inversionsabbildung", nicht die eines einzelnen Elements.

Gruß --Zahlenspieler 09:00, 20. Nov 2005 (CET)

1 Vgl. Diskussion:Ringtheorie. 3 Das ist der Unterschied Spiegelbild/Spiegelung.--80.136.175.208 13:37, 22. Nov 2005 (CET)

Leere Gruppe?

Existiert sowas wie eine leere Gruppe, also eine Gruppe über einer leeren Menge? --DFG 00:55, 22. Nov 2005 (CET)

Nein. Die leere Menge enthält kein Element, welches als neutrales fungieren könnte. (Aussagen der Form "es existiert ein e aus der leeren Menge mit ..." sind immer falsch.) --Glotzfrosch 05:52, 22. Nov 2005 (CET)

Nimmt man allerdings die Menge die nur die leere Menge enthält, so erhält man mit der Vereinigung als Operation eine Gruppe die isomorph zur trivialen Gruppe ist. Einselement ist die leere Menge. Leere Menge vereinigt mit der leeren Menge gibt die leere Menge.

Was ist mit Restklassen?

Die werden gar nicht erwähnt.

Ich finde die Bezeichnungen in dem Teil über die Restklassen verwirrend. Zunächst einmal - was ist die "Trägermenge"? Ferner - so, wie ich das kenne, definiert man die Restklassen für eine Untergruppe U einer Gruppe G, bei der angegebenen Definition wird aber auf (jedenfalls für mich unverständliche) Art und Weise zwischen "U" und "M" hin und her gesprungen. --Denoevyn 23:19, 23. Jan 2006 (CET)

Soweit ich sehen kann, war vor Deiner Bearbeitung alles o.k. M ist die Gruppe, U die Untergruppe. (Frag' mich nicht, wieso die Gruppe M und nicht G heißt.)--Gunther 10:59, 24. Jan 2006 (CET)

Abschwächung der Definition

Ich weiß als Mathematiker zwar, was mit dem Teilsatz "Wir können eine äquivalente, nicht schwächere Definition geben" gemeint ist, klingt jedoch trotzdem widersprüchlich zur Überschrift. Vielleicht so etwas wie Folgende schwächere Definition ist äquivalent zur oben angegebenen? --FloxCauchy 23:32, 6. Mär 2006 (CET)

Es zeigt für meinen Geschmack recht gut, wie unsinnig dieses Streben nach Minimalität ist ;-) --Gunther 23:34, 6. Mär 2006 (CET)

Wie meinst Du das? Ist halt Geschmackssache, wie viel man als Forderungen in die Definition mit einbezieht. --FloxCauchy 23:36, 6. Mär 2006 (CET)

Mein Geschmack sagt mir, dass man keine Teile aus Definitionen weglassen sollte, die beim Nachweis sowieso keine Probleme bereiten. Wurde irgendwo anders schon diskutiert, es gibt unterschiedliche Ansichten, ich weiß.--Gunther 23:50, 6. Mär 2006 (CET)

Ordnung von Elementen

"Falls kein solches n existiert, sagt man, dass a unendliche Ordnung hat. Die Ordnung des Elements entspricht dann der Ordnung der von a erzeugten Untergruppe.": Diese Kombination zweier Sätze finde ich sehr widersprüchlich. Wieso entspricht sie "dann" der Ordnung der Untergruppe? Die Ordnung des Elements ist dann einfach unendlich, und da sein Erzeugnis sowieso nur abzählbar sein kann, gibt es auch keine verschiedenen Sorten von unendlich. --FloxCauchy 23:32, 6. Mär 2006 (CET)

Ich nehme mal an das ist irgendwie so gemeint: "Wenn man also nicht nur Elementen endlicher Ordnung eine Ordnung zuordnet, dann ..." Finde ich aber auch überflüssig. Allerdings sollte man überhaupt diesen Stil vermeiden: "Ach ja, fast hätt' ich's vergessen, da gibt es ja noch einen Spezialfall, in dem wir eine andere Definition nehmen müssen..." Trifft hier nicht zu.--Gunther 23:38, 6. Mär 2006 (CET)

Ich würde gerne so etwas schreiben wie Wenn es eine natürlich Zahl gibt, so dass [...], so nenne die kleinste solche Zahl die Ordnung; ansonsten sei die Ordnung unendlich. Kann ich das editieren? Bin noch etwas neu hier, deshalb die Frage ... ;-) --FloxCauchy 23:43, 6. Mär 2006 (CET)

Sehe ich jetzt nicht so den großen Unteschied ... Und natürlich kannst Du das ändern, es gibt die Devise "Sei mutig!"--Gunther 23:54, 6. Mär 2006 (CET)

Und wie ich gerade bemerke, befolge ich meine schlauen Ratschläge (den oben durchgestrichenen Satz) selbst nicht...--Gunther 23:56, 6. Mär 2006 (CET)

Zur schwachen Definition

Es muss sowohl für das Linksneutrale wie fürs Linksinverse heißen: "... existiert genau ein Element ...", denn sonst sind die angeschlossenen Beweise nicht aufrecht zu halten. Bei der "starken" Definition sind diese Einschränkungen nicht gemacht und man muss die Eindeutigkeit des neutralen und inversen Elementes erst beweisen. Welche Definition nun "schwächer" sein soll, müsste man erwürfeln. --Georg Roch

Was soll an den Beweisen falsch sein?--MKI 16:42, 16. Mär 2006 (CET)

Soweit ich das sehe, sind die Beweise korrekt. Eindeutigkeit von e oder a^-1 wird nirgendwo verwendet.--Glotzfrosch 08:41, 17. Mär 2006 (CET)

Sehe ich auch so, drum frag ich.--MKI 13:44, 17. Mär 2006 (CET)

Wenn nicht gefordert wird, dass es nur ein einziges linksneutrales Element gibt oder dass es für jedes linksneutrale Element, e, und jede Linksinverse, u, eines Elementes, x, u*x=e gilt, kann der Beweis nicht gehalten werden. Schon die Formulierung des Satzes ist nicht zu halten: "Das linksinverse Element …" impliziert Eindeutigkeit des Inversen, die ja nicht vorgegeben ist und erst später bewiesen werden soll. Ich überlasse es jetzt Ihnen, sich von der Nicht-Haltbarkeit des "Beweises" zu überzeugen. Sollten Sie sich jedoch überfordert fühlen, dann lassen Sie es mich bitte wissen. --Georg Roch

Der Beweis ist richtig, wenn man die Definition des Linksneutralen und -inversen so liest, wie sie gemeint ist (und IMHO auch dasteht): Es gibt ein Linksneutrales, dieses halten wir fest und nennen es e. Dass es noch viele andere Linksneutrale geben könnte, ist egal - wir haben e festgenagelt!

Anderenfalls ergibt auch die Definition des Linksinversen keinen Sinn: Das dort auftauchende e ist nicht "irgendein" Element mit der Linksneutralitätseigenschaft, sondern das e der Zeile darüber. Mit dem Linksinversen verhält es sich entsprechend: Ein Element könnte viele Linksinverse haben, aber zu jedem a wählen wir eines davon aus und nennen es a^-1. (Dazu braucht man wahrscheinlich ein Auswahlaxiom, das könnte man dazuschreiben. Kann das irgendwer bestätigen?).

Damit geht der Beweis problemlos durch. Falls du, Georg, der Meinung bist, dass aus der Formulierung nicht klar hervorgeht, wie die Bezeichnungen gemeint sind, kannst du das natürlich ändern. Ich halte sie aber kaum für missverständlich.

Also, zusammenfassend: Eindeutigkeit wird nicht gefordert. Alles, was wir brauchen, ist, dass man aus den Elementen mit der entsprechenden Eigenschaft eines auswählen kann. --Glotzfrosch 22:24, 22. Mär 2006 (CET)

Die schwache Definition lautet formal so (ich schreibe, wie bei Gruppentheoretikern üblich, xy statt x*y)

$\exists n\in M:\forall x\in M:(nx=x\ \ \land \ \exists u\in M:ux=n)$

Diese Definition, verbalisiert, sieht so aus:

Es gibt ein Element n in M, so dass für alle Elemente x in M folgendes gilt:

• nx=x.
• Es gibt ein Element u in M, so dass ux=n.

Mit dieser Verbalisierung lässt es sich schwer arbeiten: es fehlen Benennungen für n und x. Man erhält diese, wenn die Definition so formuliert wird:

Es gibt ein Element n in M, so dass für alle Elemente x in M folgendes gilt:

• nx=x. n heißt linksneutrales Mitglied der Gruppe.
• Es gibt ein Element u in M, so dass ux=n. u heißt Linksinverse zu x bezüglich n.

Jetzt kann man die von mir beanstandeten Beweise korrekt führen"":

• Behauptung: Für jede Linksinverse u eines Gruppenmitglieds x bezüglich eines linksneutralen Gruppenmitglieds n gilt auch xu=n, d.h. die Linksinversen ist auch Rechtsinverse.

Beweis: Sei v eine Linksinverse zu u bezüglich n.

Es gilt: xu=n(xu), da n ein linksneutrales Gruppenmitglied.

Daraus folgt: xu=(vu)(xu), da nach Voraussetzung n=vu.

Daraus folgt: xu=(v(u(xu))=(v((ux)u), aufgrund der Assoziativität.

Daraus folgt: xu=v(nu), da nach Voraussetzung ux=n.

Daraus folgt: xu=vu, da n ein linksneutrales Gruppenmitglied.

Daraus folgt: xu=n, da nach Voraussetzung vu=n.q.d.e.

Statt "Linksinverse" oder "Rechtsinverse" spricht man auch einfach von "Inverse"

• Behauptung: Für jedes Gruppenmitglied x und jedem linksneutralen Gruppenmitglied n gilt auch xn=x, d.h. die linksneutralen Gruppenmitglieder sind auch rechtsneutrale.

Beweis: Sei u eine Inverse zu x bezüglich n.

Es gilt: xn=x(ux), da nach Voraussetzung n=ux.

Daraus folgt: xn=(xu)x, aufgrund der Assoziativität.

Daraus folgt: xn=nx, da nach Voraussetzung xu=n.

Daraus folgt: xn=x, da n ein linksneutrales Gruppenmitglied. q.d.e.

Statt "linksneutral" oder "rechtsneutral" sagt man auch einfach "neutral".

Erst nachdem man noch die Eindeutigkeit der neutralen Mitglieder und der Inversen nachgewiesen hat, kann man Notationen sowohl für das neutrale Mitglied wie auch für die Inverse zu einem Mitglied angeben. Es vorher zu tun, wie im Artikel geschehen, ist logisch nicht zu rechtfertigen. Ich meine auch in der Wikipedia sollte man nicht argumentieren: Der Leser wird es sich schon zurechtreimen.

Ich werde demnächst hier im Diskussionsforum meine Version der Gruppen-Definition vorstellen.--Georg Roch

Ein paar Gründe für meinen Revert: Üblich ist die Tupel-Definition $(G,{\times },e)$ oder so ähnlich, und man unterscheidet meist nicht zwischen der Gruppe und der zugrundeliegenden Menge, deshalb spricht man auch von Elementen und nicht von Mitgliedern. Die Rückführung auf Halbgruppen dient nicht dem Verständnis, Gruppen sind ein eigenständiger Begriff und deutlich wichtiger als Halbgruppen; Halbgruppen werden ja schon in der Übersichtstabelle rechts genannt, außerdem gibt es einen eigenen Artikel Halbgruppe. Insgesamt halte ich die Diskussion um die verschiedenen Abschwächungen der Axiome für etwas zu speziell, als dass ihr im Rahmen des Übersichtsartikels zur Gruppentheorie so viel Raum eingeräumt werden sollte. Eher sinnvoll wäre eine Erwähnung der Definition, die sich auf Abbildungen $m\colon G\times G\to G$, $i\colon G\to G$ und $e\colon {*}\to G$ sowie die entsprechenden kommutativen Diagramme stützt; sie verweist direkt auf Gruppen in anderen Kategorien (topologische Gruppen, Liegruppen, Gruppenschemata).--Gunther 17:04, 26. Mär 2006 (CEST)

Ich habe mich jetzt auch an einer Überarbeitung versucht, denn ganz sauber war die Sache mit dem neutralen Element vorher wirklich nicht. (den letzten Kommentar von Gunther hab ich erst jetzt gesehen).--MKI 14:25, 27. Mär 2006 (CEST)

Ich möchte nochmals meinen Standpunkt klarstellen:

• Im mathematischen Teil der Wikipedia sollte nichts stehen, was mathematisch falsch ist.
• Wie in jedem guten Lexikon sollte auch in der Wikipedia die Definition eines Begriffs möglichst autark erfolgen, damit meine ich, dass die Definition in einer Form erfolgen soll, die ein Rückgriff auf Hilfsbegriffe nur dann vornimmt, wenn dadurch das Verständnis erleichtert wird.
• Die Ausführungen in einem Kapitel sollten sich auf die Definition des zu definierenden Begriffs beschränken.

Wenn Sie mir hier nicht zustimmen können, Herr Gunther, dann brauchen wir nicht zu diskutieren. Ich nehme für den Augenblick an, Sie stimmen zu und antworte auf Ihren letzten Diskussionsbeitrag:

Ich würde nur dann etwas übernehmen was man üblicher Weise macht, wenn es mathematisch verantwortbar ist. Kann ich verantworten, wenn ich sage: "Eine Gruppe ist ein 3-Tupel (G,*,e), wobei G ..."? Wir wissen, wie ein 3-Tupel mathematisch definiert werden kann. Demnach ist eine Gruppe z.B. bei Zugrundelegung einer vergleichsweise einfachen Definition des Tupel-Begriffs die Menge {(1,G),(2,*),(3,e)}, woraus sich sofort die erste fundamentale Aussage über Gruppen ergäbe: Gruppen sind dreielementige Mengen. So einen Unsinn werden wir wohl nicht vertreten wollen und verwerfen wegen mathematischer Falschheit die angegebene "übliche" Formulierung.

Wir wissen, dass die mit dem Stern bezeichnete binäre Verknüpfung alles, aber auch alles enthält, was eine Gruppe ausmacht. Sie enthält sowohl die Menge G wie auch das Element e aus G. Eine Gruppen-Definition ist also eine Definition des Sterns. Wenn man noch in Betracht zieht, dass das Zeichen "*" für die Gruppen-Definition irrelevant ist, dann genügt es vollkommen zu sagen:

Sei M eine Menge. Eine Abbildung von M*M nach M heißt "Gruppe", wenn ....

Die Elemente einer Gruppe sind also Tripel mit Komponenten aus M. Wenn ich ein Element aus M meine, dann darf ich nicht sagen, es ist ein Element aus der Gruppe. Auch wenn es noch so üblich ist, ich darf es nicht, denn die Element-Relation ist die Basis der Mathematik und ein Verstoß ist gleichbedeutend mit der Aufgabe mathematischen Denkens. Wie Sie sicher wissen, wird M oft als Trägermenge der Gruppe bezeichnet und man spricht dann von den Elementen in der Trägermenge, was aber etwas schwerfällig ist. Das Wort "Mitglied", es wird auch von einigen deutschen Gruppentheoretikern benutzt, scheint dem group member, das mir in der englisch sprachigen Fachliteratur begegnet ist, gut zu entsprechen. Vielleicht haben Sie für den Wikipedia-Artikel einen anderen Vorschlag.

Noch ein Wort zum "*". Wie gesagt, er ist irrelevant, er kann durch irgendein anderes Zeichen ersetzt werden, ohne Einfluss auf den Gruppenbegriff. Vernünftig scheint mir daher die symbolfreie Verknüpfungs-Notation.

Ganz mit Ihnen einverstanden bin ich mit dem Verzicht auf die Erwähnung der Halbgruppen in diesem Artikel. Dann sollte man aber auch nur kurz auf die schwache Gruppendefinition eingehen, ohne Beweise der Äquivalenz. Denn ginge man ausführlich auf die schwächere ein, dann käme man fast automatisch zu den Halbgruppen, denn bei diesen verzweigen sich die beiden Gruppendefinitionen.

Nun ist meine Antwort ein wenig lang geraten. Sie brauchen mir nicht zu antworten, wenn Sie meinen Argumentationen nicht folgen möchten. Ich bin gerne bereit, mich aus der Wikipedia zurückzuziehen. –-Georg Roch

Es liegt nicht an uns, zu entscheiden, ob allgemein übliche Konventionen verantwortbar sind. Jeder Mathematiker, der "Es sei G eine Gruppe und $g\in G$ ein Element" liest, weiß, dass damit nicht ein Element von $(M,\times ,e)$ oder des Graphen der Multiplikationsabbildung gemeint ist, sondern ein Element der zugrundeliegenden Menge ("Trägermenge"). Mit "mathematisch falsch" hat das überhaupt nichts zu tun, man könnte höchstens von "missverständlich" sprechen, weil man bewusst von der Standardbedeutung des Element-Symbols abweicht. Man kann hier natürlich darauf hinweisen, dass es sich im strengen Sinne um einen abus de notation handelt, aber mehr steht uns an dieser Stelle schlicht nicht zu. Wir schreiben kein Lehrbuch, bei dem wir uns aussuchen können, wie wir die Sache angehen, wir berichten neutral über "die Welt da draußen", und da wird es nun einmal so gemacht.--Gunther 15:06, 28. Mär 2006 (CEST)

Unter geordnetes Paar steht seit einigen Tagen mein Beitrag. Leider weiß ich nicht, wie die alte Version wiederherzustellen ist. Dasselbe gilt für Tripel. Es verabschiedet sich --Georg Roch

Was reißt ihr euche alle nen Bein aus das möglichst komplex zu gestalten, folgt doch schon als Korrolar aus der Definition.

für JEDES a element G existiert ein inverses Gruppenelement so das a-invers * a = e also existiert auch für a-invers, da es Gruppenelement und somit in G ein Inverses, womit a-invers-invers * a-invers = e ,was gleich a * a-invers. QED

--Miro (nicht signierter Beitrag von 88.72.228.182 (Diskussion | Beiträge) 21:14, 18. Okt. 2009 (CEST))

Daß das links-neutrale bzw. links-inverse Element gleich dem rechts-neutralem bzw. rechts-inversen Element ist folgt selbstverständlich aus der ("abgeschwächten") Definition. Die entsprechenden Beweise sind ja auch im Artikel bzw. auf der Diskussionsseite weiter oben zu finden. Aber das scheint Miro nicht bemerkt zu haben, denn er bringt einen eigenen "Beweis", der leider keiner ist, da er falsch ist.

Um bei seiner Schreibweise zu bleiben: Natürlich existiert auch für a-invers ein Inverses a-invers-invers, aber wo wurde denn bewiesen, daß a-invers-invers = a ist ? Ohne diesen Schritt können wir nicht von a-invers-invers * a-invers = a * a-invers schließen.

Und auch daß a-invers-invers * a-invers = e und a-invers * a = e (Axiom) gelten, hilft hier nicht, da a-invers * a = e = a * a-invers ja gerade noch nicht bewiesen ist.

Ich schreib's nur deshalb so ausführlich, damit sich hier nicht zufällig ein Nicht-Mathematiker einen falschen Beweis einprägt!

--From 17:53, 6. Mär. 2010 (CET)

Tripel

Wenn wir schon mathematisch nicht pingelig sein wollen: Meines Wissens würde ein Mathematiker üblicherweise nicht sagen: "Eine Gruppe ist ein Tripel (G,*,e) ...", sondern: "Eine Gruppe ist eine Menge G versehen mit einer Verknüpfung * ...". Ich sehe (außer für den Logiker/Modelltheoretiker) keinen Grund, das neutrale Element mit zu nennen, und meines Wissens tut man das normalerweise auch nicht. Das neutrale Element ist ja durch die Verknüpfung eindeutig bestimmt. (Sonst könnte man auch die Funktion, die jedem Element sein Inverses zuordnet, mit nennen.)--Digamma 20:30, 30. Jan. 2007 (CET)

Ich stimme dir zu. Wir sollten noch eine Woche warten, ob Einwände auftauchen. --Stefan Birkner 12:01, 31. Jan. 2007 (CET)

Gut.--Digamma 17:11, 31. Jan. 2007 (CET)

Hallo Leute! Ich hatte auch noch nie gesehen, dass jemand eine Gruppe als Tripel und nicht als Paar definiert. Das neutrale Element einer Gruppe wird schon durch die Verknüpfung eindeutig bestimmt. Ich habe das gerade mal im Artikel geändert. MfG 131.220.5.33 13:46, 26. Jun. 2007 (CEST)

Redundanz Faktorgruppe

Sowohl im Artikel Gruppentheorie, Normalteiler, als auch im Artikel Faktorgruppe wird die Faktorgruppe beschrieben. Leider in keinem der Artikel sehr ausführlich und es fehlen in allen Beispiele. Ich würde dies gerne überarbeiten. Allerdings ist es auch nicht sinvoll in allen Artikel das gleiche zu schreiben. Deshalb wäre es gut in einem der Artikel die Faktorgruppe genauer zu beschreiben und in den anderen Artikeln nur darauf zu verweisen. Welchen Artikel, das würd ich gern hier zur Diskussion stellen.Gruß Azrael. 14:15, 4. Apr. 2007 (CEST)

Literatur

Sollte man nicht mal ein, zwei Literaturverweise anbringen? Siehe Wikipedia:Belege bzw. Wikipedia:Literatur. @ Benutzer:Stefan_Birkner Was spricht gegen Gerd Fischer: Lineare Algebra. Eine Einführung für Studienanfänger. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0428-0.  Kannst du das Buch? Wenn du was gegen "ein Buch zur Einführung" hast, muesste man auch den Weblink "Gruppenzwang – eine Einführung in die Gruppentheorie auf Matroids Matheplanet" löschen und der Abschnitt Erklärung für Nicht-Mathematiker wäre auch fehlplaztiert ...Außerdem ist der Artikel scheinbar nur eine grobe Übersicht, da er auf diverse Hauptartikel verweist. Daher ist das Buch nicht schlecht! Wir können auch gernen andere Literatur verwenden. --AirWater 09:19, 5. Sep. 2008 (CEST)

Kategorie Physik entfernt.

Wieso? --Joachim Pense Diskussion 18:59, 23. Sep. 2008 (CEST)

Ich habe die Kategorie zwar nicht entfernt, stimme der Entfernung aber zu. Begründungsversuch: Bei der Gruppentheorie bzw. bei Gruppen handelt es sich eindeutig um ein mathematisches Konzept, daß zwar auch in der Physik seine Anwendungen findet, dort aber nicht seine Entwicklung fand/findet. Ansonsten könnten auch die Differenzialrechnung, Differentialgeometrie, Tensorrechnung etc. der Kategorie Physik zugeordnet werden, da die gesamte bzw. wichtige Teile der Physik ja auf diesen mathematischen Werkzeugen beruhen.--From 05:00, 9. Mär. 2010 (CET)

Merkhilfe für Axiome (EANIK)

Ich finde die Merkhilfe, die in dem Kasten rechts angegeben ist, sehr hilfreich. Dabei steht offenbar "E" für Abgeschlossenheit der Menge bzgl. der Operation. Kann mir jemand sagen, von welchem Wort sich das "E" herleitet? - Sollte man das dann nicht irgendwo auch vermerken? (Die anderen sind ja klar: A=Assoziativität, N=Neutrales, I=Inverses, K=Kommutativität).

Antwort: Mein Tutor hat auch diese Merkhilfe vorgeschlagen und meinte E steht für Existenz.

Moin! Also man muss ja immer die Abgeschlossenheit zeigen. Das E für Existenz ist deshalb nicht so intuitiv... AANIK wäre also sinnvoller. Ich finde eine Merkregel bei den Gruppen Axiomen ein bisschen sinnlos, weil die sowieso sobald man Lineare Algebra 1 gehört hat in Fleisch und Blut übergegangen sein sollten. --svebert 12:54, 8. Mai 2009 (CEST)

Äquivalenzrelation Rechtsnebenklassen

Müsste es nicht $b\ast a^{-1}\in H$ (also b & a verstauscht) heißen ? -- 213.168.96.96 16:48, 16. Okt. 2009 (CEST)

$b\ast a^{-1}\in H\iff (b\ast a^{-1})^{-1}\in H\iff a\ast b^{-1}\in H$

--Joachim Pense (d) 18:10, 16. Okt. 2009 (CEST)

Aufbau des Themas

Der gegenwärtige Artikel versucht zwei Dinge gleichzeitig zu erklären: was eine Gruppe ist und was die Gruppentheorie tut. Das Thema ist ohnehin schon schwer in Umfang und Tiefe angemessen darzustellen, und mir scheint, diese Bündelung macht es noch schwerer. Könnte man nicht das bisher Zusammengetragene in zwei Artikel aufteilen und auch Platz für Ergänzungen vorsehen? Wir sollten solch einen Umbau natürlich nicht überstürzen, aber mittelfristig scheint er mir doch lohnend. Ich bin gerne bereit, hierzu mehr beizutragen, aber vorher möchte ich mit Euch das mögliche Vorgehen absprechen. Was denkt Ihr also dazu? --Timofey Pnin 13:00, 27. Nov. 2009 (CET)

Der folgende Vorschlag zur Einteilung ist noch sehr vorläufig und darf gerne editiert werden:

Gruppe (Mathematik)

(Dieser erster Artikel erklärt den Begriff Gruppe und leitet gut lesbar zu den zahlreichen Unterthemen über. Zur Gesamtschau der Gruppentheorie verweist er auf den zugehörigen Übersichtsartikel, s.u.)

• Erklärung für Nicht-Mathematiker
• Definition des Gruppenbegriffs
  • Einführendes Beispiel
  • Formale Definition
  • Bemerkungen zur Notation
  • Äquivalente/alternative Definitionen
  • Verallgemeinerungen: Quasigruppen etc.
• Beispiele (mit Verweisen)
  • ganze Zahlen $(\mathbb {Z} ,+)$ etc.
  • Symmetrische Gruppen
  • Lineare Gruppen
  • Automorphismengruppen
  • weitere Gruppen zu denen schon ein Artikel besteht
• Untergruppen (mit Verweisen)
  • Untergruppen, Beispiele
  • Nebenklassen (links/rechts), Satz von Lagrange
  • Durchschnitt, erzeugte Untergruppe, Beispiele
  • Ordnung einer Gruppe, eines Elements
• Homomorphismen (mit Verweisen)
  • Gruppenhomomorphismen, Mono/Epi/Iso/Endo/Automorphismen
  • Normalteiler und Faktorgruppen

Gruppentheorie

(Dieser zweite Artikel bietet einen Überblick der Gruppentheorie, sowie ihrer Anwendungen und Geschichte, und verweist auf die jeweiligen Hauptartikel. Er dient somit als Einstiegsportal zum gesamten Themenbereich und kann auch als solches zitiert werden.)

• Gruppenbegriff: Kurzfassung mit Verweis auf Gruppe
• Wichtige Klassen von (sehr konkreten) Gruppen
  • Symmetrische Gruppen, Satz von Cayley
  • Lineare Gruppen, besondere Untergruppen
  • Affine Gruppen, besondere Untergruppen
• Darstellungen abstrakter Gruppen auf konkreten
  • Darstellung (im engeren Sinne) auf linearen Gruppen, Darstellung durch Matrizen
  • Darstellung (im weiteren Sinne) auf alle konkreten Automorphismengruppen, siehe oben
• Konstruktionen neuer Gruppen aus alten
  • kartesisches Produkt, direktes Produkt, direkte Summe
  • Abelschmachung, Kommutatorgruppen
  • freie Gruppen, Präsentationen durch Erzeuger und Relationen
  • freie abelsche Gruppen, Präsentationen abelscher Gruppen
• Besondere Eigenschaften
  • abelsche Gruppen
  • nilpotente Gruppen
  • auflösbare Gruppen
  • einfache Gruppen
• Klassifikation von Gruppen mit speziellen Eigenschaften
  • zyklische Gruppen
  • endliche abelsche Gruppen
  • endlich erzeugte abelsche Gruppen
  • einfache endliche Gruppen
  • kristallographische Gruppen
• Kombinatorische Gruppentheorie
• Geometrische Gruppentheorie
• Gruppen mit zusätzlicher Struktur
  • Liegruppen
  • topologische Gruppen
  • Ringe und Körper, Moduln und Vektorräume
• Anwendungen
  • Mathematik
  • Physik
  • Chemie
  • Informatik
  • Kryptographie
• Geschichte

--Timofey Pnin 13:00, 27. Nov. 2009 (CET) Signatur wiederhergestellt von Stardust

Ich finde den Vorschlag gut. Nur muss es jemand machen. Willst Du Dich daran machen?-- Digamma 14:53, 4. Aug. 2010 (CEST)

Verwirrung für Nichtmathematiker

Es ist natürlich löblich hier einen gesonderten Artikel für Nicht-Mathematiker voranzustellen. Doch die Grenzen sind fließend. Ich denke es ist erwünscht, dass interessierte Igenieure, Physiker oder Informatiker auch weiterlesen. Und dann kommt die Verwirrung. Zuerst ist $\times$ die Gruppenoperation, aber danach etwas anderes: nämlich das kartesische Produkt zweier Mengen. Und $\star$ benutzt man zunächst zur Kennzeichnung des inversen Elementes. Doch auf einmal ist $\star$ die Gruppenoperation. Also bitte: muss das sein? --B-greift 22:39, 6. Feb. 2011 (CET)

Ich hacke mal noch mehr in diese Kerbe. Also man müßte den Anfang des Artikels überarbeiten und eine einheitliche Notation wählen, die dann durchgehalten wird. Dann stellt sich aber die Frage, wie sich die Darstellung für Nicht-Mathematiker und die eigentliche (richtige) Definition unterscheiden sollen. Nach meiner Meinung muss das gar nicht sein. So richtig mathematisch ist die mathematische Definition im Artikel nämlich auch nicht. Dass man das inversere Element von $a$ schon im Axiom gleich mit $a^{-1}$ bezeichnet wird, ist ein Vorgriff nach dem Motto "ich weiß ja schon was". Korrekter Weise kommt das nachträglich, dass man $a^{n}$ und $a^{-n}$ definiert. --B-greift 23:08, 11. Feb. 2011 (CET)

Warum änderst Du es dann nicht? ;)

Dass axiomatisch die Existenz eines $a^{-1}$ gefordert wird finde ich aber nicht schlimm. $a^{n}$ ist ja etwas völlig anderes und $a^{-n}$ ist halt $(a^{-1})^{n}$ - das ist nicht sonderlich verwirrend, wenn man genau liest. --ThoRunge 14:11, 12. Feb. 2011 (CET)

Ja, werde ich auch. Aber eine Änderungen, die die Artikelstruktur in Teilen stark umstellt, wollte ich wenigstens vorher erläutern und zur Diskussion stellen. Ist auch nicht ganz trivial, was ich mir da vorgenommen habe: Nämlich die Definition so zu formulieren, dass sie für Nicht-Mathematiker geeignet ist, und auch für den Mathematiker akzeptabel. Aber ich denke es geht. --B-greift 22:12, 12. Feb. 2011 (CET)

Hast Du vor, die beiden Abschnitte zusammenzufassen? Das würde ich nicht tun. Ich würde den "für Nicht-Mathematiker" vielleicht umbenennen, so dass er zu einer allgemeinen, nicht so ganz formalen Einführung wird (für alle, ob Mathematiker, Physiker, Informatiker, ...), aber einen Abschnitt "Definition", der entsprechend knapp gehalten ist, belassen. Wieso meinst du, dass diese nicht so richtig mathematisch sei?

Sinnvoll ist es aber sicher, die Notation anzupassen. Im ersten Abschnitt stand früher mal 1/a anstelle von a* und im Rest des Artikels wurde ein $\circ$ anstelle des Sterns verwendet. -- Digamma 22:38, 12. Feb. 2011 (CET)

PS: Bis ca. 2005 haben beide Abschnitte das selbe Multiplikationssymbol × verwendet. Das entstammt vermutlich noch der Vor-TeX-Zeit. -- Digamma 22:51, 12. Feb. 2011 (CET)

Die ersten Sätze

Was ist denn in diesem Zusammenhang eine Konfiguration? --B-greift 00:11, 23. Apr. 2011 (CEST)

gemeint ist wohl alles, was irgendwie symmetrisch sein kann :-) --Joachim Pense (d) 10:46, 4. Jun. 2011 (CEST)

Hinternanderausführen von Symmetrien

Im OMA-Absatz wird eine Gruppe sinnvollerweise als Menge der Symmetrien eines Objektes und die Verknüpfung durch Hintereinanderausführen dieser Symmetrien eingeführt. Ein Nichtmathematiker dürfte möglicherweise an dieser Stelle schon aussteigen, weil für ihn „Symmetrie“ ein Zustand eines Objektes ist, und nicht etwas, was man ausführen kann. Oder kann ich mich in Nichtmathematiker nicht gut genug hineindenken? Wie man das anders in einem halben Satz formulieren kann, weiß ich leider auch nicht. --Joachim Pense (d) 10:42, 4. Jun. 2011 (CEST)

Doch, ich würde das genauso sehen. -- Digamma 10:50, 4. Jun. 2011 (CEST)

Ich meine man steigt sogar schon früher aus. Was soll man sich unter "hintereinander ausführen" vorstellen. Als Nicht-Mathematiker den Einführungsteil des Artikels lesend würde ich nach erster Auffassung meinen, daß da wohl sinnfälliger das Wort "nacheinander ausführen" oder "sequentiell ausführen" stehen sollte. Verständnis und allgemeiner Sprachgebrauch sollten passgenau sein. Oder ist das Wort "hintereinander" ein Mathe Term. -- --Bellafont (Diskussion) 13:25, 6. Apr. 2013 (CEST)

"Hintereinanderausführen" von Abbildungen ist tatsächlich ein mathematischer Fachbegriff. Zumindest ist der Ausdruck in der Mathematik sehr gebräuchlich. --Digamma (Diskussion) 16:35, 6. Apr. 2013 (CEST)

Ich denke, der Satz "Anschaulich besteht eine Gruppe aus den Symmetrien eines Objekts oder einer Konfiguration zusammen mit jener Verknüpfung, die durch das Hintereinanderausführen dieser Symmetrien gegeben ist." ist schlicht Unsinn. Was bitte soll bei der Gruppe der ganzen Zahlen mit der Addition (die ja gleich anschließend als einfaches, bekanntes Beispiel erwähnt wird) die Symmetrie (welcher Objekte oder Konfigurationen?) sein und was soll da das "Hintereinanderausführen"? Nicht alle Gruppen sind Symmetriegruppen! Auch werden die Begriffe falsch verwendet: Symmetrie als Eigenschaft von Objekten und symmetrische Abbildungen sind zu unterscheiden. Leider gibt es noch mehr Überarbeitungsbedarf in dem Artikel, nicht nur in der Einleitung... --Graf Alge (Diskussion) 18:19, 7. Okt. 2018 (CEST)

Die Konfiguration ist die Menge der ganzzahligen Punkte auf der Zahlengeraden und die Symmetrien sind die Translationen, die diese Menge auf sich selbst abbilden. Aber grundsätzich hast du natürlich Recht. Allerdings denke ich, dass die Symmetriegruppen eine wichtige Motivation für den abstrakten Begriff der Gruppe ist. --Digamma (Diskussion) 19:02, 7. Okt. 2018 (CEST)

Ja, klar. Für die Einleitung müsste dies aber einfacher und sauberer formuliert werden...--Graf Alge (Diskussion) 15:15, 8. Okt. 2018 (CEST)

Ich bin überhaupt etwas gespalten. Wenn ich z.B. im Unterricht erkläre, was eine Gruppe ist, dann fange ich auch mit Symmetriegruppen an (und nicht mit Addition und Multiplikation). Andererseits finde ich diesen motivierenden Abschnitt eigentlich unenzyklopädisch. Eine Enzyklopädie ist eben kein Lehrbuch. --Digamma (Diskussion) 19:06, 8. Okt. 2018 (CEST)a

Die leidige "Abgeschlossenheit"

Immer wieder taucht in diesem Artikel die Bedingung an Gruppen auf, die Verknüpfung müsse "abgechlossen" sein. Damit ist gemeint, dass das für zwei Elemente das Produkt wieder ein Element der Gruppe sein soll. Nun steckt diese Eigenschaft aber in der Definition einer Verknüpfung drin: Eine (innere) Verknüpfung ordnet je zwei Elementen einer Menge ein weiteres Element dieser Menge zu.

Die Abgeschlossenheit bezüglich einer Verknüpfung prüft man nur für eine Teilmenge (um z.B. nachzuweisen, dass es eine Untergruppe ist), die ganze Menge ist trivialerweise unter der Verknüpfung abgeschlossen.

Im Moment steht die Forderung nach Eindeutigkeit und nach Abgeschlossenheit in einer Klammer hinter dem Wort "Verknüpfung". Das mag zwar angehen, ich fürchte aber immer noch, dass dadurch der über Generationen tradierte Unfug, die Abgeschlossenheit als Gruppenaxiom zu fordern, so weitertradiert wird. --Joachim Pense (d) 14:53, 31. Okt. 2011 (CET)

So sehe ich es auch. Mit "Abgeschlossenheit" kommt nur ein weiterer Bergriff ins Spiel, der auch erstmal erklärt werden muss, und der nichts erklärt, was nicht schon erklärt ist, und der daher nicht für mehr Klarheit sorgt, sondern für Verwirrung. --B-greift 16:11, 31. Okt. 2011 (CET)

Wie Joachim Pense so eben oben dargelegt hat, kommt dieser Begriff A. nicht erst dazu, sondern ist schon zu Anfang im Spiel (und ohne ihn wäre das Konzept der Gruppe wohl kaum zu haben). Diese Voraussetzung A muss man als Magma einfließen lassen, wenn man sie nicht schon für "Verknüpfung" festgelegt hat. Eine solche Festlegung gilt jedoch nur für den mathematisch (und streng) definierten Begriff einer - und dann nicht der äußeren - Verknüpfung; jeder link wie dieser zeigt, dass Verknüpfung im allgemeinen Sprachgebrauch nicht per se Abgeschlossenheit induziert. Für den Versuch, in der Einleitung "dieses Konzept in voller Allgemeinheit zu fassen", nun vom allgemein verstandenen auszugehen, scheint mir geeignet nicht für Verwirrung zu sorgen. Daher habe ich die mathematische Spezifizierung in Klammern eingefügt sowie die Attribute "zweistellig" und "innere" ergänzt, denn gemeinhin wird auch nicht jede Verknüpfung gleich als innere und zugleich als binäre Operation aufgefasst. --nanu _*diskuss 15:18, 1. Nov. 2011 (CET)

Nebenklasse

Ich lese gerade "Lineare Algebra" von Albrecht Beutelspacher. Die Definition der Nebenklasse von U durch v lautet dort: $v+U:=\{v+u|u\in U\}$

Hat diese Art der Nebenklasse (die im Kapitel über Faktorräume vorkommt) etwas mit der Gruppentheorie#Nebenklasse zu tun? Falls nicht, sollte die Weiterleitung unter Nebenklasse (Mathematik) vielleicht in eine Begriffsklärungsseite umgewandelt werden. --MartinThoma (Diskussion) 13:45, 6. Apr. 2012 (CEST)

Ja, das ist im Prinzip dasselbe. Jeder Vektorraum ist bezgl. der Addition eine Gruppe und die Nebenklassen im Vektorraum sind genau die Nebenklassen in dieser Gruppe. --Digamma (Diskussion) 15:41, 6. Apr. 2012 (CEST)

Vlt noch etwas ausführlicher: Die im Abschnitt Nebenklassen definierte Äquivalenzraltion lautet in Deinem Fall: $a\sim b\Leftrightarrow -a+b\in U$. Folglich lassen sich alle zu v äquivalenten Vektoren schreiben als v+U. Gruß --Boobarkee (Diskussion) 16:24, 6. Apr. 2012 (CEST)

Aber Vorsicht: Wenn $U$ zwar eine Untergruppe, aber kein Unterraum des Vektorraums ist, dann hat die natürlich auch Nebenklassen; dass sind dann aber keine Nebenklassen im Vektorraum-Sinne. --Joachim Pense (d) 19:01, 6. Apr. 2012 (CEST)

symmetrische Verknüpfung

Hi, ich gehöre zu den hier oft genannten Nicht-Mathematikern und versuche von diesem Arktikel so viel wie möglich zu verstehen, ohne mich selbst verrückt zu machen, wenn eben das nicht in jeder Einzelheit klappt. Wie nun schon die Überschrift andeutet, verwirrt mich die Beschreibung der vorgegebenen Verknüpfung $*$ als symmetrisch. Dabei wird auf Relationen verlinkt. Ist eine Relation das gleiche wie eine Verknüpfung und ist symmetrisch das gleiche wie kommutativ? Kate Virgo (Diskussion) 16:31, 19. Aug. 2012 (CEST)

nein, eine Relation ist nicht das gleiche wie eine Verknüpfung, und der Link ist irreführend. Das Adjektiv symmetrisch ist hier wohl im alltäglichen Sinne gebraucht Alltagsbegriff gebraucht (man kann die beiden Seiten vertauschen). Das bringt aber anscheinend mehr Verwirrung als Hilfe. Ich werde das symmetrisch entfernen. --Joachim Pense (d) 16:50, 19. Aug. 2012 (CEST)

Hi KateVirgo,

Ich würde spontan sagen, dass man mit Verknüpfung meist eine innere, zweistellige Verknüpfung auf einer Menge A meint, also:

$+:A\times A\rightarrow A$.

Eine Relation kenne ich als Teilmenge des Kreuzproduktes zweier Mengen:

$R\subseteq A\times B$

Da sieht man schön den Unterschied: Das eine ist eine Abbildung, das andere eine Menge.

Grüße, --Martin Thoma 17:54, 19. Aug. 2012 (CEST)

Induzierte Verknüpfung

Bei der letzten Korrektur, die an sich in Ordnung ist, ist (die Andeutung) verloren gegangen, dass diese (induzierte Verknüpfung) bei Untergruppen, die nicht Normalteiler sind, nicht wohldefiniert ist. Das sollte aber rein. Vllt kann man es auch umgekehrt reinbringen, indem man zeigt, dass der Kern des kanonischen Homomorphismus ein Normalteiler ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 18:46, 9. Mär. 2014 (CET)

Ich hab wieder so eine Andeutung eingefügt. Das Problem vorher war, dass das nicht mathematisch korrekt formuliert war. "Verknüpft man zwei Linksnebenklassen mittels $a_{1}H*a_{2}H=a_{1}Ha_{2}H$ miteinander, so stellt sich die Frage, ob eine solche Verknüpfung wohldefiniert ist,..." Nein, man hat die Linksnebenklassen dann eben nicht verknüpft, die Verknüpfung war nicht nur nicht "wohldefiniert", sondern eben gar nicht definiert. "Wohldefiniertheit" ist ein netter informeller Begriff, aber - leider - wenn etwas nicht wohldefiniert ist, dann gilt nicht, dass das zwar nicht wohldefiniert, aber immer noch definiert ist, sondern es wurde gar nichts definiert. (Genau, wie ein falscher Beweis nichts beweist.)--Frogfol (Diskussion) 21:57, 10. Mär. 2014 (CET)

Linksnebenklasse: Kommentar-Berichtigung

Da ich nicht weiß, wie man das Kommentar zu einem Edit nachträglich berichtigen kann, nehmen ich diesen Weg: Vor ein paar Minuten fügte ich im Artikel Linksrestklasse als Alternativbezeichnung für Linksnebenklasse ein, da Links- und Rechtsrestklasse als verwaiste Links galten. Beim Kommentar habe ich mich verschrieben: Sorry. GroupCohomologist (Diskussion) 16:27, 11. Apr. 2015 (CEST)

Was ist der Unterschied von ‚Gruppentheorie‘ und ‚Gruppe‘?

Ist das Nebeneinander dieser zwei Artikel sinnvoll? Nach welchem Kriterium kann man sagen, was in welchen von den beiden gehört?-- Binse (Diskussion) 21:11, 2. Jun. 2015 (CEST)

Siehe Diskussion:Gruppe (Mathematik). Bitte eine Diskussion nur an einem Ort führen. Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:59, 3. Jun. 2015 (CEST)

Bezeichnungen der Nebenklassen

@Benutzer:FranzR

1. Die Bezeichnung von Nebenklassen ist keineswegs einheitlich $[a]_{\sim }$. Es gibt auch $[a],a*H,aH,H*a,Ha$ und gar nicht selten ${\bar {a}}$.
2. Solange $aH\neq Ha$ sein kann, $H$ also kein nachgewiesener Normalteiler ist, sollte man eine Bezeichnung, bei der die Seitigkeit nicht deutlich erkennbar ist, NICHT nehmen. Es kommt also nur $a*H$ oder $aH$ für Linksnebenklassen und $H*a$ oder $Ha$ für Rechtsnebenklassen in Frage.
3. Erst unten in den Abschnitten Gruppentheorie#Normalteiler oder Gruppentheorie#Faktorgruppe kann man dann eine der Bezeichnungen $[a]_{\sim },[a]$, oder ${\bar {a}}$ einführen.

--Nomen4Omen (Diskussion) 11:26, 9. Okt. 2015 (CEST)

Hallo Nomen4Omen!

Wie ich schon in der Zusammenfassungszeile meiner Änderung festgestellt habe, geht es an der fraglichen Stelle gar nicht um den Begriff der „(Links-) Nebenklasse“. Dort ist vielmehr noch vom allgemeineren Begriff der „Äquivalenzklasse bzgl. einer Äquivalenzrelation“ die Rede (was sich nicht zuletzt auch an der in Klammern beigefügten Erläuterung „(d. h. […])“ zeigt):

Definiert man […] die Relation $\sim$ durch […], erhält man eine Äquivalenzrelation auf $G$. Die Äquivalenzklasse $[a]_{\sim }$ zu einem Element $a\in G$ (d. h. die Menge aller Elemente $b$, die zu $a$ in der Relation $\sim$ stehen), ist die Menge $\{a*u\mid u\in H\}$.

Du möchtest hier gerne am Beginn des zweiten Satzes die zur Verdeutlichung angebrachte Kurzform (Formalisierung) „$[a]_{\sim }$“ des Begriffes „Äquivalenzklasse zu einem Element $a$“ ersatzlos streichen. Ich würde in dieser Streichung keine Verbesserung sehen. Deine obige Begründung dafür geht meines Erachtens nach auch ins Leere, weil erst am Ende des oben von mir Zitierten (also bei „ist die Menge $\{a*u\mid u\in H\}$.“) von der Nebenklasse die Rede ist. Es geht dort unmittelbar danach auch so weiter:

Für diese Menge schreibt man $a*H$ oder $aH$.

Und hier ist diese Bezeichnung auch angebracht, nicht jedoch weiter oben, wo ich $[a]_{\sim }$ eingefügt habe. Mir liegt jetzt nicht sonderlich viel an meiner Ergänzung „$[a]_{\sim }$“, sodaß ich mich auch einer Löschung nicht mit Gewalt entgegenstellen werde. Eine treffendere Begründung dafür wäre natürlich wünschenswert. Und vielleicht kommen ja auch noch andere Stimmen dazu, die Dich mehr als ich überzeugen können?

Liebe Grüße, Franz 12:46, 9. Okt. 2015 (CEST)

@Benutzer:FranzR
Du hast zwar Recht, dass hier der Begriff der Äquivalenzklasse erwähnt wird. Es handelt sich aber nicht um eine Definition der Äquivalenzklasse. Als Nicht-Definition verdient diese Erwähnung kein adhoc-Kürzel, auf das nachher keinerlei Bezug genommen wird (zumal es noch ganz andere Kürzel gibt).
Ist es Dein Ziel, dem Leser in Erinnerung zu rufen, dass es für Äquivalenzklassen auch Kürzel gibt? Willst Du eigentlich sagen:

»Die Äquivalenzklasse (häufig als $[a]_{\sim }$ bezeichnet) dieser Relation zum Element $a\in G$ (d. h. die Menge aller Elemente $b$, die zu $a$ in der Relation $a\sim b$ stehen), ist die Menge

$[a]_{\sim }=\{a*u\mid u\in H\}$.« ?

Und nachher:

»$[a]_{\backsim }=\{u*a\mid u\in H\}$.« ?

Weder $[a]_{\sim }$ noch $[a]_{\backsim }$ haben sich als Kürzel für Links- resp. Rechtsnebenklassen durchgesetzt. $aH$ resp. $Ha$ sind kurz genug und wesentlich sprechender. M.E. ist der Gegenstand auch ohne Rückbezug auf $[a]_{\sim }$ genau genug erklärt. Wenn man will, kann man die verschiedenen Kürzel für Äquivalenzklassen beim genannten Link Äquivalenzklasse selber nachschlagen. Einige davon unterstützen eine Art Seitigkeit, die meisten jedoch nicht. (Das von Dir angeführte $[a]_{\sim }$ unterstützt sie nicht wirklich, denn was $\sim$ ist, muss extra erklärt werden. Und ein $[a]$ ohne $_{\sim }$ könnte zum Missverständnis $[a]=aH$ und $[a]=Ha$, also $[a]=aH=Ha$ führen.) --Nomen4Omen (Diskussion) 19:13, 9. Okt. 2015 (CEST)

[Einschub:] Nomen4Omen, Dein Satz „Weder $[a]_{\sim }$ noch $[a]_{\backsim }$ haben sich als Kürzel für Links- resp. Rechtsnebenklassen durchgesetzt.“ zeigt, daß Du mich offenbar noch immer nicht verstanden hast: Ich habe doch deutlich gesagt, daß es an der fraglichen Stelle nicht um die Bezeichnung einer Restklasse geht. Eigentlich habe ich alles, was ich dazu zu sagen habe, schon mehrfach gesagt. Auf eine abermalige Wiederholung möchte ich verzichten, daher klinke ich mich hier erstmal aus. Wenn Dir so viel daran liegt, dann lösche den Zusatz (der ja übrigens gar nicht von mir stammt, sondern von einem unangemeldeten Benutzer – ich habe ihn nur nach Deiner Zurücksetzung wiederhergestellt und den Index hinzugefügt) meinetwegen wieder. Ob Du vorher noch auf weitere Meinungen dazu warten willst oder nicht (eine gibt es ja weiter unten schon, danke an GroupCohomologist dafür), kannst Du selbst entscheiden. Ich will jedenfalls in so eine (ziemlich unbedeutende) Kleinigkeit nicht noch mehr Zeit investieren. Liebe Grüße, Franz 16:48, 12. Okt. 2015 (CEST)

Wie Nomen4Omen meine ich, dass die Bezeichnung $[a]_{\sim }$ hier nicht eingefügt werden sollte. Meine Begründung (eine echte Teilmenge von dem, was oben steht): Diese Bezeichnung wird in diesem Abschnitt nicht wieder gebraucht, daher trägt sie nichts zum besseren Verständnis bei; und wenn sie bleibt, dann kann sie ablenken. GroupCohomologist (Diskussion) 01:55, 10. Okt. 2015 (CEST)

Ich sehe das ebenso: Eine Bezeichnung, die danach nie wieder vorkommt, ist unnötig und verwirrt eher. -- HilberTraum (d, m) 17:09, 12. Okt. 2015 (CEST)