Fricke-Raum

Der Fricke-Raum (nach Robert Fricke) bezeichnet in der Mathematik einen Modulraum, dessen Objekte markierte hyperbolische Metriken auf einer geschlossenen Fläche sind. Bei diesen Objekten handelt es sich um Riemannsche Metriken der Krümmung konstant Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -1} . Äquivalent ist er ein Modulraum der diskreten, treuen Darstellungen von der Fundamentalgruppe der Fläche in die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene.

Der vergleichbare Teichmüller-Raum behandelt eigentlich den Modulraum Riemannscher Flächen, der Fricke-Raum steht für den Modulraum hyperbolischer Metriken. Der große Riemannsche Abbildungssatz (Uniformisierungssatz) zeigt, dass es in jeder Äquivalenzklasse Riemannscher Flächen vom Geschlecht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \ge2} eine eindeutige hyperbolische Metrik gibt. Der Teichmüller-Raum entspricht also 1:1 dem Fricke-Raum.

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Fläche vom Geschlecht 2

Koordinaten

Der Fricke-Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{F}(S_g)} einer Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_g} vom Geschlecht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\ge 2} ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (6g-6)} -dimensional und homöomorph zur offenen Einheitskugel im $\mathbb {R} ^{6g-6}$.

Eine mögliche Parametrisierung durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6g-6} reelle Parameter liefern die Fenchel-Nielsen-Koordinaten. Andere Koordinatisierungen ergeben sich aus der Identifizierung mit dem Teichmüller-Raum.

In moderneren Zugängen identifiziert man den Fricke-Raum häufig mit einer Komponente der Charaktervarietät Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(\pi_1S_g,PSL(2,\R))} , nämlich der Komponente, die die Charaktere aller diskreten, treuen Darstellungen enthält. (Jeder hyperbolischen Metrik entspricht jeweils ihre Monodromie-Darstellung.) Als Fricke-Koordinaten bezeichnet man dann die folgenden bereits auf Fricke zurückgehenden Koordinaten.

Fricke-Koordinaten. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1S_g=\langle \alpha_1,\beta_1,\ldots,\alpha_g,\beta_g\mid \Pi_{i=1}^g\left[\alpha_i,\beta_i\right]\rangle} die kanonische Präsentierung der Flächengruppe und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho\colon\pi_1S_g\to PSL(2,\R)} eine diskrete, treue Darstellung. Dann sind für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i=1,\ldots,g}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho(\alpha_i)=\left(\begin{array}{cc}a_i&b_i\\ c_i&d_i\end{array}\right), \rho(\beta_i)=\left(\begin{array}{cc}a_i^\prime&b_i^\prime\\ c_i^\prime&d_i^\prime\end{array}\right)}

Äquivalenzklassen von Matrizen, wobei wir o. B. d. A. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i>0,c_i^\prime>0} annehmen können. Die $6g-6$ Parameter des Fricke-Raumes sind dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a_1,c_1,d_1,a_1^\prime,c_1^\prime,d_1^\prime,\ldots, a_{g-1},c_{g-1},d_{g-1},a_{g-1}^\prime,c_{g-1}^\prime,d_{g-1}^\prime)} .

Der Uniformisierungssatz identifiziert den Teichmüller-Raum mit dem Fricke-Raum und insbesondere liefern die Fricke-Koordinaten auch Koordinaten auf dem Teichmüller-Raum. Allerdings erhält man auf diese Weise nicht die komplexe Struktur auf dem Teichmüller-Raum, die erst von Teichmüller explizit koordinatisiert wurde.

Flächen mit Rand

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Eine Hose wird von 3 geschlossenen Kurven berandet.

Für Flächen mit Rand definiert man den Fricke-Raum als Modulraum der markierten hyperbolischen Metriken mit geodätischem Rand modulo randerhaltender Isotopien.

Beispiele

Hose

Der Fricke-Raum der Hose Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H=S_{0,3}} wird parametrisiert durch die Spuren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=Tr(\rho(A)),y=Tr(\rho(B)),z=Tr(\rho(C))} der drei Randkurven $A,B,C$ für die nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SL(2,\R)} gehobene Monodromiedarstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho\colon\pi_1H\to PSL(2,\R)} . (Diese seien so orientiert, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ABC=1\in\pi_1H} .) Mit diesen Koordinaten ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal F}(S_{0,3})} der Quotient von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-\infty,-2)^3\bigcup (-\infty,-2)\times(2,\infty)^2\bigcup (2,\infty)\times(-\infty,-2)\times(2,\infty)\bigcup (2,\infty)^2\times(-\infty,-2)\subset\R^3}

(wobei die 4 Zusammenhangskomponenten durch die unterschiedlichen Hebungen der Monodromiedarstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle PSL(2,\R)} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle SL(2,\R)} zustande kommen) unter der Wirkung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Hom(\pi_1H,\pm1)} , er kann also mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-\infty,-2)^3} identifiziert werden.

Punktierter Torus

Der Fricke-Raum des punktierten Torus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T=S_{1,1}} wird parametrisiert durch die Spuren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=Tr(\rho(L)),y=Tr(\rho(M)),z=Tr(\rho(LM))} , wobei $L$ die Longitude und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} den Meridian des Torus bezeichnet. Mit diesen Koordinaten ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\mathcal F}(S_{1,1})} der Quotient von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\{(x,y,z)\in\R^3\colon x^2+y^2+z^2-xyz\le 0\right\}\subset\R^3}

unter der Wirkung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Hom(\pi_1T,\pm1)} , er kann also mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\{(x,y,z)\in(2,\infty)^3\colon x^2+y^2+z^2-xyz\le 0\right\}} identifiziert werden.

Literatur

• Fricke-Klein: Vorlesungen über die Theorie der automorphen Funktionen. Band I: Die gruppentheoretischen Grundlagen. Teubner, Leipzig 1897; Band II: Die funktionentheoretischen Ausführungen und die Anwendungen. 1912.
• Imayoshi-Taniguchi: An introduction to Teichmüller spaces. Translated and revised from the Japanese by the authors. Springer-Verlag, Tokyo 1992, ISBN 4-431-70088-9, Kapitel 2.5
• Goldman: Trace coordinates on Fricke spaces of some simple hyperbolic surfaces. In: Handbook of Teichmüller theory. Vol. II, S. 611–684. In: IRMA Lect. Math. Theor. Phys., 13, Eur. Math. Soc., Zürich 2009, arxiv:0901.1404v1.