Infinite-Monkey-Theorem

Durch zufälliges Tippen von unendlicher Dauer auf einer Schreibmaschine werden fast sicher alle Texte Shakespeares oder einer beliebigen Nationalbibliothek entstehen.

Das Infinite-Monkey-Theorem (engl.

infinite

‚unendlich‘,

monkey

‚Affe‘ und

theorem

‚Lehrsatz‘), auch deutsch Theorem der endlos tippenden Affen, besagt, dass ein Affe, der unendlich lange zufällig auf einer Schreibmaschine herumtippt, fast sicher irgendwann alle Bücher in der Bibliothèque nationale de France, der Nationalbibliothek Frankreichs, schreiben wird. In englischsprachigen Ländern heißt es, dass so irgendwann die Werke William Shakespeares entstehen werden.

Eine von mehreren Varianten des Theorems geht von einer unendlichen Anzahl von Affen aus, die gleichzeitig auf Schreibmaschinen herumtippen, und behauptet, dass mindestens einer von ihnen direkt und ohne Fehler die oben genannten Werke eintippen wird.

Die Formulierung des Theorems soll verblüffen und bedient sich daher einer bildlichen Sprache. Das Theorem ist wissenschaftlichen Ursprungs und hat einen mathematisch fundierten Hintergrund. Es verdeutlicht in Form eines Beispiels eine Aussage der Wahrscheinlichkeitstheorie, das Lemma von Borel und Cantelli. Das aus dem Theorem resultierende Gedankenexperiment kann bei der Vorstellung von Unendlichkeit und der Einordnung von Wahrscheinlichkeiten nützlich sein und wird auch zu diesen Zwecken gebraucht.

Die Motive „unendlich viele Affen an Schreibmaschinen“, „ein ewig auf einer Schreibmaschine tippender Affe“ sowie „zufällige Entstehung sinnvoller Texte“ fanden in Literatur und Popkultur Anklang und wurden vielfach benutzt.

Mathematische Behandlung

Das Theorem ist mit Hilfe einfacher Mittel der Wahrscheinlichkeitsrechnung anschaulich zu beweisen. Es folgt eine vereinfachte Darstellung:

Eine Schreibmaschine habe 50 Tasten. Es sei nun vorausgesetzt, dass ein Affe, der willkürlich auf der Tastatur tippt, jede der 50 Tasten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit drückt, dass also keine Taste systematisch bevorzugt oder vernachlässigt wird. Die Wahrscheinlichkeit für das Tippen einer bestimmten Taste beträgt dann jeweils 1/50. Außerdem seien die Tastendrücke unabhängig voneinander. Das bedeutet (etwas vereinfacht), dass die Wahrscheinlichkeit für das Drücken einer Taste beim zweiten Anschlag wieder 1/50 ist, egal welche Taste zuvor gedrückt wurde. Für unabhängige Ereignisse ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide gleichzeitig eintreten, gleich dem Produkt aus den Wahrscheinlichkeiten für das Eintreffen der Einzelereignisse.

Das Ereignis A bestehe nun darin, dass ein Affe bei sechsmaligem zufälligem Tippen das Wort „hamlet“ eintippt.

Die Wahrscheinlichkeit, dass der erste getippte Buchstabe ein „h“ ist, beträgt 1/50; ebenso die Wahrscheinlichkeit, dass der nächste Buchstabe ein „a“ ist. Somit ist die Wahrscheinlichkeit für die Buchstabenfolge „ha“ gleich 1/50 · 1/50 (=1/2500). Die Wahrscheinlichkeit $p_{1}$ des Ereignisses A, mit den ersten sechs Eingaben die Buchstabenfolge „hamlet“ zu erhalten, ist also $p_{1}=1/50^{6}.$ Das komplementäre Ereignis (Gegenereignis) ${\bar {A}}$ besteht nun darin, dass bei einer Folge von sechs Buchstaben nicht das Wort „hamlet“ geschrieben wird. Es hat eine Wahrscheinlichkeit von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\bar {p}}_{1}=1-p_{1}=1-1/50^{6}} .

Deshalb hat das Ereignis, dass bei zwei Versuchen mit jeweils sechs Buchstaben in keinem der beiden das Wort „hamlet“ geschrieben wird, eine Wahrscheinlichkeit von

${\bar {p}}_{2}={\bar {p}}_{1}\cdot {\bar {p}}_{1}=\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{2}$

und das Ereignis, dass bei n Versuchen mit jeweils sechs Buchstaben in keinem das Wort „hamlet“ geschrieben wird, hat die Wahrscheinlichkeit

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\bar {p}}_{n}=\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}.}

Die Folge $({\bar {p}}_{n})$ dieser Wahrscheinlichkeiten strebt mit wachsendem n gegen 0. Also strebt die Folge der Wahrscheinlichkeiten $(p_{n})=(1-{\bar {p}}_{n})$, bei n Versuchen mit jeweils sechs Buchstaben mindestens einmal „hamlet“ zu tippen, gegen 1. Das wiederum bedeutet, dass ein Affe mit zunehmender Anzahl von Versuchen mit gegen 1 strebender Wahrscheinlichkeit das Wort „hamlet“ tippen wird.

Mit diesen Formeln kann man auch Aussagen über die erforderliche Anzahl von Versuchen treffen, mit denen der Affe mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit Erfolg haben wird. Um z. B. mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 10 Prozent mindestens einmal „hamlet“ getippt zu haben, muss n aus der Ungleichung $p_{n}\geq 0{,}10$ bestimmt werden. Es muss also gelten

$1-\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}\geq 0{,}10$

bzw. umgestellt

$\left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)^{n}\leq 1-0{,}10.$

Durch Logarithmieren (das ist erlaubt, da alle vorkommenden Werte positiv sind) erhält man die Bedingung

$n\cdot \ln \left(1-{\frac {1}{50^{6}}}\right)\leq \ln 0{,}90$

und nach Division durch ln(1−1/50⁶) (dabei kehrt sich das Ungleichheitszeichen um, da dieser Ausdruck negativ ist).

$n\geq {\frac {\ln 0{,}90}{\ln(1-{\frac {1}{50^{6}}})}}.$

Daraus folgt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n\geq 1.646.257.350} , also werden ca. 1,6 Milliarden Versuche benötigt. Und wenn das gewünschte Resultat mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent eintreten soll, müssen mindestens

$n\geq {\frac {\ln 0{,}10}{\ln(1-{\frac {1}{50^{6}}})}}$

d. h. Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n\geq 35.977.876.618} Versuche durchgeführt werden.

Weiterhin kann man nun bestimmen, wie viele Anschläge gemacht werden müssen, um das gewünschte Resultat mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit zu erzielen. Dazu wird vorausgesetzt, dass nach den ersten sechs Anschlägen der zweite Versuch gleich mit dem zweiten Buchstaben beginnt, so dass nur noch ein weiterer Anschlag gemacht werden muss. Dann braucht der Affe für zwei Versuche nur sieben Anschläge, für drei Versuche acht Anschläge und allgemein für n Versuche n+5 Anschläge. Um also mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90 Prozent erfolgreich zu sein, muss er mindestens 35.977.876.618 + 5 Anschläge machen. Bei einer Geschwindigkeit von einem Anschlag pro Sekunde wären das etwa 1.140 Jahre, dann hätte er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 Prozent mindestens einmal das Wort „hamlet“ getippt.

Die obigen Überlegungen kann man leicht verallgemeinern und erhält folgende Formel:

Für die minimale Anzahl n von Versuchen, um auf einer Schreibmaschine mit t Tasten mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens q Prozent eine Buchstabengruppe (in einer bestimmten Reihenfolge) der Länge m zu erhalten, gilt

$n\geq {\frac {\ln(1-{\frac {q}{100}})}{\ln(1-{\frac {1}{t^{m}}})}}.$

Der oben erfolgte Gedankengang lässt sich auch auf die Variante der Fragestellung übertragen, wieso mit Sicherheit mindestens einer von unendlich vielen Affen den Text auf Anhieb korrekt eintippen wird. Zur Einfachheit habe der Text wiederum eine Länge von 6 Buchstaben. In diesem Fall ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar p_n} nun die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis, dass keiner der ersten n Affen das Wort „hamlet“ beim ersten Versuch korrekt tippt. Diese Wahrscheinlichkeit strebt ebenfalls gegen null, so dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindestens einer der Affen den gewünschten Text beim ersten Male eintippt (also das Gegenereignis), gegen Eins strebt.

Zur Vollständigkeit sei erwähnt: Die Auswahl der Zeichen der gewünschten Folge (hier „hamlet“) ist für diesen Sachverhalt unbedeutend. Ebenso spielt die Länge der Zeichenfolge (hier sechs) keine Rolle: Bei einer längeren Zeichenfolge ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses (A) zwar geringer, die Annäherung somit langsamer, aber dennoch geschieht die beschriebene Annäherung. Schließlich setzt das Gedankenexperiment zur Durchführung des Zufallsexperimentes als Stilmittel einen symbolischen Affen ein, der den Zufallscharakter repräsentiert. Weiterhin setzt es die große symbolische Länge der genannten Werke ein, um den verblüffenden Effekt auf den Betrachter zu unterstreichen; wie bereits beschrieben ist die Länge der gewünschten Zeichenfolge für die statistische Annäherung an das sichere Ereignis nicht von Bedeutung.

Anmerkungen zum Gedankenexperiment

Die hier erfolgte Beweisführung des Theorems zur Veranschaulichung bedient sich Vereinfachungen, die im Gedankenexperiment nützlich, jedoch mathematisch gesehen nicht zwangsläufig notwendig sind.

Es wurde neben der Unabhängigkeit der einzelnen Anschläge von einer Gleichverteilung der Häufigkeiten der Zeichen in der Buchstabenfolge ausgegangen. Diese Bedingung vereinfacht die symbolische Berechnung und das Verständnis, ist aber keine notwendige Voraussetzung. Die notwendige Voraussetzung ist, dass die Wahrscheinlichkeit für das Auftauchen eines jeden Buchstabens bei jedem Anschlag größer null ist.

Die Größenordnung einiger Wahrscheinlichkeiten

Wenn man der Einfachheit halber von Großbuchstaben, Umlauten, Satzzeichen und Leerzeichen absieht und annimmt, dass die Buchstaben einer diskreten Gleichverteilung folgen (also gleicher Wahrscheinlichkeit für jeden Buchstaben), dann besteht für einen einzigen Affen bei einem einzigen Versuch eine Wahrscheinlichkeit von 1/26, dass er den ersten Buchstaben des Dramas Hamlet korrekt tippt. Die Wahrscheinlichkeit bei einem einzigen Versuch die ersten beiden Buchstaben korrekt zu tippen ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{26} \cdot \frac{1}{26} = \frac{1}{676}} ,

Die Wahrscheinlichkeit für das betrachtete Ereignis sinkt exponentiell, sie beträgt bei 20 Buchstaben nur noch:

${\frac {1}{26^{20}}}$ = ${\frac {1}{19\,928\,148\,895\,209\,409\,152\,340\,197\,376}}$

Das entspricht in etwa der Wahrscheinlichkeit, mit vier Lotto-Scheinen bei vier Ziehungen in Folge jedes Mal den Jackpot mit sechs Richtigen zu gewinnen. Im Fall des gesamten Hamlet-Textes ist die Wahrscheinlichkeit so gering, dass sie sich in menschlichen Begriffen kaum mehr fassen lässt. Der Text des Hamlet umfasst bei Vernachlässigung der gesamten Interpunktion mehr als 130 000 Buchstaben – die Wahrscheinlichkeit im idealisierten Falle wäre also:

${\frac {1}{{26}^{130\,000}}}$ was ungefähr ${\frac {1}{3{,}4\cdot {10}^{183\,946}}}$ entspricht.

Selbst wenn das gesamte sichtbare Universum mit Affen von der Größe von Atomen gefüllt wäre, und diese bis ans Ende des Universums tippen würden, wäre die Wahrscheinlichkeit, den Hamlet zu erhalten, viele Größenordnungen kleiner als 10^{−138 800}. Wie Charles Kittel und Herbert Kroemer festhalten, ist daher „[…] die Wahrscheinlichkeit für Hamlet in jedem denkbaren Fall gleich Null“, und die Aussage, dass die Affen ihr Ziel irgendwann erreichen werden, „gibt einen falschen Eindruck über sehr, sehr große Zahlen“. Dies führen sie in ihrem Buch über Thermodynamik aus, deren statistische Grundlagen zu den ersten Erwähnungen der tippenden Affen führte.

Ein formaler Beweis

Die Tatsache, dass es eine gewisse – wenn auch sehr kleine – positive Wahrscheinlichkeit für das zufällige Schreiben aller Werke Shakespeares gibt, ist der Schlüssel zum Beweis des Infinite-Monkey-Theorems: Bereits aus dem Null-Eins-Gesetz von Kolmogorow und Borel folgt, dass der Limes superior einer unendlichen Folge von unabhängigen Ereignissen eine Wahrscheinlichkeit entweder von eins oder von null haben muss. Übersetzt bedeutet das: Entweder treten unendlich viele dieser Ereignisse fast sicher (also mit Wahrscheinlichkeit eins) oder fast nie (entsprechend der Wahrscheinlichkeit null) ein.

Obwohl das Infinite-Monkey-Theorem keinen formalen Charakter hat, lässt sich – für Zeichenketten im Allgemeinen – eine formale Aussage ableiten:

• Die Wahrscheinlichkeit, dass in einer zufälligen Zeichenfolge unendlicher Länge eine beliebige endliche Zeichenfolge mindestens einmal auftaucht, ist 1. Und nicht nur das: Sie tritt sogar fast sicher unendlich oft auf. Ein Affe würde also bereits genügen, um in unendlich langer Zeit sämtliche Werke Shakespeares unendlich oft zu schreiben.

Diese Aussage folgt relativ leicht aus dem Borel-Cantelli-Lemma. Unterteilt man die zufällige Zeichenfolge unendlicher Länge willkürlich in Blöcke von der Länge der betrachteten Zeichenfolge endlicher Länge, so besitzt das Eintreten jedes Einzelereignisses aus der Folge der (zufälligen, unabhängigen) Ereignisse $(A_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ dieselbe positive Wahrscheinlichkeit. Die Summe über die unendlich vielen konstanten Summanden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(A_n)} ist unendlich.

Das Borel-Cantelli-Lemma sagt dann aus: Ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n} unendlich und sind die Ereignisse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n} unabhängig, so ist die Wahrscheinlichkeit des Limes superior der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_n} gleich 1.

Formal ausgedrückt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^\infty P(A_n) = \infty \Rightarrow P(\limsup A_n)=1 }

Der Gedanke, dass bei Betrachtung von unendlichen Zeiträumen ein derart unwahrscheinliches Ereignis mit Sicherheit eintritt, dient hier also zur Veranschaulichung von Unendlichkeit.

Ursprung und Rezeption in der Literatur

Der argentinische Schriftsteller Jorge Luis Borges verfolgt den Ursprung des Gedankenexperimentes in seinem Text „Die vollständige Bibliothek“ (spanischer Titel La biblioteca total) bis in die Antike zurück und schildert folgenden Verlauf: Aristoteles habe in seinem Werk Metaphysik bei der Darstellung der Anschauungen des Leukipp, welcher (mit seinem Schüler Demokrit) als Begründer des Atomismus gilt, geschrieben, dass die Atome untereinander gleich seien und nur durch ihre Anordnung verschiedene Objekte bilden könnten. Er habe das mit der Art verglichen, wie Tragödie und Komödie sich aus den gleichen „Atomen“, den Schriftzeichen, zusammensetzten. Drei Jahrhunderte später habe sich Cicero in seinem Werk De natura deorum („Vom Wesen der Götter“) spottend auf die atomistische Weltanschauung bezogen:

„Wer dies für möglich hält, wird ebenfalls glauben müssen, dass, wenn unzählige Buchstaben aus Gold, jeder einen Buchstaben der einundzwanzig des Alphabetes stellvertretend, gemeinsam auf den Boden geworfen würden, sie die Annalen des Ennius in lesbarer Form bilden könnten. Ich bezweifle die Möglichkeit, dass Zufall einen einzigen lesbaren Vers erschaffen kann.“

– Cicero: De natura deorum II, 37 (§ 93)

Borges folgt dem Werdegang dieses Argumentes über Blaise Pascal und Jonathan Swift bis in seine Zeit und bemerkt, dass die Aussage sich gewandelt habe: Im Jahr 1939 lautete der Ausspruch ihm zufolge: „Ein halbes Dutzend Affen mit Schreibmaschinen würden, in einigen Unendlichkeiten, alle Bücher des britischen Museums verfassen.“ Borges fügt an dieser Stelle korrigierend hinzu, dass bereits ein unsterblicher Affe ausreichen würde.

Es werden in Borges’ Text später einige Beispiele angeführt, um den Inhalt der Total Library vorstellbar zu machen: Sie enthielte alles („Everything would be in its blind volumes“), so beispielsweise die detaillierte Geschichte der Zukunft („detailed history of the future“), seine eigenen Träume und Halb-Träume gegen Morgen des 14. Augustes 1934 („dreams and half-dreams at dawn on August 14, 1934“), den Beweis Fermats letzten Satzes („proof of Pierre Fermat’s theorem“) usw. Er schreibt daraufhin, dass aber neben jedem einzelnen Fakt Millionen Zeilen voller Unsinn ständen („but for every sensible line or accurate fact there would be millions of meaningless cacophonies, verbal farragoes, and babblings.“). Borges schließt daraus, dass alle Generationen der Menschheit vergehen würden, bevor die Regale der totalen Bibliothek […] sie je mit einer erträglichen Seite belohnten („but all the generations of mankind could pass before the dizzying shelves – shelves that obliterate the day and on which chaos lies – ever reward them with a tolerable page.“)

In der Erzählung mit dem spanischen Titel La biblioteca de Babel (Die Bibliothek von Babel) verfolgt Borges das Thema der unendlichen Bibliothek weiter und verwendet wiederum die literarisch wie wissenschaftlich relevanten Themen Unendlichkeit, Realität und Kausalität.

Es finden sich an einigen Stellen Verweise auf den englischen Biologen Thomas Henry Huxley (1825–1895). Sieben Monate nach der Publikation von Darwins The Origin of Species im November 1859 führte Huxley beim Treffen der British Association for the Advancement of Science in Oxford am 30. Juni 1860 einen berühmten Disput mit Samuel Wilberforce, dem anglikanischen Bischof von Oxford und Vizepräsidenten dieser Gelehrtenorganisation. Bei diesem Disput soll Huxley den folgenden Ausspruch getätigt haben:

“Six eternal apes, randomly striking the keys of six eternal typewriters with unlimited amounts of paper and ink would be able to produce Shakespearean sonnets, complete books, and the 23rd Psalm. In the same way, molecular movement, given enough time and matter, could produce Bishop Wilberforce himself, purely by chance and without the work of any Designer or Creator.”

„Sechs ewige Affen, die Tasten sechs ewiger Schreibmaschinen mit unbegrenzter Menge an Papier und Tinte zufällig anschlagend, wären fähig, Shakespearesche Sonette, vollständige Bücher und den 23. Psalm hervorzubringen. Auf die gleiche Weise könnte molekulare Bewegung, genügend Zeit und Materie vorausgesetzt, Bischof Wilberforce selbst hervorbringen, rein durch Zufall und ohne das Werk irgendeines Gestalters oder Schöpfers.“

Es ist umstritten, ob Huxley dieses tatsächlich gesagt hat. Einige Autoren nehmen an, dass der Ausspruch Huxley erst später zugesprochen wurde, unter anderem weil der erwähnte typewriter (Schreibmaschine) erst später Verbreitung fand und daher nicht von Huxley für einen plakativen Vergleich herangezogen werden konnte:

“The story […] is doubtless fictitious since the Huxley-Wilberforce debate of 1860 antedated the emergence of the typewriter.”

„Die Geschichte […] ist zweifellos erdichtet, weil die Huxley-Wilberforce-Debatte von 1860 dem Auftreten der Schreibmaschine vorausging.“

– Nicholas Rescher: Studies in Cognitive Finitude; Transaction Pub (2006)

Das moderne Bild des Theorems der unendlich vielen Affen findet sich im Artikel Mécanique Statistique et Irréversibilité von Émile Borel aus dem Jahr 1913. Seine Affen repräsentieren als lebendiges Bild die Herstellung einer großen, zufälligen Zeichenfolge für die Darstellung der Statistik.

Der Physiker Arthur Eddington schrieb den folgenden Satz, der verdeutlicht, dass sich in vielen Bereichen der Wissenschaft Anspielungen auf das Gedankenexperiment finden:

„Wenn ich meine Finger absichtslos über die Tasten einer Schreibmaschine gleiten lasse, kann es passieren, dass im so entstehenden Wälzer ein lesbarer Satz vorkommt. Wenn eine Armee von Affen auf ihre Schreibmaschinen einklimpert, dann können sie alle im British Museum enthaltenen Bücher schreiben. Die Wahrscheinlichkeit, dass sie dies tun, liegt deutlich höher als die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einem Behälter alle Moleküle in einer Hälfte sammeln.“

– Arthur Eddington: The Nature of the Physical World: The Gifford Lectures; Macmillan, New York, 1928, S. 72 (frei zitiert nach Übersetzung aus dem Englischen)

Es handelt sich im letzten Satz um eine Anspielung auf den zweiten Hauptsatz der Thermodynamik: Das genannte Sammeln aller Moleküle in einem Behälter ist nach den Regeln der Wahrscheinlichkeit (Mathematik) möglich, jedoch nach dem zweiten Hauptsatz der Thermodynamik (Physik) in einem abgeschlossenen System, wie einem Behälter, nicht (abgesehen von mikroskopischen Systemen).

Bezüge zum Theorem

Bezüge zu Bereichen der Wissenschaft, Beschränkung der Aussage

Mathematik und Unendlichkeit

Der Schlüssel zum Verständnis der Schlussfolgerungen ist der (etwas schwierig zu verstehende) Begriff der Unendlichkeit in der Mathematik.

Anschaulich betrachtet kann ein Affe mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit jeden beliebigen Text, der jemals geschrieben wurde oder auch in der Zukunft jemals geschrieben werden wird, tippen, wenn er nur unendlich viel Zeit zur Verfügung gestellt bekommt; diese bildliche Schlussfolgerung erlaubt die Mathematik (Kolmogorow und Borel-Cantelli).

Auf den ersten Blick räumt diese Symbolik die Möglichkeit ein, dass der Affe jedes vorhandene oder jemals noch bekannt werdende Wissen der Welt niederschreiben wird. Doch die zufällig entstehenden sinnvollen Texte entstehen gemeinsam mit einer unverhältnismäßig höheren (unendlichen) Anzahl nicht sinnvoller Texte. Die Affen würden einen betrachteten Text gemeinsam mit unendlich vielen Versionen mit jeweils allen denkbaren orthographischen oder inhaltlichen Fehlern niederschreiben – es ist also nicht möglich, die sinnvolle von den nicht sinnvollen Varianten zu unterscheiden, ohne dass die korrekte Fassung bereits vorliegt.

Es lässt sich hier ein Bezug der Symbolik zum Begriff der Entropie in der Informationstheorie erkennen, wo mit mathematischen Mitteln der Wahrscheinlichkeit der Informationsgehalt einer Nachricht im Gegensatz zu zufälligen Zeichenketten abgegrenzt wird.

Die Beschränkung der Symbolik des Theorems lässt sich oberflächlich auch mit der Aussage des zweiten Hauptsatzes der Thermodynamik in der Physik vergleichen, welcher (vereinfacht) inhaltlich folgende Aussage tätigt: „Die Entropie (anschaulich Unordnung) eines geschlossenen Systems nimmt fortwährend zu oder bleibt bestenfalls gleich, weil allein die Aufrechterhaltung eines bestimmten Ordnungszustandes von außen zugeführter Energie bedarf. Die Wiederherstellung eines (oft „geordneter“ genannten) Anfangszustandes von geringerer Entropie erfordert den Einsatz von Energie oder Information (siehe maxwellscher Dämon).“

Experimente zum Theorem

Der Evolutionsbiologe Richard Dawkins bezieht sich in seinem Buch Der blinde Uhrmacher auf die Idee des maschineschreibenden Affen, wobei er demonstriert, auf welche Weise das Wechselspiel von Mutation und natürlicher Auslese seine Effektivität erreicht und von reinem Zufall, repräsentiert durch maschineschreibende Affen, zu unterscheiden ist. Sein Ziel ist es dabei, den Effektivitäts-Unterschied zwischen „kumulativer Auslese“, in der erfolgreiche Mutationsschritte beibehalten werden und Ausgangspunkt für weitere Mutations-Selektions-Schritte sind, und „Einzelschritt-Auslese“, bei der alle Zwischenschritte verworfen werden und in jedem Schritt vollkommen von neuem begonnen wird, deutlich zu machen. Dawkins beschreibt dazu ein Computerprogramm, welches die Hamlet-Zeile „METHINKS IT IS LIKE A WEASEL“ produziert, um zu zeigen, inwieweit sich die kumulative Auslese von einem hypothetischen Schreibmaschine schreibenden Affen (gleichgesetzt mit der Einzelschritt-Auslese) unterscheidet. Dazu wird zunächst ein Zufallstext erzeugt. Dieser Text wird mit dem Hamlet-Text verglichen, wobei nur diejenigen Buchstaben in den nächsten Schritt übernommen werden, die mit dem Hamlet-Text bereits übereinstimmen. Die anderen Buchstaben werden erneut zufällig erstellt, der neu entstandene Text wiederum mit der Hamlet-Zeile verglichen usw. Das geschieht solange, bis der Text mit dem Hamlet-Text übereinstimmt. Dieser Algorithmus mit kumulativer Auslese erweist sich als sehr viel effizienter, das heißt, es werden sehr viel weniger Schritte benötigt, als es mit „Einzelschritt-Auslese“ der Fall wäre. Dawkins selbst weist in seinem Buch darauf hin, dass mit diesem Gedankenexperiment nur ein Teilaspekt der Evolution, die Effektivität der kumulativen Auslese, demonstriert werden soll und nicht die biologische Evolution selbst, da diese nicht auf ein speziell vorgegebenes Ziel hin ausgerichtet ist.

Im Jahr 2003 berichteten Wissenschaftler und Studenten des Zoos von Paignton und der University of Plymouth in Devon in England, dass sie einen Monat lang eine Computertastatur in einem Käfig mit sechs Makaken platziert hatten: Die Affen hatten nichts Sinnvolles zustande gebracht: lediglich fünf Seiten, wobei die Texte hauptsächlich aus dem Buchstaben S bestanden. Die Affen hatten außerdem mit einem Stein auf die Tastatur eingeschlagen und sich über der Tastatur entleert. Das „Experiment“ hatte keinen wissenschaftlichen Charakter und war als performance (künstlerische Darbietung) konzipiert.

Allen Experimenten zum Theorem ist gemeinsam, dass sie mit empirischen Einzelexperimenten, also Stichproben, arbeiten. Es ist nicht möglich aus Einzelexperimenten begrenzter Dauer bzw. Affenzahl, also endlich vielen Stichproben, eine gültige Schlussfolgerung bezüglich einer unendlichen Grundgesamtheit zu beziehen; es müsste dazu eine gleichfalls unendliche Stichprobe zugrunde gelegt werden. Daher muss bei der Betrachtung des Infinite-Monkey-Theorems beachtet werden, dass eine empirische Beweisbarkeit ausgeschlossen ist.

Bezüge zum Theorem aus Kunst und Alltagskultur

Abgesehen von den bereits im Abschnitt Ursprung des Theorems und historischer Abriss in Literatur aufgeführten Texten zum Thema gab es zahlreiche Anspielungen und künstlerische Einarbeitungen der Motive um das Theorem in Literatur, Fernsehen und Computerkultur:

Literatur und andere Texte

Jonathan Swift lässt Gulliver im Lande Liliput den schreibenden Affen begegnen.

In einem Stück des britischen Dramatikers Tom Stoppard mit dem Titel „Rosencrantz & Guildenstern are Dead“, das die Geschichte des Hamlet aus einer anderen Perspektive wiedergibt, sagt eine Figur: „Wenn eine Million Affen …“ und kann dann nicht weitersprechen – möglicherweise, weil sie selbst Teil des Shakespearschen Universums ist und durch Aussprache des Theorems ihre eigene Fiktionalität erklärte. Der Satz endet mit einem anderen Thema. Im gleichnamigen Film ist diese Szene nicht vorhanden. Hier ist lediglich von sechs Affen die Rede, die in die Luft geworfen werden und mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf ihren Hintern oder Köpfen landen.

In dem dystopischen Roman „On the Beach“ („Das letzte Ufer“; 5. Kapitel) von Nevil Shute empfangen einige Überlebende eines Atomkriegs in Australien weitgehend unverständliche Funksignale aus der Nähe von Seattle, USA. In etwa 106 Stunden Sendezeit wurden nur zwei verständliche Klartext-Worte empfangen, was ein Admiral mit den Worten kommentiert: „I don't think the words can be significant. It's probably a fortuitous transmission. After all, if an infinite number of monkeys start playing with an infinite number of typewriters, one of them will write a play of Shakespeare“ („Ich glaube nicht, dass die Worte Bedeutung haben könnten. Das ist wahrscheinlich eine zufällige Übertragung. Wenn eine unendliche Anzahl von Affen an einer unendlichen Anzahl von Schreibmaschinen zu spielen beginnt, wird schließlich einer von ihnen ein Theaterstück von Shakespeare schreiben.“). Tatsächlich ergeben Nachforschungen, dass keine menschliche Absicht hinter den Funksignalübertragungen steckte.

In dem Buch „Per Anhalter durch die Galaxis“ des englischen Schriftstellers Douglas Adams werden die beiden Hauptfiguren Arthur Dent und Ford Prefect bei einem Unwahrscheinlichkeitsfaktor von 1 zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2^{267709}} ihres Unwahrscheinlichkeitsantriebes von einer unendlichen Horde Affen überfallen, die mit ihnen über ein Hamlet-Drehbuch diskutieren wollen.

Im Buch „Fool on the hill“ von Matt Ruff verfügt Mr. Sunshine über einen Saal voller Affen, die an Schreibmaschinen sitzen und Geschichten produzieren.

In der „Unendlichen Geschichte“ von Michael Ende müssen die Menschen einer Stadt, die aus „Phantásien“ nicht wieder heimfinden, als eine Art Beschäftigungstherapie zufällige Buchstabenkombinationen erstellen, wie der Stadtführer – ein Affe – erklärt; der Sinn liegt darin, dass so in unendlicher Zeit alle Geschichten entstehen. Ende weist dabei ausdrücklich darauf hin, dass auch die Unendliche Geschichte darunter sein wird.

In einer Kurzgeschichte des Science-Fiction- und Fantasyschriftstellers R. A. Lafferty namens „Been a Long, Long Time“, wird ein Engel damit bestraft, dass er die gesamte Textproduktion von Affen an Schreibmaschinen lesen muss, bis die Affen eines Tages in ferner Zeit eine perfekte Kopie der Werke Shakespeares erstellen.

In einem Dilbert-Comic zeigt Dilbert Dogbert ein eigenes Gedicht. Dogbert sagt, dass er einmal gehört habe, dass tausend Affen mit unendlich viel Zeit alle Werke Shakespeares schreiben könnten. Dilbert fragt verwirrt, was denn nun mit seinem Gedicht sei, Dogbert versetzt: „Drei Affen, zehn Minuten.“

Fernsehen

In der Folge „Last Exit to Springfield“ (deutscher Titel: Prinzessin von Zahnstein) der Zeichentrickserie Die Simpsons (Staffel 4, Folge 17) lässt Mister Burns ein Stück in einem riesigen Raum voll von Affen auf Schreibmaschinen schreiben. Burns zieht das Blatt eines Affen aus der Schreibmaschine und liest laut vor: „Nein, oh na na nicht nein. Das ist hier die Plage.“

In der Folge „Battle of the Sexists“ (deutscher Titel: Schlacht der Sexisten) der Serie Die wilden 70er (Staffel 1, Folge 4) ruft Eric Forman seiner Freundin Donna Pinciotti folgendes zu, nachdem diese einen Korb beim Basketball erzielt hat: „Pinciotti actually scores! Hell freezes over! A monkey types Hamlet!“ (Pinciotti wirft einen Korb! Die Hölle gefriert! Ein Affe schreibt Hamlet!)

In „The King is Dead“ (deutscher Titel: Der König ist tot), der siebten Folge der zweiten Staffel der amerikanischen Zeichentrickserie Family Guy, antwortet Peter Griffin herablassend auf Lois Griffins Kunstverständnis, indem er sich auf das Infinite-Monkey-Theorem bezieht: „Art-schmart. Put enough monkeys in a room with a typewriter they’ll produce Shakespeare.“ (Von wegen Kunst. Steck genug Affen in einen Raum mit einer Schreibmaschine und sie schreiben Shakespeare.)

Die US-amerikanische Comedyshow The Colbert Report enthielt eine Rubrik, in der es darum ging, wie viele Affen man für verschiedene Werke der Kunst benötigen würde. Colbert zufolge benötigte man eine Million Affen, die bis zur Unendlichkeit schreiben, um die Werke Shakespeares zu erstellen, zehntausend Alkohol trinkende Affen, die zehntausend Jahre schreiben, um Hemingways Werke zu erstellen, und zehn Affen, die drei Tage tippen, um die Werke Dan Browns zu erhalten.

Computerkultur

Im Jahr 2000 hat das IETF-Internet-Standard-Komitee ein als Aprilscherz konzipiertes RFC zum Thema Infinite Monkey Protocol Suite (IMPS) herausgegeben: eine Sammlung von fiktiven Protokollen und Methoden in technischer Sprache, die bei der Überwachung und Koordination einer Menge von unendlich vielen Affen an Schreibmaschinen helfen sollen. Das RFC ist unterhaltsam geschrieben und beschreibt in für RFCs typischer Art und Weise die Logistik um die Affen und deren „Produktion“ an den Schreibmaschinen.

Die Standardformatierung der Programmiersprache C im Editor GNU Emacs wird oft mit den folgenden Worten als „schlimmer als zufällig“ beschrieben: „An infinite number of monkeys typing into GNU emacs would never make a good program.“

Die Internet-Plattform YouTube sendet im Falle eines internen Server-Fehlers vom Typ 500 an den Client-Rechner eine Meldung mit folgendem Inhalt: „500 Internal Server Error Sorry, something went wrong. A team of highly trained monkeys has been dispatched to deal with this situation. If you see them, show them this information:“ gefolgt von einem ca. 3000 Zeichen umfassenden Textblock aus einer Base64-kodierten Zeichenkette.

Bezüge zum Theorem aus religiöser Sicht

Wahrscheinlichkeit und Intelligent Design

Autoren, die der kreationistischen Idee des Intelligent Design nahestehen, argumentieren mit dem Theorem, dass die Wahrscheinlichkeit für das zufällige Entstehen von Leben extrem gering sei. Zum Beispiel nennt es Ken Wilber die „albernen zufälligen Mutationen“ und folgert daraus, es könne „nicht Zufall sein, der die Welt antreibt“. Deepak Chopra schreibt: „Die Vorstellung, dass die Schöpfung ohne Bewusstsein auskommt, ist wie die irrwitzige Idee von einem Raum voller Affen, die nach dem Zufallsprinzip Tasten anschlagen und irgendwann – nach Millionen von Jahren – vielleicht ein Werk geschaffen haben, das dem Shakespeares entspricht.“ Hiergegen wird eingewandt, dass Evolution hauptsächlich von der nichtzufälligen Selektion bestimmt ist.

Literatur

• Elmo, Gum, Heather, Holly, Mistletoe, Rowan (Makaken Monkeys from Paignton Zoo): Notes Towards the Complete Works of Shakespeare. Hrsg.: Geoff Cox. Kahve-Society, London 2002, ISBN 978-0-9541181-2-9 (viaria.net (Memento vom 20. Januar 2013 im Internet Archive) – Text produced by monkeys from Paignton Zoo using a computer May – June 2002, englisch). .
• Herrmann, Hans-Christian von: Literatur und Entropie, Berlin 2014, ISBN 978-3-428-14012-1.

Weblinks

• Den Affen beim Tippen von „Faust“ und „Hamlet“ beobachten Medienkunst-Projekt der Gruppe J.A.C.S.
• Alfred Schreiber Verrückte Bibliotheken. Die Zeit online, 30. Juni 2006.
• Monkey Theory Proven Wrong. CBS News, 9. Mai 2003 (englisch)
• Monkeys Don’t Write Shakespeare. Wired-Magazin (englisch)
• Notes Towards the Complete Works of Shakespeare. (Memento vom 20. Januar 2013 im Internet Archive) (englisch)
• Parable of the Monkeys „A.k.a. The Topos of the Monkeys and the Typewriters“ Sammlung von Textverweisen zum Theorem (englisch)