Kerr-Newman-Metrik

Metriken für Schwarze Löcher

	statisch $(J=0)$	rotierend $(J\neq 0)$
ungeladen $(Q=0)$	Schwarzschild-Metrik	Kerr-Metrik
geladen $(Q\neq 0)$	Reissner-Nordström-Metrik	Kerr-Newman-Metrik
$Q$: Elektrische Ladung; $\ J$: Drehimpuls

Die Kerr-Newman-Metrik (nach Roy Kerr und Ezra Ted Newman) ist eine exakte, asymptotisch flache, stationäre und axialsymmetrische Lösung der Einstein-Gleichungen. Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld von elektrisch geladenen, rotierenden Schwarzen Löchern. Wird die komplexe Transformation $r\to r+i\ a\cos \theta$, die von der Schwarzschild-Metrik zur Kerr-Lösung führt, auf die Reissner-Nordström-Metrik angewendet, führt dies zur Kerr-Newman-Lösung.

Linienelement

Das Linienelement hat in Boyer-Lindquist-Koordinaten die Form:

${\mathrm {d} \tau }^{2}=\left({\frac {r_{\rm {s}}r-Q^{2}}{\Sigma }}-1\right)\mathrm {d} t^{2}\ +$ $\ {\frac {\Sigma }{\Delta }}\mathrm {d} r^{2}\ +\ \Sigma \ \mathrm {d} \theta ^{2}\ +\ {\frac {\chi }{\Sigma }}\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi ^{2}\ +\ {\frac {2a\ (Q^{2}-r_{\rm {s}}r)\ \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} \phi$

Wobei hier die Raum-Zeit-Signatur $\left(+,-,-,-\right)$ und folgende Abkürzungen benutzt wurden:

${\begin{aligned}\Delta &:=r^{2}-r_{\rm {s}}r+a^{2}+Q^{2}\\\Sigma &:=r^{2}+a^{2}\cos ^{2}\theta \\\chi &:=\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta \ \Delta \\a&:=J/M\end{aligned}}$

dabei bezeichnen $M$ das Massenäquivalent (inklusive Ladungs- und Rotationsenergie) des zentralen Körpers, $Q$ die elektrische Ladung und $J$ den Drehimpuls des Schwarzen Loches. Durch Wahl in der Relativitätstheorie üblicher natürlicher Einheiten mit $G=c=K=1$ (Gravitationskonstante, Lichtgeschwindigkeit und Coulomb-Konstante) haben Masse $M$, elektrische Ladung $Q$ und Drehimpulsparameter $a$ die gleiche Dimension wie eine Länge. $r_{s}=2M$ ist der Schwarzschild-Radius.

Die irreduzible Masse $M_{\rm {irr}}$ steht mit dem totalen, auch als die gravitierende Masse bezeichneten Massenäquivalent $M$ im Verhältnis

$M_{\rm {irr}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-a^{2}}}}}\ \to \ M={\sqrt {\frac {16M_{\rm {irr}}^{4}+8M_{\rm {irr}}^{2}\ Q^{2}+Q^{4}}{16M_{\rm {irr}}^{2}-4a^{2}}}}$

Da einem statischen und neutralen Objekt, das in Rotation versetzt oder elektrisch aufgeladen werden soll, Energie hinzugefügt werden muss, und diese Energie aufgrund der Äquivalenz von Masse und Energie selbst zu einer Masse äquivalent ist, ist das Massenäquivalent eines rotierenden und/oder geladenen Körpers dementsprechend höher, als wenn dieser sich neutral in Ruhe befindet. Einem schwarzen Loch kann mithilfe des Penrose-Prozesses zwar Energie und damit auch Massenäquivalent entzogen werden, jedoch nicht so viel, dass am Ende weniger als die irreduzible Masse (die eines entsprechenden Schwarzschild-Lochs) übrigbleiben würde.

Die ko- und kontravarianten metrischen Koeffizienten lauten damit

${g_{tt}={\frac {r\ r_{\rm {s}}-Q^{2}}{\Sigma }}-1\ \to \ g^{tt}=-{\frac {\chi }{\Delta \Sigma }}}$

${g_{rr}={\frac {\Sigma }{\Delta }}\ \to \ g^{rr}={\frac {\Delta }{\Sigma }}\ ,\ \ g_{\theta \theta }=\Sigma \ \to \ g^{\theta \theta }={\frac {1}{\Sigma }}}$

${g_{\phi \phi }={\frac {\chi \sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\ \to \ g^{\phi \phi }={\frac {\Sigma \csc ^{4}\theta \left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s}}+\Sigma \right)}{a^{2}\left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s}}\right)^{2}+\chi \csc ^{2}\theta \left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s}}+\Sigma \right)}}}$

${g_{t\phi }={\frac {a\sin ^{2}\theta (Q^{2}-r\ r_{\rm {s}})}{\Sigma }}\ \to \ g^{t\phi }={\frac {a\Sigma (Q^{2}-r\ r_{\rm {s}})}{a^{2}\sin ^{2}\theta \ \left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s}}\right)^{2}+\chi \left(Q^{2}-r\ r_{\rm {s}}+\Sigma \right)}}}$

Im Fall eines elektrisch neutralen Schwarzen Loches $(Q=0)$ vereinfacht sich die Kerr-Newman-Metrik zur Kerr-Metrik. Im Fall eines nicht-rotierenden Schwarzen Loches $(J=0)$ ergibt sich die Reissner-Nordström-Metrik und für ein neutrales und nicht-rotierendes Objekt $(Q=J=0)$ die Schwarzschild-Metrik.

Ergosphäre und Ereignishorizont

Ereignishorizonte und Ergosphären. a²+Q² läuft in pseudosphärischen r,θ,φ-Koordinaten von 0 bis 1 und in kartesischen x,y,z-Koordinaten von 1 bis 0.

Für den äußeren Ereignishorizont bei $r_{H}^{+}$ und den inneren, auch Cauchy-Horizont genannt, bei $r_{H}^{-}$, ergibt sich, indem $\Delta =0$ gesetzt und nach $r$ aufgelöst wird ein Boyer-Lindquist-Radius von

$r_{H}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}-Q^{2}}}$

und für die innere und äußere Ergosphäre

$r_{E}^{\pm }=M\pm {\sqrt {M^{2}-a^{2}\cos ^{2}\theta -Q^{2}}}$

Bei $a^{2}+Q^{2}\geq M^{2}$ würde sich der Horizont auflösen, und die Metrik dann kein schwarzes Loch mehr beschreiben. Körper mit einem höheren Spin können daher auch nicht zu einem Schwarzen Loch kollabieren ohne vorher Drehimpuls abzugeben und/oder einen Teil ihrer Ladung durch Akkretion entgegengesetzt geladener Materie zu neutralisieren.

Bewegungsgleichungen

Testpartikel im starken gravitativen Feld einer schnell rotierenden und stark geladenen zentralen Masse (a/M=0,9, Q/M=0,4)

Mit dem elektromagnetischen Potential

$A_{\mu }=\left({\frac {r\ Q}{\Sigma }},\ 0,\ 0,-{\frac {a\ r\ Q\sin ^{2}\theta }{\Sigma }}\right)$

und dem daraus resultierenden Maxwell-Tensor

$F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial x^{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial x^{\nu }}}\ \to \ F^{\mu \nu }=g^{\mu \sigma }\ g^{\nu \kappa }\ F_{\sigma \kappa }$

ergeben sich über

${{{\ddot {x}}^{i}=-\Gamma _{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}^{j}}}\ {g_{jk}}}$

die Bewegungsgleichungen eines freifallenden Testpartikels; diese lauten in den dimensionslosen natürlichen Einheiten $G=M=c=K=1$, womit sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Jc/(M^2G)} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q/M \cdot \sqrt{K/G} } auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} reduziert, und Längen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G M/c^2} sowie Zeiten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G M/c^3} gemessen werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot t = \frac{\csc ^2 \theta \ ({L_z} (a \ \Delta \sin ^2 \theta -a \ (a^2+r^2) \sin ^2 \theta )-q \ Q \ r \ (a^2+r^2) \sin ^2 \theta + E ((a^2+r^2)^2 \sin ^2 \theta -a^2 \Delta \sin ^4 \theta ))}{\Delta \Sigma }}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot r = \pm \frac{\sqrt{((r^2+a^2) \ E - a \ L_z - q \ Q \ r)^2-\Delta \ (C+r^2)}}{\Sigma}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot \theta = \pm \frac{\sqrt{C-(a \cos \theta)^2-(a \ \sin^2 \theta \ E-L_z)/\sin \theta}}{\Sigma}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot \phi = \frac{E \ (a \ \sin^2 \theta \ (r^2+a^2)-a \ \sin^2 \theta \ \Delta)+L_z \ (\Delta-a^2 \ \sin^2 \theta)-q \ Q \ r \ a \ \sin^2 \theta}{\Sigma \ \Delta \ \sin^2\theta}}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} für die spezifische Gesamtenergie (potentiell, kinetisch und Ruheenergie), Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_z} für den spezifischen axialen Drehimpuls und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} für die elektrische Ladung pro Masse des Testteilchens. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} ist dabei die Carter-Konstante:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C = p_{\theta}^{2} + \cos^{2}\theta \left( a^{2}(1 - E^{2}) + \frac{L_z^2}{ \sin^2\theta}\right) = a^2 \ (1-E^2) \ \sin^2 \delta + L_z^2 \ \tan^2 \delta}

mit den kanonischen spezifischen Impulskomponenten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{\mu}=g_{\mu \nu} \dot{x}^{\nu}+q \ A_{\mu}} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{t} = -E} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_{\theta} = \dot \theta \ \Sigma} die poloidale Komponente des Bahndrehimpulses und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta} der orbitale Inklinationswinkel ist. Der axiale Drehimpuls

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L_z = p_{\phi} = \frac{\dot \phi \ \chi \sin ^2 \theta }{\Sigma }-\frac{\dot t a \sin ^2 \theta \left(2 r-Q^2\right)}{\Sigma }}

und die Gesamtenergie des Testpartikels

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E = |g_{t t}| \ \dot t + |g_{t \phi}| \ \dot\phi = \sqrt{\frac{\Delta \ \Sigma}{(1-v^2) \ \chi}} + \Omega \ L_z}

sind dabei ebenfalls Konstanten der Bewegung.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega = \left|\frac{g_{t\phi}}{g_{\phi\phi}}\right| = \frac{a \left(2 r-Q^2\right)}{\chi }}

ist dabei die durch Frame-Dragging induzierte Winkelgeschwindigkeit eines lokal drehimpulsfreien Beobachters.

Die Eigenzeitableitungen der Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot r, \ \dot \theta, \ \dot \phi} stehen mit der lokalen 3er-Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} , die relativ zu einem lokal drehimpulsfreien Beobachter vor Ort gemessen wird, in dem Verhältnis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot x^i = v^i / \sqrt{(1 - v^2) \ |g_{i i}|} - \dot t \ g_{t i}/g_{i i}} .

Damit ergibt sich für die einzelnen Komponenten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v^{r} = \dot r \ \sqrt{\frac{\Sigma \ (1-v^2)}{\Delta}}}

für die radiale,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v^{\theta} = \dot \theta \ \sqrt{\Sigma \ (1-v^2) }}

für die poloidale,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v^{\phi} = \frac{L_z \sqrt{1-v^2}}{\bar R}}

für die axiale und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v = \sqrt{\frac{\chi \ (E-L_z \ \Omega )^2 -\Delta \ \Sigma}{\chi \ (E-L_z \ \Omega )^2}} = \frac{\sqrt{\dot t^2-\varsigma^2}}{\dot t}}

für die insgesamte lokale Geschwindigkeit, wobei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar R = \sqrt{g_{\phi \phi}} = \sqrt{\frac{\chi}{\Sigma}} \ \sin \theta}

der axiale Gyrationsradius (lokaler Umfang durch 2π) ist, und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varsigma = \frac{{\rm d}t}{{\rm d}\tau} = \sqrt{|g^{t t}|} = \sqrt{ \frac{\chi }{\Delta \ \Sigma} }}

die gravitative Komponente der Zeitdilatation. Die radiale Fluchtgeschwindigkeit eines elektrisch neutralen Teilchens lautet damit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_{\rm esc}=\frac{\sqrt{\varsigma^2-1}}{\varsigma} } .