Landau-Niveau

Erlaubte Zustände von Teilchen im transversalen Impulsraum und die klassische Spiralbahn eines Teilchens im Ortsraum

Die Landau-Niveaus (nach Lew Dawidowitsch Landau) stellen eine Quantelung der Energie von geladenen Teilchen dar, die sich in homogenen Magnetfeldern bewegen. Man kann zeigen, dass die Energie eines geladenen Teilchens der Masse $m$ (z. B. eines Elektrons) und Ladung $e$, das sich parallel zu einem Magnetfeld $B$ in $z$-Richtung bewegt, folgendermaßen lautet:

$E(n,p_{z})=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}},\ \ \ \ \ n\in \mathbb {N} _{0},p_{z}\in \mathbb {R} .$

Dabei ist $p_{z}$ der (nicht quantisierte) Impuls des Teilchens in $z$-Richtung, $\omega _{c}=e\cdot B/m$ die Zyklotronfrequenz und $\hbar$ das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum. Weist das geladene Teilchen auch einen Spin auf, so führt dies zu einer zusätzlichen Aufspaltung der Niveaus nach der Quantenzahl $\sigma _{z}$ für die $z$-Komponente (= Magnetfeldrichtung) des Spins:

$E(n,p_{z},\sigma _{z})=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}-{\frac {e\hbar }{2m}}\cdot \sigma _{z}\;B$

Dies bedeutet, dass (wie rechts in der Abbildung angedeutet) nur bestimmte Teilchenbahnen erlaubt sind, die durch die zwei Quantenzahlen $p_{z}$ und $n$ (und evtl. den Spin $\sigma _{z}$) charakterisiert werden. Man kann sich die Bewegung auch so vorstellen, dass sich das Teilchen longitudinal frei ausbreitet und transversal (radial) dazu eine harmonische Schwingungsbewegung ausführt (siehe harmonischer Oszillator (Quantenmechanik)). Dies entspricht insgesamt einer Schraubenbahn um die Magnetfeldlinien. Im transversalen Impulsraum (nur $p_{x}$-$,p_{y}$-Komponente) bleibt die Bewegung auf einen Kreis für jede Quantenzahl $n$ beschränkt, im 3-dimensionalen Impulsraum liegen die Zustände also auf Zylindern (Landau-Zylinder).

Die Aufspaltung in Landau-Niveaus lässt sich zum Beispiel in der Festkörperphysik messen (De-Haas-van-Alphen-Effekt). Dort sind die transversalen Impulse aufgrund des Kristallgitters gequantelt. Es lässt sich dann zeigen, dass auf jedem Landau-Zylinder exakt gleich viele Zustände liegen.

Theoretische Herleitung mithilfe der Schrödingergleichung

Die hier dargestellte Herleitung orientiert sich an den Referenzen und der Originalarbeit.

Voraussetzungen und Aufgabenstellung

Man betrachte eine einfache Situation: Ein Teilchen der Masse $m$ und der Ladung $q$ befinde sich in einem homogenen Magnetfeld ${\vec {B}}({\vec {r}})=\left(0,0,B\right)$, das nur eine Komponente in $z$-Richtung aufweise. Dieses Feld kann auch durch folgendes Vektorpotential ${\vec {A}}({\vec {r}})$ dargestellt werden:

${\vec {A}}({\vec {r}})=B\cdot {\begin{pmatrix}0\\x\\0\end{pmatrix}}.$

Man kann leicht zeigen, dass sich daraus über ${\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}$ wieder obiges Magnetfeld ergibt.

Man erhält dann die (zunächst noch klassische) Hamilton-Funktion dieses Systems zu:

$H({\vec {r}},{\vec {p}})={\frac {1}{2m}}\left[{\vec {p}}-q\cdot {\vec {A}}({\vec {r}})\right]^{2}={\frac {1}{2m}}\left[p_{x}^{2}+(p_{y}-qBx)^{2}+p_{z}^{2}\right]={\frac {1}{2}}m{\vec {V}}^{2}.$

Indem man die Orts- und Impulsvariablen durch die entsprechenden quantenmechanischen Operatoren ersetzt (→ Korrespondenzprinzip), erhält man daraus den Hamiltonoperator des Systems. Im letzten Teil der obigen Gleichung wurde eine Geschwindigkeit (im Hamilton-Operator ein „Geschwindigkeitsoperator“) definiert, die folgende Form hat:

${\vec {V}}={\frac {1}{m}}\left[{\vec {p}}-q\cdot {\vec {A}}({\vec {r}})\right]={\frac {1}{m}}{\begin{pmatrix}p_{x}\\p_{y}-q\cdot B\cdot x\\p_{z}\end{pmatrix}}.$

Aus der klassischen Behandlung weiß man, dass die Lösung des Problems eine schraubenförmige Bewegung (Helixbewegung, siehe Abbildung oben) in $z$-Richtung ist. Darum ist es sinnvoll (was sich in den späteren Rechnungen auch zeigen wird), die folgende Aufteilung des Hamilton-Operators in einen longitudinalen (entlang der Magnetfeld-Richtung) und einen dazu transversalen Teil (in der klassischen Betrachtung findet in dieser Ebene eine Drehbewegung statt, die zu einer Schraubenbewegung führt) vorzunehmen:

${\hat {H}}={\hat {H}}_{\bot }+{\hat {H}}_{\|},\ \ \ \ \ {\mbox{mit:}}\ \ \ {\hat {H}}_{\bot }={\frac {m}{2}}\left({\hat {V}}_{x}^{2}+{\hat {V}}_{y}^{2}\right),\ \ \ {\hat {H}}_{\|}={\frac {m}{2}}{\hat {V}}_{z}^{2}.$

Man erhält für den „Geschwindigkeitsoperator“ ${\hat {\vec {V}}}$ folgende Vertauschungsrelation:

$\left[{\hat {V}}_{x},{\hat {V}}_{y}\right]={\frac {1}{m^{2}}}\left(\left[{\hat {P}}_{x},{\hat {P}}_{y}\right]-qB\cdot \left[{\hat {P}}_{x},{\hat {X}}\right]\right)=i\hbar {\frac {qB}{m^{2}}}=-i\cdot {\frac {\hbar \omega _{c}}{m}}.$

Dabei wurde die Zyklotronfrequenz $\omega _{c}=-{\frac {q\cdot B}{m}}$ eingesetzt. Des Weiteren sieht man in der Definition von ${\hat {\vec {V}}}$ leicht, dass

$\left[{\hat {V}}_{x},{\hat {V}}_{z}\right]=\left[{\hat {V}}_{y},{\hat {V}}_{z}\right]=0.$

Damit vertauschen auch ${\hat {H}}_{\bot }$ und ${\hat {H}}_{\|}$ miteinander und es gibt eine Basis von gemeinsamen Eigenvektoren zu ${\hat {H}}_{\bot }$ und ${\hat {H}}_{\|}$.

Eigenwerte von H_||

Es gilt folgende Vertauschungsrelation:

$m\cdot \left[{\hat {Z}},{\hat {V}}_{z}\right]=\left[{\hat {Z}},{\hat {P}}_{z}\right]=i\hbar .$

Damit ist ein Satz über Operatoren, die nach obiger Relation vertauschen (also die wie die kanonischen Orts- und Impulsoperatoren vertauschen), anwendbar und wir können schließen, dass ${\hat {V}}_{z}$ ein kontinuierliches Spektrum von Eigenwerten $v_{z}$ aufweist. Weiterhin sind alle Eigenvektoren von ${\hat {V}}_{z}$ ebenfalls Eigenvektoren zu ${\hat {H}}_{\|}$. Die Energieeigenwerte $E_{\|}$ von ${\hat {H}}_{\|}$ können damit in folgender Form geschrieben werden:

$E_{\|}={\frac {m}{2}}v_{z}^{2}.$

Damit beschreibt also ${\hat {H}}_{\|}$ in Analogie zur klassischen Mechanik die freie Propagation eines Teilchens in $z$-Richtung.

Eigenwerte von H_⊥

Um die Energieeigenwerte von $H_{\bot }$ (und damit die sog. Landau-Niveaus) zu erhalten, führt man folgende Operatoren mit ihrer Vertauschungsrelation ein:

${\hat {Q}}={\sqrt {\frac {m}{\hbar \omega _{c}}}}\cdot {\hat {V}}_{y},\ \ \ \ \ \ {\hat {S}}={\sqrt {\frac {m}{\hbar \omega _{c}}}}\cdot {\hat {V}}_{x},\ \ \ \ \ \left[{\hat {Q}},{\hat {S}}\right]={\frac {m}{\hbar \omega _{c}}}\cdot \left[{\hat {V}}_{y},{\hat {V}}_{x}\right]=i.$

Damit hat dann ${\hat {H}}_{\bot }$ die Form eines quantenharmonischen Oszillators, der mit der Zyklotronfrequenz ω_c schwingt.

${\hat {H}}_{\bot }={\frac {\hbar \omega _{c}}{2}}\left({\hat {Q}}^{2}+{\hat {S}}^{2}\right)$

Die Energieeigenwerte von $H_{\bot }$ sind daher

$E_{\bot }(n)=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega _{c},\ \ \ \ \ n\in \mathbb {N} _{0}.$

Eigenwerte von H

Die Gesamtenergie ergibt sich aus der Summe der Eigenenergien von ${\hat {H}}_{\|}$ und ${\hat {H}}_{\bot }$:

$E(n,v_{z})=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\hbar \omega _{c}+{\frac {1}{2}}\;m\;v_{z}^{2},\ \ \ \ \ n\in \mathbb {N} _{0},v_{z}\in \mathbb {R} .$

Diese Niveaus bezeichnet man als Landau-Niveaus. Sie sind durch das kontinuierliche Geschwindigkeitsspektrum unendlichfach entartet.

Je nach angelegtem Magnetfeld erhält man damit für eine feste Geschwindigkeit $v_{z}$ unterschiedliche Niveauabstände:

$\Delta E=\hbar \omega _{c}={\frac {q\cdot B\cdot \hbar }{m}}.$

. In der folgenden Herleitung wird die Landau-Eichung verwendet.

Herleitung

Die Herleitung erfolgt ausgehend von der Dirac-Gleichung. Es ist auch eine Herleitung mit der Schrödinger-Gleichung möglich, diese liefert jedoch nicht die Energie-Auspaltung durch die Spin-Einstellung und auch nicht den additiven Term der Ruheenergie.

Die Dirac-Gleichung lautet

$E{\vec {\psi }}=H{\vec {\psi }}=(-i\hbar c\alpha ^{k}\partial _{k}+\beta mc^{2}){\vec {\psi }}$, wobei ${\vec {\psi }}=\left({\begin{array}{c}\phi _{1}\\\phi _{2}\end{array}}\right)$ ein Zweier-Spinor ist.

Über die minimale Kopplung ${\vec {P}}\rightarrow {\vec {P}}'={\vec {P}}+e{\vec {A}}$ wird das Vektorpotential im Impulsterm der Bewegungsgleichung berücksichtigt.

Mit Vektorpotential und für das spezielle Problem (Spin-$1/2$-Teilchen, also Verwendung von Pauli-Matrizen) lassen sich folgende Vereinfachungen durchführen:

${\begin{aligned}E{\vec {\psi }}=&(-i\hbar c\alpha ^{k}\partial '_{k}+\beta mc^{2}){\vec {\psi }}\\=&(c\alpha ^{k}P'_{k}+\beta mc^{2}){\vec {\psi }}\\=&(c\alpha ^{k}(P_{k}+eA_{k})+\beta mc^{2}){\vec {\psi }}\\=&(c{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {P}}+ce{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {A}}+\beta mc^{2}){\vec {\psi }}\\=&\left\{c\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{x}\\\sigma _{x}&0\end{array}}\right)P_{x}+c\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{y}\\\sigma _{y}&0\end{array}}\right)P_{y}+c\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{z}\\\sigma _{z}&0\end{array}}\right)P_{z}+ceBx\left({\begin{array}{cc}0&\sigma _{y}\\\sigma _{y}&0\end{array}}\right)+\beta mc^{2}\right\}\left({\begin{array}{c}\phi _{1}\\\phi _{2}\end{array}}\right)\\=&\left({\begin{array}{cc}mc^{2}&ceB\sigma _{y}x+c(\sigma _{x}P_{x}+\sigma _{y}P_{y}+\sigma _{z}P_{z})\\ceB\sigma _{y}x+c(\sigma _{x}P_{x}+\sigma _{y}P_{y}+\sigma _{z}P_{z})&-mc^{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\phi _{1}\\\phi _{2}\end{array}}\right)\\=&\left({\begin{array}{cc}mc^{2}&ceB\sigma _{y}x+c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {P}}\\ceB\sigma _{y}x+c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {P}}&-mc^{2}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}\phi _{1}\\\phi _{2}\end{array}}\right)\end{aligned}}$

Diese Matrix-Gleichungen lassen sich ausmulitiplieren. Sie lauten dann:

${\begin{aligned}E\phi _{1}=&mc^{2}\phi _{1}+(ceB\sigma _{y}x+c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {P}})\phi _{2}\\E\phi _{2}=&-mc^{2}\phi _{2}+(ceB\sigma _{y}x+c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {P}})\phi _{1}\end{aligned}}$

Einer der beiden Spinoren soll nun eliminiert werden. Auflösen der zweiten Gleichung nach $\phi _{2}$ liefert:

${\begin{aligned}\phi _{2}={\frac {ceB\sigma _{y}x+c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {P}}}{E+mc^{2}}}\phi _{1}\end{aligned}}$

Dies wird in die erste Gleichung eingesetzt:

${\begin{aligned}(E^{2}-m^{2}c^{4})\phi _{1}=(ceB\sigma _{y}x+c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {P}})^{2}\phi _{1}\end{aligned}}$

In dieser Gleichung steht nunmehr nur noch eine Wellenfunktion drin, sodass man sie mit einem geeigneten Ansatz lösen kann. Es wird angenommen, dass man die gesamte Wellenfunktion als Produkt dreier Funktionen schreiben kann, bei der jede nur von einer Koordinate abhängt (Separationsansatz). Der Lösungsansatz sei dann eine ebene Welle in die y- und z-Richtung, multipliziert mit einer unbekannten Funktion, die von x abhängt:

${\begin{aligned}\phi _{1}(x,y,z)=\chi (x)e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\end{aligned}}$

Damit folgt:

${\begin{aligned}(E^{2}-m^{2}c^{4})\chi (x)e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}=&(ceB\sigma _{y}x+c{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {P}})^{2}\chi _{1}(x)e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\\=&(ceB\sigma _{y}x+c\sigma _{x}P_{x}+c\sigma _{y}\hbar k_{y}+c\sigma _{z}\hbar k_{z})^{2}\chi (x)e^{i(k_{y}y+k_{z}z)}\end{aligned}}$

Die ebene Welle kann nun auf beiden Seiten herausdividiert werden, da keine Operatoren mehr darauf wirken. Durch Ausmultiplizieren der Klammer und Anwendung von Kommutatorrelationen der Pauli-Matrizen lässt sich das ganze noch weiter vereinfachen:

${\begin{aligned}(E^{2}-m^{2}c^{4})\chi (x)=&(ceB\sigma _{y}x+c\sigma _{x}P_{x}+c\sigma _{y}\hbar k_{y}+c\sigma _{z}\hbar k_{z})^{2}\chi _{1}(x)\\=&(c^{2}e^{2}B^{2}x^{2}+c^{2}P_{x}^{2}+c^{2}\hbar ^{2}k_{y}^{2}+c^{2}\hbar ^{2}k_{z}^{2}+2c^{2}eBx\hbar k_{y}+ic^{2}e\sigma _{z}P_{x}Bx-ic^{2}e\sigma _{z}BxP_{x})\chi (x)\\=&\left(c^{2}P_{x}^{2}+c^{2}\hbar ^{2}k_{z}^{2}+m^{2}c^{2}{\frac {e^{2}B^{2}}{m^{2}}}\left(x+{\frac {\hbar k_{y}}{eB}}\right)^{2}+c^{2}e\hbar \sigma _{z}B\right)\chi _{1}(x)\\=&(c^{2}P_{x}^{2}+c^{2}\hbar ^{2}k_{z}^{2}+c^{2}m^{2}\omega _{c}^{2}(x+x_{0})^{2}+c^{2}e\hbar \sigma _{z}B)\chi (x)\end{aligned}}$

Im letzten Schritt wurden die Abkürzungen $x_{0}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}$ und $\omega _{c}={\frac {eB}{m}}$ (Zyklotronfrequenz) eingeführt. Die Gleichung ähnelt jetzt der eines harmonischen Oszillators, der mit der Frequenz $\omega _{c}$ um die Ruhelage $x=-x_{0}$ schwingt. Für eine vollständige Übereinstimmung muss man noch durch $2mc^{2}$ teilen:

${\begin{aligned}{\frac {E^{2}-m^{2}c^{4}}{2mc^{2}}}\chi (x)=\left({\frac {P_{x}^{2}}{2m}}+{\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+{\frac {1}{2}}m\omega _{c}^{2}(x+x_{0})^{2}+{\frac {e\hbar \sigma _{z}B}{2m}}\right)\chi (x)\end{aligned}}$

Die weiteren Terme, nämlich die Bewegungsenergie in z-Richtung, die Spinenergie und die Ruheenergie, sind lediglich additive Konstanten. Die Energie eines harmonischen Oszillators ist bekannt, sodass die rechte Seite der Gleichung auch geschrieben werden kann als

${\begin{aligned}{\frac {E^{2}-m^{2}c^{4}}{2mc^{2}}}=\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m}}+{\frac {e\hbar \sigma _{z}B}{2m}},\end{aligned}}$

wobei auch schon $\chi (x)$ gekürzt wurde.

Diese Gleichung kann jetzt einfach nach E aufgelöst werden:

${\begin{aligned}E={\sqrt {2mc^{2}\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+c^{2}\hbar ^{2}k_{z}^{2}+c^{2}e\hbar \sigma _{z}B+m^{2}c^{4}}}\end{aligned}}$

Für im Vergleich zur Ruheenergie kleine kinetische Energien lässt sich die Wurzel bis zur ersten Ordnung entwickeln:

${\begin{aligned}E=&mc^{2}{\sqrt {1+{\frac {2\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{m^{2}c^{2}}}+{\frac {e\hbar \sigma _{z}B}{m^{2}c^{2}}}}}\\\approx &mc^{2}\left(1+{\frac {\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {\hbar ^{2}k_{z}^{2}}{2m^{2}c^{2}}}+{\frac {e\hbar \sigma _{z}B}{2m^{2}c^{2}}}\right)\\=&mc^{2}+\hbar \omega _{c}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {p_{z}^{2}}{2m}}+{\frac {e\hbar \sigma _{z}B}{2m}},\ \ \ \ \ n\in \mathbb {N} _{0}\end{aligned}}$

Diese Energie-Niveaus für variables n bezeichnet man als Landau-Niveaus. Sie sind unendlichfach entartet (siehe oben).

Je nach angelegtem Magnetfeld erhält man damit für ein festes $k_{z}$ unterschiedliche Niveauabstände. Es gilt:

$\Delta E=\hbar \omega _{c}={\frac {e\cdot B\cdot \hbar }{m}}.$-->

Weiteres

Es lässt sich zeigen, dass die Entartung $D$ der Landau-Niveaus proportional zur magnetischen Flussdichte ist: $D\propto B$. Mit der obigen Erkenntnis, dass die Niveauabstände $\Delta E=\hbar \omega _{c}={\frac {e\cdot B\cdot \hbar }{m}}$ ebenfalls proportional zu $B$ sind, kann man die im De-Haas-van-Alphen-Effekt auftretenden Oszillationen in physikalischen Größen, die von der Zustandsdichte abhängen, erklären: Wird das Magnetfeld erhöht, so steigt die Energie der Landauniveaus an, während gleichzeitig ihre Entartung ansteigt. Elektronen werden daher in ein tiefer gelegenes Niveau wandern. Daher wird, falls das oberste zunächst besetzte Landau-Niveau (also das ehemalige Fermi-Niveau) vollständig geleert wurde, das nächsttiefere Landau-Niveau plötzlich zum Fermi-Niveau.

Literatur

• L. Landau: Diamagnetismus der Metalle. In: Zeitschrift für Physik. Band 64, Nr. 9-10, September 1930, ISSN 1434-6001, S. 629–637, doi:10.1007/BF01397213 (Online). 
• L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Quantum Mechanics: Non-relativistic theory. 3. Auflage. Pergamon Press, Oxford 1977, ISBN 0-08-019012-X, S. 455ff.
• Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1. 3. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 2005, ISBN 3-11-013592-2, S. 700.
• Charles Kittel: Einführung in die Festkörperphysik. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57723-9.