Mandelstam-Variable
Bei den Mandelstam-Variablen s, t und u (nach Stanley Mandelstam, der sie 1958 einführte) handelt es sich um Kurzschreibweisen für Terme, die in der Teilchenphysik bei der Berechnung von Streuprozessen mit zwei einlaufenden und zwei auslaufenden Teilchen häufig auftauchen.
Sind die Viererimpulse der beiden einlaufenden Teilchen mit und die der auslaufenden Teilchen mit bezeichnet, so sind die Mandelstam-Variablen gegeben durch:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = (p_1 + p_2)^2 = (p_3 + p_4)^2} ist gleich dem Quadrat der Schwerpunktsenergie des Systems (s-Kanal).
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = (p_1 - p_3)^2 = (p_2 - p_4)^2} ist gleich dem Quadrat des Viererimpuls-Übertrags bei einem gewöhnlichen Streuprozess wie der Elektron-Nukleon-Streuung (t-Kanal).
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u = (p_1 - p_4)^2 = (p_2 - p_3)^2}
Das in diesen Definitionen auftauchende Quadrat von Viererimpulsen ist dabei – wie in der relativistischen Physik üblich – definiert als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p^2 := p_\mu p^\mu} (siehe Vierervektor). Die Mandelstam-Variablen sind damit lorentzinvariante Skalare ebenso wie die Streuamplitude selbst, die durch sie in relativistisch invarianter Weise ausgedrückt werden soll.
Die drei Mandelstamvariablen sind nicht voneinander unabhängig: ihre Summe ist gleich der Summe der Massenquadrate der beteiligten Teilchen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s + t + u = p_1{}^2 + p_2{}^2 + p_3{}^2 + p_4{}^2 = m_1{}^2 + m_2{}^2 + m_3{}^2 + m_4{}^2} ,
wobei wie in der Teilchenphysik üblich der dimensionslose Wert c=1 für die Lichtgeschwindigkeit angenommen ist (natürliche Einheiten).
Allgemein sollte die Streuamplitude, da sie eine relativistische Invariante ist, von den relativistischen Invarianten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {p_i}^2} (i = 1, 2, 3, 4) und den sechs möglichen unabhängigen (relativistischen) Skalarprodukten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1 \cdot p_2, p_1 \cdot p_3, p_1 \cdot p_4, p_2 \cdot p_3, p_2 \cdot p_4, p_3 \cdot p_4 } abhängen – auch die Mandelstamvariablen s, t, u sind aus diesen als Linearkombination zusammengesetzt. Die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {p_i}^2} sind keine Variablen wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {p_i}^2 = {m_i}^2} (die äußeren Beine der Feynmandiagramme sind on shell). Wegen der Erhaltung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1 + p_2 = p_3 + p_4} der Viererimpulse (was vier Gleichungen ergibt, da die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i} je vier Komponenten haben) sind von den sechs Skalarprodukten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_i \cdot p_j} nur zwei unabhängig. Also sind auch nur zwei der Mandelstamvariablen unabhängig, die dritte ergibt sich aus der o. g. Summe.
Zusammenhang mit dem Streuwinkel
Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec p_1 = p_1 \vec e_z = - \vec p_2} . Dann gilt für den Zusammenhang zwischen Streuwinkel im Schwerpunktsystem und Mandelstam-Variablen:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t = m_1^2 + m_3^2 - \frac{s}{2}\left(1- \sqrt{1-\frac{4m_1^2}{s}} \sqrt{1-\frac{4m_3^2}{s}}\cos\theta\right).}
Im Hochenergie-Limes, wenn Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle m_{i}^{2}\ll s} , folgen die einfacheren Relationen
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} t &= - \frac{s}{2} (1 - \cos \theta) \\ u &= - \frac{s}{2} (1 + \cos \theta). \end{align}}
s-, t- und u-Kanal
Die Beiträge zum Streuprozess, in denen die jeweiligen Mandelstam-Variablen bei ihrer Berechnung auftauchen, werden als s-, t- und u-Kanal bezeichnet. Die zugehörigen Feynman-Diagramme sind in den folgenden Abbildung gezeigt.
Datei:Feynman-t-channel.svg t-Kanal |
Datei:Feynman-u-channel.svg u-Kanal |
Die Darstellung folgt der Konvention, dass die einlaufenden Teilchen als von links kommende Linien und die Streuprodukte als nach rechts auslaufende Linien dargestellt sind. Die gestrichelte Zwischenlinie stellt ein virtuelles Teilchen dar; das Quadrat seines Viererimpulses ist dem jeweiligen Diagramm entsprechend gleich s, t oder u.
Beispielsweise gibt das Diagramm für den s-Kanal eine Elektron-Positron-Paarvernichtung auf der linken Seite unter Bildung eines virtuellen Photons und einer Elektron-Positron-Paarerzeugung auf der rechten Seite wieder. Auch die Bildung eines instabilen Zwischenzustands (Resonanz) bei der Wechselwirkung zweier Teilchen wird so wiedergegeben. Eine gewöhnliche Elektron-Elektron-Streuung wird durch das Diagramm des t-Kanals wiedergegeben (wobei der u-Kanal mit betrachtet werden muss, bei dem die äußeren Beine 3,4 des Diagramms vertauscht sind).
In der Streuamplitude werden den Regeln der Quantenmechanik entsprechend alle möglichen Prozesse mit virtuellen Teilchen vom Typ s, t, u aufsummiert, da nur die Anfangszustände 1,2 und Endzustände 3,4, aber nicht die virtuellen Teilchen der Zwischenzustände beobachtet werden.
