Benutzer:MovGP0/Physik/Pauli-Matrizen

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Pauli-Matrizen Definition $\sigma _{0}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}$ $\sigma _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{2}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}$ $\sigma _{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ wobei: $\sigma _{0}^{2}=\sigma _{1}^{2}=\sigma _{2}^{2}=\sigma _{3}^{2}=\mathbb {1}$ (Einheitsmatrix) Multiplikation ${\begin{pmatrix}\sigma _{0}\,\sigma _{0}&\sigma _{0}\,\sigma _{2}&\sigma _{0}\,\sigma _{3}&\sigma _{0}\,\sigma _{3}\\\sigma _{1}\,\sigma _{0}&\sigma _{1}\,\sigma _{1}&\sigma _{1}\,\sigma _{2}&\sigma _{1}\,\sigma _{3}\\\sigma _{2}\,\sigma _{0}&\sigma _{2}\,\sigma _{1}&\sigma _{2}\,\sigma _{2}&\sigma _{2}\,\sigma _{3}\\\sigma _{3}\,\sigma _{0}&\sigma _{3}\,\sigma _{1}&\sigma _{3}\,\sigma _{2}&\sigma _{3}\,\sigma _{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\sigma _{0}&\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}\\\sigma _{1}&\sigma _{0}&\mathrm {i} \,\sigma _{3}&-\mathrm {i} \,\sigma _{2}\\\sigma _{2}&-\mathrm {i} \,\sigma _{3}&\sigma _{0}&\mathrm {i} \,\sigma _{1}\\\sigma _{3}&\mathrm {i} \,\sigma _{2}&-\mathrm {i} \,\sigma _{1}&\sigma _{0}\\\end{pmatrix}}$ Dekomposition von Matrizen $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}z_{0}+z_{3}&z_{1}-\mathrm {i} \,z_{2}\\z_{1}+\mathrm {i} \,z_{2}&z_{0}-z_{3}\\\end{pmatrix}}=z_{0}\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}+z_{1}\,{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}+z_{2}\,{\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}+z_{3}\,{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}=z_{0}\,\sigma _{0}+z_{1}\,\sigma _{1}+z_{2}\,\sigma _{2}+z_{3}\,\sigma _{3}$ mit: $a_{00}=z_{0}+z_{3},\quad a_{01}=z_{1}-\mathrm {i} \,z_{2},\quad a_{10}=z_{1}+\mathrm {i} \,z_{2},\quad a_{11}=z_{0}-z_{3}$ und: $z_{0}={\frac {a_{00}+a_{11}}{2}},\quad z_{1}={\frac {a_{10}+a_{01}}{2}},\quad z_{2}=-\mathrm {i} {\frac {a_{10}-a_{01}}{2}},\quad z_{3}={\frac {a_{00}-a_{11}}{2}}$ Inverse einer Matrix $\mathbf {A} ^{-1}={\frac {z_{0}\,\sigma _{0}-z_{1}\,\sigma _{1}-z_{2}\,\sigma _{2}-z_{3}\,\sigma _{3}}{z_{0}^{2}-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}}}$