Benutzer:MovGP0/Mathematik/Christoffelsymbole

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Christoffelsymbole Sei der Tensor $T_{nm}={\frac {\partial V_{m}}{\partial x^{n}}}$, dann ergibt sich mit ${T'}_{mn}=\left({\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}{\frac {\partial x^{s}}{\partial {x'}^{n}}}\right)T_{rs}$     (Gl. 5)   die Gleichung: ${T'}_{mn}=\left({\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}{\frac {\cancel {\partial x^{s}}}{\partial {x'}^{n}}}\right){\frac {\partial V_{r}}{\cancel {\partial x^{s}}}}$ ${T'}_{mn}={\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial {x'}^{n}}}$ Magic?? ${\frac {\partial {V'}_{m}}{\partial {x'}^{n}}}={\frac {\partial }{\partial {x'}^{n}}}{\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}V_{r}$ Mit der Kettenregel $\partial (A\,B)=A\,\partial B+B\,\partial A$ erhält man: ${\frac {\partial {V'}_{m}}{\partial {x'}^{n}}}=\underbrace {{\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial {x'}^{n}}}} _{{T'}_{mn}}+\underbrace {{\frac {\partial }{\partial {x'}^{n}}}{\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}} _{\Gamma _{nm}^{r}}V_{r}$ ${T'}_{mn}=\nabla _{n}V_{m}=\underbrace {\frac {dV_{m}}{dy^{n}}} _{\begin{aligned}{\text{ordinary}}\\{\text{derivative}}\end{aligned}}+\Gamma _{nm}^{r}V_{r}$     (Gl. 7: Kovariante Ableitung auf Vektor)   Das Christoffelsymbol beschreibt die Abweichung die auftritt, wenn man die Ableitung eines Tensors in ein anderes Bezugssystem transformiert. Verallgemeinerung auf Tensoren $\nabla _{p}T_{mn}={\frac {\partial T_{mn}}{\partial x'^{p}}}+\Gamma _{pm}^{r}T_{rn}+\Gamma _{pn}^{r}T_{mr}$     (Gl. 7: Kovariante Ableitung auf Tensor)   Ableitung des metrischen Tensors Im flachen Raum gilt $g_{mn}=\delta _{mn}$. Da der Wert konstant ist gilt für die Ableitung: $\nabla _{r}g_{mn}=\nabla _{r}\underbrace {\delta _{mn}} _{\text{const.}}=0$ Wenn eine Ableitung in einem Bezugssystem gleich 0 ist, so ist sie in allen Bezugssystemen gleich 0! Daher gilt für den gekrümmten Raum: $\nabla _{r}{g'}_{mn}={\frac {\partial {g'}_{mn}}{\partial x'^{p}}}+\Gamma _{pm}^{r}{g'}_{rn}+\Gamma _{pn}^{r}{g'}_{mr}=0$ Mathematiker-Magic: $\Gamma _{bc}^{a}={\frac {1}{2}}g^{ad}\left({\frac {\partial g_{dc}}{\partial x^{b}}}+{\frac {\partial g_{ab}}{\partial x^{c}}}-{\frac {\partial g_{bc}}{\partial x^{d}}}\right)$     (Gl. 9: Christoffelsymbol als Metrischer Tensor und erste Ableitungen)