Diskussion:Sinus und Kosinus/Archiv

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Herkunft des Namens

Habe das etwas geändert, da eine Verwandtschaft lat. SINUS mit dem Sanskrit-Begriff nirgends belegt und lautgesetzlich unmöglich ist. Der Verfasser dieser Ausage möge mir/uns bitte seine wissenschaftliche(!) Quelle nennnen.HJJHolm 09:58, 30. Sep. 2007 (CEST)

Es gibt eine ausführlichere Erklärung in Howard Eves - Introduction to the History of Mathematics, 6th. ed. Philadelphia: Saunders College; S. 237; sowie in Asian Contributions to Mathematics. By. Ramesh Gangolli. http://www.pps.k12.or.us/depts-c/mc-me/be-as-ma.pdf Eine Übersetzung des Zusammenhangs (dort gefunden) ist in Amartya Sen - Die Identitätsfalle. Warum es keinen Krieg der Kulturen gibt (ISBN 3-406-55812-7) (S. 138 u.) zu finden. Der im W-Artikel vorgestellte Zusammenhang greift zu kurz.

Aryabatha bezeichnet den Sachverhalt als ardha-jya (Saitenhälfte) und jya-ardha (Halbsaite). Dieser wurde auf jya verkürzt. Die Araber leiteten diese phonetisch zu jiba ab; geschrieben jb, da im Arabischen Vokale ausgelassen werden. Da dieses Wort jb an sich sinnlos ist, wurde es später durch jaib, ein echtes arabisches Wort, ersetzt; dieses Wort hat die Bedeutung Bucht odder Bai (Englisch). Dann kommt Gerhard von Cremona und nimmt jaib das lateinische Äquivalent sinus (Bucht odder Bai (Englisch)). Das hat sich bis heute so erhalten; siehe sine im Englischen

(Zusammenfassung und Umformulierung aus dem Buch)Quelle:Amartya Sen (S. 138 u.) --Markiger Totengruß 22:01, 25. Feb. 2009 (CET)

Tex Befehle

Ich würde gerne mal wissen ob man für umfangreichere Formeln Tex oder nicht verwenden sollte wegen Schönh- übersichtlichkeit. --Emp

vom look find ichs gut, aber es widerspricht wohl dem Wiki-Prinzip. Vielleicht sollte es eine Wikipedia:Formeln-Seite geben? Und eine entsprechende Anleitung. Seh ich das richtig, dass die Formeln als Bilder beim User ankommen, also keine Browserprobleme zu erwarten sind? --Martin

Die Formeln werden auf Server-Seite in Bilder (.png) umgewandelt. Daher sollte es keine Brauser-Probleme geben. Es sieht nur etwas wie gewollt und nicht gekonnt aus, da die Schrift sehr anders als die des restlichen Textes ist.

Wie macht man Zeilenumbruch in math-mode? --Emp

"es widerspricht wohl dem Wiki-Prinzip", Wieso? ich weiß nicht worum es geht. Ich habe selber ein paar Formel verTeXed mfg --nerd

Das habe ich ja bereits gemerkt, dass du was besonderes bist ;). Ich meinte was in dieser Richtung: "Die Einfachheit der Bearbeitung entsteht dadurch, dass - im Gegensatz zu HTML - nur mit wenigen Formatbefehlen gearbeitet wird. Dieser Minimalismus ermöglicht einer großen Gruppe von Menschen mit wenig Lernaufwand an diesem System teilzuhaben." Ich hab nichts gegen die Verwendung von Tex in der Wikipedia, wünschte mir aber eine erklärende Seite, damit z.B. ich und andere das auch lernen können. mfg --Martin

Wenn dich Tex interessiert, würde ich dir nicht unbedingt raten, hier anzufangen sonder dir eine Tex-Umgebung zu installieren und dann einfach Dokumente zu schreiben. Ansonsten gibt es sicherlich einige TeX-Lernseiten unter Google.de --Emp

Hallo, wenn ich es richtig verstanden habe sucht ihr sowas, oder?

http://de.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:TeX

Hier gibt es alle Befehle, die unterstützt werden. Gruß

Wikipedia:WikiProjekt_Mathematik#Mathematische_Formeln, hier steht, wie man sie verwendet. --W!B: 04:14, 23. Okt 2005 (CEST)

Anmerkung

Ich bin wirklich kein Mathegenie. Aber die Anmerkung dass das nur für Winkel <90° gilt ist doch unsinnig, weil die Aussage sowieso auf rechtwinklige Dreiecke beschränkt ist, bei denen alpha immer kleiner 90° ist, weil einmal 90° ja für den rechten Winkel draufgehen und die restlichen 90° der Innenwinkelsumme von 180° sich ja auf zwei Winkel verteilen. Sehe ich das falsch? Mich hat die Anmerkung eher verwirrt, ich würde sie dann löschen. --Docvalium 01:25, 19. Apr 2005 (CEST)

Gemeint ist: nur für Zahlen zwischen 0 und 90 Grad kann man den Sinus in dieser Form interpretieren. Die zweite Anmerkung (im Abschnitt "Definition") will auch sagen, dass das so noch nicht alles ist. Ich setze den Artikel mal auf die Überarbeiten-Liste.-- Gunther 11:46, 19. Apr 2005 (CEST)

Sorry keine Ahnung wie ich hier was bearbeite aber deshalb schreib ich es hier, damit es jemand bearbeiten kann, der mehr Ahnung hat: Tangens von Pi/6 ist falsch...es muss 1/wurzel(3) sein

Das ist dasselbe wie ${\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$ --Digamma 18:19, 11. Feb. 2008 (CET)

Ich finde mit ${\tfrac {1}{\sqrt {3}}}={\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}$ ist der Zusammenhang zur Definition $\tan(x)={\tfrac {\sin(x)}{\cos(x)}}$ klarer, habe das so geändert http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Sinus_und_Kosinus&oldid=82690672 . --128.131.79.144 16:39, 15. Dez. 2010 (CET)

Überarbeiten

Definition unvollständig.-- Gunther 11:46, 19. Apr 2005 (CEST)

Die allgemeine Definition findet sich in Trigonometrische Funktion. Ich habe jetzt zwei Verweise darauf eingebaut. Soll die Definition hier verdoppelt werden? --NeoUrfahraner 21:26, 3. Mai 2005 (CEST)

Zumindest die Definition für $0<\alpha <180^{\circ }$ ist ja auch für die Geometrie relevant ((Ko-)Sinussatz), das sollte hier dann schon stehen. Ich fände es auch nicht schlimm, wenn der Einheitskreis in mehreren Artikeln auftaucht.--Gunther 21:56, 3. Mai 2005 (CEST)

Welches Bild sollen wir nehmen? http://en.wikipedia.org/wiki/Image:UnitCircle.png oder das momentan eingefügte von Trigonometrische Funktion? --NeoUrfahraner 09:25, 4. Mai 2005 (CEST)

Das englische Bild ist eher dazu da, um die π-Winkel zu erklären, und für ein paar spezielle Werte von sin und cos. Das derzeitige Bild erscheint mir sinnvoller.--Gunther 10:12, 4. Mai 2005 (CEST)

Ich habe es jetzt ausformuliert. Sollen wir diesen Punkt als erledig betrachten? --NeoUrfahraner 08:48, 5. Mai 2005 (CEST)

Sinus und Kosinus

Sinus, Kosinus und Trigonometrische Funktion haben viele Überschneidungen. In der englischen Wikipedia gibt es nur einen Artikel en:Trigonometric function, auf den en:Sine und en:Cosine weiterleiten. Es gibt zwar einige Gründe, getrennte Artikel zu haben, diese müssten aber irgendwie konsistent strukturiert sein, was schwierig wird. Sollen die Artikel zu einem einzigen zusammengeführt werden? Was machen wir mit Tangens, Cotangens, Sekans und Cosekans? --NeoUrfahraner 21:38, 3. Mai 2005 (CEST)

Sekans und Cosekans (Cosecans? Kosekans?) sind so eigentlich erschöpfend abgehandelt ;-) Tangens und Kotangens sind geometrisch bei weitem nicht so bedeutsam wie Sinus und Kosinus, von daher würde ich mich da nicht lange mit den unterschiedlichen Definitionen aufhalten (und die Definition als Quotient von Sinus und Kosinus funktioniert ja in jedem Fall). Vielleicht wäre ein Artikel "Sinus und Kosinus" ja sinnvoll.--Gunther 22:09, 3. Mai 2005 (CEST)

Zustimmung. "Sinus und Kosinus" wäre wohl sinnvoll, evtl in weitere Folge auch "Tangens und Kotangens" sowie auch "Sekans und Kosekans", da diese Paare jeweils einen konsistentne Aufbau des Artikels erforden. Alles gemeinsam in einem großen Artikel Trigonometrische Funktion ist wohl eine zu grobe Struktur. Gibt es andere Meinungen? --NeoUrfahraner 08:55, 4. Mai 2005 (CEST)

Der Kotangens wird halt in der Geometrie nicht so benutzt, dafür sieht seine Partialbruchzerlegung netter aus. Ein Artikel genügt aber vielleicht wirklich.--Gunther 10:41, 4. Mai 2005 (CEST)

Ich habe jetzt alles von Kosinus in den Artikel eingeflochten. Einige Abschnitte sind zwar noch sinusspezifisch; beim Kosinus steht aber auch nichts dazu, es geht also nichts verloren, wenn Kosinus gelöscht wird. Spricht was dagegen, wenn ich jetzt auf Sinus und Kosinus umbenenne und Kosinus durch ein Redirect ersetze? --NeoUrfahraner 08:51, 5. Mai 2005 (CEST)

Anmerkung

Hallo, finde die Erklärungen für den Sinus sehr gut. Jedoch würde ich hier anmerken, das hier die allgemeine Funktion y=a*sin(bx+c) mit ihren Gliedern sowie deren funktion (zb: c/b--> verschiebung auf der x-achse) erklärt werden sollte. Außerdem könnte man auch Beispiele für Anwendungen angeben wie aus der Physik (zb: x=-k*sin(w*t), wobei w=kreisfrequenz). mfg Hannes

Ich habe einen Link auf den Artikel Schwingung eingbaut, der das im Detail beschreibt. --NeoUrfahraner 08:10, 13. Mai 2005 (CEST)

Wo sind die Bilder?

Weiß jemand, wieso die Bilder verschwunden sind? Die Seite Sin.png existiert, zeigt aber kein Bild. Ist das ein vorübergehendes Datenbankproblem? --NeoUrfahraner 17:59, 13. Mai 2005 (CEST)

Angeblich Stromausfall, vgl. WP:FZW.--Gunther 18:05, 13. Mai 2005 (CEST)

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

Ich habe bei dem auch in der Schule gelehrten Ansatz folgendes Problem: Was ist überhaupt die Bogenlänge? Die einzige Definition, die ich kenne, verwendet Ableitungen, damit setzt man aber die Differenzierbarkeit von Sinus und Kosinus schon voraus.--Gunther 10:38, 19. Mai 2005 (CEST)

Stimmt. Sinus, Kosinus und Bogenlänge sind zunächst nur geometrisch und daher aus Sicht der Analysis nicht exakt definiert. Die geometrische Berechnung der Ableitung ist aus Sicht der Analysis daher auch nicht exakt. Diese geometrische Berechnung kann man aber als "Motivation" nehmen, um damit Sinus und Kosinus analytisch exakt (z.B. als Taylorreihe) zu definieren. In weiterer Folge kann man dann zeigen, dass $\arcsin x$ wirklich der Bogenlänge entspricht. $\pi$ ist bei dieser Vorgangsweise analytisch als die kleinste positive Nullstelle von $\cos x$ definiert. Soll man diesen Zusammenhang im Artikel stärker herausstreichen? Ein etwas anderer Zugang wurde übrigens von Leopold Vietoris in "Vom Grenzwert $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$", Elemente Math. 12 (1957), S 8-10 vorgeschlagen (zuerst eine analytische Definition von $\pi$ und danach eine analytisch exakte Berechnung der Ableitung lediglich mit Hilfe der Additionstheoreme); ich habe schon länger vor, diesen Zugang im Artikel einzubauen, aber noch keine Zeit dafür gefunden. Der Artikel Bogenlänge macht übrigens meiner Meinung nach noch zu wenig klar, dass die Bogenlänge komplizierter zu berechnen ist, als es auf den ersten Eindruck aussieht. --NeoUrfahraner 11:25, 19. Mai 2005 (CEST)

Ich finde Stetigkeit und Differenzierbarkeit zu technisch, als dass man sie vernünftig motivieren könnte. Eine anschauliche Motivation, warum die Ableitung des Sinus der Kosinus ist usw., halte ich dagegen für sinnvoll. Man sollte aber immer klar zwischen einem vereinfachten Beweis und einer reinen Motivation trennen.--Gunther 12:15, 19. Mai 2005 (CEST)

Was bedeutet das konkret für diesen Artikel? Die Problematik der Bogenlänge gehört meines Erachtens ausführlicher behandelt, das sollte aber nicht hier, sondern im Artikel Bogenlänge erfolgen. Die zweite Herleitung der Ableitung, die auf $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$ führt und diesen Grenzwert ausschließlich mit Flächenüberlegungen und ohne Bogenlänge berechnet, ist, so weit ich es sehe, aus Sicht der Geometrie exakt (nicht aber aus der Sicht der Analysis). Welche Punkte sollten klarer herausgestrichen werden? --NeoUrfahraner 12:39, 19. Mai 2005 (CEST)

Hm, ich versuche mal, das Argument zu formalisieren: Wir parametrisieren den Einheitskreis z.B. durch

$\gamma (t)=\left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)$

und definieren

$\sin \alpha (t):={\frac {2t}{1+t^{2}}}$

mit

$\alpha (t)=\int _{0}^{t}{\sqrt {1+|{\dot {\gamma }}(\tau )|^{2}}}\,\mathrm {d} \tau =\int _{0}^{t}{\frac {2\,\mathrm {d} \tau }{\tau ^{2}+1}}.$

Jetzt wird man irgendwelche Eigenschaften von $\alpha$ beweisen müssen, z.B.: $\alpha$ ist eine Bijektion $\mathbb {R} \to (-\pi ,\pi )$ (dabei ist $\pi$ i.w. durch diese Eigenschaft definiert). Dann kann man aber auch gleich zeigen, dass $\alpha$ ein Homöomorphismus ist, und die Stetigkeit des Sinus ist klar.--Gunther 13:22, 19. Mai 2005 (CEST)

Die Möglichkeit, Winkelfunktionen auf diese Art als Integral zu definieren, erwähnt Vietoris ebenfalls kurz in der oben zitierten Arbeit. Diese Vorgangsweise ist natürlich völlig exakt und wird anscheinend auch in einigen Analysislehrbüchern verwendet. Der Nachteil dieses Zugangs ist lediglich ein didaktischer: In einer Analysisvorlesung kann dann Sinus und Kosinus erst relativ spät eingeführt werden, nämlich nach Behandlung von Integral und Bogenlänge. --NeoUrfahraner 14:12, 19. Mai 2005 (CEST)

Aber ich sehe keine andere Möglichkeit, das geometrische Argument zu präzisieren. Oder willst Du Längen von Kurven axiomatisieren? Wenn ja, wie?--Gunther 14:30, 19. Mai 2005 (CEST)

Die zweite Herleitung über Flächen benötigt keine Bogenlängen; der Winkel ist sozusagen als doppelter Flächeninhalt des dazugehörigen Sektors am Einheitskreis definiert, analog zu den Umkehrfunktionen der Hyperbelfunktionen. Das lässt sich nach meiner Einschätzung sehr wohl axiomatisieren; ich habe diese Axiomatisierung aber noch nie konkret ausgeführt gesehen. Der für meinen Geschmack schönste Weg ist aber, Sinus und Kosinus als stetige Lösung eines Funktionalgleichungssystems zu definieren, das im Prinzip aus den beiden Additionstheoremen besteht. Dieser Zugang wird, wenn ich mich recht erinnere, von Heuser gewählt, der dann mit $\lim \sin x/x=1$ die Eindeutigkeit der Lösung sichert (und $\pi$ wieder über die Nullstelle des Kosinus definiert). Umgekehrt kann man auch mit einer Definition von $\pi$ starten, mit $\cos \pi /2=0$ als kleinste positive Nullstelle die Eindeutigkeit der Lösung des Funktionalgleichungssystems sichern und in weiterer Folge $\lim \sin x/x=1$ beweisen (a la Vietoris). Es lässt sich dann relativ einfach zeigen, dass die verschiedenen anderen möglichen analytischen und geometrischen Definitionen die Funktionalgleichung tatsächlich lösen. Wie schon angedeuet, habe ich vor, das in den Artikel einzubauen, bisher aber noch nicht die Zeit dazu gefunden. --NeoUrfahraner 15:08, 19. Mai 2005 (CEST)

Der Zugang über Flächen sieht schlüssig aus, das stimmt. Sinus und Kosinus über die Funktionalgleichungen zu definieren, kommt mir künstlich vor. Bei der Exponentialfunktion finde ich die Funktionalgleichung relativ natürlich, die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen sind für meinen Geschmack zu kompliziert. Da ist die Charakterisierung über Differentialgleichungen naheliegender (der Weg $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$ soll mit Geschwindigkeit 1 den Einheitskreis durchlaufen, also ist ${\dot {\gamma }}$ das Bild von $\gamma$ unter einer Drehung um $90^{\circ }$).--Gunther 15:25, 19. Mai 2005 (CEST)

Den Satz mit den "geometrischen Überlegungen" verstehe ich nicht. Es handelt sich bei

${\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i} }}$

um einen holomorphen Ausdruck, der auf $(0,\pi /2)$ mit dem geometrisch definierten Sinus übereinstimmt. Ist das nicht schon der ganze Grund, steckt da noch mehr dahinter?--Gunther 16:20, 19. Mai 2005 (CEST)

Wie definierst Du in diesem Zusammenhang $e^{\mathrm {i} z}$? --NeoUrfahraner 16:27, 19. Mai 2005 (CEST)

Ist das nicht egal? Jedenfalls nicht über die Euler-Formel. Potenzreihe, Differentialgleichung, eindeutig bestimmte holomorphe Fortsetzung der reellen Exponentialfunktion, such Dir was aus :-) --Gunther 16:32, 19. Mai 2005 (CEST)

Wenn Du es nicht über die Euler-Formel definierst, wie siehst Du dann, dass der Ausdruck mit dem geometrisch definierten Sinus übereinstimmt? --NeoUrfahraner

Das kommt auf die genaue geometrische Definition an. Mit der obigen Formalisierung der Definition über die Bogenlänge ist jedenfalls kein weiteres geometrisches Argument nötig.--Gunther 16:54, 19. Mai 2005 (CEST)

Der Sinus ist aber im betreffenden Absatz nicht über die Formalisierung der Definition der Bogenlänge, sondern über die Euler-Formel und die Exponentialfunktion definiert. Oder andersrum - wie beweist Du die Euler-Formell? Der Beweis im Artikel Eulersche Identität setzt ja die Ableitung von sin und cos voraus. --NeoUrfahraner 17:16, 19. Mai 2005 (CEST)

Geometrische Definition: Suche den Punkt auf dem Einheitskreis auf, der der Bogenlänge $\alpha$ entspricht; der Sinus ist seine $y$-Koordinate. In Formeln ist das die o.a. Gleichung

$\sin ^{\mathrm {geo} }\int _{0}^{t}{\frac {2\,\mathrm {d} \tau }{1+\tau ^{2}}}={\frac {2t}{1+t^{2}}}.$

(Man kann sich auch überlegen, dass das Integral auf der linken Seite auch zur Flächendefinition passt. Und wie auch immer man die Geometrie axiomatisiert: auf jeden Fall ist die analytische Geometrie ein Modell.) Aus dieser die Gleichung

$\sin ^{\mathrm {geo} }x=\sin ^{\mathrm {ana} }x$

mit

$\sin ^{\mathrm {ana} }x={\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} z}}{2\mathrm {i} }}$

herzuleiten, erfordert keine geometrischen Argumente, das genaue Vorgehen ist irrelevant.--Gunther 17:30, 19. Mai 2005 (CEST)

Du hast damit ja den "geometrischen" Sinus ja letzlich analytisch über ein Integral definiert. Dass die Äquivalenz der verschiendenen analytischen Definitionen (Taylorreihe, Eulerformel, Integral, Funktionalgleichung) rein analytisch gezeigt werden kann, ist natürlich wünschenswert. Worauf ich hinaus will, ist, dass man mit der Definition mit der Exponentialfunktion dem oben diskutierten Problem mit der Bogenlänge nicht entkommt. Soll ich "auf geometrische Überlegungen beruht" durch "bzw. eine saubere Definition der Bogenlänge erfordert" ergänzen? --NeoUrfahraner 17:55, 19. Mai 2005 (CEST)

Nein, das ist keine analytische Definition, sondern die Umsetzung der geometrischen Definition in dem einzigen mir bekannten Modell für die wie auch immer formalisierte Geometrie, die für die Bogenlängendefinition nötig ist. Die Flächendefinition ergibt genau dieselbe Gleichung.

Und dass man für den Beweis der Äquivalenz zweier Definitionen beide benutzen muss (bzw. alle darin vorkommenden Begriff definieren muss), ist mMn nicht erwähnenswert.--Gunther 18:34, 19. Mai 2005 (CEST)

Ja, genau das ist der Punkt, auf den ich hinaus will. Die Definition mit der Exponentialfuktion erspart einem nicht "die Umsetzung der geometrischen Definition in dem ... Modell für die wie auch immer formalisierte Geometrie, die für die Bogenlängendefinition nötig ist". So kann man es natürlich nicht im Artikel formulieren, aber auf diese Schwachstelle der Definition mit der Exponentialfuktion gehört hingwiesen. "die Umsetzung der geometrischen Definition in dem ... Modell für die wie auch immer formalisierte Geometrie, die für die Bogenlängendefinition nötig ist" gehört natürlich in weiterer Folge auch noch als "saubere" Definition bei den analytischen Definitionen dazu. --NeoUrfahraner 18:53, 19. Mai 2005 (CEST)

Ich sehe darin ausschließlich eine Schwäche der geometrischen Definition, die innerhalb der Geometrie undefinierte Begriffe verwendet. Die übliche systematische Vorgehensweise definiert ja auch den Winkel über die trigonometrischen Funktionen und nicht über eine Bogenlänge.--Gunther 19:38, 19. Mai 2005 (CEST)

Ich habe jetzt Teile unserer Diskussion im Artikel eingebaut; ich hoffe, es ist in Deinem Sinne. --NeoUrfahraner 08:33, 21. Mai 2005 (CEST)

Der obige Ansatz ist (wie gesagt) keine neue Definition, sondern lediglich die Anwendung der geometrischen Definition auf den konkreten Punkt $\gamma (t)$ auf dem Einheitskreis.--Gunther 10:45, 21. Mai 2005 (CEST)

Das ist letzlich eine Frage das Standpunkts. Wenn man eine wie auch immer formalisierte Geometrie hat und zeigt, dass die analytische Geometrie ein Modell dafür ist, dann ist es tatsächlich keine neue Definition. Dieser Zugang über eine formalisierte Geometrie ist aber zumindest nicht üblich; er wird meines Wissens an keiner Universität so gelehrt. --NeoUrfahraner 11:55, 21. Mai 2005 (CEST).

Das sehe ich auch so. Nur: welche Möglichkeiten gibt es außer einer formalisierten Geometrie oder gleich der analytischen Geometrie?--Gunther 12:25, 21. Mai 2005 (CEST)

Man definiert eben "irgendwie" den Sinus und Kosinus analytisch. Die geometrischen Überlegungen dienen "nur" dazu, die so definierten Funktionen zu veranschaulichen, also heuristisch klarzumachen, dass die so definierten Funktionen mit dem Sinus und Kosinus der "naiven" Geometrie zusammenfallen. Wenn man dann allerdings eine formalisierte Geometrie zur Verfügung hat, dann kann bzw. muss man formal zeigen, dass diese analytische definierten Funktionen mit den in dieser formalisierten Geometrie definierten Sinus und Kosinus tatsächlich übereinstimmen. --NeoUrfahraner 17:05, 21. Mai 2005 (CEST)

Ich fasse zusammen: Es gibt die folgenden Definitionsmöglichkeiten:

• naiv geometrisch: nicht haltbar
• formal geometrisch: unüblich und in den Details unklar
• analytisch-geometrisch: auch nicht ausgesprochen üblich, führt auf die o.g. Integralformeln
• analytisch, d.h. als Potenzreihe oder über Funktional-/Differentialgleichung, entweder direkt oder indirekt über die Exponentialfunktion

Der einzig übliche Zugang scheint mir der letzte zu sein, die Beziehung zur klassischen Definition wird dann mithilfe der analytischen Geometrie hergestellt: Winkel werden über den Kosinussatz definiert. Die Tatsache, dass die Bogenlänge am Einheitskreis proportional zum Winkel ist, ist dann eine triviale Folge davon, dass der Weg $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$ konstante Geschwindigkeit 1 hat.

Wenn wir uns soweit einig sind, ist die Frage: Welche unüblichen Ansätze sollen im Artikel vorgestellt werden?

Ich finde den Artikel momentan übrigens etwas herleitungslastig, ich denke, manche Punkte müsste man nicht unbedingt beweisen (z.B. wie die Additionstheoreme des Sinus aus denen des Kosinus folgen).--Gunther 02:12, 22. Mai 2005 (CEST)

Ich enthalte mich vorerst der Stimme und warte weitere Meinungen ab. --NeoUrfahraner 08:46, 23. Mai 2005 (CEST)

Zu "herleitungslastig": Den Abschnitt "Ableitung (Differentiation) und Integration von Sinus und Kosinus" könnte man sehr leicht in einen eigenen Artikel auslagern. Was hältst Du davon? --NeoUrfahraner 10:16, 25. Jul 2005 (CEST)

Zu "herleitungslastig" gehört auch, dass die Additionstheoreme nirgendwo einfach als Formeln dastehen, sondern nur als Teil ihrer Herleitung. Ein gutes Lemma für eine Auslagerung fällt mir aber spontan nicht ein, ich denke darüber nach.--Gunther 11:52, 25. Jul 2005 (CEST)

Definition als Produktentwicklung

Wieso soll diese Produktdarstellung eine Definition sein? Das ist doch im üblichen Aufbau eher ein Formel, die aus anderen Definitionen abgeleitet wird. --NeoUrfahraner 20:24, 21. Jun 2005 (CEST)

Zustimmung. Entscheidend ist, ob es üblich ist, den (Ko-)Sinus so zu definieren, nicht ob es möglich ist.--Gunther 20:43, 21. Jun 2005 (CEST)

Umkehrfunktion

Man kann bei den 4 Umformungen überall vor die Wurzeln noch $\pm$ schreiben. Aus $\sin ^{2}x+cos^{2}y=1$ folgt $\sin(x)=\pm {\sqrt {1-cos^{2}}}$. Für sin(y) = tan... gilt das +- vor der Wurzel ebenfalls, siehe Formelsammlung. Da sin(arccos(x)) = ... aus der obigen Gleichung folgt, gilt das +- auch dort.

$\sin(\arccos(x))=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$, das folgt aus $\sin(y)=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}y}}$ und $y=\arccos(x)\!$.

$\cos(\arcsin(x))=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$, das folgt aus $\cos(y)=\pm {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}$ und $y=\arcsin(x)\!$.

$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}}$, das folgt aus $\sin(y)={\frac {\tan y}{\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}y}}}}$ und $y=\arctan(x)\!$.

$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+x^{2}}}}}$, das folgt aus $\cos(y)={\frac {1}{\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}y}}}}$ und $y=\arctan(x)\!$.

--manech

Exemplarisch die erste Formel: Es gilt $0\leq \arccos x\leq \pi$, und in diesem Bereich ist der Sinus nichtnegativ. Deshalb gilt $\sin \arccos x={\sqrt {1-x^{2}}}$ ohne Minuszeichen.--Gunther 19:46, 11. Jul 2005 (CEST)

Okay. Es müsste heißen: $\sin(\arccos(x))=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$, das folgt aus $\sin(y)=\pm {\sqrt {1-\cos ^{2}y}}$ und $y=\arccos(x)$, mit $\pm$ positiv für $0\leq y=\arccos(x)\leq \pi$ und negativ für $\pi \leq y=\arccos(x)\leq 2\pi$ etc. Ich werd es ändern.

In der Praxis wird man meist auf folgenden Fall treffen, aber das soll man sich dann schon selbst denken können.

$\sin(\arccos(x)+n\pi )=\pm {\sqrt {1-x^{2}}}$ mit $n\in \mathbb {N}$.

--Manech 22:03, 11. Jul 2005 (CEST)

$\arccos x$ ist nicht einfach irgendeine Zahl $y$, für die $\cos y=x$ gilt, sondern die eindeutig bestimmte derartige Zahl zwischen 0 und $\pi$, siehe Arcuscosinus. Deshalb ist die derzeitige Fassung ohne weitere Zusätze richtig.--Gunther 22:13, 11. Jul 2005 (CEST)

ok. ;) habs wieder rückgängig gemacht.

Ich habe die fehlende Argumentation ergänzt, damit künftig Missverständnisse vermieden werden --NeoUrfahraner 07:09, 12. Jul 2005 (CEST).

Bilder nicht maßstabstreu

Die beiden einleitenden sin/cos-Bilder fände ich noch viel hübscher, wenn sie auf x/y-Achse den gleichen Maßstab hätten.--JFKCom 21:02, 13. Sep 2005 (CEST)

Hallo!

Also hier sind die Bilder maßstabsgetreu:

Ich finde die alten Bilder trotzdem schöner... :)

--Fredstober 01:23, 14. Sep 2005 (CEST)

Hab die Bilder noch in die Commons verlegt --Fredstober 01:36, 14. Sep 2005 (CEST)

Ich finde die maßstabstreuen schöner. Übrigens: schauen die (gilt für beide Versionen) nur auf meinem Browser so blaß aus?--JFKCom 18:53, 14. Sep 2005 (CEST)

Sieht es jetzt besser aus? --Fredstober 23:24, 14. Sep 2005 (CEST)

Nein, falls Du die beiden hier rechts meinst.--JFKCom 00:02, 15. Sep 2005 (CEST)

ich habe (siehe #Layout) jetzt die 1:1-bilder eingebaut. sie passen gut zur überarbeiteten einleitung. ausserdem ist ihr didaktischer wert höher, da die meisten „mathes-anfänger“ sinuskurven als serie von halbkreisen zeichen, und nur die 1:1-darstellung die 45°-steigung der nullpunktstangente verdeutlicht. --W!B: 18:39, 11. Dez 2005 (CET)

Exzellenz-Diskusion

Ich denke, das ist ein exzellenter Artikel. Sehr umfassend, präzise und passend bebildert.

• contra- zum einen fehlt die Geschichte zum anderen ist der Artikel zu kompliziert.--G 14:58, 10. Sep 2005 (CEST)
• contra- Das ist wie ein Artikel aus einem der Analysisbücher, das man sich schnell reinprügelt, wenn man die Klausur mal eben bestehen will. Es fehlt aber, wie schon erwähnt, die Geschichte und einige Anwendungen. Die Reihenfolge ist auch nicht soooo toll: Erst wird definiert, dann abgeleitet, dann anders definiert... Und ein wenig arg Formellastig ist es m.E. auch.--Gnu1742 23:09, 11. Sep 2005 (CEST)
• contra- zu mathamtisch...

Was soll denn zu mathematisch heißen, es ist nun mal Mathematik.

Einen Artikel zur Chinesischen Sprache schreibe ich ja auch nicht auf Chnesisch. --Rabe! 15:06, 23. Sep 2005 (CEST)

Die Kritikpunkte sind ja schon angemerkt, zuviele langweilige (wenn auch richtige und keineswegs überflüssige) Formeln, zuwenig unterhaltsamer Text, den auch jemand versteht, der nicht min. 3 Semester Mathe hatte. Wer hats erfunden? Wo wird es angewendet, seit wann? Welche Bedeutung hat der Sinus für mein Leben, bzw. unsere Technikgesellschaft?...Fragen über Fragen... (WP:WSIGA) Hadhuey 10:13, 13. Sep 2005 (CEST)

• contra- aus obigen Gründen. Vielleicht läßt sich dem Problem mit einer Gliederung begegnen, die Sinus und Cosinus ersteinmal in Lebensfeldern vorstellt, in denen der Kunde sie kennt. Ich dachte bei der Frage, was das ist, nicht zuerst an die Definition: Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse - sondern an Sinusfunktionen, bekannte Kurven, Töne, und eben eine solche Graphik steht ja auch daneben. Lesend mußte ich dann nachdenken, wie sich diese Definition zu den Abbildungen verhält. Es ist nicht gleich erkennbar, daß man aus diesem Verhältnis eine Funktion bilden kann. Gut wäre es, glaube ich von der Funktion her zu erklären. Sagen wie man die bekannte Funktion geometrisch erzeugt, dann kann man die harte Definition immer noch zusammenfassend bringen. --Olaf Simons 10:44, 13. Sep 2005 (CEST)
• Pro Wikipedia ist nicht Reader's Digest, d.h. ein Artikel ist nicht exzellent, wenn er besonders allgemeinverständlich ist, sondern wenn er korrekt und umfassend ist. --GS 11:16, 13. Sep 2005 (CEST)
• contra auch mir fehlt die Geschichte und die praktische Anwendung --Luha 12:26, 13. Sep 2005 (CEST)
• contra Die ganzen Formeln sind mE für einen mathematischen Artikel in Ordnung. Aber für einen guten Lesefluß muß das Verhältnis von Text zu Formeln noch stark zugunsten des Texts geändert werden. Manche Abschnitte stehen sogar ohne irgendwelche Erläuterungen da. Außerdem wäre eine bessere Sortierung der Abschnitte angebracht. Die vorhandenen Bilder sind gut. Sehr schön finde ich das animierte GIF zur Darstellung der Funktionswerte. Noch schöner wäre es, wenn in dem GIF auch gleich die Auftragung der Werte in einem Graph dargestellt werden würde. Und die Erklärungen am Anfang könnte man wahrscheinlich noch verständlicher darstellen, für Leute, die grundlegendes erfahren wollen. Ansonsten finde ich den Artikel im Rahmen der Möglichkeit gut verständlich. Die Reihenentwicklung oder die komplexen Zusammenhänge mit der eFunktion kann man wohl nicht allgemein verständlich präsentieren, schließlich ist das höhere Mathematik und erfordert gewisse Grundlagen. Aber die Großmutter oder ein Schüler werden darauf auch nicht ihr Hauptaugenmerk legen... --Sentry 12:10, 15. Sep 2005 (CEST)

Vielleicht wäre es sinnvoll, die Additionstheoreme in einen eigenen Artikel auszulagern (dann auch mit Herleitung und mit weiteren Rechenregeln zu versehen). Das würde diese Formelsammlung ein wenig entzerren und leserlicher machen. Die Frage ist, ob ein Artikel über Rechenregeln hier einen Platz hat. --Sentry 23:56, 15. Sep 2005 (CEST)

• Pro Ich habe die Formeln nicht im Detail geprüft, ich hoffe mal der Autor hat hier gute Arbeit geleistet. Für mich leistet der Artikel was er soll: umfassende Darstellung mathematisch wichtiger Informationen zu einem mathematischen Grundlagen-Thema. Die Geschichte des Sinus findet sich bereits im Artikel Trigonometrie, wo sie auch hingehört. -- mkill - ノート 04:07, 16. Sep 2005 (CEST)

• Contra 1. Geschichte fehlt. 2. Das Literaturverzeichnis enthält nur 1 Eintrag, der noch dazu ein sehr spezielles Thema betrifft. 3. Die Berechnung der Ableitung aus den Additionstheoremen ist zwar interessant, aber doch sehr spezieller Soff, der hier mMn fehl am Platz ist. Evtl. wäre es eine Überlegung wert, die Thematik Additionstheoreme in einen eigenen Artikel auszulagern. -- Wasseralm 21:21, 16. Sep 2005 (CEST)

• Abwartend Der Artikel ist sehr umfangreich und es steckt offenbar eine Menge Arbeit drin. Die mathematische Korrektheit oder Vollständigkeit kann ich nicht beurteilen. Was mir allerdings fehlt ist eine auch für Laien verständliche Erklärung der Grundlagen die keine Kenntniss von mathematischen Notationen voraussetzt. Da wären z.B. einfache Anwendungen zur Berechnung von Dreiecken, besondere Werte (0/0.5/√2/1), der Zusammenhang mit anderen Funktionen (Tangens) und Beispiele aus der realen Welt (z.B. Schwingung). Das animierte Bild könnte auch etwas Erklärung vertragen. Für eine allgemeine Enzyklopädie ist die jetzige Darstellung meiner Meinung nach ungeeignet. Bei Artikeln in Bereichen wie Biologie oder Informatik wird üblicherweise versucht eine sinnvolle Mischung aus leicht verständlichem Allgemeinwissen und Fachinformationen für Insider zu erreichen. Ich denke für mathematische Artikel sollte das auch angestrebt werden, insbesondere bei Allerweltsfunktionen wie Sinus und Kosinus. --X4u 18:48, 19. Sep 2005 (CEST)

• contra ausdrücklich nicht aufgrund der vielen Formeln, sondern wegen 1. fehlender Geschichte (auch was in Trigonometrie steht ist dürftig), 2. fehlender Literatur und 3. eines IMHO zu kurzen Anwendungsteils. Im Sinne der Übersichtlichkeit wäre es - wie schon genannt - noch eine Möglichkeit, die Additionstheoreme und einige Herleitungen in Einzelartikel auszulagern. --Andreas ?! 18:15, 24. Sep 2005 (CEST)

• contra die Materie ist umfassend dargestellt, allerdings ist die allgemeine Einleitung zu kurz. Als erstes sollte der Laie einen Überblick bekommen. Die Formeln sind so ok und gehören in so einen Artikel. Man sollte aber überlegen, einiges auszulagern. Dies würde die Übersichtlichkeit und Ladezeit wesentlich verbessern. --Henristosch 20:37, 25. Sep 2005 (CEST)

• contra, wenn auch sehr ungern. Die hervorragende Arbeit, die in dem Artikel bereits steckt, ist unverkennbar und braucht gar nicht diskutiert zu werden. Ich wage mal folgende These: um einen Artikel über etwas komplexere mathematische Themen wirklich exzellent zu machen, sind gewisse Zugeständnisse an Allgemeinverständlichkeit und Lesbarkeit schon wünschenswert. Daher finde ich das "Readers' Digest"-Argument von weiter oben nicht angebracht. Nachdem die vorhandene Grundsubstanz auf der inhaltlichen Ebene aber so ausserordentlich gut ist (soweit ich das noch beurteilen kann, jedenfalls), sollte man sich überlegen, ob er es nicht in besonderem Maße verdient hat, durch etwas mehr "Extrovertiertheit" unzweifelhaft exzellent zu werden. --Bottomline 12:02, 26. Sep 2005 (CEST)

• pro ich finde dass der artikel sehr umfassend ist und unbedingt in die liste exzellenter artikel aufgenommen werden sollte. die geschichte von sin und cos sollte trotzdem noch hinzugefügt werden.

Layout

in bezug auf Wikipedia Diskussion:Kandidaten für exzellente Artikel#Layout 800x600 und bevormundende Mechanismen : Kritik an diesem Artikel: Sinus und Kosinus - KEA von Portal:Mathematik, ein layout-kuddelmuddel vom feinsten! schon die erstem bilder reissen ein loch in den fliesstext (..ich weiss, das liegt am leidigen "TeX-zu-gross"-problem), das inhaltsverzeichnis ist so vollgestopft, dass es nicht mehr als ganzes auf den bildschirm passt, weiter unten noch eine animierte grafik, die das selbe problem hat (ich hab nicht verstanden, was die tut, weil ich die werte nicht gleichzeitig am schirm sehe) und zahlreich tabellen und formeln, die rechts abgeschnitten werden --08:34, 23. Okt 2005 (CEST)

1. ich habe (mit verweis auf #Bilder nicht maßstabstreu) das layout der einleitung überarbeitet. ich finde sie nun übersichlicher, und sie fliesst auch viel schöner: die minimalbreite ist jetzt nurmehr von TeX abhängig. auch die druckversion ist jetzt akzeptabel. --W!B: 18:38, 11. Dez 2005 (CET)
2. zur ani-grafik siehe Benutzer Diskussion:Ralf Pfeifer#:Bild:Einheitskreis Ani.gif
3. wenn aber nun der "zeitfresser" ausgelagert wäre, würde ich vorschlagen, die 4 noch vorhanden bilder nicht als thumb, sondern komplett ohne rand deutlich grösser zu plazieren. ihr informationswert beim lesen des textes ist (wegen der funseligen beschriftung) minimal. in Evolute oder Traktrix#Herleitung zb. ist zu besichtigen, welchen didaktischen wert eine proportionierte grafik zum verständnis des textes hat. --W!B: 19:27, 11. Dez 2005 (CET)
4. die TeX-Formeln nach der Methode von Gunther umgebrochen --W!B: 00:31, 12. Dez 2005 (CET)

Zu (2): Werde mich drum kümmern - mehr auf meiner Diskussionsseite: Benutzer Diskussion:Ralf Pfeifer#:Bild:Einheitskreis Ani.gif Ralf Pfeifer 22:34, 11. Dez 2005 (CET)

Erledigt - neue Version der Animation hochgeladen Ralf Pfeifer 07:13, 13. Dez 2005 (CET)

Algorithmische Umsetzung von (Co)Sinus

Wie wird denn eigentlich Sinus und Cosinus algorithmisch in Programmiersprachen umgesetzt?

http://sources.redhat.com/cgi-bin/cvsweb.cgi/libc/README.libm?rev=1.4&content-type=text/x-cvsweb-markup&cvsroot=glibc und http://sources.redhat.com/cgi-bin/cvsweb.cgi/libc/sysdeps/ieee754/flt-32/?cvsroot=glibc, bei letzterem k_cosf.c für Cosinus und k_sinf.c für Sinus. Marcel Wiesweg 13:53, 5. Okt 2005 (CEST)

Zusammen mit der Division mit Rest in s_cosf.c, um das Argument kleinzumachen.--Gunther 14:02, 5. Okt 2005 (CEST)

Also allein mit dem Quelltext kann ich leider nichts anfangen, da wohl viel Mathematik dahinter steckt. Könnte jemand den Quelltext vielleicht ein wenig kommentieren? Vielleicht wäre es auch von allgemeinem Interesse zu wissen, wie das funktioniert - wie ein Taschenrechner einen sin(x) berechnet?

Hi, im Text ist ja, etwas versteckt, schon beschrieben, dass man allein mit Quadratwurzeln und Arithmetik auf einen Winkel von 3Grad bzw. 1/60 vom Halbkreis kommt. Man kann also eine gegebene Winkelgröße in den Bereich von -1.5..1.5Grad verschieben, evtl. noch einigemale (n-mal) halbieren, dann mittels sehr kurzer Potenzreihe den sin und daraus den cos bestimmen, mittels Additionstheoremen den "geometrischen Winkel"="Punkt auf Einheitskreis" n-mal verdoppeln und ebenfalls mittels Additionstheoremen um das zuvor abgezogene Vielfache von 3Grad drehen. 3Grad lassen sich auch durch die einfacheren 15Grad ersetzen. Es gibt auch effizientere Ansätze, die nicht so viele "lange Zahlen" wie Pi, diverse Wurzeln,... in der Rechnung benötigen.--LutzL 15:43, 1. Dez 2005 (CET)

== Bestimmung mit Genauigkeit 20 Dezimalstellen ==

• Rechengenauigkeit 24 Dezimalstellen, bekannte Konstante: Pi/12, s15:=sin(Pi/12)=$({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})/4$, c15:=cos(Pi/12)=$({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}})/4$
• Input: Winkel a im Bogenmass im ersten Quadranten.

- Bestimme m:=round(a/(Pi/12)); a:=a-m*(Pi/12);

- q:=a^2; c:=1, s:=1, f:=1,j:=1;

- Wiederhole 8 mal: { j:=j+1, f:=-f*q/j, c:=c+f, j:=j+1, f:=f/j, s:=s+f; }

- sina:=a*s, cosa:=c; (evtl. auf Einheitskreis bringen)

- Wiederhole m mal: { ca:=cos(Pi/12)*cosa-sin(Pi/12)*sina, sa:=sin(Pi/12)*cosa+cos(Pi/12)*sina, sina:=sa, cosa:=ca; }

• Voila, Sinus und Kosinus vom Ausgangswinkel=(sina,cosa) (Runden auf Endgenauigkeit

--LutzL 15:43, 1. Dez 2005 (CET)--Aufwand reduziert--LutzL 11:02, 2. Dez 2005 (CET)

wow! sensationelle information! ob das nicht einen eigenen artikel verdient hat? schon die überschrift passt als Titel.. --W!B: 19:30, 11. Dez 2005 (CET)

Nette Einführung und schnelle Auswertung (auch auf parallel arbeitenden Architekturen) mit für viele Anwendungsfälle akzeptabler Genauigkeit beschreibt http://www.research.scea.com/research/pdfs/RGREENfastermath_GDC02.pdf, auch wenn noch ein paar Fehler drin sind... --Horrorist 21:53, 13. Dez 2005 (CET)

Geschichte des Sinus und Kosinus

Um mal das Erstellen eines Abschnittes über die Geschichte von Sinus und Kosinus in Gang zu bringen (auch wenn ich selber keine Zeit habe, was zu schreiben): Auf [1] steht etwas zur Geschichte. Auf die Seite wird auch vom Artikel Trigonometrie aus verwiesen und der Inhalt zum Teil verwendet. Die sinus- und kosinus-spezifischen Teile aber noch nicht. Die könnte man hier noch einfügen, falls die Quelle vertrauenswürdig und nicht durch urheberrechtlich geschützt ist. Man könnte auch einfach mal per Mail dort nachfragen.--Limburg 22:35, 9. Okt 2005 (CEST)

Abstimmung: Differentiation von Sinus und Kosinus in eigenen Artikel auslagern

Weil hier immer wieder kritisiert wird, dass der Artikel zu lang ist, möchte ich über folgenden Vorschlag abstimmen: Den "Spezialabschnitt" Berechnung der ersten Ableitung in einen eigenen Artikel Differentiation von Sinus und Kosinus auszulagern. Um die Versionsgeschichte zu erhalten: das erste Drittel stammt im Wesentlichen von Benutzer:Petflo2000, 13. Jan 2005; der Rest im Wesentlichen von mir. Als Analogie könnte man z.B. Beweis der Irrationalität der Eulerschen Zahl hernehmen, wo auch das "Minderheitenprogramm" in einen eigenen Artikel ausgelagert wurde. Abstimmungsdauer: bis einschließlich 21.12.2005. --NeoUrfahraner 07:19, 14. Dez 2005 (CET)

Ich habe grundsätzlich nichts dagegen die Beweise auszulagern. Ich hatte hierzu schon mal eine Diskussion angeregt solche Beweise auszulagern (steht jetzt unter Diskussion:Portal_Mathematik/Archiv2#Beweise_von_mathematischen_Formeln). Da wir gerade bei den Winkelfunktionen sind: Bei dieser Gelegenheit würde ich auch gerne die Diskussion über entbehrliche Klammern bei Winkelfunktionen noch einmal anregen. Z.B. $\sin(x)\,$ $\sin x\,$ Ich stelle immer wieder fest, dass das immer wieder unterschiedlich gehandhabt wird und dass auch meine Beiträge mit Klammern ergänzt wurden (ich bin eigentlich gegen die Klammern). Zu meiner Schande muss ich allerdings auch eingestehen in anderen Beiträgen auch schon Klammern entfernt habe. Ich kenne auch kaum mathematische Literatur in der entbehrliche Klammern benutzt werden. Warum soll das bei Wikipedia eigentlich anders sein. Die Diskussion wurde hier Diskussion:Portal_Mathematik/Archiv2#Entbehrliche_Klammern_bei_Winkelfunktionen und hier Diskussion:Portal_Mathematik/Archiv2#sin_x_oder_sin.28x.29.3F schon geführt, hat aber bisher noch kein abschließendes Ergebnis erbracht.Petflo2000 10:38, 14. Dez 2005 (CET)

Die Beteiligung war zwar nicht gerade großartig, da aber keine Gegenstimmen vorliegen und die Hautautoren mit ja stimmen, habe ich jetzt den Artikel Differentiation der Sinusfunktion angelegt. --NeoUrfahraner 21:14, 29. Dez 2005 (CET)

@NeoUrfahraner: Ich weiss nicht ob du diese Diskussion Portal Diskussion:Mathematik#Beweisarchiv schon mitbekommen hast und wie du dazu stehst. Vielleicht hätte man die Beweise gleich dorthin verschieben sollen. Es ist zwar noch sehr im Aufbau, aber ich habe schon einige Beweise probeweise dorthin kopiert. Wenn dieses angenommen wird, kann man die Beweise später auf WP löschen und nur dorthin verlinken. --Petflo2000 11:29, 30. Dez 2005 (CET)

Der Artikel steht jetzt in den Wikibooks unter b:Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion. Differentiation der Sinusfunktion habe ich mit einem Löschantrag versehen. --NeoUrfahraner 16:23, 30. Dez 2005 (CET)

Bestens: Habe die Verschiebung nach Wikibooks schon gesehen. Langsam wird es da dann ja etwas voller. --Petflo2000 16:42, 30. Dez 2005 (CET)

Nochmals Umkehrfunktion

Kurze Zwischenfrage: Unter Umkehrfunktion / Stetigkeit steht die Formel: :$\cos x:[0^{\circ },180^{\circ }]\to [-1,1]$ müsste das nicht umgekehrt sein? :$\cos x:[0^{\circ },180^{\circ }]\to [1,-1]$
Cold ice 09:00, 24. Jan 2006 (CET)

Kurze Antwort: nein. Längere Antwort: $[a,b]$ steht für die Menge $\lbrace x\in \mathbb {R} |a\leq x\leq b\rbrace$; $[1,-1]$ ist also leer. Du willst darauf hinaus, dass $\cos x$ monoton fallend ist; über das Monotonieverhalten sagt diese Schreibweise aber nichts aus. --NeoUrfahraner 09:23, 24. Jan 2006 (CET)

Ah klar, k danke! Cold ice 19:54, 24. Jan 2006 (CET)

Fusion?

Wäre eine Fusion mit folgendem Artikel: http://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrische_Funktion nicht angebracht? (nicht signierter Beitrag von 66.156.29.241 (Diskussion) 23:54, 29. Mär 2006)

Nein.--Gunther 23:58, 29. Mär 2006 (CEST)

Einige Gedanken zu diesem Artikel

Irgendwie fehlt mir eine einheitliche Linie im Bezug auf Grad und Bogenmaß. Bei den Additionstheoremen stehts in Grad, bei Zusammenhang zwischen Kosinus und Sinus wieder mit PI,... mir persönlich täte alles sowieso mit dem Bogenmaß besser gefallem.

Weiters wollte ich über die Definitionen was andiskutieren. Wäre es nicht besser, zuerst alles am Einheitskreis zu definieren. Die Definition mit dem rechtwinkeligen Dreieck könnte man dann als Folgerung mit Hilfe des Strahlensatzes auf jedes Dreieck anwenden. Ich finde, so kommt es sehr gut rüber, warum der Sinus und Cosinus bei jedem ähnlichen rechtwinkeligen Dreieck gleich ist (eben wegen des Strahlensatzes) (nicht signierter Beitrag von Rapoldc (Diskussion | Beiträge) 15:38, 12. Mai 2006)

Schwierige Frage. Letzlich kommt es sehr auf den Leser drauf an. Für den mathematisch gebildeten Leser ist der Vorschlag von Dir eleganter; bleibt man bei Grad, erreicht man aber mehr "Normalverbraucher". Wer Bogenmaß kennt, kennt auch Grad; umgekehrt glaube ich aber, dass viele, denen Grad was sagt, mit Bogenmaß nicht viel anfangen können. Ähnliches gilt mit Dreieck vs. Einheitskreis: Die Definition am Einheitskreis ist zweifellos eleganter; die Definition am Dreieck ist aber nach meiner Einschätzung leichter verständlich. Recht hast Du aber damit, dass die Bogenmaß/Grad Sache im Artikel nicht konsequent durchgezogen ist. Insbesondere fehlt an manchen Stellen der Hinweis, dass gewisse Formeln nur im Bogenmaß gelten. Ich werde es ergänzen. --NeoUrfahraner 18:19, 12. Mai 2006 (CEST)

Also dieser Artikel gefällt mir aber wirklich gut. Hier wird eigentlich alles erwähnt, was man so zu dem Thema sagen kann.

Bedeutet der Name "Kosinus" wirklich "Sinus des Komplementärwinkels"?

Dass der Kosinus eines Winkels gleich dem Sinus des Komplementärwinkels ist, heißt noch nicht, dass der Name Kosinus diese Bedeutung hat. Wenn "co" die lateinische Vorsilbe ist, die Zusammengehörigkeit ausdrückt, dann ist es wohl naheliegender, das unmittelbar auf Sinus und Kosinus zu beziehen.

Auf der englischen Wiki-Seite steht, dass schon Aryabhata (um 500 n.Chr.) die Namen "jiva" und "kojiva" für Sinus und Cosinus verwendet hat - was unmittelbar nichts erklärt, aber zusätzlich zu beachten wäre.

Ich habe den Satz vorläufig gestrichen. Vielleicht findet sich jemand, der mehr dazu sagen kann. --NeoUrfahraner 06:23, 15. Mai 2006 (CEST)

Ich habe jetzt eine Quelle gefunden und den Satz daher mit Quellenangabe wieder in den Artikel eingebaut. Wenn jemand abweichende Theorien belegen kann, kann man sie ja dazufügen. --NeoUrfahraner 08:44, 24. Mai 2006 (CEST)

Eine mittelalterliche Quellenangabe belegt nicht viel, da das "ko" schon im Sanskrit-Wort steckt. Die Wortdeutung als "Sinus des Komplementärwinkels" ist insofern merkwürdig, als es in der Anwendung nicht um dieselbe Größe bei korrespondierenden Winkeln geht, sondern um korrespondierende Größen desselben Winkels.

Algebraische Funktionswerte

Im Artikel steht zwar, dass sin(3°) und alle Sinuswerte von Vielfachen von 3° algebraisch bestimmbar sind, aber ich fänd es gut, wenn die Formel dafür auch angegeben werden würde. Welche Sinuswerte sind noch algebraisch exakt bestimmbar? --RokerHRO 21:17, 1. Jun 2006 (CEST)

Zunächst mal: "Algebraisch" im Sinne von algebraische Zahl sind alle Funktionswerte $\sin r\pi$ mit $r\in \mathbb {Q}$ (und noch weitere). Mit angegebenen Werten von $\sin 15^{\circ }$ und $\sin 18^{\circ }$ kann man im Prinzip

$\sin 3^{\circ }=\sin 18^{\circ }\cos 15^{\circ }-\cos 18^{\circ }\sin 15^{\circ }=\sin 18^{\circ }{\sqrt {1-\sin ^{2}15^{\circ }}}-{\sqrt {1-\sin ^{2}18^{\circ }}}\sin 15^{\circ }$

hinschreiben, und für weitere Werte kann man

$\sin n\alpha =n\cos ^{n-1}\alpha \sin \alpha -{n \choose 3}\cos ^{n-3}\alpha \sin ^{3}\alpha +{n \choose 5}\cos ^{n-5}\alpha \sin ^{5}\alpha -+\ldots$

verwenden. Letztere Formel steht schon unter Formelsammlung Trigonometrie#Winkelfunktionen für weitere Vielfache, aber ansonsten sehe ich nur einen Zahlenwust ohne Erkenntnisgewinn.--Gunther 22:39, 1. Jun 2006 (CEST)

Ich verstehe die Frage eher so, dass es da um die Winkel geht, die von der Gestalt $\alpha =k{\frac {360^{\circ }}{2^{n}p_{1}\dots p_{r}}}$ sind, wobei die $p_{i}\;$ Fermatsche Primzahlen sind. --NeoUrfahraner 22:46, 1. Jun 2006 (CEST)

Eine andere Deutung wäre noch: durch reelle Radikale angebbar. Habe mir nie überlegt, was dabei herauskommt.--Gunther 22:55, 1. Jun 2006 (CEST)

Danke erstmal soweit für eure Antworten. :-) Ich wollte halt, ausgehend davon, dass der Sinus von 30°, 45°, 60° ja noch durch recht kompakte Ausdrücke exakt angegeben weren kann, wissen, für welche Winkel ebenfalls "hübsche kompakte Ausdrücke" existieren, und für welche eben überhaupt ein exakter endlicher "Formelausdruck" (mal salopp formuliert) angegeben werden kann. Wenn man z.B. eine Formel für sin(1°) hat, kann man daraus ja alle Sinuswerte im 1-Grad-Abstand exakt bestimmen. (Und für 30°, 45°, 60° müssen dann ja wieder die bereits angegebenen einfachen Ausdrücke herauskommen, sofern man sich nicht verrechnet hat ;-)). Außerdem, vielleicht gibt es ja auch für andere, nicht rationale aber doch "einfache irrationale" Winkel einen überaschend einfachen Sinuswert. Also für $\sin \left({\frac {90^{\circ }}{\sqrt {2}}}\right)$ oder Ähnliches. Versteht ihr, was ich meine? Klar, der praktische Nutzen dieser Formeln ist eher gering, der Computer liefert ja eine beliebig genaue Näherung auf Knopfdruck. Es geht mir halt ein wenig um die "Schönheit der Mathematik". :-) --RokerHRO 23:21, 1. Jun 2006 (CEST)

Ich könnte mir eine Formulierung folgender Art vorstellen:

$\sin \alpha \;$ und $\cos \alpha \;$ sind zumindest dann explizit darstellbar, wenn der Winkel $\alpha \;$ mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn also $\alpha \;$ von der Gestalt $\alpha =k{\frac {360^{\circ }}{2^{n}p_{1}\dots p_{r}}}$ ist, wobei $k\in \mathbb {Z} \;$, $n\in \mathbb {N} _{0}\;$ und die $p_{i}\;$ für $i=1,\dots ,r\;$ Fermatsche Primzahlen sind (vgl. Emil Artin: Galoissche Theorie. Verlag Harri Deutsch, Zürich 1973, ISBN 3-87144-167-8, S 85.).

Daneben gibt es natürlich noch andere Winkel, deren Sinus explizit darstellbar sind, z.B. gilt natürlich für $\alpha =\arcsin {\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}\approx 52,53^{\circ }$, dass $\sin \alpha ={\frac {1}{\sqrt[{3}]{2}}}$, ich glaube aber nicht, dass diese Winkel besonderes "interessant" sind.

Soll irgendetwas dieser Art in den Artikel eingebaut werden? --NeoUrfahraner 08:21, 2. Jun 2006 (CEST)

Also obige Formel, welche Sinuswerte explizit darstellbar sind, sollte auf jeden Fall in den Artikel mit eingeflochten werden, finde ich. Ich bin mir nur im Moment nicht ganz sicher, wo... :-) --RokerHRO 09:06, 2. Jun 2006 (CEST)

Evtl. als letzter Satz im Abschnitt "Weitere mit Wurzeln angebbare Funktionswerte"? --NeoUrfahraner 09:48, 2. Jun 2006 (CEST)

Hm, ja da passt es im Moment am besten hin, denke ich. Aber so richtig gefällt mir der Aufbau des Artikels eh nicht. Aber das umzubauen, ist aufwändig. Sowohl technisch als auch ... sozial, denn sowas erfordert sicher auch einen breiten Konsens. ;-) --RokerHRO 09:51, 2. Jun 2006 (CEST)

Ich hab's jetzt dort eingebaut. --NeoUrfahraner 10:12, 2. Jun 2006 (CEST)

Damit bin ich ziemlich wenig einverstanden. Ich kann $\sin 1^{\circ }$ ohne weiteres als $({\sqrt[{3}]{z}}-{\sqrt[{3}]{\bar {z}}})/2$ mit $z=\cos 3^{\circ }+\mathrm {i} \sin 3^{\circ }$ (also einem explizit angebbaren Wurzelausdruck) darstellen. Was ist also besonders an den angegebenen Winkeln (außer dass man bei ihnen mit Quadratwurzeln auskommt)?--Gunther 10:28, 2. Jun 2006 (CEST)

Darum steht ja "zumindest" und der Verweis auf Zirkel und Lineal dort. Es stimmt aber, dass das Wort "explizit" präzisiert ("dass man mit Quadratwurzeln auskommt") gehört, ansonsten könnte man tatsächlich auch Werte wie $\Re \left({\sqrt[{180}]{-1}}\right)$ nehmen. Evtl. sollte die Überschrift besser "Weitere mit Quadratwurzeln angebbare Funktionswerte" lauten. --NeoUrfahraner 10:46, 2. Jun 2006 (CEST)

Die Präzisierung, die vermutlich die meisten zufriedenstellen dürfte, habe ich ja oben schon angegeben: Durch reelle Wurzeln angebbar. Aber leider kenne ich dazu die Antwort nicht.--Gunther 10:50, 2. Jun 2006 (CEST)

Ich habe es jetzt im Text ausdrücklich auf Quadratwurzeln eingeschränkt, das ist ja der bekannte Teil ("zumindest dann" müßte man eigentlich jetzt auf "genau dann" ändern können). Zur Antwort auf die allgemeinere Frage nach reellen Wurzeln weiß ich leider auch nichts. --NeoUrfahraner 13:35, 2. Jun 2006 (CEST)

Nein, für "genau dann" müsste man noch auf rationale Vielfache von $\pi$ einschränken. Das steht momentan auch falsch im Artikel.--Gunther 13:45, 2. Jun 2006 (CEST)

Das verstehe ich jetzt nicht. Momentan sind es ja nicht alle rationalen Vielfache von $\pi$ einschränken, "rationale Vielfache von $\pi$" wäre alse eine Erweiterung, keine Einschränkung. --NeoUrfahraner 13:55, 2. Jun 2006 (CEST)

Der Winkel $\arctan 1/2$ ist konstruierbar.--Gunther 13:56, 2. Jun 2006 (CEST)

OK. Ich hab's so formuliert, dass der zweite Teil keine Äquivalenz ist. --NeoUrfahraner 14:07, 2. Jun 2006 (CEST)

Belege

Literaturhinweise wären vor allem bei den Behauptungen sinnvoll, dass man dieses oder jenes als Definition des Sinus wählen kann und trotzdem alle schönen Eigenschaften erhält, die man nun wirklich in jedem Analysis-Buch/-Skript oder im Bronstein nachschlagen kann.--Gunther 22:46, 12. Okt. 2006 (CEST)

Neues Bild - erstmal nur für einen spitzen Winkel

Unter Bild:Sin Cos Tan Cot unit circle.svg habe ich eine bessere Version (als SVG) hochgeladen, erstmal nur mit einem spitzen Winkel. Was haltet ihr davon? --RokerHRO 10:30, 14. Dez. 2006 (CET)

Additionstheoreme

Hallo, eigentlich würden hier doch auch die Additionstheoreme noch ganz gur hinpassen, oder?

Die da Sinus_und_Kosinus#Additionstheoreme ? --NeoUrfahraner 13:26, 15. Feb. 2007 (CET)

Ich habe mir gerade die Additionstheoreme angeschaut und finde, dass eine kurze Bemerkung, wie man zu DIESER Formel des allgemeinen Dreiecks kommt, ganz nett wäre. Wenigstens ein Hinweis auf den Sinussatz würde helfen, wenn man fragend vor a*b*sin (gamma) steht. Auch eine zusätzliche Erklärung zu den Flächeninhaltsformeln der Teildreiecke wäre hilfreich, um die Sache besser nachvollziehen zu können.

Ich hatte diesen elementaren Beweis für die Additionstheoreme eingefügt, da ich einen solchen Bedarf vermutete. Deine Anfrage zeigt, dass es richtig war. Wir brauchen jetzt jemand, der eine schöne bunte Zeichnung zu dem Beweis macht. Wenn die Skizze da ist, gestalte ich den Beweis ausführlicher. Ohne Skizze würde das aber harte Kritik ernten.--Skraemer 23:25, 19. Apr. 2008 (CEST)

Kleiner Fehler in den Bildern

Hallo zusammen, ein kleiner Fehler hat sich in den Bildern der Sinus- und Cosinus-Funktion eingeschlichen: Der Sinus wird nicht bei 2/3 PI (-1) sondern bei 3/2 PI. Gleicher Fehler auch entsprechend bei der Cosinus-Funktion. Gruß GroegerB --80.142.124.177 10:27, 21. Mär. 2007 (CET)

Wichtige Funktionswerte

Benutzer:Merctio hat einige zusätzliche Formeln eingefügt und Benutzer:NeoUrfahraner hat sie wieder gelöscht. Ich mußte auch erst mal den Sinn dieser Formeln verstehen aber sie sind richtig. Sie sind sicher nur als Gedankenstütze gedacht. Die Formeln sind im Zusammenhang mit der darüberliegenden Tabelle zu verstehen. $\alpha$ ist der Winkel wie in der Tabelle (0, 30, 45, 60, 90 Grad). Für x im 2. Teil der Formel werden nacheinander die danachfolgenden Werte eingesetzt und zwar der 1. für 0 Grad, der 2. für 30 Grad, der 3. für 45 Grad usw. wie in der oberen Tabelle. Setzt man den x-Wert ein, kommen tatsächlich als Ergebnis die Tabellenwerte heraus. Ob nun diese Formeln als Gedankenstützen erforderlich sind möchte ich nicht beurteilen. Man kann sicher auch darauf verzichten. Aber richtig sie und ich würde sie belassen. Ich habe sie deshalb wieder reingesetzt. Die Klammern für $\alpha$ habe ich aber entfernt, da sie entbehrlich sind. -- Petflo2000 19:24, 17. Mai 2007 (CEST)

Nun, der Punkt ist, dass diese Formeln weder richtig noch falsch, sondern einfach sinnlos sind, solange nicht erklärt wird, was $\alpha$ bedeuet. Also: wenn die Formeln drinnen bleiben sollen, dann muss man auch erklären, wofür $\alpha$ steht. --NeoUrfahraner 22:02, 17. Mai 2007 (CEST)

$\alpha$ ist derselbe Winkel wie in der darüberstehenden Tabelle (0, 30, 45, 60, 90 Grad). Das sollte man vielleicht noch dazuschreiben, denn ohne die Angaben in der Tabelle machen die Formeln natürlich keinen Sinn. Ich hab das mal ergänzt.-- Petflo2000 17:35, 18. Mai 2007 (CEST)

Habe sie deshalb eingefügt, weil sie zumindest an meiner Schule und Uni als Alternative zum Auswendiglernen der Tabellen gelehrt wurden (auch wenn die (Ko)Tangensformel ein bisschen an den Haaren herbeigezogen wirkt), da man für viele Klausuren den Taschenrechner nicht benutzen darf/durfte. Sie deuten außerdem vielleicht darauf hin, dass sich auch andere (dazwischen liegende) Funktionswerte "von Hand" bilden lassen. Ein Beispiel:

Für die Werte: α = 0°, 15°, 22.5°, 30°, 45° gilt:
$\sin \alpha ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {x}}$ mit $x=2-{\sqrt {a}}$ wobei $a=4,3,2,1,0$

und für diese Werte: α = 45°, 60°, 67.5°, 75°, 90°
$\sin \alpha ={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {x}}$ mit $x=2+{\sqrt {b}}$ wobei $b=0,1,2,3,4.$

Für den Kosinus einfach wieder die Werte wegen der Symmetrie vertauschen. Auch für den (Ko)Tangens lässt sich sicher auch ähnliches finden, aber für den Alltag reichen die Werte für 0, 30, 45, 60, 90 ja bekanntlich aus.

In der englischen Wikipedia ist dem ganzen übrigens ein kompletter Artikel gewidmet: en:Generating_trigonometric_tables
Merctio 21:56, 17. Mai 2007 (CEST)

Ich kannte die interessanten Merkformeln von Merctio noch nicht. Ich denke, wir sollten sie unter die anderen setzen. Die schwer zu merkenden Funktionswerte für sin 15° und sind 22.5° kommen sonst immer zu kurz. Auch der schöne Wert $\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1$ müßte stärker verbreitet werden. Die wichtigste Aufgabe einer Enzyklopädie ist Wissen zu bewahren und zugänglich zu machen. Daher dürfen wir diese Wete nicht verschweigen.--Skraemer 21:49, 21. Apr. 2008 (CEST)

Genauigkeit

Im Artikel Taschenrechner findet man eine Tabelle in der man Sinus(22rad) Werte mit möglichst viel NK Stellen angibt. Vielleicht kann ein Mathematiker dazu etwas schreiben, warum gerade 22rad gewählt wurde.--Mordwinzew 23:26, 5. Jul. 2007 (CEST)

Vermutlich weil pi ca. 22/7, also 22 rad ist ca. 7 pi. Der Sinus davon ist nahe bei Null, die Rundungsfehler werden daher besser sichtbar. Analog kannst Du jede andere rationale Näherung (also z.B. 355/113) für pi nehmen und die Werte z.B. für sin(355 rad) vergleichen, da wird's noch drastischer.--NeoUrfahraner 07:23, 6. Jul. 2007 (CEST)

Wenn du das gut ausformulierst, wertest du den Artikel Sinus und Kosinus um den Faktor 7*pi auf :)--Mordwinzew 07:42, 6. Jul. 2007 (CEST)

Das hat nichts mit Sinus und Kosinus zu tun, das gehört eher in den Artikel Taschenrechner. --NeoUrfahraner 07:46, 6. Jul. 2007 (CEST)

Vektoren vs. Strecken

Im Text werden Ankathete und Gegenkathete als Vektoren definiert. Es handelt sich aber um ungerichtete Strecken. Wie formuliert man das besser? --Hanfried.lenz 10:52, 29. Aug. 2007 (CEST)

Jetzt besser so? --RokerHRO 16:28, 29. Aug. 2007 (CEST)

Herkunft des Namens

stimmt so nicht, sinus ist nicht lat. für Bogen, sondern bezeichnet verschiedenste Einbuchtungen, etwa "Bucht". Ich muss das nochmal recherchieren, aber das war m.E. sanskrit logisch bezeichnet und ist dann im arabischen wie angedeutet mit einem Begriff für Bucht verwechselt worden, der dann ins latein übertragen worden ist. Sipalius 10:58, 5. Sep. 2007 (CEST)

Zusammenhang mit Drehmatrizen

Wünschenswert wäre noch eine Darstellung des Zusammenhangs zur Darstellung von Drehungen durch Matrizen. Die Matrix einer (Links-)Drehung um den Winkel $\phi$ lautet:

${\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}$

Daraus kann man auch die Additionstheoreme herleiten und mit der Matrizen-Exponentialfunktion die Taylorreihe. --Digamma 09:23, 17. Nov. 2007 (CET)

explizite Darstellung von Sinusspannungen

Da ein Mathematiker die Zusammenhänge vielleicht besser erklären kann, als ein Elektroniker, bitte ich um die Beachtung dieses Diskussionsbeitrages Diskussion:Sinusspannung#explizite Darstellung von Sinusspannungen im Artikel Sinusspannung. -- 84.132.104.247 22:26, 5. Dez. 2007 (CET)

Fliesstext

Als Nicht-Mathematiker wünsche ich mir erläuternden Fliesstext, sowie erläuternde Beispielen aus dem Alltag. Gruss, --Markus 17:25, 23. Dez. 2007 (CET)

Geht's ein wenig genauer: wo hättest Du gerne mehr Fliesstext? An welche Alltagsbeispiele denkst Du? --NeoUrfahraner 12:06, 24. Dez. 2007 (CET)

Ein Auszug aus dem Familiengespräch:

Sohn: Im nächsten Jahr kommt in der Schule der Sinus dran...

Tochter: Hatten wir schon - aber kapiert habe ich das nicht.

Vater (Beamter): Oh - das ist aber wichtig!

Tochter: Wofür denn?

Vater: Also im Beruf braucht man das - Vermessungsingenieure beispielsweise.

Sohn: Ich will aber Pilot werden!

Tochter: Und als Tierärztin?

Vater: Also Trigonometrie braucht man überall. (Tochter: aber wofür denn?!?) Hm - erklären kann ich Dir das auch nicht, ist schon zu lange her. Schau doch in Wikipedia, da findest Du sicher einen verständlichen Artikel!

Mutter (SAP-Programmiererin): Also ich war früher in Mathe ganz gut - soll ich Dir helfen? Sinus und Kosinus - oh - da sind ja lauter Formeln... hm - also - na ja - früher war ich in Mathe ganz gut...

WP ist ja auch ein Beitrage zur Überwindung von Chancenungleichheit. Gruss, --Markus 12:11, 28. Dez. 2007 (CET)

Hallo Markus. Der Artikel ist tatsächlich etwas Fliesstextarm. Der Text ist aber ein mathematischer Artikel und ich denke, dass man das hier tollerieren würde. Der Artikel stellt dar, was der Sinus und Cosinus ist, wo er angewendet wird und wie er berechnet wird. Kannst du mir sagen, welche Stellen unklar sind? Ich werde mir das mal anschauen. --Petar Marjanovic 12:14, 28. Dez. 2007 (CET)

Hallo Petar, das Problem für den Leser ist, dass er Formeln nicht versteht (es sei denn er ist Mathematiker, aber dann braucht er den Artikel nicht). Der Leser kennt die Grundrechenarten und will nun zusätzlich noch den Sinus verstehen... (zumindest aber wofür der gebraucht wird und wie er funktioniert). Gib den Artikeln einem Dutzend Erwachsenen und älteren Jugendlichen in der Fussgängerzone und lass dir erklären, was sie davon verstehen. Gruss, --Markus 14:02, 28. Dez. 2007 (CET)

Geht's Dir speziell um den Sinus oder allgemein um Anwendungen der Trigonometrie, evtl. auch so in der Art wie en:Uses of trigonometry bzw. fr:Applications de la trigonométrie? --NeoUrfahraner 19:02, 29. Dez. 2007 (CET)

Artikelname

Wieso heisst der Artikel nicht "Sinus und Cosinus"? "Kosinus tut im Auge weh, nicht? Gruss, Saippuakauppias ⇄ 12:34, 20. Jan. 2008 (CET)

Weil "Kosinus" die korrekte deutsche Schreibweise ist. Lateinisches "C", das wie "k" gesprochen wird, wird im Deutschen mit "K" wiedergegeben. Insbesondere gilt das für alle Wörter, die mit der Vorsilbe "Ko-" oder "Kon-" anfangen (Koordinate, Kooperation, ...) --Digamma 15:00, 20. Jan. 2008 (CET)

Seltsam, die Deutsche Sprache ging bis zur Falschschreibreform von 1996 eie klare Linie, indem sie die Herkunft der Wörter wo immer möglich zu erkennen gab: Philosophie, Rhythmus, etc. Hier aber offensichtlich nicht. (cf. Deine obigen Beispiele.) Schade. Gruss Saippuakauppias ⇄ 17:57, 21. Jan. 2008 (CET)

Die von mir genannte Regel hat nichts mit der Rechtschreibreform von 1996 zu tun, sondern gilt seit 1901. --Digamma 18:12, 21. Jan. 2008 (CET)

Ack zu erstem Statement von Saippuakauppias. Vielleicht könnte „Cosinus“ – die meiner Ansicht nach üblichere Schreibweise – wenigstens etwas weiter vorne im Artikel erwähnt werden. --Leyo 00:42, 3. Jun. 2008 (CEST)

Bitte, leiste etwas Cooperation oder Collaboration zu dieser Anfrage: Nenne wenigstens drei bekannte Lehrbücher für Analysis, in denen die C-Schreibweise verwendet wird.--LutzL 08:55, 3. Jun. 2008 (CEST)--PS: Natürlich deutschsprachige und in einer Ausgabe aus den letzten 40 Jahren.--LutzL 22:20, 3. Jun. 2008 (CEST)

Zumindest bei Google Books trägt Cosinus gegenüber Kosinus den Punktesieg davon. :-) --Leyo 15:59, 3. Jun. 2008 (CEST)

qui expriment les sinus et cosinus des angles multiples Welche Sprache ist das? --NeoUrfahraner 17:26, 3. Jun. 2008 (CEST)

Französisch Marcel Wiesweg 18:24, 3. Jun. 2008 (CEST)

Also die mathematischen Lehrbücher, die Google zur C-Variante anzeigt, stammen alle von vor 1910. Dass ein paar Ingenieure die mathematische und diesbezügliche fachsprachliche Entwicklung der letzten 100 Jahre verpasst haben, ist verzeihlich und nicht zu ändern.--LutzL 22:25, 3. Jun. 2008 (CEST)

(nach BK) Auch wenn alte Bücher und auch einige fremdsprachige dabei sind, so spricht doch nichts gegen eine Erwähnung der anderen ebenfalls geläufigen Schreibweise. Dass es sich dabei (anscheinend) um Lehrbücher aus verwandten Fachrichtungen sind, ist unerheblich. --Leyo 22:36, 3. Jun. 2008 (CEST)

Naja, ob Kosinus oder Cosinus ist noch keine Frage einer mathematischen oder fachsprachlichen Entwicklung, sondern nur eine Frage der Orthographie. Im Englischen und Französischen wird cosinus verwendet. Da im 19.Jh. die meiste mathematische Literatur auf französisch erschien, wurde diese Schreibweise auch im deutschen übernommen.
Die Idee die Geschichte der Notation mit aufzunehmen, finde ich gut, erfordert aber eine gründliche Recherche.--Skraemer 22:56, 3. Jun. 2008 (CEST)

Vorschlag: Als Einleitung: Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion (veraltet auch Cosinusfunktion) sind mathematische Funktionen ... --NeoUrfahraner 07:55, 4. Jun. 2008 (CEST)

Das „veraltet“ gefällt mir nicht so, da ja Cosinus heute oft verwendet wird, auch an (Schweizer) Unis. Als Beispiel hier das Departement für Mathematik an der ETH: cosinus gegenüber kosinus. Ob das in Deutschland anders ist, kann ich nicht beurteilen. Wenn man „veraltet“ aus deinem Vorschlag streicht oder durch ein anderes Wort (welches?) ersetzt, bin ich einverstanden. --Leyo 16:23, 13. Jun. 2008 (CEST)

Hat jemand eine Quelle für "veraltet" (also seit 1901 eigentlich nicht mehr gültig)? Ansosnten vielleicht ganz ohne Wertung: Die Sinusfunktion und die Kosinusfunktion (auch Cosinusfunktion) sind mathematische Funktionen...? --NeoUrfahraner 21:02, 13. Jun. 2008 (CEST)

Das ist ein guter Vorschlag, der IMHO so umgesetzt werden sollte. --Leyo 00:23, 14. Jun. 2008 (CEST)

Das ist wirklich eine ausgezeichnete Idee! Ich bitte das umzusetzen. Ich habe soeben folgende Quellen bemüht:

• Brockhaus Naturwissenschaft und Technik, 2003. Hier werden explizit beide Schreibweisen erwähnt: Cosinus und Kosinus
• Horst S. Holdgrün. Analysis. Band 1, 1998, S.120

„Wird der Kosinus mit C oder der Cosinus mit K geschrieben? Man kann da durchaus streiten; die 15te Auflage des Duden erlaubt nur Kosinus, auch wenn der geneigte Leser, beeinflußt von der zweiten, zeitgenössigen Ceïtiswelle [die erste war vor 100 Jahren] oder seiner klassischen Ausbildung, vielleicht den Cosinus vorzieht. Wenn wir später bei den Hyperbelfunktionen auf die lateinischen Bezeichnungen zurückgreifen, werden wir Cosinus hypetrbolicus schreiben.“

Das gleiche gilt übrigens auch für Cosinussatz, Cotangens, Cosekans und die betreffenden Hyperbel- und Areafunktionen, bitte auch dort anpassen.

In der Mathematik ist es in der Tat so, das wir Mathematiker die Schreibweisen der Fachtermini anhand nachvollziehbarer historischer Entwicklungen bzw. aktueller Gegebenheiten sinnvoll selbst festlegen können. Diese werden dann meist bereitwillig in die offziellen Regeln übernommen. Das gleiche tun ja die Linguisten mit den nichtmathematischen Wörtern einer Sprache auch.

Genau hier liegt nämlich das Problem jeder Rechtschreibreform: Man muss stets die Fachleute (und zwar diejenigen die sich da wirklich auskennen) befragen, bevor man etwas ändert. Derjenige der Kosinus vorgeschlagen hat, der hat nicht bedacht das es neben dem Cosinus ja auch noch den Cosinus hyperbolicus gibt, für den es keine eingedeutschte Form gibt. Und Kosinus neben Cosinus hyperbolicus oder gar Kosinus hyperbolicus geht nun wirklich nicht, das müssen auch die Rechtschreibreformer mit nur geringen Mathematikkentnissen einsehen.

Satz. Die Schreibweise Cosinus ist korrekt.
Beweis. Man verwende die lateinische Schreibweise analog zu Cosinus hyperbolicus.

--Skraemer 10:44, 15. Jun. 2008 (CEST)

So wie hier in Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus, wo noch der Hyperbelkosinus als Alternative angeboten wird?--LutzL 16:54, 15. Jun. 2008 (CEST)

Kosinus Hyperbolicus und Hyperbelkosinus sind sehr eigenwillige Bezeichungen, die sich in der Literatur nicht allgemein durchgesetzt haben.--Skraemer 18:27, 15. Jun. 2008 (CEST)

Herr Holdgrün äußert auch nur seine Meinung, wie auch immer geprägt durch seine "klassische Ausbildung". Man könnte ja auch fordern, Spanisch zur Amtssprache zu machen, da es ja am nächsten am klassischen Original liegt. Außerdem ist sein Buch kein Standardlehrbuch, es ist bei Amazon nur gebraucht in 3 Exemplaren zu haben.--LutzL 18:35, 15. Jun. 2008 (CEST)

Die beiden Standardlehrbücher H. Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 1, 11.Aufl. 1994, S.296 und W. Walter, Analysis 1, 3.Aufl. 1992, S.158, sprechen von Cosinus Hyperbolicus. Jedenfalls wird dies nicht zu einem Rechtschreibfehler führen, da man sich immer auf die lateinische Schreibweise berufen kann. Ich bin auch nicht sicher, inwieweit die Schreibregel "Kosinus" tatsächlich verbindlich ist. Schließlich sind mathematische Aussagen im Gegensatz zu vielem anderen für immer feststehende, absolute Wahrheiten. Cosinus ist also ein Eigenname, ebenso wie Weierstraß, dessen ß unabänderlich ist.--Skraemer 19:14, 15. Jun. 2008 (CEST)

Foul;-) Heuser erklärt das Symbol mit der lateinischen Schreibweise, verwendet aber im folgenden hyperbolischer Kosinus. Walter verwendet im Fließtext lediglich Hyperbelfunktionen und die lateinische Schreibweise nur zur Einführung der Funktionssymbole. Dafür verwendet er tatsächlich durchgehend Cosinus und Cotangens. Meist spricht er aber nur von den Funktionen sin, cos, cosh. Also anderthalb von drei Belegen.

Jänisch, „Analysis für Ingenieure und Naturwissenschaftler“

ist ein weiterer halber Beleg (der Funktionsname taucht im Fließtext nach der Definition nicht auf),

Remmert: „Funktionentheorie 1“

ein überzeugender dritter. Also sollte in der Einleitung was von „oft auch Cosinus“ stehen.--LutzL 09:51, 19. Jun. 2008 (CEST)

Der letzte Satz ist ein seltsames Statement. Gerade im englischen/französischen Ausland, wo man ja den cosinus klein und mit c schreibt, hat man keine Gewissensbisse mit Gauss (Gohß) und Weierstrass. Dafür rechnen die Franzosen auch mit dem Ordinateur und in Octets. Es gibt eine lateinische Tradition und Orthographie, die man beachten sollte, wenn man Latein schreibt und eine französische Tradition und Orthographie etc. und auch eine deutsche. Letztere sagt seit ca. 100 Jahren das, was ganz oben geschrieben wurde. Als Eigenbegriffe Ko- bzw. Kon-. Ich rede da nicht von der letzten Orthographiekuriosität, die uns den Karakter beschert hat.--LutzL 21:43, 15. Jun. 2008 (CEST)

PS. Bekanntlich ist das nicht verbindlich außer für Behörden und den Schulbetrieb. Da dieser Artikel auch an Schüler gerichtet ist, sollte man die für das Amtsdeutsch korrekte Version entsprechend im Vordergrund lassen und den Artikel nicht übermäßig mit orthographiekritischen Bemerkungen belasten. Vielleicht im historischen Abschnitt.--LutzL 21:49, 15. Jun. 2008 (CEST)

Ich habe jetzt das "(auch Cosinusfunktion)" ergänzt. --NeoUrfahraner 21:00, 17. Jun. 2008 (CEST)

OK, aber wir sollten noch den bereits erwähnten historischen Abschnitt über die Geschichte der Bezeichnungen einfügen. Dort müssten dann auch die Rechtschreibreformen bzgl. des C belegt werden und auf evtl. Besonderheiten in der Schweiz und Österreich eingehen. Die deutsche Literatur ist hier noch sehr dünn besetzt. Für die lateinische Schreibweise ist die Quelle

• Florian Cajori. A history of mathematical notations. Vol.2, Notations Mainly in Higher Mathematics, 1929, Nachdruck: New York: Dover 2000, S.150−179

mager, aber immerhin etwas.

Zusammenfassung

• Es besteht offenbar in Deutschland, Schweiz und Österreich (?) der Wunsch/Bedarf die Funktion Cosinus und verwandte Termini mit C zu schreiben. Viele Nachschlagewerke weisen explizit beide Schreibweisen aus:
  • Brockhaus Naturwissenschaft und Technik 2003, Bd.1, S.401, Bd.2, 1123, Bd.3, 2187f. (jedoch nur Integralcosinus)
  • Brockhaus der Naturwissenschaften und Technik, 7. Aufl., 1972, S.129,423,812 (Haupteintrag bei Cosinus)
  • Duden. Das Große Fremdwörterbuch 1994 (neben Kosinus)
  • Meyers Enzyklopädisches Lexikon 1980 (Bd.6, S.47; Bd.23, S.702 neben Kosinus). Die Ergänzungsbände 30−32 Das große Wörterbuch der deutschen Sprache enthalten allerdings nur Kosinus.
• Die nach 1901 herausgegebene mathematische Literatur, die nur die Schreibweise Cosinus verwendet, ist sehr reichhaltig:
  • Holdgrün Analysis 1998
  • Walter Analysis 1992
  • Ebbinghaus Zahlen 1992
  • Koecher Lineare Algebra und analytische Geometrie 1992 und Klassische elementare Analysis 1987
  • Remmert Funktionentheorie 1992
  • Maak Differential und Integralrechnung 1969
  • Burkhardt Algebraische Analysis 1908

Es gibt jedoch andererseits auch viele Bände, die die Schreibweise Kosinus verwenden. Dies trifft insbesondere in Schulbücher zu. Häufig wird jedoch nur die Abkürzung cos verwendet. Das Nachschlagewerk Duden. Deutsches Universalwörterbuch A−Z (1989) macht es ganz geschickt: es nimmt die Funktionsbezeichnungen $\sin$ und $\cos$ (mit Verweis auf Kosinus) auf, jedoch nicht Cosinus. --Skraemer 18:25, 20. Jun. 2008 (CEST)

Zu Österreich: mir ist keine spezielle österreichische Regelung bekannt, also die Orthographische Konferenz von 1901 wird akzeptiert; Kosinus wird zumindest in meinem Schulbuch mit "k" geschrieben. Nach meiner Erfahrung ist es allerdings so, dass Regeln in Österreich generell pragmatischer gesehen werden als in Deutschland und kaum wer darauf besteht, dass es nur eine einzige richtige Schreibweise geben darf. --NeoUrfahraner 10:15, 21. Jun. 2008 (CEST)

Im Österreichischen Wörterbuch (39. Auflage von 2001, ISBN 3-209-03116-9) nach den neuen Regeln von 1996 ist sowohl der Eintrag Kosinus als auch Cosinus enthalten. (Kosinus verweist auf den Eintrag Cosinus).--wdwd 11:15, 21. Jun. 2008 (CEST)

OK, das war meine Vermutung. Schulbücher sind nicht als Maßstab anzusehen, da hier ein gewisser Dogmatismus herrscht.--Skraemer 11:35, 21. Jun. 2008 (CEST)

Orthographische Konferenz von 1901

Die Sache erscheint nun schwieriger als anfangs gedacht. Im Artikel Orthographische Konferenz von 1901 ist ausgeführt:

• Fremdwörter sollten konsequenter in das deutsche Schriftsystem integriert werden. Dies führte jedoch nicht zu einer weitgehenden Ersetzung von c durch k oder z, sondern vielmehr konnten tausende von Fremdwörtern auf zwei Arten geschrieben werden.

Evtl. erklärt dies, das bis heute die Nachschlagewerke beide Schreibweisen ausweisen. Was besagt denn die Reform von 1996 bezüglich C und K? Der Artikel Reform der deutschen Rechtschreibung von 1996: Änderungen der Rechtschreibung sagt darüber nichts aus. --Skraemer 12:37, 21. Jun. 2008 (CEST)

Etymologie

Die Dudenredaktion erachtet es nicht für notwendig in ihrem Herkunftswörterbuch (3. Aufl. 2001) die Worte Cosinus bzw. Kosinus aufzunehmen. Ebenso Kluge (24. Auf. 2002) und Pfeifer (2. Aufl. 1993), der Kluge hat aber wenigstens Sinus aufgenommen. Es ist daher zweifelhaft, ob die Kultusministerkonferenz bezüglich der aktuellen Rechtschreibreform überhaupt eine Entscheidung bezüglich Cosinus getroffen hat. Es müsste überprüft werden inwieweit auf der Orthographischen Konferenz von 1901 eine Entscheidung bezüglich Cosinus getroffen wurde. Inzwischen erhärtet sich bei mir der Verdacht, daß hier eine Willkür im Sinne eines modernen Zeitgeistes gewisser Schulbuchverlage stattgefunden hat. --Skraemer 18:50, 28. Jun. 2008 (CEST)

Stetigkeit

"Da die Sinusfunktion [...] monoton, surjektiv und invertierbar [ist], folgt, dass sie in diesem Quadranten stetig [ist]."

Anstelle so eines Pseudo-Arguments (wie beweist man den die Monotonie? mit Hilfe der Ableitung? und Surjektivität (aber das ist wohl zu subtil)? und wieso folgt aus diesen Eigenschaften die Stetigkeit?) könnte man entweder sagen "Die Sinusfunktion ist stetig." oder sich auf eine Definition beziehen und dann aber auch gleich sagen "Die Sinusfunktion ist als Verkettung stetig differenzierbarer Funktionen stetig differenzierbar" (Definition über exp) oder "Die Sinusfunktion ist stetig differenzierbar, da ihre definierende Reihe absolut konvergiert."

Die Frage ist nur, auf welche Definition man sich bezieht. Was hat denn die Definition über exp mit der geometrischen Definition zu tun? Siehe Leopold Vietoris Vom Grenzwert $\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$. Elemente Math. 12 (1957) --NeoUrfahraner 03:03, 12. Feb. 2008 (CET)

Zu Änderung von Qubric, 30. April 2008

Wenn, dann gehört die geometrische anschauliche Herleitung der Ableitung zu den Wikibooks: Wikibooks: Beweisarchiv: Analysis: Differentialrechnung: Differentiation der Sinusfunktion . Dort ist bereits eine geometrische anschauliche Herleitung, die allerdings ebenfalls den nichttrivialen Begriff der Bogenlänge voraussetzt. Im Abschnitt "Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge" ist der Sinus anders definiert; daher ist die geometrische Argumentation nicht angemessen. --NeoUrfahraner 09:46, 30. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe die Herleitung nach oben in den Bereich "Differenzierung" geschoben Qubric 22:34, 30. Apr. 2008 (CEST)

Ich habe es wieder rückgängig gemacht, siehe Diskussion:Sinus_und_Kosinus#Abstimmung:_Differentiation_von_Sinus_und_Kosinus_in_eigenen_Artikel_auslagern.Wenn Du der Meinung bist, dass die Herleitung (Welche Version? Eine mathematisch korrekte oder eine geometrisch anschauliche? Darf man die Bogenlänge voraussetzen?) doch in den Artikel gehört, dann solltest Du eine neue Abstimmung machen.--NeoUrfahraner 13:25, 1. Mai 2008 (CEST)

Wikipedia ist eine allgemeine Enzyklopädie, warum sollte sie nicht eine intuitive Herleitung beeinhalten? Ein anylytischer Beweis ist schließlich auch dabei http://de.wikipedia.org/wiki/Sinus#Definition_.C3.BCber_analytische_Berechnung_der_Bogenl.C3.A4nge

Das ist ja auch nicht prinzipiell verboten. Nur haben wir uns eben vor einiger Zeit darauf geeinigt, diese Herleitung in die Wikibooks zu verschieben. --NeoUrfahraner 18:21, 1. Mai 2008 (CEST)

Ich habe die analytische Herleitung ins Wikibooks verschoben

Da bist Du schon seit 2004 dabei und hast immer noch nicht WP:BNS gelesen? Dann wird's aber höchste Zeit. Ansonsten: Ich halte nichts davon, den Abschnitt "Definition über analytische Berechnung der Bogenlänge" zu zerreißen, kann mir aber durchaus vorstellen, den ganzen Abschnitt in die Wikibooks zu verschieben. Hier im Artikel sollte dann nur kurz stehen, dass man Sinus und Cosinus bzw. deren Umkehrfunktion analytisch als Integeral definieren kann und auf passende Literatur (z.B. Endl/Luh) verwiesen werden. Das ist vermutlich auch im Sinne Benutzer:Gunthers. Ist es das, was Du Dir vorstellst? --NeoUrfahraner 08:20, 2. Mai 2008 (CEST)

Wikibooks ist ein praktisches Instrumrent um eine Überladung der Artikel mit zu vielen/großen Beweisen zu verhindern. Ein kurzer Beweis kann m.M. aber nicht schaden - siehe Satz_des_Pythagoras#Beweise. Eine explizite analytische Differenzierung ist dafür entbehrlich, ein Hinweis sollte ausreichen (obligatorischer Rechenweg). Qubric 09:42, 2. Mai 2008 (CEST)

Was soll das jetzt konkret heißen? --NeoUrfahraner 10:01, 2. Mai 2008 (CEST)

Aussagen über Physik und Akustik hier

"Wellen wie Schallwellen, Wasserwellen, elektromagnetische Wellen lassen sich aus Sinus- und Kosinuswellen zusammengesetzt beschreiben, so dass die Funktionen auch in der Physik allgegenwärtig sind.

Das Sinnesorgan Ohr zerlegt den eintreffenden Schall in seine Sinuskomponenten und führt damit eine Fourieranalyse durch: je nachdem, wie viel einer solchen Komponente in dem Gesamtsignal – dem eintreffenden Schall – vorhanden ist, wird ein Ton entsprechender Lautstärke und Frequenz wahrgenommen."

Ungenau, oder sogar falsch, wenn auch oft so nachgebetet.

Orthonormalsysteme gibt es viele, sogar unendlich viele. Fast alle Wellenformen lassen sich durch diese zerlegen und zusammensetzen. Z. B. durch rechteckförmige, siehe:

http://en.wikipedia.org/wiki/Walsh_transform http://en.wikipedia.org/wiki/Walsh_function

Leider finde ich das in der deutschen Ausgabe nicht. Das ist wohl kein Zufall.

Die "Allgegenwart" in der Physik ist ganz anders zu begründen: Die e-Funktion ist die Eigenfunktion einer bestimmten Klasse von Differentialgleichungen, nämlich der gewöhnlich-linearen. Unter der Voraussetzung, dass die zu behandelnden Probleme linear sind (was streng niemals der Fall ist), erhält man als Lösung also sinusoide Eigenschwingungen, siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Identit%C3%A4t

Die Beschränkung der Physik in der Schule auf solche Probleme öder Näherungen von Problemen schafft die Illusion der besagten "Allgegenwart". Für echte Probleme in den Anwendungen gilt das nicht. Weil aber die real auftretenden Probleme analytisch unlösbar sind, so hat man sich in der Vergangenheit auf eine ideale Welt zurückgezogen. Streng genommen ist die "Allgegenwart" also eine Illusion, schwach nichtlineare Systeme verhalten sich aber bei oberflächlicher Betrachtung (z. B. am Oszilloskop) so, als seien wirklich streng (gedämpfte) Sinusoide vorhanden, ein Blick auf das Spektrum zeigt dann, dass dies nicht aufrechtzuerhalten ist. Gedämpfte Sinusoide sind aber auch noch nicht einmal identisch mit der Sinusfunktion ...

Genauso ist es beim Ohr. Natürlich macht das Ohr AUCH eine Frequenzerlegung. Eine Apparatur aus Bandpassfiltern kann dazu ein MODELL sein. Dieses Modell hat, weil Linearität vorausgesetzt wird, auf gar nicht wundersame Weise wieder die Exponentialfunktion zur Eigenfunktion-Schaar. Mit diesem Modell läßt sich manches erklären. Aber wie jedes Modell hat auch dieses "blinde Flecken", also Vorhersagen, die sich nicht bewahrheiten, oder empirische Befunde, die das Modell nicht abdecken kann. Differenztöne im Ohr sind nur ein Beispiel. Die ganze Detektion des zeitlichen Verhaltens in den "Kanälen" des Bandpassfilters ein anderes.

Man kann also niemals behaupten, dass das Ohr irgendetwas in "Sinuswellen" zerlegt, denn dazu müsste man exakt wissen, was das Ohr tut. Man weiß es aber nicht oder nur ungenau. Diese Behauptung läßt sich nur für ein einfaches Modell aufrechterhalten und ist dann keine Trouvaille, sondern folgt logisch aus der Konstruktion des Modells.

Aber das sagt einem in der Schule niemand, die meisten Lehrer realisieren das ja selbst nicht. Durch solches Gerade wird Naturwissenschaft auf empirischer Basis wieder zur Scholastik, also Nachbeten. Andere sprechen da auch von "Folklore". Die Scholastiker haben Theorien ausgedacht und einfach behauptet, dass sich die Sachen genau so verhalten. Wie man weiß, brach diese gebäude unter der Last der empirischen Befunde zusammen.

Das sind keine Spitzfindigkeiten, sondern Betrachtungen von sozialen Effekten oder Traditionslinien in der Lehre, die sogar neue Erkenntnisse behindern oder verhindern. Durch die Tradition wird z. B. oft die Fourier-Transformation auch dann angewendet, wenn andere Transformationen weit besser geeignet wären, z. B . die http://de.wikipedia.org/wiki/Wavelet-Transformation.

Einerseits , weil man es nicht besser weiss, andererseits, weil dieses neuere Konzept umfassender und damit auch schwieriger zu interpretieren ist. Gefährlich wird es aber dann, wenn durch solche unzulänglichen Methoden Befunde hervorgezaubert werden, die man dem Untersuchungsgegenstand zuschiebt und nicht dem Mangel der Methode, wenn also aus einem Fehler eine Aussage über die Welt hergeleitet wird.

--Herbert Eppler 15:13, 17. Sep. 2009 (CEST)

Brauchbarkeit

Hallo, kann sein, dass ich mich hier jetzt blamiere, aber kann mir mal jemand in nichtmathematischen Worten erklären, was die Welt und das Leben davon hat, dass es Sinus und Kosinus überhaupt gibt? Sobald ich Informationen hierüber suche, komme ich immer auf irgendwelche mathematischen Seiten und Erklärungen. Bitte als Herausforderung betrachten und schon mal vorneweg vielen Dank für die Antworten. (nicht signierter Beitrag von 95.116.145.12 (Diskussion | Beiträge) 23:13, 6. Okt. 2009 (CEST))

> sin/cos sind Sonderfälle 'periodischer Funktionen'. Period. Funktionen sind im allgm. nur bes. aufwendig zu handhaben. sin/cos haben dementgegen den Vorteil, daß sie mathematisch/rechnerisch viele Vorteile bieten. Läßt sich also irgendeine Periodische Fkt. als sin/cos-Funktion darstellen, kann man sie sehr viel einfacher untersuchen. Du brauchst sin/cos also dort, wo immer Du auf periodische Funktionen triffst (wiederholende Vorgänge, Funk-Wellen, Wechselstrom,....). Ohne sin/cos also kein Welchselstrom (im industriellen Maßstab), keine Handy (für breite Volksmassen), ..... Zuletzt sollte man noch die Bedeutung in der Geometrie erwähnen: Ohne sin/cos keine komplizierte Architektur etc. (nicht signierter Beitrag von 95.115.171.103 (Diskussion | Beiträge) 05:32, 12. Mär. 2010 (CET))

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Hallo,

ist zwar ne Weile her, dein Kommentar, aber dennoch, noch 'ne Antwort:

Die Sinusfunktion macht aus einer Steigung (oder aus eine Höhe in bestimmtem Abstand) einen Winkel, das wars schon.

Wenn man wissen will, in welchem Winkel eine Dachseite steht, kann man diesen mit der Sinusfunktion und der Dachhöhe berechen.

Dachdecker u.a. benötigen die Funktion tatsächlich in ihrer Ausbildung, aber wahrscheinlich nicht auf der Baustelle.

Grüße, MvB.

Unklarer Absatz:

Ich habe zunächst folgenden Absatz aus dem Abschnitt Definition am Einheitskreis auskommentiert. Er hat in dem Abschnitt nichts zu suchen und bezieht sich plötzlich auf Winkel im Bogenmaß, ohne dies zu erwähnen. Mir ist ohnehin unklar, was der Absatz eigentlich hier aussagen will:

Aus der Zeichnung ergibt sich offensichtlich die Abschätzung $\sin \alpha <\alpha$ für $0<\alpha <\pi /2$.

Die andere Abschätzung $\alpha <\tan \alpha$ ist nicht offensichtlich und muss bewiesen werden: offenbar ist die Fläche A :des Kreisbogensegmentes kleiner als das große Dreieck:

$A=\pi \cdot {\frac {\alpha }{2\pi }}={\frac {\alpha }{2}}<{\frac {\tan \alpha }{2}}$.

Zusammen ergibt sich $\sin \alpha <\alpha <\tan \alpha$, also

$\cos \alpha <{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}<1$.

Hieraus ergibt sich nach dem Sandwichlemma der wichtige Grenzwert $\lim _{\alpha \to 0}{\frac {\sin \alpha }{\alpha }}=1$.

--CWitte ℵ₁ 14:17, 17. Dez. 2009 (CET)

Änderungen von 10. Mär. 2010 95.115.178.34 (KOMPLEXE ARGUMENTE)

Ich habe mir erlaubt, die Änderungen von 10. Mär. 2010 95.115.178.34 an eine andere Stelle zu verschieben. Außerdem war meines Erachtens ein Vorzeichenfehler dirnnen; korrekt müsste es nach meiner Rechnung

$\cos(z)=\cos(x+\mathrm {i} y)=\cos(x)\cosh(y)-\mathrm {i} \sin(x)\sinh(y)$

lauten (bitte nachrechnen oder an Hand einer Quelle prüfen). --NeoUrfahraner 14:21, 10. Mär. 2010 (CET)

${\begin{aligned}\cos(x+iy)&={\tfrac {1}{2}}\left(e^{-y}(\cos x+i\sin x)+e^{y}(\cos x-i\sin x)\right)\\[2pt]&={\tfrac {1}{2}}\cos x\,(e^{y}+e^{-y})+{\frac {i}{2}}\sin x\,(e^{-y}-e^{y})\\[4pt]&=\cos x\cosh y-i\sin x\sinh y\end{aligned}}$

stimmt also so. Sollte die Definition für komplexe Argumente nicht auch nach unten verlagert werden? Das erscheint jetzt etwas auseinander gerissen. Sollte man $\cos z=w$ nach z lösbar als $q^{2}-2qw+1=0$ nach q und dann $e^{iz}=q\neq 0$ nach z auch im Artikel als Erklärung der Surjektivität erwähnen?--LutzL 15:23, 10. Mär. 2010 (CET)

Ich habe in Deiner Herleitung noch das vergessene i ergänzt. Mit dem passenden Platz der alternativen Definition für komplexe Argumente ist es ein wenig schwierig - ist das jetzt eher der Zusammenhang mit der Exponentialfunktion oder doch eher nur "irgendeine" Formel? So wie es jetzt ist, passt es wohl tatsächlich besser in den Abschnitt "komplexes Argument". Zur Surjektivität: Wie ich es verstehe, war die Intention von 95.115.178.34 primär, dass die Einschränkung auf [-1,1] wegfällt; der exakte Beweis ist da IMHO nicht wirklich nötig. --NeoUrfahraner 16:53, 10. Mär. 2010 (CET)

> Ja, war ne gute Idee, dafür ein neues Kapital zu beginnen. Danke an der Stelle! Ich dachte, ich hätte in der letzten Version auch noch den Vorzeichenfehler beseitigt, aber wie auch immer... Du könntest höchstens noch die Ausdrücke in dieser 'Mathematischen Schrift' darstellen; da war mir nicht ganz klar, wie das geht. Hau rein ;)

>> Hab mir erlaubt noch ein Bsp. zu ergänzen, damit nicht zu theoretisch bleibt und ggf. auch Nicht-Mathematiker sich ein Bild machen können.

Braucht der Nicht-Mathematiker das Beispiel wirklich? Wenn ja, dann wäere wohl das einfachstmögliche Beispiel $\cos(i)=\cosh(1)={\frac {e^{1}+e^{-1}}{2}}\approx 1.54$ --NeoUrfahraner 14:43, 11. Mär. 2010 (CET)

> Mhhhm, ja auch kein schlechtes Bsp. Mir ging es darum nochmal klarzustellen, daß sin(x) = a,keine Lösungen hat, wenn a >1; wohl aber sin(z) = a ... Übhaupt, es muß m.E. nicht notwendigerweise nur ein einziges Bsp. sein. Beispiele sollte man schon nennen. Ergänze doch Dein Bsp. noch zusätzlich. Mit dem reinen trockenen Theoriestoff kann im allgm. nur der Facharbeiter etwas anfangen... (nicht signierter Beitrag von 95.115.176.111 (Diskussion | Beiträge) 23:16, 11. Mär. 2010 (CET))

Ich habe jetzt das Beispiel adaptiert. Zusätzliche Beispiele bringen da nicht viel Neues. Eher wäre es sinnvoll, den Vorschlag von LutzL aufzugreifen und zu zeigen, dass es $\sin(z)=a$ für jedes komplexe $a$ eine komplexe Lösung $z$ hat. Da bin ich mir aber nicht sicher, ob das für den Normalverbraucher interessant ist. --NeoUrfahraner 10:24, 12. Mär. 2010 (CET)

Satz zum Ohr

Noch VOR diesem Abschnitt, kurz nach der Überschrift des Artikels und der Definition, stand folgender Satz, den ich aufgrund seiner Unzulänglichkeit gelöscht habe:

"Das Sinnesorgan Ohr zerlegt den eintreffenden Schall in seine Sinuskomponenten und führt damit eine Fourieranalyse durch: je nachdem, wie viel einer solchen Komponente in dem Gesamtsignal – dem eintreffenden Schall – vorhanden ist, wird ein Ton entsprechender Lautstärke und Frequenz wahrgenommen."

Jeder, der sich mit dieser Materie auskennt, wird mir, glaube ich, zustimmen, dass diese Aussage ein unhaltbares Ausmaß an Unpräzision und Unvollständigkeit aufweist.

(Darüberhinaus war sie an dieser Stelle eines Artikels über die Sinus- und Kosinusfunktionen völlig falsch platziert.) (nicht signierter Beitrag von 94.219.148.132 (Diskussion | Beiträge) 21:38, 31. Mär. 2010 (CEST))

Ist das eine Sinuskurve?

Oder ist die Ähnlichkeit zufällig? Falls jemand auf der ISS mitliest, kann er das ja mal in der Schwerelosigkeit machen. Lipedia 22:55, 7. Mai 2010 (CEST)

Es könnte eine Sinuskurve sein, aber ohne genaue Kenntnis der Bewegungsgleichungen kann man da nicht viel sagen. --NeoUrfahraner 12:38, 10. Mai 2010 (CEST)

Mir fällt kein durchführbares Experiment ein, mit dem man hier eine Sinuskurve produzieren könnte. Auf dem folgenden Bild kann man mit etwas gutem Willen eine entdecken. --Suricata 19:45, 18. Mai 2010 (CEST)

• 

Das ist eher eine sogen. Schraubenlinie, die aber tatsächlich sin und cos in ihrer 3D Funktionsgleichung enthält...

Im Original ist es eine Schraubenlinie, die zweidimensionale Abbildung ist eine Sinuskurve. --Suricata 09:56, 2. Jun. 2010 (CEST)

Graphen der komplexen Sinus/Cosinusfunktion

Die gezeigten Graphen fuer die komplexwertigen Sinus- und Cosinusfunktionen sind zwar schoen bunt, aber leider ist nicht direkt ersichtlich, was die Farben zu bedeuten haben. Ich schlage vor, das noch zu ergaenzen, vielleicht so aehnlich: Die Farbsaettigung zeigt den Betrag, sie ist maximal fuer |f(z)|->0 und minimal fuer |f(z)|->inf. Die Farbe zeigt das Argument des Funktionswertes. Rot steht fuer positiv reelle Werte, hellblau fuer negativ reelle. Der Uebergang zwischen gruen und gelb ist ist rein imaginaer positiv, der zwischen rosa und blau imaginaer negativ. Ggf. koennte man auch die den Farben entsprechende Argumente direkt angeben, etwa rot entspricht phi=1, gruen entspricht phi=1/2 + sqrt(3)/2 i etc. --95.117.165.37 11:27, 16. Jun. 2010 (CEST)

47. Bogenmaß im Artikel für eine Beispielsrechnung einsetzen

Bücher hat der Schüler u. Nachschlager genug; hier fehlt ein Beispiel, bei dem mit Bogenmaß gerechnet worden ist. Wer kompetent ist, füge eines oder zwei ein! Eco-Ing. 10:27, 8. Aug. 2010 (CEST)

Methode zur Berechnung sin(x)

Hallo, ich frage mich ob es nützlich wäre hier noch folgende Methode zur Berechnung des Sinus einzufügen. Ich persönlich traue mich nicht an eine so komplexe Seite heran um da irgendetwas einzufügen wovon ich nicht mal wüsste in welchen Bereich ich es zu packen hätte.

Die Formel wäre dies:

$sin\left({\frac {\alpha }{2}}\right)={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\sqrt {1-sin^{2}\alpha }}\right)}}$

(nicht signierter Beitrag von 84.144.92.244 (Diskussion | Beiträge) 22:20, 6. Jul. 2005 (CEST))

Die Formel findet sich bereits am Ende des Abschnitts "Berechnung der Ableitung aus den Additionstheoremen". --NeoUrfahraner (nicht mit einer Zeitangabe versehener Beitrag von NeoUrfahraner (Diskussion | Beiträge) 22:34, 6. Jul. 2005 (CEST))

Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis

Hi, ich gebe Mathenachhilfe und habe dafür ne kleine Animation zum besseren Verständniss mit Z.u.L. (ich glaub freeware) erstellt. Von mir aus könnte man einen Link in Wikipedia / direkt einfügen (falls das geht ... es ist eigentlich ein Java Applett). Da ich jedoch des öfteren Copyright u.ä. verletze, weil ich mich da nicht so auskenne, mach ichs nicht. Hier der link http://www.blackpanter.net/php/school/zirkel.html (nicht signierter Beitrag von 217.94.231.54 (Diskussion | Beiträge) 09:55, 23. Mär. 2007 (CET))

sin²(x) und cos²(x)

Eine genaue Erklärung was genau das sein soll wäre noch vorteilhaft. (nicht signierter Beitrag von 87.187.7.39 (Diskussion | Beiträge) 09:55, 18. Dez. 2008 (CET))

Literaturangaben

1J. Ruska, Zur Geschichte des "Sinus". In: Zeitschrift für Mathematik und Physik, Leipzig: Teubner, 1895 : Leider kann ich den Artikel im angegebenen Jahrgang nicht finden; stimmt das Zitat? --888344 12:13, 21. Jun. 2011 (CEST)

Herkunft

Ich habe in dem Absatz

Die lateinische Bezeichnung „Sinus“ 'Bogen, Krümmung, Busen' für diesen mathematischen Begriff wählte Gerhard von Cremona 1175 als Übersetzung der arabischen Bezeichnung „gaib oder jiba“ (جيب) „Tasche, Kleiderfalte“, selbst entlehnt von Sanskrit „jiva“ ‘Bogensehne‘ indischer Mathematiker (vielleicht nach dem Verlauf einer Sehne, die schraubenförmig um einen Stab gewickelt wird).

den Zusatz

(vielleicht nach dem Verlauf einer Sehne, die schraubenförmig um einen Stab gewickelt wird)

entfernt. Ich denke, dass das offensichtlich Unsinn (und Theoriefindung ist). Meiner Meinung nach (ich habe aber keinen Beleg), kommt die Bezeichnung "Sehne" von der Deutung am Kreis. Eine Sehne mit Mittelpunktswinkel $2\alpha$ hat die Länge $2r\sin \alpha$ (wobei $r$ der Radius des Kreises ist). -- Digamma 13:16, 21. Jun. 2011 (CEST)

Mathematische Näherung der Sinus- und Kosinuswerte

Guten Tag,

ich möchte anmerken, dass sich sowohl die Kosinuswerte als auch die Sinuswerte, rein mathematisch nähern lassen. (Bei einer indirekten Inkremention um Pi/180stel, ergeben sich Sinuswerte, mit einer maximaler Abweichung von den üblichen Werten im 1000stel bis 100000stel Bereich)

Theoriefindung? --NeoUrfahraner 07:21, 14. Mai 2010 (CEST)

Ich vermute "Theoriefindung?" soll bedeuten: Auf Grund welcher Theorie sich diese Formel fand.

Nein, Theoriefindung soll das bedeuten, was dort steht, worauf es verlinkt:

Die Wikipedia bildet bekanntes Wissen ab. Sie dient der Theoriedarstellung, nicht der Theoriefindung ... Überprüfbar ist, was mithilfe von verlässlichen Informationsquellen belegt werden kann. Ob Aussagen wahr sind oder nicht, ist, insbesondere in umstrittenen Fällen, nicht in der Wikipedia zu klären.

Siehe auch WP:Q. --NeoUrfahraner 15:33, 14. Mai 2010 (CEST)

Ok. bedanke mich für die Information, hat mich gefreut, dass sich überhaupt jemand gemeldet hat.

Die oben aufgeführte Berechnung der Sinuswerte ist meine eigene Formel, das heißt: kein "bekanntes Wissen" (^WP:Q).

Wollte ich in einem Wikipedia Artikel meine Formel darlegen, müsste ich vorher dafür sorgen, dass sie zu "bekanntem Wissen" gehört, hmm..grübel.

Naja, werde mich dahingehend bemühen,

thxs_bcn.

MvonBrüsewitz (nicht signierter Beitrag von 92.192.23.117 (Diskussion) 16:04, 14. Mai 2010 (CEST))

Oder in der Literatur suchen, ob schon jemand mal darauf gekommen ist und das als bemerkenswertes Kuriosum oder als Knobelaufgabe notiert hat. Es ist zweifelhaft, dass diese Konstruktion effizienter ist als die bekannten Näherungsverfahren.--LutzL 18:20, 14. Mai 2010 (CEST)

Ok, meine Herren, habe mich nochmal bemüht, allerdings nur mathematisch:

Zur Berechnung von Sinuswerten ist die Formel doch recht griffig geworden. Ich weiß, man soll hier nicht "behaupten", sondern "Bewiesenes" darstellen, deswegen bewege ich mich bloß im "Diskussionsraum". Die bewiesenen Grundlagen, auf die sich die Formel stützt, sind gängige, gültige mathematische Praxis, nicht mal höhere Mathematik, ohne Faktorisierung, keine Zerlegung (der Sinuskurve) in Abschnitte, usw.

et voila:

Mathematische Näherung des ersten Sinuswertes:

  r =Pi/180) (entspricht einem Grad, läßt sich für genauere Ergebnisse beliebieg verkleinern)

${\begin{aligned}x_{1}&=1-{\frac {r^{2}}{2}}\\y_{1}&={\sqrt {1-x_{1}{}^{2}}}\end{aligned}}$

Formel zur (Reihen-)Berechnung der Cosinus- und Sinuswerte:

${\begin{aligned}x_{n+1}&=x_{1}*x_{n}-y_{1}*y_{n}=(1-{\frac {r^{2}}{2}})*x_{n}-{\sqrt {r^{2}-{\frac {r^{4}}{4}}}}*{\sqrt {1-x_{n}{}^{2}}}\\y_{n+1}&={\sqrt {1-x_{n+1}{}^{2}}}\end{aligned}}$

n(max) = alpha (zu berechnender Winkel, er gibt an, wie oft die Formel sich in einer Reihenberechnung selber "speist").

genäherte Ergebnisse:

r = 0,0174532925

Grad	M_sinus	Excel_Sinus	Abweichung	Grad-Abweichung
1	0,0174524064	0,0174526279	0,0000002215	0,0000126928
30	0,5000057555	0,5000000000	0,0000057555	0,0003807848
45	0,7071138302	0,7071067812	0,0000070491	0,0005711772
60	0,8660320497	0,8660254038	0,0000066459	0,0007615696
90	0,9999999998	1,0000000000	-0,0000000002	-0,0011423542

Bitte belasse es dabei. Die Diskussionsseite dient der Verbesserung des Artikels, nicht der allgemeinen Diskussion des Themas. Dazu gibt es Foren wie Matheplanet, Matheboard, wer-weiss-was oder selbst xkcd. Wenn es keine nachprüfbaren Quellen gibt, dann kann diese Überlegung auch nicht den Artikel verbessern.--LutzL 14:14, 18. Mai 2010 (CEST)

Na gut ..,

:-(     ...murmelgrummel,

bedanke mich für die Aufmerksamkeit,

(.. aber die Weltformel knöpf ich mir noch vor...;-)

cu M. (nicht signierter Beitrag von 62.72.83.146 (Diskussion) 19:18, 18. Mai 2010 (CEST))

Ich habe mal die Formeln lesbarer gestaltet. Dabei fällt dann auf, dass in den Formeln einfach nur die Additionstheoreme kompliziert versteckt wurden. Das ist eine alte Technik. Wenn ein Winkel a im Bogenmass gegeben ist, dann finde man ein N, so dass r=a/N klein genug ist und nähere $(\cos r,\sin r)\approx (1-{\tfrac {1}{2}}r^{2},r)$, normiere dies in geeigneter Weise auf Länge 1 und verwende die Additionstheoreme, um nacheinander Sinus und Kosinus für Winkel mr=a*m/N zu finden. Üblicherweise arbeitet man mit Winkelhalbierungen und -verdoppelungen, um die Iteration abzukürzen, d.h. N=2^n und die Zwischenwinkel sind 2^m*r=a/2^(n-m).--LutzL 10:15, 19. Mai 2010 (CEST)

→ CORDIC, Gruß – Rainald62 20:17, 16. Mai 2011 (CEST)

Nun gut, da hab ich wohl eine alte Technik neu entdeckt, ich habe mir diese (Addition) unbemerkt durch Vektorrechnung erschlossen.

Die eigentliche Näherung des ersten Sinus/ Cosinuswertes ist eine (geometrische) Konstruktion im Koordinatensystem. Der Radius "r" (=Pi/180) entspricht hier dem Radius eines zweiten Kreises (um (1|0), welcher mit dem Einheitskreis einen gemeinsamen Schnittpunkt bildet, aus dem sich die Koordinate für den ersten Cosinuswert ergibt.

Der Radius r ist beliebig wählbar, die Abweichungen verringern sich bei Verringerung dieses Radius'.

Danke für die "lesbar"-Gestaltung der Formel und für die mathematischen Erläuterungen.

Grüße MvB. (nicht signierter Beitrag von 92.192.82.245 (Diskussion) 23:35, 20. Mai 2010 (CEST))

Deine Formel ist nichts weiter als die Anwendung der Additionstheoreme, genauer dasjenige des Sinus. $x_{n+1}=x_{n}\cdot y_{1}+y_{n}\cdot x_{1}$ entsprechend $\sin((n+1)\phi )=\sin(n\phi )\cos(\phi )+\cos(n\phi )\sin(\phi )$. Die Bestimmung $y_{n}={\sqrt {1-x_{n}^{2}}}$ bestimmt nur den Betrag des Kosinus, d.h. lässt keine negativen Werte zu, denn es gilt nur $|\cos(n\phi )|={\sqrt {1-\sin ^{2}(n\phi )}}$. Je genauer dieses Vorgehen wird, desto mehr Rechenschritte und desto mehr Rundungsfehler akkumulieren sich. Deshalb ist Halbieren und Quadrieren besser, aber ebenfalls zu langsam. Man kann mit einfachen Manipulationen den Winkel nahe zur Null bringen,... aber das wird im Artikel und den verlinkten, wie schon mehrfach gesagt, schon ausführlich angesprochen.--LutzL 12:05, 23. Aug. 2011 (CEST)

Wie berechnet man denn jetzt nun eine Sinuskurve?

Ich wollte eigentlich in diesem Artikel nachsehen, wie man eine Sinuskurve berechnet, jedenfalls ist Sinuskurve eine Weiterleitung hierher. Leider sagt der Artikel es mir nicht. Sollte das nicht drinstehen? Gismatis 01:15, 8. Mai 2011 (CEST)

Um das zu entscheiden, sollte zunächst klar gemacht werden, was "Sinuskurve berechnen" überhaupt bedeuten soll. Was verstehst du darunter? Ein Ziel, das sich formulieren lässt, musst du ja gehabt haben, als du hier nachsehen wolltest. --Daniel5Ko 01:42, 8. Mai 2011 (CEST)

Ich möchte wissen, wie in einem Koordinatensystem eine Sinuskurve einer Schwingung mit gegebener Frequenz und Amplitude gezeichnet werden kann. Gismatis 02:19, 8. Mai 2011 (CEST)

Aha. Ich denke, der Artikel Schwingung enthält dann im oberen Teil alle gewünschten Informationen. Den könnte man an geeigneter Stelle vielleicht verlinken. (Das Plotten per Computer oder das per-Hand-sinnvolle-Stützstellen-Einzeichnen-und-Verbinden ist nicht das Problem, oder etwa doch?) --Daniel5Ko 02:52, 8. Mai 2011 (CEST)

Vielleicht doch. Erstens muss die Teilung der x-Achse zur Frequenz passen. Es macht selten Sinn, viel mehr als zehn oder weniger als eine Periode zu zeichnen. Also sollte der maximale x-Wert mal der Frequenz zwischen 360° und 3600° liegen (in Radiant (Einheit) zwischen 2π und 20π). Zweitens muss die Teilung der y-Achse zur Amplitude passen. Wenn z.B. die Amplitude 5 ist, von −6 bis +6. Drittens sind (je nach Genauigkeitsanforderungen und Geschick beim Verbinden der Punkte) zwischen 6 und 20 Punkte pro Periode nötig. – Rainald62 14:48, 8. Mai 2011 (CEST)

Mir ist das dort zu kryptisch formuliert. Inzwischen habe ich wenigstens herausgefunden, wie ich einen Kreis berechnen kann. Ich würde für y also den Kreis nehmen, wobei der Radius der Amplitude entspricht und für x würde ich den Winkel in die Zeit umrechnen gemäß der Frequenz Schwingungsdauer. Zuerst rechne ich also y = r · cos t, wobei t der Winkel ist. Dann übersetze ich den Winkel in die Zeit, wobei 360° der Frequenz entsprechen. Ist das richtig so? Geht das nicht einfacher? Gismatis 17:22, 8. Mai 2011 (CEST)

360° entsprechen nicht der Frequenz, sondern der Schwingungsdauer (Periode). Ob das einfacher geht, hängt von den Hilfsmitteln ab, die dir zur Verfügung stehen. Und davon, ob du die Kurve skizzieren möchtest (qualitativ) oder eine genaue Zeichnung brauchst. Ist das Zeitintervall vorgegeben oder die Zahl der Perioden, die gezeichnet werden sollen? -- Digamma 21:20, 8. Mai 2011 (CEST)

Richtig, Schwingungsdauer meinte ich. Ich wollte einfach wissen, wie es geht. Aber jetzt habe ich ja eine Lösung gefunden. Auch habe ich herausgefunden, dass eine Bézierkurve, die von oben nach unten reicht, ziemlich genau einer Sinuskurve entspricht, wenn die beiden inneren Stützpunkte 25 % vom Nulldurchgang entfernt sind, wenn obere und untere Hälfte für sich betrachtet werden, die x-Werte der Punkte also 0, 0,75, 1,25 und 2 betragen. Gismatis 22:49, 9. Mai 2011 (CEST)

Berechnung mit elektronischer Hardware und Controllern

Ich hatte heute einen Artikel gelinkt, der aber wieder entfernt wurde! Begründung: Lookup-Tabelle ist nicht sehr originell und auch die Parabelapproximation (mit 12% Fehler) ist kein Mehrwert gegenüber den im Abschnitt "Berechnung". Dazu mein Kommentar: In Mikrocontrollern wird es aber genau so gemacht. Dabei geht es ja um die technische Umsetzung und in FPGAs und DDS-Bausteinen werden eben jene look-upTabellen verwendet. Darauf wollte ich hinweisen, aber hier scheinen nur Mathematiker zu sein. (nicht signierter Beitrag von 62.225.145.235 (Diskussion) 17:31, 9. Aug. 2011 (CEST))

Hast Du denn Sinus_und_Kosinus#Berechnung gelesen? Dort steht das schon und in den verlinkten Artikeln noch viel mehr. – Rainald62 17:45, 9. Aug. 2011 (CEST)

Sinus und Kosinus als Potenzreihe

Im Text findet sich folgender Satz: Die Definition des Sinus und Kosinus als Taylorreihe liefert keinen analytischen Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus, sondern setzt die Differenzierbarkeit letztlich axiomatisch voraus. Das ist leider grob falsch. Es gibt nämlich einen sehr schönen Satz aus der Analysis, wonach eine durch eine Potenzreihe $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}$ gegebene Funktion im Inneren ihres Konvergenzbereiches beliebig oft differenzierbar ist, und die Ableitung ist dort $\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}x^{n-1}$. Verwendet man also die Potenzreihendefinition, so ist die Differenzierbart das geringste Problem, sogar $\sin '=\cos$ ist nicht schwer. Für die Anwendungen muss man dann zeigen, dass für diese Potenzreihen, die übrigens überall konvergieren, dass im Komplexen $\cos x+i\sin x=e^{ix}$ ist (Potenzreihenvergleich). Dann kann man aus den Eigenschaften der e-Funktion die üblichen Sätze wie $\sin ^{2}+\cos ^{2}=1$ oder die trigonometrischen Additionstheoreme herleiten. Auch $\pi$ wird in diesem Zusammenhang definiert, und zwar derart, dass $\pi /2$ die kleinste positive Nullstelle von $\cos$ ist. Dann kann man zeigen, dass sin und cos $2\pi$-periodisch sind, was man den Potenzreihen überhaupt nicht ansieht. Betrachtungen am Einheitskreis zeigen dann, dass es sich bei den so definierten Potenzreihenfunktionen tatsächlich um die aus der Geometrie bekannten Funktion sin und cos handelt. Daran ist nichts anrüchiges! Ich werde diese Stelle demnächst entsprechend ändern.--FerdiBf 18:37, 2. Nov. 2011 (CET)

Begradigt! Den zweifelhaften Satz Die Definition des Sinus und Kosinus als Taylorreihe liefert keinen analytischen Beweis der Differenzierbarkeit des Sinus und Kosinus, sondern setzt die Differenzierbarkeit letztlich axiomatisch voraus. habe ich gestrichen und mehr oder weniger durch sein Gegenteil ersetzt. Zudem habe ich ausgeführt, wie man von der Analysis wieder zur geometrie zurückfindet.--FerdiBf 20:16, 17. Nov. 2011 (CET)

Abschnitt "Definition als Taylorreihe"

Im Abschnitt "Definition als Taylorreihe" würde ich die Reihenentwicklungen für sin und cos direkt hinschreiben und sagen, dass man so in der Analysis diese Funktionen definiert. Bezeichnet man die aus der Geometrie geläufigen Funktionen vorübergehend mit $\sin _{geom}$ bzw.$\cos _{geom}$, so kann man die Beziehung $\sin _{geom}(\varphi ^{\circ })=\sin({\frac {\varphi }{360^{\circ }}}\cdot 2\pi )$ beweisen und eine entsprechende Formel für $\cos _{geom}$. Dadurch ist dann der Zusammenhang zur Geometrie wieder hergestellt. Dass $\sin _{geom}$ differenzierbar ist, ergibt sich dann, ebenso, dass die angegebenen Reihen die Taylorreihen der geometrischen Funktionen im Bogenmaß sind. Insbesondere muss man sich nicht um die Differenzierbarkeit von sin und cos kümmern, die ergibt sich leict. Ebenfalls wird hier klar, warum man zum Bogenmaß übergeht. Sollte es keine schwerwiegenden Einwände geben, so werde ich das demnächst ausführen.--FerdiBf 19:05, 2. Nov. 2011 (CET)

Vollzug! Ich habe die Reihenentwicklungen durch die Taylorreihen motiviert und dann deutlich ausgeführt, dass man in der Analysis von den Potenzreihen ausgeht. Daran ist nichts unsauber, ganz im Gegenteil!--FerdiBf 20:19, 17. Nov. 2011 (CET)

Sinus und Kosinus im Komplexen

Im Abschnitt Sinus und Kosinus im Komplexen gibt es zwei Bilder zu den trigon. Funktionen im Komplexen. Ohne weitere Erläuterungen sind die höchstens bunt, jedenfalls nicht hilfreich. Weiß jemand etwas Genaueres zur Bedeutung der Farben und welche Information in diesen Bildern steckt? Falls da nichts bekannt ist, werde ich die Bilder demnächst entfernen.--FerdiBf 19:34, 21. Nov. 2011 (CET)

This is the color function

Hi, die Farbe gibt den Winkel des Arguments, die Farbintensität den Betrag, wobei volle Intensität für kleine Werte steht und bei großen Beträgen ein Übergang zu weiß stattfindet. In der Bildbeschreibung ist auch die Skala angegeben, man beachte, dass dieses Bild logarithmische Achsen hat, während die sin/cos-Bilder lineare Achsen haben. Es wäre nett gewesen, wenn der Ersteller den benutzten Mathematica-Code dokumentiert hätte. Zum Verständnis der Bilder wäre es sinnvoll, diese Skala daneben abzubilden.--LutzL 12:22, 22. Nov. 2011 (CET) ---- Die Seite [2] dokumentiert den Mathematica-Code.--LutzL 12:27, 22. Nov. 2011 (CET) ---- Bzw. direkt vom Erzeuger, leider nicht überall verlinkt, commons:User:Jan_Homann/Mathematics. Wobei nicht klar wird, wie die logarithmischen Achsen erzeugt wurden. Evtl. muss dazu nur eine Option gesetzt werden.--LutzL 12:36, 22. Nov. 2011 (CET)

Vielen Dank für die Erläuterung. Ich werde demnächst versuchen, das einzubauen, falls Du mir nicht zuvorkommen solltest. --FerdiBf 09:00, 27. Nov. 2011 (CET)

Erledigt--FerdiBf 11:23, 27. Nov. 2011 (CET)

Sinneswahrnehmung in der Einleitung

In der Einleitung steht Folgendes: Das Sinnesorgan Ohr zerlegt den eintreffenden Schall in seine Sinuskomponenten und führt damit eine Fourieranalyse durch: je nachdem, wie viel einer solchen Komponente in dem Gesamtsignal – dem eintreffenden Schall – vorhanden ist, wird ein Ton entsprechender Lautstärke und Frequenz wahrgenommen.

Das Ohr kann keine vollständige Fourieranalyse durchführen, da es nur einen begrenzten Frequenzbereich abdeckt. Selbst unter dieser Einschränkung weiß ich nicht, ob die Sinnesphysiologie das hergibt. Da beim Höhren gewisse Frequenzen stark bevorzugt sind, würde ich das eher verneinen, aber ich bin da kein Fachmann. Außerdem hat das nicht direkt etwas mit dem Lemma des Artikels zu tun, sondern gehört eher in den Artikel zur Fourieranalyse, falls der Satz in dieser Form richtig ist.

Ich werde diesen Satz daher aus der Einleitung entfernen, das fügt dem Artikel keinen Schaden zu. Sollte ich mich getäuscht haben, sollten wir den Satz mit einem passenden Beleg wieder zurückstellen.--FerdiBf 08:53, 27. Nov. 2011 (CET)

Es gibt einen wahren Kern, siehe Hörschnecke#Vom Schall zum Nervenimpuls, aber hier gehört es nicht hin, schon garnicht in die Einleitung.

Übrigens ist das Ohr für tiefe Frequenzen auch empfindlich auf die Phase des Schalldrucks, was zum Richtungshören beiträgt. – Rainald62 12:23, 27. Nov. 2011 (CET)

S*C

sinus und cosinus sinnt keine korrekten DEUTSCHEN mathematik begriffe! (nicht signierter Beitrag von 91.6.60.133 (Diskussion) 12:54, 7. Dez. 2011 (CET))

Und was sind deiner Meinung nach die korrekten deutschen Begriffe, wenn nicht Sinus und Kosinus (was der Artikel verwendet)? --mfb 14:10, 7. Dez. 2011 (CET)

Hallo! Ich wünsche mir ein Applet (ähnlich wie die Einheitskreis-Animation rechts), das diesen althergebrachten trigonometrischen FUnktionsschieber dynamisch macht. D.h.: Einheitskreis mit variablem Winkel und fixer zweistelliger Skala an der Horizontalen (unten) und Vertikalen (rechts). Der Benutzer kann sodann den Punkt auf dem Einheitskreis verschieben und damit den Öffnungswinkel verändern. sin und cos werden automatisch (verschieden-)farbig angezeigt. Das wäre echt toll! Eine statische Grafik zum Ausdrucken und selbst drauf zeichnen wäre auch schon ein guter Anfang... ;-) Vielleicht gibt's das auch schon? Danke! -- Welt-der-Form 13:51, 3. Feb. 2012 (CET)

Alternative Berechnung der Sinus- und Cosinuswerte

Ergänzung zum Artikel, Vorschlag:

Geometriesche Nachvollziehbarkeit der Werteberechnung, Darstellbarkeit (Vorteil)

Berechnung der Anfangswerte x1, y1:

Reihenberechnung, beginnend bei m=1 (=45°)

.....x(n) = wurzel(1 / (m(n)²+1) )

.....y(n) = m(n)*x(n)

.....m(n+1) = (1-x(n)) / y(n)

bei n = 7 ist x(n) = cos (45/2^7) und y(n) = sin(45°/2^7)

das wären genaue Anfangswerte für Sinus-/ Cosinuswerte bei einer Unterteilung eines Kreises in 1024 Grade.

Berechnung der Sinus- und Cosinuswerte als Reihenberechnung:

"Vektorielles Stapeln" von Dreiecken, --> ergibt das Additiontheorem:

( x(1)=x(7) und y(1)=y(7) der Anfangswertberechnung oben )

.....x(n+1) = x(n) * x(1) - y(n) * y(1)

.....y(n*1) = x(n) * y(1) + y(n) * x(1)

n(max) = alpha

natürlich gibt's auch Nachteile:

lediglich Sinus- Cosinuswerte für Winkel, die das Vielfache von 45°/128 sind.

Danke und Gruß, MvBrüsewitz (nicht signierter Beitrag von 62.72.83.146 (Diskussion) 14:34, 10. Mai 2012 (CEST))

Ist umständlicher als die vorgestellten Methoden und ich sehe keinen Vorteil. Nebenbei bemerkt könnte man das Verfahren durch Interpolation auf beliebige Winkel ausweiten. --mfb (Diskussion) 18:32, 10. Mai 2012 (CEST)

Danke für den Kommentar, und ja, stimmt eigentlich.

Ich vergaß, dass Sinuswerte nicht gleich Sinuskurve ist, also der Zusammenhang zwischen Höhe/ Sinuswert und Winkel.

Es ging mir mehr darum, bei Wiki anzuregen, dass dieser Zusammenhang für Laien begreifbar, bildlich dargestellt wird.

Meine oben stehenden Herleitungen, haben nicht die Geschmeidigkeit, nicht den Anspruch, binäre Berechnungen zu verbessern.

Sie macht aber als graphische Darstellung einem Laien anschaulich klar, wie z.B. Höhe und Winkel geometrisch und mathematisch zusammenhängen.

Das geometrisch angewandte Additionstheorem beschreibt das "Übereinanderlegen" von gleichschenkligen Dreiecken, das Konstruieren eines schrittweise gedrehten Punktes, ... gedreht um den festen Betrag/ Vektor eines Anfangswertes.

Ich weiß von vielen Schülern und Studenten, auch von Hobby-Mathematikern, dass die Wiki- Seite zu "Sinus" eher abschreckt. Ich bin selber kein studierter Mathematiker, insofern kann ich diese Meinung teilweise bestätigen.

Der Einstieg wird nicht leicht gemacht, denn letztenendes geht es den meisten um die Frage "Wie wird aus einer Höhe ein Winkel"

Ich versuche mal ein kleines Bild hier hoch zu laden, um den Vorschlag zu verdeutlichen.

Im Moment fehlen mir die svg-Kenntnisse, an meinem Arbeitsplatz-PC kann ich nur bmp erstellen, ich vermute dieses Format wird nicht unterstützt.

Kurz gesagt: Dem Laien wird folgender simple Sachverhalt nicht so schnell klar:

Hat man zu einem einzigen Winkel die Höhe (oder Länge) bestimmt, dann lassen sich weitere Winkel leicht konstruieren.

Je kleiner der Winkel, umso mehr Sinuswerte und Winkel erhält man.

... Gruß, MvB. (nicht signierter Beitrag von 62.72.83.146 (Diskussion) 13:58, 11. Mai 2012 (CEST))

Vorschlag Animation

Vielleicht könnte man diese GIF-Animation irgendwie verwenden. Schöne Grüße--Udo (Diskussion) 13:20, 29. Jan. 2014 (CET)

Das erweckt meiner Meinung nach den (falschen) Eindruck, die Flächen könnten gleich sein. --mfb (Diskussion) 14:35, 29. Jan. 2014 (CET)

Ja, sieht so aus. --Udo (Diskussion) 17:22, 29. Jan. 2014 (CET)

Wie wär's damit?

Gruß--Udo (Diskussion) 12:45, 31. Jan. 2014 (CET)

Gut! Und vertikal den cos? Gruß! GS63 (Diskussion) 13:11, 31. Jan. 2014 (CET)

Das Bild könnte ziemlich groß werden, wenn der Cos noch darunter abgetragen wird. Sieht für den Sinus aber schonmal gut aus. --mfb (Diskussion) 17:08, 31. Jan. 2014 (CET)

Ein extra Bild für den Kosinus finde ich besser (siehe rechts). --Udo (Diskussion) 17:30, 31. Jan. 2014 (CET)

Willst Du beides nicht mit dem selben Einheitskreis vereinheitlichen? Das legt Schluss und Erkenntnis näher, dass es derselbe Winkel ist, der einen sin und einen davon verschiedenen cos hat. Das Bild wird etwas grösser, aber es hält sich im Rahmen. Gruß! GS63 (Diskussion) 00:49, 1. Feb. 2014 (CET)

Die Darstellung mit dem selben Einheitskreis hätte natürlich seine Vorteile, auch wenn dann eine relativ große weiße Fläche im Bild entstünde. Leider wäre das momentan aufgrund meiner technischen Möglichkeiten ein sehr großer Aufwand, so dass ich erstmal davon absehen muss. Mal sehen, vielleicht irgendwann später. Beste Grüße--Udo (Diskussion) 15:11, 1. Feb. 2014 (CET)

Das ging jetzt doch schneller als gedacht - mit Änderungen:

Schöne Grüße--Udo (Diskussion) 17:58, 6. Feb. 2014 (CET)

wirklich gut, aber phi zeigt irgendwie den Einheitsbogen, kann man den Winkel nicht innen (grüner Pfeil) darstellen? Muss er mit wandern? Und weshalb "phi", warum nicht z. B. "alpha"? Ist doch so, als würde man bei Fußnoten mit "8" beginnen oder so. Wäre es vielleicht möglich den Winkel per Mauszeiger selbst zu schieben, statt ihn automatisch durchlaufen zu lassen? Evtl. laufen lassen, bis man ihn anklickt und selber zieht. Ganz schön viel Genörgel, für einen, der dazu gar nix beiträgt, was? Gruß! GS63 (Diskussion) 13:06, 7. Feb. 2014 (CET)

Sine curve drawing animation.gif

Wenn du etwas beitragen möchtest, könntest du ja vielleicht einen Abschnitt "Entstehung der Sinusfunktion aus dem Einheitskreis" o. ä. in den Artikel einfügen. Wie wär's? Zu deinen Fragen:

• Die Bogenlänge ist gleich der Streckenlänge auf der x-Achse. Daher erschien es mir didaktisch sinnvoll, beides farblich und bezeichnungsmäßig anzugleichen. Dazu angeregt wurde ich übrigens durch die Animation rechts.

Oh, das ist aber nicht richtig, der Kreisbogen ist eine Strecke, kein Winkel. Zwischen beidem liegt noch der Faktor 2 * pi * Radius und es ist ja der (dimensionslose) Einheitskreis. Gruß! GS63 (Diskussion) 15:48, 7. Feb. 2014 (CET)

Beim dimensionslosen Einheitskreis ist der Radius gleich 1, deshalb ist der Bogen (Radius * Winkel im Bogenmaß) auch dimensionslos und gleich dem Winkel. Das mit dem Faktor 2 * pi stimmt nicht. --Digamma (Diskussion) 16:45, 7. Feb. 2014 (CET)

• Dieses Mitwandern am Kreis gefällt mir auch noch nicht so richtig, zumal ich da den Rand zu knapp gewählt habe. Muss ich noch experimentieren.
• $\varphi$ habe ich gewählt, weil auch das andere Bild (Einheitskreis) im Artikel diesen Buchstaben verwendet.
• Nein. selber mit Maus ziehen ist bei GIF-Dateien nicht möglich.

Gruß--Udo (Diskussion) 15:10, 7. Feb. 2014 (CET)

Ich werde mal sehn, wo ich mich hier einbringen kann, ja. Einen Punkt habe ich oben noch beantwortet und das mit den Möglichkeiten der Animation hab ich mir schon gedacht. Trotzdem toll, die GIF - Einschränkungen liegen ja nicht bei Dir. Gruß! GS63 (Diskussion) 15:48, 7. Feb. 2014 (CET)

Zu $\varphi$: In der ebenen Geometrie werden Winkel in der Regel mit $\alpha$, $\beta$, usw. bezeichnet. In der Physik jedoch üblicherweise mit $\varphi$. Die anderen griechischen Buchstaben haben da eigene Bedeutungen. --Digamma (Diskussion) 16:45, 7. Feb. 2014 (CET)

Ja, auch deshalb erschien mir $\varphi$ sinnvoll, weil Sinuskurven häufig in der Physik vorkommen.--Udo (Diskussion) 16:19, 10. Feb. 2014 (CET)

So, ich habe jetzt eine neue Version der GIF-Datei (siehe oben) mit weniger störenden Bewegungen und deutlicheren Farben hochgeladen. Gruß--Udo (Diskussion) 16:19, 10. Feb. 2014 (CET)

 Ok soweit ersichtlich. Coole Animation, übrigens.--Xeno06 (Diskussion) 16:00, 24. Sep. 2014 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Xeno06 (Diskussion) 11:37, 5. Okt. 2014 (CEST)

Kosinusforschung

Hallo, gibt es in den letzten Jahren Neuigkeiten in der Kosinusforschung und damit auch fast zwangsläufig in der Sinusforschung? Ich habe das Thema in den letzten Jahren etwas aus den Augen verloren und kenne den neusten Stand der Forschung seit 2009 / 2010 nicht mehr ganz genau. Wer kann hier Hinweise auf neuste Fachliteratur oder ggf. auch Webseiten geben? Gruß! GS63 (Diskussion) 20:51, 17. Sep. 2013 (CEST)

Was ist "Kosinusforschung"? Das wirkt auf mich wie "Einmaleins-Forschung". --mfb (Diskussion) 21:45, 17. Sep. 2013 (CEST)

Die Frage, ob es etwas Neues zum Thema gebe, kann man natürlich immer stellen, aber zur Verbesserung des Artikels trägt sie in der Form, ohne weitere Inputs, nichts bei. Ich denke, der Fred kann geschlossen werden.--Xeno06 (Diskussion) 19:01, 16. Okt. 2014 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: mfb (Diskussion) 20:37, 16. Okt. 2014 (CEST)

Sinuskurve per Additionstheorem

Hallo Leute,

eine Frage:

Ist die Anwendung des trigonometrischen Additionsthreorems zur Darstellung einer Sinuskurve in dem Artikel bereits enthalten?

Ich verstehe ein wenig Mathematik, bin aber fern der standartisierten Schreibweise.

Ich berechne regelmäßige Kreispunkte mit dem Additionstheorem in einer Reihenberechnung wie folgt:

Gegeben sei a1 und b1

(aus a²+b²=c², mit c=1; (Dreieck/ Winkel im Einheitskreis)).

a(n+1) = a(n) * a(1) - b(n) * b(1)

b(n+1) = a(n) * b(1) + b(n) * a(1)

Diese Reihenberechnung erzeugt mit n als x-Achse und a(n) und b(n) als y-Werte, eine Cosinus- und eine Sinuskurve.

Die Genauigkeit hängt von a(1) und b(1) ab.

Wie das Additionstheorem für das Zustandekommen für eine Sinuskurve sorgt, lässt sich zudem anschaulich beschreiben.

So in etwa, am Beispiel einer Leiter, die schrittweise um den gleichen Winkel gehoben wird:

Es verändert sich stets der Abstand von der Wand, und die erreichbare Höhe.

Jeder neue Abstand (a(n+1)) kann nur unter Einbeziehung von vohergehenden Abstand und Höhe,

und den Werten der Drehung (Anfangswerte) berechnet werden. Ebenso jede neue Höhe (b(n+1)).

Ich finde so eine bildliche Beschreibung sollte grundsätzlich am Anfang des Hauptartikels stehen,

denn er wird auch von vielen Schülern und "Nicht-Eingeweihten" gelesen.

Ein verständlicher Einstieg, lädt ein zu weiterem Spaziergang.

Bedanke mich,

Gruß MvB (nicht signierter Beitrag von 92.205.83.49 (Diskussion) 22:32, 28. Mai 2013 (CEST))

Wozu sollte man damit Sinuswerte berechnen? Ohne Taschenrechner/Computer muss man die Werte eh seltenst präzise berechnen, und diese haben alle bessere Algorithmen. --mfb (Diskussion) 22:38, 28. Mai 2013 (CEST)

Das Additionstheorem ist die mathematische Darstellung für eine anschaulichen Beschreibung.

Es dient lediglich dem besseren Verständnis.

In Foren u.a. tauchen häufig Fragen nach dem Entstehen der Sinuskurve und den Hintergünden auf,

oft steckt dahinter eine Hausaufgabe, o.ä.

Wenn ein Schüler begreift, dass Gesamtlängen- und -Höhen und Teillängen und -Höhen von Drehwinkeln miteinander verrechnet werden können,

dann begreift er auch die Sinuskurve.

Ein Umstand, der für gestandene Mathematiker manchmal schwer nachvollziehbar ist.

Dank, Gruß MvB (nicht signierter Beitrag von 91.23.91.100 (Diskussion) 09:16, 29. Mai 2013 (CEST))

Ich kann das nicht ganz nachvollziehen. Wenn man schon das Bild der Leiter hat, wozu braucht man hier, wie die Höhen berechnet werden? Der Sinus ist doch hier einfach die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit. --Digamma (Diskussionjimi hendrix) 21:38, 29. Mai 2013 (CEST)

Antwort:

Die Sinuskurve beschreibt nicht bloß die Höhe, sondern die Verbindungslinie aller Höhen, bei gleich bleibendem Drehwinkel.

Für den Anfänger ist u.U. schwer verständlich, aber interessant: Wie berechne ich die nächste Höhe, nach einer weiteren Drehung.

Hier dient das Additionstheorem mit größerer Anschaulichkeit.

Ich weiß dass, da ich mir die Cosinus- und Sinuswerte auf genau diesem Weg selber hergeleitet habe.

Danke, Gruß MvB (nicht signierter Beitrag von 92.205.113.128 (Diskussion) 20:53, 29. Mai 2013 (CEST))

Wenn ich das Bild vor Augen habe, warum kommt es dann darauf an, wie man die Sinuswerte berechnet? Ich kann sie doch sozusagen grafisch ablesen. Ich kann die Höhe der Leiter einfach messen. Wenn es darum geht, wie man sich die Sinuskurve vorstellt, dann spielen doch Berechnungen gar keine Rolle. --Digamma (Diskussion) 21:38, 29. Mai 2013 (CEST)

Antwort

Wenn ein Schüler selber die Sinuskurve und deren Herleitung beschreiben soll,

dann schaut er zuerst bei wiki nach, --- er versteht aber oft Wenig vom mathematischen Hintergrund.

Das Additonstheorem ergibt sich aus dem Bild mit der Leiter, es vereint bildliche und mathematische Erklärung, da die darin verwendeten Variabeln für "vorherige Höhe/ Abstand" und für

"Abstand und Höhe der Teildrehung" stehen....,

Beispiel:

Abstand*'Drehabstand'-Höhe*'Drehhöhe' = neuer Abstand

Abstand*'Drehhöhe'+Höhe*'Drehabstand' = neue Höhe

.... man versteht plötzlich was man mathematisch anwendet,

diese schlichte Erklärung gehört meiner Meinung in einen Wiki-Artikel, Gruß MvB (nicht signierter Beitrag von 92.205.113.128 (Diskussion) 23:41, 29. Mai 2013 (CEST))

Mir ist noch immer nicht klar, was du meinst. Geht es darum, die Gestalt der Sinuskurve zu verstehen, oder darum die Additionstheoreme zu verstehen. Letzteres finde ich nämlich wesentlich schwieriger. --Digamma (Diskussion) 12:37, 31. Mai 2013 (CEST)

Daher halte ich auch wenig davon, die Form der Sinuskurve mit Additionstheoremen zu erklären. Denn für die braucht man zunächst mal das Verständnis, wie die Funktionen aussehen. --mfb (Diskussion) 13:06, 31. Mai 2013 (CEST)

Antwort

Ich vermute es gibt einen Unterschied zwischen dem "trigonometrischen Additionstheorem" und "den Additionstheoremen".

Ich bin in der Fachsprache nicht sicher, wenn es so ist, dann ist das trigonometrische Additionstheorem vielleicht der Ursprung ??

Ich spreche vom trigonometischen Additionstheorem.

Das trig. Additionstheorem beschreibt mathematisch, wie man von den Koordinaten des einen Winkels zum nöchsten kommt. Dabei kann man alle angewandten Variabeln direkt aus dem Bild mit der Leiter erkennen.

neuer Abstand = vorheriger Abstand * kleiner Drehwinkelabstand - vorherige Höhe * Drehwinkelhöhe

a(n+1) = a(n) * a(1) - b(n) * b(1)

neue Höhe = vorherige Höhe * kleiner Drehwinkelabstand + vorheriger Abstand * kleine Drehwinkeljhöhe.

b(n1+) = a(n) * b(1) + b(n) * a(1)

Ich krieg hier leider kein einfaches Bild gepostet, ich versuch es mal...

http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/addthn139qhbx26.jpg

mal sehn ob das klappt

gruß MvB (nicht signierter Beitrag von 91.23.88.71 (Diskussion) 14:46, 31. Mai 2013 (CEST))

In dieser Form kannte ich das noch nicht. Wo findet man das? Im Prinzip steht hier die Koordinatendarstellung einer Drehung mit Hilfe einer Drehmatrix dahinter.

Eine Drehung um den Winkel $\phi$ kann man durch die Matrix

$D_{\phi }={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \phi &-\sin \phi \\\sin \phi &\cos \phi \end{pmatrix}}$

darstellen. Hierbei ist a das, was du als "Drehwinkelabstand", und b das, was du als "Drehwinkelhöhe" bezeichnest.

Wendet man diese Drehung auf den Punkt $(x|y)$ an, so gilt für die Koordinaten $(x'|y')$ des Bildpunkts:

${\binom {x'}{y'}}=D_{\phi }{\binom {x}{y}}={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}{\binom {x}{y}}={\binom {ax-by}{bx+ay}},$

also

$x'=ax-by$ und $y'=bx+ay$.

--Digamma (Diskussion) 15:03, 31. Mai 2013 (CEST)

Antwort:

Ich muss mich nochmal bedanken.

Zur Frage "Wo findet man das?"

Ich vermute, dass ich da nichts Neues entdeckt habe.

Das Additionstheorem als Reihenberechnung ergibt auf einfache Weise

Cosinus/ und Sinuswerte (abhängig von den Anfangswerten).

Diese Berechnung kann nicht mit der Sinusberechnung per Cordic-Algo (Taschenrechner) mithalten,

aber sie ist der mathematische Ausdruck einer bildlichen Beschreibung, die Schüler gut begreifen können.

Danke und Gruß MvB (nicht signierter Beitrag von 92.205.36.206 (Diskussion) 11:20, 2. Jun. 2013 (CEST))

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Xeno06 (Diskussion) 22:02, 31. Okt. 2014 (CET)

Auftrennen des Artikels

Wollen wir diesen Artikel vielleicht in die zwei Artikel Sinus und Kosinus aufteilen? Viele andere Wikipedien haben auch zwei Artikel siehe d:Q1256164 und d:Q152415. Das Thema sollte auch genug hergeben, um zwei Artikel zu rechtfertigen. Zum Beispiel fehlen die einfachen Abschätzungen für $\sin(x)$ und außerdem wurde bei der Feedbackoption mehrmals gesagt, der Artikel sei zu kompliziert. Vielleicht wäre diese auch eine Chance das Thema noch etwas verständlicher zu gestalten.--Christian1985 (Disk) 17:51, 5. Mär. 2013 (CET)

Hm. Wenn du ins Archiv dieser Diskussionsseite schaust, siehst du, dass das mal zwei Artikel waren, die 2005 zusammengelegt wurden. Damals wurde als Grund genannt, dass es sehr viele Überschneidungen gibt. --Digamma (Diskussion) 21:16, 5. Mär. 2013 (CET)

Ich finde unsere Paar-Lösungen bei den ganzen trig. Funktionen ganz elegant zur Redundanzvermeidung, du kannst doch kaum was zu Cosinus sagen, ohne Sinus zu erwähnen. Allerdings biete ich gerne meine Mithilfe bei einer Offensive zur Erhöhung der Verständlichkeit an. --χario 00:00, 6. Mär. 2013 (CET)

Der Artikel insgesamt ist zweifellos ziemlich (und ich finde ZU) lang, aber das liegt nicht am Kosinus, sondern an den vielen Beziehungen zu anderen trigonometrischen und sonstigen Funktionen. Vielleicht könnte man Teile davon auslagern, in eine Formelsammlung oder "Beziehungen zu anderen Funktionen" oder sowas. --mfb (Diskussion) 16:11, 6. Mär. 2013 (CET)

@mfb, an welche Beziehungen bzw. Abschnitte denkst Du da?

Klar hätten wir einige Redundanzen, wenn wir den Artikel aufsplitten würden. Manche Dinge gehören aber nur zum Sinus oder zum Kosinus. Zum Beispiel fehlt die sehr grobe Ungleichung $\sin(x)<|x|$, die doch in der Physik häufig Verwendung findet.--Christian1985 (Disk) 17:47, 6. Mär. 2013 (CET)

$\sin(x)<|x|$ hat die äquivalente Ungleichung $\cos(x)<|x-{\frac {\pi }{2}}|$ (und die wird auch durchaus gelegentlich verwendet).

Ich dachte vor allem an die Abschnitte, die sin/cos mit komplexen Zahlen, der e-Funktion und den hyperbolischen Funktionen in Beziehung setzen. Das ist ein relativ abgeschlossenes Gebiet und ließe sich auslagern. --mfb (Diskussion) 13:32, 7. Mär. 2013 (CET)

Das wirkt auf mich aber nach einer sehr künstlichen Trennung. Außerhalb der Schulmathematik, definiert man den Sinus und den Kosinus ja meist als Reihe und da ist es nur natürlich auch komplexe Zahlen in Sinus und Kosinus einzusetzen.--Christian1985 (Disk) 14:08, 7. Mär. 2013 (CET)

+1. Was hier glaub ich nicht im Artikel bleiben müsste, wäre der Beweis der Additionstheoreme. --χario 14:34, 7. Mär. 2013 (CET)

Auf den kann ich auch verzichten.--Christian1985 (Disk) 14:36, 7. Mär. 2013 (CET)

Der Beweis für die Additionstheoreme ist seit einiger Zeit nicht mehr im Artikel.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:28, 5. Nov. 2014 (CET)

Ein Kosinus ist ein um pi/2 verschobener Sinus. Entsprechend lassen sich (fast) alle Aussagen zum Sinus in eine zum Kosinus umformulieren. Die gemeinsame Darstellung halte ich deswegen für angemessen.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:22, 5. Nov. 2014 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Eine Teilung in einen Sinus- und einen Kosinus-Artikel fand keine begeisterte Zustimmung.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:33, 5. Nov. 2014 (CET)

Definition als Lösung einer Funktionalgleichung

Genauer wird durch die Forderung lim(x->0)(sin(x)/x)=1 Differenzierbarkeit der Sinusfunktion in 0 vorausgesetzt, nicht auf dem gesamten Definitionsbereich. Und - die Forderung cos(0)=1 kann man weglassen, sie folgt aus den anderen (laut Fußnote in dem angegebenen Heuser-Buch; sei an dieser Stelle angenommen, dass Harro Heuser seine Fußnotern ernster nimmt, als der allseits bekannte Baron :-) ). (nicht signierter Beitrag von 87.143.127.47 (Diskussion) 19:55, 6. Apr. 2012 (CEST))

Ich habe die Differenzierbarkeit "in 0" ergänzt. Sie wird übrigens nicht "zusätzlich" vorausgesetzt sondern folgt aus sin(x)/x --> 1, denn wegen sin(0)=0 ist das ja gerade dasselbe wie (sin(0+x)-sin(0))/x --> 1, und das heißt sin'(0)=1.--FerdiBf (Diskussion) 10:10, 7. Apr. 2012 (CEST)

Dass cos(0)=1 , ist in der Tat trivial: Zunächst sieht man (aus ungerade Funktion oder limes-Bedingung) dass sin(0)=0 . Setzt man in der ersten Funktionalgleichung dann y=0, so ergibt sich: sin(x)=sin(x)*cos(0) . Da wegen der limes-Bedingung sin(x) nicht konstant =0 sein kann, ergibt sich cos(0) ungleich null, insbesondere cos(0)=1 . (nicht signierter Beitrag von 46.244.148.86 (Diskussion) 16:22, 31. Okt. 2012 (CET))

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Xeno06 (Diskussion) 19:34, 23. Nov. 2014 (CET)

nur ein paar Anmerkungen

In der Einleitung finde ich den Satz "... und sind wichtig in der Analysis" nicht so konkret => Alternative? Beim 1. Eindruck (bin noch nicht ganz durch, kommt noch) tauchen viele "man" Formulierungen und wertende Aussagen wie "bequem" auf, was ich nicht so schön finde und daher verändert habe. Insgesamt leitet das Lemma sehr viel her und erklärt die Gleichungen: Ist das erwünscht? Mir hat mal jemand Weises gepostet: WP kommt gleich zur Sache - das ist kein Lehrbuch (bin Autorin eines LB). Mir fällt dazu aber spontan auch keine echte Lösung ein. --MarianneBirkholz (Diskussion) 21:54, 9. Mär. 2013 (CET)

Zur ersten Bemerkung: und sind wichtig in der Analysis. ist tatsächlich sprachlich recht holprig. Bei gleich bleibendem Informationsgehalt wäre eleganter, einen eigenen Satz daraus zu machen. Vorschlag: Auch in der Analysis sind sie wichtig. Meinungen?--Xeno06 (Diskussion) 20:21, 5. Nov. 2014 (CET)

Meine Meinung: Ein eigener Satz ist eine gute Idee. Texte sind leichter verständlich, wenn jeder Satz genau eine Aussage transportiert.---<)kmk(>- (Diskussion) 21:18, 5. Nov. 2014 (CET)

Ich hab's geändert. Die anderen Einwände hat die Erstposterin schon selber erledigt, oder aber es ist keine Alternative ersichtlich. In der Tendenz kann man den Fred schliessen, aber ich warte noch 7 Tage.--Xeno06 (Diskussion) 18:34, 16. Nov. 2014 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Xeno06 (Diskussion) 23:42, 27. Nov. 2014 (CET)

Analytische Berechnung von Winkelfunktionen eines beliebigen Winkels

Ausgehend von einem rechtwinkeligen Dreieck, mit der Dreiecksbasis als Einheitslänge, kann man die Höhen verschiedener Winkel angeben. Höhe/Basis=Gegenkathete/Ankathete ist dann der Tangens des Winkels, nennen wir ihn Alpha. Als einfachstes Beispiel: Tan(45°)=1 und Tan(60°)=Wurzel(3)

Nun sind auch die Längen der Schenkel aller Winkel bekannt. Das sind die Cos-Werte (Ankathete/Hypothenuse) Cos(45°)=Wurzel(2), Cos(60°)=0,5

Zwischen diese beiden Winkel, läßt sich eine Winkelhalbierende konstruieren. Diese hätte dann den Winkel 45°+7,5°=52,5° Die Winkelhalbierende teilt die Gegenseite im Verhältnis der anliegenden des Winkels -> Harmonische Teilung und Kreis des Apollonius

Mit diesem Satz und den bekannten Dreieckslängen läßt sich nun der Tan(52,5°) analytisch, vermittels zweier einfacher Gleichungen, die zu lösen sind, angeben. Damit ist dann auch die Höhe=Gegenkathete bekannt und daraus läßt sich die Hypothenuse bestimmen. Um zu zeigen, dass es geht hab ich's mal gerechnet. Ergebnis: Tan(52,5°) = 1 + (wurzel(3)-1) * (wurzel(2)-1) Ein schönes Ergebnis, wie ich meine.

Wiederholt man diese Prozedur mit fortgesetzter Winkelhalbierung zwischen zwei bekannten Winkeln, so müsste theoretisch jeder Winkel beliebig genau, also infinitesimal, analytisch anzunähern sein.

Ob sich eine allgemeine Funktion aufstellen ließe, die dann abgeleitet werden könnte, weis ich nicht. Das wäre eine Aufgabe für einen Mathematiker, der diese Niesche besser kennt als ich. Vielleich könnte mir jemand darauf eine Antwort geben? (nicht signierter Beitrag von 193.18.239.4 (Diskussion) 13:33, 22. Okt. 2012 (CEST))

Anscheinend suchst Du Formeln der Art

$\tan {\frac {x}{2}}={\frac {\tan x}{1+{\sqrt {1+\tan ^{2}x}}}}\quad {\mbox{für}}\quad x\in \left]-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right[$

und

$\tan(x+y)={\frac {\tan x+\tan y}{1-\tan x\;\tan y}}$

vgl. Formelsammlung Trigonometrie --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:17, 22. Okt. 2012 (CEST)

Hi, das ist eine sehr alte Idee, siehe CORDIC-Verfahren, das auch im Abschnitt "Berechnung" verlinkt ist. Die Einschränkung der Konstruierbarkeit bezieht sich nur auf Winkel mit ganzzahligem Gradmaß, von denen sich wirklich nur die Vielfachen von 3Grad konstruieren lassen. Andere Näherungsverfahren müssen sich mit den bekannten, z.B. Cordic, messen und nachweisen, dass sie mit gleichem Rechenaufwand eine höhere Genauigkeit (oder umgekehrt, gleich Genauigkeit mit weniger Aufwand) erreichen.--LutzL (Diskussion) 14:25, 22. Okt. 2012 (CEST)

---

Danke für die super Info, was ich meinte war, ob eine Winkelfunktion eines beliebigen Winkels prinzipiell analytisch berechenbar sei. Es ging mir dabei nicht um die Effizienz. Mein Beispiel Tan(52,5°)= 1 + (wurzel(3)-1) * (wurzel(2)-1), ist nicht vielfaches von 3°. Ich könnte weiter rechnen und nun Tan(52,5-7,5/2)=Tan(48,75°) analytisch berechnen. Es kämen wieder irgendwelche Wurzelgrößen heraus. Also Reelle Zahlen. Man kann das vor und zurück, so dass gewünschter Wert, nennen wir ihn c, beliebig genau angenähert werden kann. Möglich, dass sich Reihen ergeben, die dann einen Grenzwert bei c haben. Das ist meine Vermutung. Obige Additionstheoreme resultieren wohl aus der Methode. Es gibt ja nun auch ein Theorem Tan(x-y)(Danke für den Link). So kann man sich an einen beliebigen Wert c iterativ und analytisch nähern. Das Cordic-Verfahren ist ja wieder numerisch. Ich meinte eine analytische Methode.

---

Nun sind doch alle Winkel in konstruierbaren Vielecken auch analytisch berechenbar und nicht die Vielfachen von 3° So z.B. die 17-Eck Winkel: http://kilchb.de/faqmath99.html W.L.

Was an "Winkel mit ganzzahligem Gradmaß" ist unverständlich? Die Aussage bezieht sich natürlich auf Konstruktionen mit Zirkel und Lineal bzw. auf Ausdrücke mit reeller Arithmetik und Quadratwurzeln. Es gibt natürlich noch jede Menge weiterer Winkel, deren Punkt auf dem Kreis sich als Nullstelle eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten darstellen lässt. Aber was heißt in diesem Zusammenhang analytisch berechenbar? Ist die kleinste Nullstelle (ungleich Null) von (1-x)^19-1=0 analytisch berechenbar?--LutzL (Diskussion) 12:27, 26. Okt. 2012 (CEST)--Edit:Zirkel+Lineal--LutzL (Diskussion) 12:44, 26. Okt. 2012 (CEST)

Besteht da noch Diskussionsbedarf? --Xeno06 (Diskussion) 23:37, 23. Nov. 2014 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Xeno06 (Diskussion) 22:26, 7. Dez. 2014 (CET)

Cosinusfunktion

O.g. ist ein „auch-Begriff“ und sollte weitergel. werden -wie in der WP üblich-. Danke -- 217.224.235.62 00:45, 26. Jan. 2015 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Quartl (Diskussion) 08:54, 26. Jan. 2015 (CET)