Extremwertverteilung
Die verallgemeinerte Extremwertverteilung[1][2] ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie spielt eine herausragende Rolle in der Extremwerttheorie, da sie alle möglichen asymptotischen Verteilungen des Maximums einer einfachen Zufallsstichprobe in einer Darstellung zusammenfasst. Die verallgemeinerte Extremwertverteilung fasst die Gumbel-Verteilung, die Fréchet-Verteilung und die Weibull-Verteilung zusammen.
Definition
Eine stetige Zufallsgröße genügt einer verallgemeinerten Extremwertverteilung mit den Parametern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu \in \R} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma>0} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi \in \R} , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)= \begin{cases}\frac{1}{\sigma}\,t(x)^{\xi+1}e^{-t(x)} &\text{falls } 1+\xi(\tfrac{x-\mu}{\sigma}) > 0 \\ 0&\text{sonst} \end{cases} }
mit
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t(x) = \begin{cases}\big(1+\xi(\tfrac{x-\mu}{\sigma})\big)^{-1/\xi} & \textrm{falls}\ \xi\neq 0 \\ e^{-(x-\mu)/\sigma} & \textrm{falls}\ \xi=0\end{cases}}
besitzt. Für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \xi =0} liegt eine Gumbel-Verteilung, für eine Fréchet-Verteilung und für eine Weibull-Verteilung vor.
Einzelnachweise
- ↑ Paul Embrechts, Claudia Klüppelberg, Thomas Mikosch: Modelling Extremal Events for Insurance and Finance. Springer, Berlin 1997, ISBN 3-540-60931-8, S. 152–168.
- ↑ Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution. Abgerufen am 6. August 2021 (englisch).
