Dirichlet-Verteilung
Die Dirichletverteilung (nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet) ist eine Familie von stetigen, multivariaten Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Sie ist die multivariate Erweiterung der Beta-Verteilung und die konjugierte A-priori-Verteilung der Multinomialverteilung in der bayesschen Statistik. Ihre Dichtefunktion gibt die Wahrscheinlichkeiten von K verschiedenen, exklusiven Ereignissen an, wenn jedes Ereignis -mal beobachtet wurde.
Veranschaulichung
Die Multinomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeiten bis für K unterschiedliche Ereignisse an, also z. B. wie wahrscheinlich es ist, in einem Wurf eine Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf oder Sechs zu würfeln. Im Gegensatz dazu gibt die Dirichlet-Verteilung an, wie wahrscheinlich eine solche Verteilung auftritt. Im Falle einer Würfelfabrik könnte die Dirichlet-Verteilung also angeben, wie wahrscheinlich die Verteilungen der Würfelergebnisse bei den fabrizierten Würfeln sind. Funktionieren die Maschinen der Würfelfabrik korrekt, wäre die Wahrscheinlichkeit für alles andere als die uniforme Verteilung (alle Augenzahlen sind gleich wahrscheinlich) sehr gering. Das entspräche einem Parametervektor mit gleichen und sehr hohen Elementen wie etwa . Hingegen würde Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha =(1000,500,500,500,500,500)} bedeuten, dass die Maschinen Würfel fabrizieren, bei denen die Augenzahl Eins doppelt so häufig vorkommt wie jede andere Augenzahl. Und dies fast ausnahmslos, da die Werte wiederum sehr hoch sind und damit die Varianz niedrig. Wären die Werte in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} aber z. B. alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0{,}1} , dann würden Würfel hergestellt werden, die eine starke Tendenz zu einer Augenzahl haben. Welche die bevorzugte Augenzahl eines Würfels ist, wäre dabei zufällig, da alle Werte in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} gleich sind. Je kleiner die Werte, desto ausgeprägter wäre die Unfairness der meisten Würfel, und desto seltener wären Würfel ohne eine bevorzugte Augenzahl.
Dichtefunktion
Die Dirichletverteilung der Ordnung K ≥ 2 mit den Parametern Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{K}>0} und dem Parametervektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha=(\alpha_1,\dots,\alpha_K)} hat folgende Dichtefunktion:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x_1,\dots, x_{K}; \alpha_1,\dots, \alpha_K)= \begin{cases}\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha)} \prod_{i=1}^K x_i^{\alpha_i - 1}&\text{für alle } x_1 > 0,\ldots, x_K > 0 \text{ mit } \sum_{i=1}^K x_i = 1 \\ 0& \text{sonst} \end{cases}\;. }
Die normierende Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{B}(\alpha)} ist die multivariate Betafunktion an der Stelle , welche durch Werte der Gammafunktion an den Stellen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha_1,\dots,\alpha_K} dargestellt werden kann:
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{B}(\alpha) = \frac{\prod_{i=1}^K \Gamma(\alpha_i)}{\Gamma\bigl(\sum_{i=1}^K \alpha_i\bigr)}.}
Die Dichtefunktion ist keine Dichte bezüglich des K-dimensionalen Lebesgue-Maßes, sondern eine Dichtefunktion bezüglich des (K-1)-dimensionalen Lebesgue-Maßes im durch die Restriktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle\sum_{i=1}^K x_i = 1 } definierten (K-1)-dimensionalen Teilraum. Durch die Ersetzung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_K = 1 - \textstyle\sum_{i=1}^{K-1} x_i } erhält man die (K-1)-dimensionale Dichtefunktion
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x_1,\dots, x_{K-1}; \alpha_1,\dots, \alpha_K)= \begin{cases}\frac{1}{\mathrm{B}(\alpha)} \prod_{i=1}^{K-1} x_i^{\alpha_i - 1} (1 - \textstyle\sum_{i=1}^{K-1} x_i)^{\alpha_K-1} &\text{für alle } x_1 > 0,\ldots, x_{K-1} > 0 \text{ mit } \sum_{i=1}^{K-1} x_i < 1 \\ 0& \text{sonst} \end{cases}\;. }
Bei einer Verwendung der Dirichlet-Verteilung als A-priori-Verteilung für eine Multinomialverteilung sind die Vektoren mit positiver Dichte alternative Werte für den Parametervektor einer Multinomialverteilung.
