Laplace-Verteilung

Dichtefunktionen der Laplace-Verteilung für unterschiedliche Parameter

Die Laplace-Verteilung (benannt nach Pierre-Simon Laplace, einem französischen Mathematiker und Astronomen) ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung. Da sie die Form zweier aneinandergefügter Exponentialverteilungen hat, wird sie auch als Doppelexponentialverteilung oder zweiseitige Exponentialverteilung^[1] bezeichnet.

Definition

Eine stetige Zufallsgröße $X$ unterliegt der Laplace-Verteilung mit dem Lageparameter $\mu \in \mathbb {R}$ und dem Skalenparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma > 0} , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)= \frac{1}{2\sigma}e^{\displaystyle -\frac{\left|x-\mu \right|}{\sigma}}}

besitzt.

Ihre Verteilungsfunktion lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x) = \begin{cases}\displaystyle {1 \over 2} e^{\displaystyle\frac{x-\mu}{\sigma}}, & x \leq \mu \\ \displaystyle 1 - {1 \over 2} e^{\displaystyle -\frac{x-\mu}{\sigma}} & x > \mu \end{cases}}

Mittels der Signum-Funktion lässt sie sich geschlossen darstellen als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x)=\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{2} \sgn \left(x-\mu \right) \left(1-\exp \left(-\frac{\left|x-\mu \right|}{\sigma} \right ) \right )} .

Eigenschaften

Symmetrie

Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist achsensymmetrisch zur Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\mu } und die Verteilungsfunktion ist punktsymmetrisch zum Punkt $(\mu ,1/2)$ .

Erwartungswert, Median, Modalwert

Der Parameter $\mu$ ist gleichzeitig Erwartungswert, Median und Modalwert.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X) = \mu}

Varianz

Die Varianz wird durch den Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} bestimmt.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Var}(X) = 2 \sigma^2}

Schiefe

Die Schiefe der Laplace-Verteilung ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{v}(X)=0 } .

Kurtosis

Die Wölbung einer Laplace-Verteilung ist identisch 6 (entspricht einem Exzess von 3).

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Kurt}(X) = 6}

Kumulanten

Alle Kumulante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa_k } mit ungeradem Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k>2 } sind gleich Null. Für gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k } gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa_k=2(k-1)!\sigma^k }

Momenterzeugende Funktion

Die momenterzeugende Funktion eine Laplace-verteilten Zufallsgröße mit Parametern $\mu$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_X(t) = \frac{e^{\mu t}}{1-\sigma^2 t^2}} , für

|t|<1/\sigma .

Charakteristische Funktion

Die charakteristische Funktion entsteht aus der momenterzeugenden Funktion, indem man das Argument Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} durch $is$ ersetzt, man erhält:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_{X}(s) = \frac{e^{i\mu s}}{1+\sigma^{2}s^{2}}} .

Entropie

Die Entropie der Laplace-Verteilung (ausgedrückt in nats) beträgt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1+\ln(2\sigma)} .

Zufallszahlen

Zur Erzeugung doppelexponentialverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion lautet hierbei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^{-1}(y) = \begin{cases} \displaystyle {1 \over \lambda} \ln (2 y) & y < {1 \over 2} \\ \displaystyle - {1 \over \lambda} \ln (2 (1 - y)), & y \ge {1 \over 2} \end{cases}} .

Zu einer Folge von Standardzufallszahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u_i} lässt sich daher eine Folge

x_{i}:=F^{-1}(u_{i})

doppelexponentialverteilter Zufallszahlen berechnen.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Normalverteilung

Sind $X_{1},X_{2},X_{3},X_{4}\sim {\mathcal {N}}(0,1)$ unabhängige standardnormalverteilte Zufallsgrößen, dann ist $Z=\det {\begin{pmatrix}X_{1}&X_{2}\\X_{3}&X_{4}\end{pmatrix}}=X_{1}\,X_{4}-X_{2}\,X_{3}$ standardlaplaceverteilt ( $\mu =0$ ).

Beziehung zur Exponentialverteilung

Eine Zufallsvariable $X:=Y_{\lambda }-Z_{\lambda }$ , die als Differenz zweier unabhängiger exponentialverteilter Zufallsvariablen $Y_{\lambda }$ und $Z_{\lambda }$ mit demselben Parameter definiert ist, ist Laplace-verteilt.^[2]

Beziehung zur Rademacher-Verteilung

Ist $X$ Rademacher-Verteilt, und ist $Y$ Exponentialverteilt zum Parameter $\lambda$ , so ist $X\cdot Y$ Laplace-Verteilt zu dem Lageparameter 0 und dem Skalenparametern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{\lambda} } .

Abgrenzung zur stetigen Gleichverteilung

Die so definierte stetige Laplaceverteilung hat nichts mit der stetigen Gleichverteilung zu tun. Sie wird mit ihr trotzdem gerne verwechselt, weil die diskrete Gleichverteilung nach Laplace benannt ist (Laplacewürfel)

Quellen

↑ Georgii: Stochastik. 2009, S. 225.
↑ Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930

[1] Georgii: Stochastik. 2009, S. 225.

[2] Milton Abramowitz und Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, 1972, S. 930

[1]

[2]

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