Benutzer:MovGP0/Mathematik für ET/Semester 1

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Axiome Axiome sind Grundsätze die nicht weiter hinterfragt werden (können) und daher als solche hingenommen werden. siehe auch: axiomatische Methode, deduktive Methode Peano-Axiome Axiome Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 \in \N} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall n: n\in\N \Rightarrow n'\in\N} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall n: \lnot (n' = 0)} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lnot \exist (m,n): m' = n', \lnot m = n} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \N = \inf(X: 0\in X, n\in X \Rightarrow n'\in X)} (Induktionsaxiom) Addition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \forall n \in \mathbb N: & n+1 := N(n) \\ \forall n,m \in \mathbb N: & n+m := n + N(k) = N(n+k) \end{array}} Zahlensysteme Beipiel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lllll} \mathbb{N} & {:=} & \mathbb{N} \setminus \left\{0,\infty\right\} & {=} & \left\{1,2,3,4,\dots,\infty-1\right\} \\ \mathbb{N}^\infty & {:=} & \mathbb{N} \cup \left\{\infty\right\} & {=} & \left\{1,2,3,4,\dots,\infty\right\} \\ \mathbb{N}_0 & {:=} & \mathbb{N} \cup \left\{0\right\} & {=} & \left\{0,1,2,3,4,\dots,\infty-1\right\} \\ \mathbb{N}_0^\infty & {:=} & \mathbb{N} \cup \left\{0,\infty\right\} & {=} & \left\{0,1,2,3,4,\dots,\infty\right\} \end{array}} Zahlenmengen Binärzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{F}_2 = \left\{0,1\right\}} Natürliche Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{N} = 1,2,3,\dots} Ganze Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{Z} = \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots} Rationale Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{Q} = \dots, \frac{3}{5}, \dots} Reelle Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R} = \dots, \pi, \dots} komplexe Zahlenmengen Komplexe Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{C}=\left({*},{*}\right)^T} Quaternion, Hamiltonzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{H}=\left({*},{*},{*},{*}\right)^T} Oktonion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{O}=\left({*},{*},{*},{*},{*},{*},{*},{*}\right)^T} Sedenion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{S}=\left({*},{*},{*},{*},{*},{*},{*},{*},{*},{*},{*},{*},{*},{*},{*},{*}\right)^T} p-adische Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{P}=\left({*},\dots,{*}\right)^T} Logik Operator-Priorität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lnot \land \lor \Rightarrow \Leftrightarrow} De Morgansche Gesetze Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \lor B \Leftrightarrow \lnot ( \lnot A \land \lnot B )} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \land B \Leftrightarrow \lnot ( \lnot A \lor \lnot B )} Beweis (Mathematik) Direkter Beweis $A\Rightarrow S_{1}\Rightarrow S_{2}\Rightarrow \dots \Rightarrow S_{n}\Rightarrow B$ Indirekter Beweis $\left\{A,B\right\}\in {\text{Aussagen}}:(A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\lnot B\Rightarrow \lnot A)$ Quantoren $\exists$ es existiert mindestens ein $\exists !$ es existiert genau ein $\forall$ für alle Bsp. $\left(\forall x\in \mathbb {N} :\exists y\in \mathbb {N} :y>x\right)=w$ $\left(\exists y\in \mathbb {N} :\forall x\in \mathbb {N} :y>x\right)=f$ Negation $\lnot \left(\exists x:A(x)\right)\Leftrightarrow \forall x:\lnot A(x)$ $\lnot \left(\forall x:A(x)\right)\Leftrightarrow \exists x:\lnot A(x)$ Bsp. $\lnot \left(\forall x:\exists y:P(x,y)\right)\Leftrightarrow \exists x:\forall y:\lnot P(x,y)$ Summen und Produkte Verschieben des Indizes $\sum _{i=1}^{n}x^{i}+\sum _{k=2}^{n-1}x^{k+1}=\sum _{i=1}^{n}x^{i}+\sum _{i=3}^{n}x^{i}=\sum _{i=1}^{2}x^{i}+2\,\sum _{i=3}^{n}x^{i}$ Induktionsbeweis Wenn eine Aussage A(n) $\forall n\geq n_{0}$ beweisen will kann man wie folgt vorgehen: Induktionsanfang man zeigt dass A(n) gültig ist Induktionsschluss man zeigt, dass aus der Gülktigkeit von A(n) die Gültigkeit von A(n+1) folgt. Beispiel sei $g\in \mathbb {R} ,\,\sum _{k=0}^{n}g^{k}=1+g+g^{2}+\dots +g^{n}$ Satz $\forall g\in \mathbb {R} ,\,g+1,\,\forall n\in \mathbb {N} \quad \sum _{k=0}^{n}g^{k}={\frac {1-g^{n+1}}{1-g}}$ Induktionsanfang $n=1:\quad \sum _{k=0}^{1}g^{k}={\frac {1-g^{2}}{1-g}}=\dots =1+g$ Induktionsschluss $n+1:\quad \sum _{k=0}^{n+1}g^{k}=\sum _{k=0}^{n}g^{k}+g^{n+1}=\dots ={\frac {1-g^{n+2}}{1-g}}$ Rekursive Definition Beispiel $x\in \mathbb {R} ,\,n\in \mathbb {N} :\quad x^{n}$ $x^{n}=x\cdot x\cdot x\cdot \dots \cdot x$ (n-mal) Rekursiv $x^{1}=x$ $x^{n+1}=x\cdot x^{n}$ (${}_{x^{n}}$ ist für alle x rekursiv definiert) Spezialfall $x^{0}:=1$ Beispiel $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot n$ Rekursiv $1!=1$ $(n+1)!=(n+1)\cdot n!$ Spezialfall $0!:=1$ Beispiel $a_{n}:=2$ $a_{n+1}:=2-{\frac {1}{a_{n}}}$ ($a_{n}$ ist $\forall n\in \mathbb {N}$ definiert) Berechnung $a_{2}=2-{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}$ $a_{3}=\dots ={\frac {4}{3}}$ $a_{4}=\dots ={\frac {5}{4}}$ $a_{5}=\dots ={\frac {6}{5}}$ Vermutung/Behauptung $a_{n}={\frac {n+1}{n}}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ (wurde bereits für ${}_{x=1\dots 5}$ bewiesen) Induktionsanfang wurde bereits für n=1 bewiesen Induktionsschluss Anfang: $a_{n}={\frac {n+1}{n}}$ Ziel: $a_{n+1}={\frac {n+2}{n+1}}$ $a_{n+1}=2-{\frac {1}{a_{n}}}=2-{\frac {1}{\frac {n+1}{n}}}=2-{\frac {n}{n+1}}={\frac {2\,(n+1)-n}{n+1}}={\frac {n+2}{n+1}}$ Grenzwert $\lim _{n\to \infty }{\frac {n+1}{n}}=1$ Binomialkoeffizient Definition $n,k\in \mathbb {N} ,\ k\leq n$ ${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}$ „n über k“ ${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$ $n!=\prod _{i=1}^{n}i$ Beispiel ${\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}}={\frac {7!}{4!\,3!}}={\frac {\color {red}1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\color {black}\cdot 5\cdot \color {blue}6\color {black}\cdot 7}{\color {red}1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\color {black}\cdot 1\cdot \color {blue}2\cdot 3\color {black}}}=5\cdot 7=35$ Definition ${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}={\frac {\color {red}1\cdot 2\cdot \ldots \cdot k\color {black}\cdot (k+1)\cdot \ldots \cdot n}{\color {red}k!\color {black}\cdot (n-k)!}}={\frac {(k+1)\cdot \ldots \cdot n}{(n-k)!}}$ Beispiel ${\begin{matrix}{\begin{pmatrix}n\\0\end{pmatrix}}&=&{\frac {n!}{0!\cdot n!}}={\frac {n!}{1\cdot n!}}&=&1\\\\{\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix}}&=&{\frac {n!}{n!\cdot (n-n)!}}={\frac {n!}{n!\cdot 0!}}&=&1\\\\{\begin{pmatrix}n\\1\end{pmatrix}}&=&{\frac {n!}{1!\cdot (n-1)!}}&=&n\\\\{\begin{pmatrix}n\\(n-1)\end{pmatrix}}&=&{\frac {n!}{(n-1)!\cdot (n-n+1)!}}&=&n\end{matrix}}$ Definition ${\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}}$ (spart Rechenarbeit) Beweis ${\begin{pmatrix}n\\n-k\end{pmatrix}}={\frac {n}{(n-k)!\cdot (n-(n-k))!}}={\frac {n!}{(n-k)!\cdot k!}}={\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}$ Beispiel ${\begin{pmatrix}99\\7\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}99\\92\end{pmatrix}}$ Additions-Theorem für Binominalkoeffizienten $\left\{\forall n,k\,|\,1\leq k\leq n\right\}:\quad {\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}n+1\\k\end{pmatrix}}$ Beweis ${\begin{pmatrix}n\\k-1\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}=\ldots$ $\ldots ={\frac {n!}{(k-1)!\cdot (n-k+1)!}}+{\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}=\ldots$ $\ldots ={\frac {n!\cdot k+n!\cdot (n-k+1)}{k!\cdot (n-k+1)!}}=\ldots$ $\ldots ={\frac {n!\cdot (k+(n-k+1))}{k!\cdot (n-k+1)!}}=\ldots$ $\ldots ={\frac {n!\cdot (k+(n-k+1))}{k!\cdot (n-k+1)!}}=\ldots$ $\ldots ={\frac {n!\cdot (n+1)}{k!\cdot (n+1-k)!}}$ Binomischer Lehrsatz Satz $\forall x,y\in \mathbb {R} \ \land \ \forall n\in \mathbb {N} :\quad (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{{\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}}\,x^{k}\,y^{n-k}}$ Beispiel ${\underline {(x+y)^{2}}}=\sum _{k=0}^{2}{{\begin{pmatrix}2\\k\end{pmatrix}}\,x^{k}\,y^{2-k}}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\,x^{0}\,y^{2}+{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\,x^{1}\,y^{1}+{\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}\,x^{2}\,y^{0}=y^{2}+2\,x\,y+x^{2}={\underline {x^{2}+2\,x\,y+y^{2}}}$ Pascalsches Dreieck         ${\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=1$               ${\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=1$   ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}=1$           ${\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}=1$   ${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}=2$   ${\begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}}=1$       ${\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}=1$   ${\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}=3$   ${\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}=3$   ${\begin{pmatrix}3\\3\end{pmatrix}}=1$   ${\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}=1$   ${\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}}=4$   ${\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}}=6$   ${\begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix}}=4$   ${\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}}=1$ Beweis Vollständige Induktion + Additionstheorem (siehe Skriptum) Beispiel ${\underline {\left(x-7\,y\right)^{5}}}=\sum _{k=0}^{k}{\begin{pmatrix}5\\k\end{pmatrix}}\,x^{k}\,\left(-7\,y\right)^{n-k}{\begin{matrix}\\=\\{}_{k=2}\end{matrix}}{\begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}}\,x^{2}\,\left(-7\,y\right)^{3}=10\,(-7)^{3}\,x^{2}\,y^{3}={\underline {-3\,430\,x^{2}\,y^{3}}}$ Mengen Eine Menge ist eine Zusammenfassung von bestimmten und wohl unterscheidbaren Objekten unserer Anschauung oder undseres Denkens zu einem Ganzen. siehe auch: Georg Cantor Die Objekte die zusammengefasst werden heißen „Elemente“. Falls $x$ ein Element der Menge $M$ ist schreiben wir $x\in M$. Falls $x$ nicht Element in der Menge M ist schreiben wir $x\notin M$. Angabe von Mengen Mengen werden mit Großbuchstaben $(A,B,C,\ldots ,M,\ldots )$ bezeichnet. explizite Angabe (enumerative Methode) $A=\left\{5,10,17,-16\right\}$ destriktive Methode $\mathbb {F} =\left\{n\in \mathbb {N} \,|\,n\in \mathrm {Prim} \right\}$    (${}_{\mathbb {N} }$ ist Grundmenge) $\mathbb {R} ^{+}=\left\{x\in \mathbb {R} \,|\,x>0\right\}$ $A=\left\{a,b,\ldots ,z\right\}$ $G=\left\{n\in \mathbb {N} :\quad n=z\,k|z\in \mathbb {N} \right\}=\left\{2,4,6,9,\ldots \right\}$ Definition Eine Menge $A$ heißt Teilmenge von $B$ wenn gilt $x\in A\Rightarrow x\in B$ in Zeichen $A\subset B$ Beweis Für $A=B$ gilt $A\subset B$ Für $A\subset B$ und $A\neq B$ heißt „echte Teilmenge“ von $B$. Definition $A=B\Leftrightarrow A\subset B\land B\subset A$ leere Menge $\emptyset =\left\{\ \right\}$ Satz $A\subset B\land B\subset C\Rightarrow A\subset C$ Beweis $x\in A\Rightarrow x\in B\Rightarrow x\in C$ daher $A\subset C$ Definition Sei $A$ eine Menge. Die Potenzmenge $P(A)$ ist die Menge aller Teilmengen von $A$. $P(A):=\left\{B:\quad B\subset A\right\}$ Die Elemente von $P(A)$ sind Mengen. Beispiel $A=\left\{1,2\right\}$ $\quad P(A)=\left\{0,\{1\},\{2\},\{1,2\}\right\}$ $4=2^{2}$ Elemente $A=\{a,b,c\}$ $P(A)=\left\{0,\{a\},\{b\},\{c\},\{a,b\},\{a,c\},\{b,c\}\right\}$ $8=2^{3}$ Elemente Mengenoperationen Definition $A,B$ sind Mengen Vereinigung $A\cup B=\{x:\ x\in A\lor x\in B\}$ Durchschnitt $A\cap B=\{x:\ x\in A\land x\in B\}$ Differenz $A\setminus B=\{x:\ x\in B\land x\notin A\}$ Komplement $A^{c}:\ \{x\in M:\ x\notin A\}$ $A^{c}=M\setminus A$ Produktmenge (karthesisches Produkt) $A\times B=\{(a,b):\ a\in A\land b\in B\}$ Die Elemente von $A\times B$ sind geordnete Paare der Form $(a,b)$ Beispiel $A=\{1,2\},\ B=\{a,b,c\}$ $A\times B=\{(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)\}$ $A\times B=\{(x,y):x\in A,y\in B\}$ $A\times B\times C=\{(x,y,z)|x\in A,y\in B,z\in C\}$ Beispiel $\mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{2}=\{(x,y)|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} \}$ $\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} =\mathbb {R} ^{3}=\{(x,y,z)|x\in \mathbb {R} ,y\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {R} \}$ $A_{1}\times A_{2}\times \ldots \times A_{n}=\{(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})|a_{i}\in A_{i},i=1,2,\ldots ,n\}$ $\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \ldots \times \mathbb {R}$ Rechenregeln $A\cup B$ $=$ $B\cup A$ Kommutativgesetz $A\cap B$ $=$ $B\cap A$ $(A\cup B)\cup C$ $=$ $A\cup (B\cup C)$ Assoziativgesetz $(A\cap B)\cap C$ $=$ $A\cap (B\cap C)$ $A\cup (B\cap C)$ $=$ $(A\cup B)\cap (A\cup C)$ Distributivgesetz $A\cap (B\cup C)$ $=$ $(A\cap B)\cup (A\cap C)$ $(A\cup B)^{c}$ $=$ $A^{c}\cup B^{c}$ de Morgansche Regeln $(A\cap B)^{c}$ $=$ $A^{c}\cap B^{c}$ Abbildungen (Funktionen) Abbildung ${\begin{matrix}A&\to &B\\a&\mapsto &f(a)\end{matrix}}$ Definition Seien $a,b$ Mengen. Eine „Abbildung“ oder „Funktion“ ist eine Vorschrift die jedem $a\in A$ genau ein $f(a)\in B$ zuordnet. Definition $A$ = Definitionsbereich $B$ = Bildbereich $f(a)$ = Bild von a Beispiel $f(A)=\{f(a)|a\in A\}$ (Bild der Abbildung) Beispiel Gerade: ${\begin{matrix}f:\ &\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &x\end{matrix}}$ (45° Gerade; 1. Median) Graph von f: $G(f)=\left\{\left(a,f\left(a\right)\right)|a\in A\right\}$ $G(f)\subset A\times B$ Bild von f: $Bild(f)=\mathbb {R}$ (Ergebnis der Funktion ist über die gesammte Menge ${}_{\mathbb {R} }$ definiert) Beispiel ${\begin{matrix}f:&\mathbb {R} &\to &\mathbb {R} \\&x&\mapsto &2\end{matrix}}\Leftrightarrow f(x)\equiv 2\Leftrightarrow x\equiv 2$ (${}_{y=2}$ ist keine Funktion sondern eine Behauptung) Wichtig Ein Graph einer Fuktion $G(f)$ darf einem $x$ nicht mehrere $f(x)$ zuordnen! Beispiel $x=\pm {\sqrt {2}}$ ist keine Funktion $x=+{\sqrt {2}}$ ist eine Funktion $x=-{\sqrt {2}}$ ist eine Funktion Beispiel $x^{2}+y^{2}=1,\ (x,y)\in \mathbb {R}$ (Kreisgleichung) wird umgeformt in $y=f_{+}(x)=+{\sqrt {1-x^{2}}}\quad f_{+}[-1,1]\to \mathbb {R}$ (positiver Definitionsbereich) $y=f_{-}(x)=-{\sqrt {1-x^{2}}}\quad f_{-}[-1,1]\to \mathbb {R}$ (negativer Definitionsbereich) Bijektive Abbildung Definition Zwei Mengen $A,B$ heißen „äquivalent“ oder „gleich mächtig“ wenn eine Abbildung für $A\to B$ existiert. Dies wird $A\sim B$ geschrieben. Definition Eine Menge $A$ heißt „endlich“ wenn $A\sim \{1,\ldots ,n\}$. Definition $A$ ist abzählbar, wenn $A\sim \mathbb {N}$. Eine Menge, die nicht endlich und nicht abzählbar ist heißt überabzählbar. Beispiel $\mathbb {N} =\{0,1,2,3,\ldots \}\sim \mathbb {N} =\{1,2,3,\ldots \}$. ${\begin{array}{rrcl}f:&\mathbb {N} &\to &\mathbb {N} _{0}\\\,&n&\mapsto &n-1\end{array}}$ Beispiel $\mathbb {N} \sim \mathbb {Z} =\{\ldots ,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots \}$ $n\to {\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{wenn}}\ n{\bmod {2}}=0\\{\frac {1-n}{2}}&{\text{wenn}}\ n{\bmod {2}}=1\end{cases}}$ Satz $\mathbb {Q}$ ist abzählbar Beweis $\mathbb {Q} =\left\{\left.{\frac {p}{2}}\right|p,q\in \mathbb {Z} ;\ q\neq 0;\ ggT(p,q)=1\right\}$ $\mathbb {Q} ^{+}=\left\{\left.{\frac {p}{2}}\right|p,q\in \mathbb {Z} ;\ ggT(p,q)=1\right\}$ (${}_{ggT(p,q)\Rightarrow p,q}$ sind Teilerfremd) es genügt die Abzählbarkeit von $\mathbb {Q} ^{+}$ zu zeigen. Cantors erstes Diagonalargument ${\begin{array}{llllll}{\frac {1}{1}}\to 1&{\frac {2}{1}}\to 2&{\frac {3}{1}}\to 6&{\frac {4}{1}}\to 7&{\frac {5}{1}}\to 15&\dots \\{\frac {1}{2}}\to 3&{\frac {2}{2}}\to 5&{\frac {3}{2}}\to 8&{\frac {4}{2}}\to 14&\vdots &\dots \\{\frac {1}{3}}\to 4&{\frac {2}{3}}\to 9&{\frac {3}{3}}\to 13&\vdots &\vdots &\dots \\{\frac {1}{4}}\to 10&{\frac {2}{4}}\to 12&\vdots &\vdots &\vdots &\dots \\{\frac {1}{5}}\to 11&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\dots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{array}}$ Man zählt längs der Diagonalen und lässt dabei bereits gezählte Zahlen aus. Die rellen Zahlen ℝ Zahlengerade weist jeder Zahl einen Punkt zu. Rechengesetze A1 $x+(y+z)=(x+y)+z$ Assoziativgesetz A2 $x+y=y+x$ Kommutativgesetz A3 $x+0=x$ Neutrales Element A4 $\forall (x\in \mathbb {R} )\ \exists (-x):\ x+(-x)=0$ Inverses Element $x-y:=x+(-y)$ Subtraktion M1 $x\,(y\,z)=(x\,y)\,z$ Assoziativgesetz M2 $x\,y=y\,x$ Kommutativgesetz M3 $x\cdot 1=x$ Neutrales Element $x\cdot 0=0$ M4 $\forall (x\neq 0\in \mathbb {R} )\ \exists x^{-1}:\ x\,x^{-1}=1$ Inverses Element ${\frac {x}{y}}:=x\,y^{-1}$ Division D1 $x\,(x+z)=x\,y+x\,z$ Distributivgesetz Ungleichungen $0\leq x\Leftrightarrow x\in \mathbb {R} _{+}\cup {0}$ $0<x\Leftrightarrow x\in \mathbb {R} _{+}\setminus {0}$ $y\leq y\Leftrightarrow \left\{y=x+z|z\geq 0\right\}$ $y<y\Leftrightarrow \left\{y=x+z|z>0\right\}$ Monotoniegesetze in ℝ $\forall x,y,z,u,v\in \mathbb {R} :$ 1   $x\leq y$ $\Rightarrow$ $x+z\leq y+z$ 2 $x\leq y\land u\leq v$ $\Rightarrow$ $x+u\leq y+v$ 3 $x\leq y\land u\leq v$ $\Rightarrow$ $x+u\leq y+v$ 4 $x\leq y\land z\geq 0$ $\Rightarrow$ $x\,z\leq y\,z$ $x<y\land z>0$ $\Rightarrow$ $x\,z<y\,z$ 5 $x\leq y\land z\leq 0$ $\Rightarrow$ $x\,z\geq y\,z$ $x<y\land z<0$ $\Rightarrow$ $x\,z>y\,z$ 6 $0<x<y$ $\Rightarrow$ $x^{-1}>y^{-1}$ Betrag Betrag Der Betrag $\left|x\right|$ ist der Abstand einer Zahl $x$ vom Nullpunkt. $\left|x\right|:={\begin{cases}\ \ x&x\geq 0\\-x&x<0\end{cases}}$ Signum $\operatorname {sgn} x:={\begin{cases}\ \ 1&x>0\\\ \ 0&x=0\\-1&x<0\end{cases}}$ Rechengesetze für Absolutbetrag $\forall x,y\in \mathbb {R} :$ $\left|x\,y\right|=\left|x\right|\,\left|y\right|$ $\left|x\pm y\right|\leq \left|x\right|+\left|y\right|$ (Dreiecksungleichung) Gauß-Klammer $\lfloor x\rfloor :=\{\max k|k\in \mathbb {Z} \land k\leq x\}$ Intervall Definition (Endliches Intervall) $\forall \{a,b\in \mathbb {R} |a<b\}:$ $[a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x\leq b\}$ abgeschlossenes Intervall $(a,b):=\{x\in \mathbb {R} :a<x<b\}$ offenes Intervall $[a,b):=\{x\in \mathbb {R} :a\leq x<b\}$ rechts halboffenes Intervall $(a,b]:=\{x\in \mathbb {R} :a<x\leq b\}$ links halboffenes Intervall Die Punkte $a.b$ heißen Endpunkte des Intervalls. $l=b-a$ heißt Intervalllänge. Definition (Unbeschränktes Intervall) $\forall a\in \mathbb {R} :$ $(a,\infty ):=\{x\in \mathbb {R} :x>a\}$ $[a,\infty ):=\{x\in \mathbb {R} :x\geq a\}$ $(-\infty ,a):=\{x\in \mathbb {R} :x<a\}$ $(-\infty ,a]:=\{x\in \mathbb {R} :x\leq a\}$ Mengen von Reellen Zahlen Komplexe Zahlen ℂ Definition $z=x+i\,y;x,y\in \mathbb {R}$ komplexe Zahl $x=\Re z$ Realteil von $z$ $y=\Im z$ Imaginärteil von $z$ $z=0+i\,y=i\,y$ rein imaginäre Zahl $z=x+i\,0=i\,y$ rein reelle Zahl Rechengesetze Definition $z_{1}=a+i\,b$ $z_{2}=c+i\,d$ Addition $z_{1}+z_{2}=(a+c)+i\,(b+d)$ Nullelement der Addition $0=0+0\,i$ Additiv inverses Element $-z=-x-i\,y$ Multiplikation $z_{1}\,z_{2}=(a\,c-b\,d)+i\,(a\,d+b\,c)$ Einselement der Multiplikation $1=1+0\,i$ Multiplikativ inverses Element $\forall z\neq 0\exists z':z\,z'=1$ $z'=z^{-1}={\frac {1}{z}}$ mit $z'=u+i\,v:z'={\frac {x-i\,y}{x^{2}+y^{2}}}$ Division ${\frac {1}{z}}:={\frac {x-i\,y}{x^{2}+y^{2}}}$ ${\frac {w}{z}}:=w\,{\frac {1}{z}}$ Definition ${\overline {z}}=x-i\,y\Leftrightarrow z=x+i\,y$ (konjugiert komplexe Zahl) $z\,{\overline {z}}=x^{2}+y^{2}$ $\forall z\neq 0:z\,{\overline {z}}>0$ Definition Der Betrag einer komplexen Zahl $z=x+i\,y$ ist ihr Abstand vom Nullpunkt $|z|:={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ es gilt $|z|^{2}=z\,{\overline {z}}$ ${\frac {1}{z}}={\frac {\overline {z}}{|z|^{2}}},\quad {\frac {w}{z}}={\frac {w\,{\overline {z}}}{|z|^{2}}}$ Folge $\mathbb {C}$ ist ein Körper, da Addition, Subraktion, Multiplikation und Division definiert sind. Polarform n-te Wurzel Zahlenfolgen Partialbruchzerlegung $f\left(x\right)={\frac {z\left(x\right)}{n_{1}\left(x\right)\cdot n_{2}\left(x\right)}}\to f\left(x\right)=q\left(x\right)+{\frac {A\left(x\right)}{n_{1}\left(x\right)}}+{\frac {B\left(x\right)}{n_{2}\left(x\right)}}$ $\operatorname {Grad} \left(A\right)<\operatorname {Grad} \left(n_{1}\right)$ $\operatorname {Grad} \left(B\right)<\operatorname {Grad} \left(n_{2}\right)$ $q$ wird durch Polynomdivision ermittelt Integration und Stammfunktionen Substitutionsregel für unbestimmte Integrale Partielle Integration Bestimmtes Integral Uneigentliches Integral Integral mit stetig ergänzbarem Integrand Integral das als Grenzwert berechnet wird Differenzialgleichungen Elementare Differenzialgleichungen Trennen der Veränderlichen $g(y)\cdot y'=h(x)\to G(y)-F(x)-C=0$ Lineare Differenzialgleichung erster Ordnung $y'+q(x)\cdot y=f(x)$ $f=0$ homogene DGL; $f\neq 0$ inhomogene DGL Differenzialgleichung mit konstanten Koeffizienten Homogene Differenzialgleichung Riccati-Differentialgleichung (Ricatti-Differentialgleichung) Anfangswertproblem