Benutzer:MovGP0/Mathematik für ET/Semester 3

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Grundlagen Logik Aussagenlogik Identität $A\Leftrightarrow B$ $A$ $\neg A$ $1$ $0$ Negation $A\Leftrightarrow B$ $A$ $\neg A$ $0$ $1$ Tautologie $A\Leftrightarrow B$ $A$ $\neg A$ $1$ $1$ Kontradiktion; Widerspruch $A\Leftrightarrow B$ $A$ $\neg A$ $0$ $0$ Äquivalenz $A\Leftrightarrow B$ $A$ $\neg A$ $B$ $1$ $0$ $\neg B$ $0$ $1$ Implikation $A\Rightarrow B$ $A$ $\neg A$ $B$ $1$ $1$ $\neg B$ $0$ $1$ Disjunktion $A\lor B$ $A$ $\neg A$ $B$ $1$ $1$ $\neg B$ $1$ $0$ Konjunktion $A\lor B$ $A$ $\neg A$ $B$ $1$ $0$ $\neg B$ $0$ $0$ Kommutativgesetz $A\lor B$ $\Leftrightarrow$ $B\lor A$ $A\land B$ $\Leftrightarrow$ $B\land A$ Assoziativität $A\lor \left(B\lor C\right)$ $\Leftrightarrow$ $\left(B\lor A\right)\lor C$ $A\land \left(B\land C\right)$ $\Leftrightarrow$ $\left(B\land A\right)\land C$ Distributivität $A\lor \left(B\land C\right)$ $\Leftrightarrow$ $\left(A\land B\right)\lor \left(A\land C\right)$ $A\land \left(B\lor C\right)$ $\Leftrightarrow$ $\left(A\lor B\right)\land \left(A\lor C\right)$ Implikation $A\Rightarrow B$ $\Leftrightarrow$ $\neg A\lor B$ Verschmelzungsgesetz $\neg \left(A\land B\right)\lor A$ $\Leftrightarrow$ $A$ $\neg \left(A\lor B\right)\land A$ $\Leftrightarrow$ $A$ Dualität $\neg \left(A\lor B\right)$ $\Leftrightarrow$ $\left(\neg A\right)\lor \left(\neg B\right)$ $\neg \left(A\land B\right)$ $\Leftrightarrow$ $\left(\neg A\right)\land \left(\neg B\right)$ Doppelnegation $\neg \left(\neg A\right)$ $\Leftrightarrow$ $A$ Tautologie $A\land T$ $\Leftrightarrow$ $A$ $A\lor T$ $\Leftrightarrow$ $T$ Widerspruch $A\land W$ $\Leftrightarrow$ $W$ $A\lor W$ $\Leftrightarrow$ $A$ Prädikatenlogik Symbole Logiksymbole $\neg$ $\Rightarrow$ $\exists$ $\forall$ $=$ $\lor$ $\land$ Nicht Folgt Existiert Existenzquantor für alle Allquantor gleich oder und Logik Variablen Konstanten Prädikate Funktionen Funktionssymbole sind spezifisch in der beschriebenen Sprache (etwa Natürliche Zahlen) Terme Term variabler Term konstanter Term Variabel Konstante Funktion(Term,Term,Term) keine Variablen Primformel Bedingung $t_{1}=t_{2}$ Gleichungen aus Termen $R(t_{1},t_{2},\dots ,t_{3})$ R ist Prädikat t1…tn sind Term Formel Bedingung $F$ Primformel $\neg F,\ F\Rightarrow G,\ F\Leftrightarrow G$ F,G : Formel $(\exists x)F,\ (\forall x)F$ wenn vor der Variablen x kein Quantor steht ist sie frei $(\forall x)((\forall y)F)\Leftrightarrow (\forall x)(\forall y)F$ Algebra Trigonometrische Funktionen Wichtige Funktionswerte Winkel $\alpha$ $0$ ${\frac {\pi }{6}}$ ${\frac {\pi }{4}}$ ${\frac {\pi }{3}}$ ${\frac {\pi }{2}}$ $\pi$ ${\frac {3\pi }{2}}$ Sinus $0\,$ ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ $1\,$ $0\,$ $-1\,$ Kosinus $1\,$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}$ ${\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}$ ${\frac {1}{2}}$ $0\,$ $-1\,$ $0\,$ Tangens $0\,$ ${\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}$ $1\,$ ${\sqrt {3}}$ nicht definiert $0\,$ nicht definiert Sinussatz ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2\,r={\frac {u}{\pi }}$ Kosinussatz $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2\,a\,b\,\cos \gamma \qquad \left\|{\vec {c}}\right\|^{2}=\left\|{\vec {a}}\right\|^{2}+\left\|{\vec {b}}\right\|^{2}-2\,{\vec {a}}\,{\vec {b}}$ Hyperbelfunktionen $\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}$ $\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}$ $\operatorname {asinh} \ x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)$ $\operatorname {acosh} \ x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ Kofunktionen $\csc x={\frac {1}{\sin x}}$ $\sec x={\frac {1}{\cos x}}$ $\cot x={\frac {1}{\tan x}}$ siehe auch: Vorlage:Umrechnungstabelle Trigonometrie komplexe Zahlen und Exponentialfunktionen Moivrescher Satz $\left(\cos x+i\,\sin x\right)^{n}=\cos \left(n\,x\right)+i\,\sin \left(n\,x\right)$ $\cos x+i\,\sin x=\operatorname {cis} \,x$ Wahrscheinlichkeitstheorie Statistik