Diskussion:Cesàro-Mittel

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Der heutige Artikel hat einmal 'Cesàro-Summe' und viermal 'Cesàro-Summierbarkeit'. Alles was davon gesagt wird, ist fehl (meiner Meinung); sehe meinen Vorschlag hierunten.
Ausserdem: man kann nicht definieren was 'Cesàro-Mittel' sind. Nur was 'die Cesàro-Mittel einer gegebenen Folge'  sind. Nämlich: die Glieder der aus der gegebenen Folge ($a_{n}$)$_{n=1,2,\cdots }$ gebildeten Folge $($($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n)_{n=1,2,\cdots }$ .

Wer hat Kommentar beim Vorschlag hierunter?  (Und wer will Sprache und Grammatik korrigieren? Danke! ):

Vorschlag 4. Juli 2017

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Cesàro-Mittel

Mit Cesàro-Mittel einer Folge (oder Cesàro-Durchschnitte einer Folge), werden die arithmetischen Mittel der Glieder ihrer endlichen Anfangsstücke angedeutet.
Das 'Mittel-nehmen' gibt ein Ausgleich von (eventuelle, nicht zu grosse) Unregelmässigkeiten in einer gegebener Folge, wodurch es möglich wird falls die Folge selbst nicht konvergiert, doch eine alternatieve 'Grenzwert' bei zu fügen. Dieses Verfahren macht es auch bisweilen möglich einer nicht-summierbarer Folge eine alternatieve 'Summe' zu geben. Die Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859-1906) zurück.

Cesàro-konvergente Folge

Wenn die Glieder einer Folge ($a_{n}$)  einem Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  konvergent .
Und wenn die arithmetischen Mittel  ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n$  der Glieder $a_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  Cesàro-konvergent,  und diesen Grenzwert  Cesàro-Grenzwert der Folge ($a_{n}$) .  Die Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge, ist der (gewöhnlichen) Grenzwert dieser Folge gleich.  Beweis in Cauchyscher Grenzwertsatz.

Cesàro-summierbare Folge

Wenn die Summenfolge ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)  =  ($s_{n}$)  einer Ausgangsfolge ($a_{n}$) konvergiert, nennt man Folge ($a_{n}$) summierbar.
Und wenn die arithmetischen Mittel  ($s_{1}+\cdots +s_{n}$)$/n$  der Partialsummen $s_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  Cesàro-summierbar oder C1-summierbar,  und diesen Grenzwert  Cesàro-Summe der Folge ($a_{n}$) . Die Cesàro-Summe einer summierbaren Folge, ist der (gewöhnliche) Summe dieser Folge gleich.

Beispiele

Zu die divergenten Folge  1, -1, 1, -1, 1, ···  (die Grandi-Folge, G)  gehören die Cesàro-Mittel:
1/1 = 1,   (1-1)/2 = 0,   (1-1+1)/3 = 1/3,   (1-1+1-1)/4 = 0,   (1-1+1-1+1)/5 = 1/5,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heisst Folge G  Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0.

Zu die nicht summierbaren Folge G gehört die divergente Partialsummen-Folge  1, 0, 1, 0, 1, ··· ,  mit Cesàro-Mittel:
1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   (1+0+1+0+1) = 3/5,   (1+0+1+0+1+0) = 3/6,  usw.
Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heisst Folge G  Cesàro-summierbar, mit Cesàro-Summe 1/2.

Anwendung

...........

Literatur

............

Weblinks

............

-- Hesselp (Diskussion) 15:30, 4. Jul. 2017 (CEST)

Zunächst einmal sehe ich nicht, was am aktuellen Artikel falsch sein soll.

Was den Überarbeitungvorschlag betrifft, so ist er in der derzeitigen (sprachlichen) Form keine Verbesserung.

Was ist die alternative Gliederung betrifft, kann man sicher so machen, aber ich weiß nicht ob sie soviel besser als die aktuelle. Insgesamt stehe ich dem neutral gegenüber. Ähnliches gilt für die alternative Summennotation, diese ist zwar etwas intuitiver, aber der primären Leserschaft dieses Artikels kann man erwarten, dass sie die Sigmanoation verstehen.

Ein zusätzliches Beispiel einer divergenten aber Cesaro-summierbaren Folge ist sicher sinnvoll.--Kmhkmh (Diskussion) 16:30, 4. Jul. 2017 (CEST)

A. Heutige Text ist falsch, weil:
- Im Anfang sind 'Cesàro-Mittel' und 'Cesàro-Summe" als Synonym presentiert.   Aber: "Konvergenz der Cesàro-Mittel" Z.3 oder "Konvergenz im Sinne von Cesàro" oder "Cesàro-Konvergenz"   ist ungleich  "Cesàro-summierbarkeit".
- Im tekst steht: "Aus der Konvergenz einer Folge folgt ihre Cesàro-Summierbarkeit."   Aber: die Folge  (1/n)  ist konvergent (Grenzwert 0), doch nicht Cesàro-summierbar.

B. Was ist (für Anfänger) leichter zu lesen und verstehen?   Welche ist mehr 'sprachlich' ?

B1. Zu einer Zahlenfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ wird durch $c_{n}:={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}$ die Folge $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ definiert und als Folge von Cesàro-Mitteln bezeichnet.   [Nicht "Folge von Cesàro-Mitteln" aber "Folge von Cesàro-Mittel der Folge ($a_{n}$) .]

Falls die Folge $(c_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert, so wird die Ausgangsfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ als Cesàro-summierbarkonvergent bezeichnet.

oder

B2. Wenn die Glieder einer Folge ($a_{n}$)  einem Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  konvergent .
Und wenn die arithmetischen Mittel  ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n$  der Glieder $a_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  Cesàro-konvergent .

-- Hesselp (Diskussion) 23:32, 4. Jul. 2017 (CEST)

Ja stimmt, Summierbarkeit bezieht sich auf die Reihe zu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und nicht auf die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ selbst. Ärgerlich das das seit Jahren so falsch im Artikel stand, ohne dass es jemand auffiel. Im Hinblick darauf ist dann auch die von dir vorgeschlagene Strukturierung mit separaten Abschnitten zu Summierbarkeit und Konvergenz besser. Ich werde es in den nächsten Tagen mal etwas überarbeiten. Unabhängig davon verdient die Cesaro-Summierbarkeit sowie verwandte Summation-Methoden eigentlich einen eigenen Artikel.--Kmhkmh (Diskussion) 08:09, 5. Jul. 2017 (CEST)

Es scheint, wir kommen weiter/näher.
Du schreibst: "Summierbarkeit bezieht auf Reihe zu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ und nicht auf die Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ selbst." Ich verstehe nicht was hier gemeint ist. "Summierbare Folge" ist klar und unzweideutig. Bei "summierbare Reihe" muss man wissen das (meistens) nicht "summierbare Partialsummenfolge einer Folge" gemeint wird, aber "konvergente ('limitierbare') Partialsummenfolge einer Folge".
Ich wollte sehr gerne das nicht eindeutig zu definieren Wort "Reihe" aus beide 'Cesàro'-artikel weglassen.
Es ist vielleicht praktisch das Resultat des 'etwas überarbeiten' zuerst hier zu zeigen? -- Hesselp (Diskussion) 13:28, 5. Jul. 2017 (CEST)

Das halte ich für keine gute Idee, da in der Literatur summierbar eindeutig mit Reihen assoziiert ist und Wikipedia-Artikel sind gehalten sich an der üblich Darstellung zu orientieren und keine eigene Didaktik zu Begriffen zu verwenden.--Kmhkmh (Diskussion) 18:21, 5. Jul. 2017 (CEST)

Ist das wirklich so? Bisher war mir ein Begriff wie „summierbare Reihe“ ebenfalls unbekannt. Es gibt zwar ein paar Google-Treffer, aber üblich scheint es mir, nur „summierbare Folge“ oder (wesentlich häufiger, weil allgemeiner) „summierbare Familie“ zu definieren. Wir haben dazu auch einen Artikel summierbare Familie. Grüße -- HilberTraum (d, m) 20:13, 5. Jul. 2017 (CEST)

Wir reden hier aneinander vorbei. Mir geht es nicht um die Ausdrücke "summierbare Folge" versus "summierbare Reihe" oder Ähnliches, sondern darum dass in der Literatur, wenn von Summierbarkeit die Rede ist auch immer der Begriff Reihe in der Nachbarschaft fällt. Sowie man eben auch die (die Folge der) Partialsummen mit einer Reihe assoziiert bzw. wenn von Partialsummen die Rede ist auch fast immer der Begriff Reihe in der Nachbarschaft auftaucht. Deswegen halte ich es für widersinnig, das im Artikel zu künstlich zu unterdrücken und den Begriff Reihe aus vermeintlichen didaktischen Gründen(?) überhaupt nicht zu erwähnen, so wie Hesselp das offenbar möchte, wenn ich ihn da richtig verstanden habe.--Kmhkmh (Diskussion) 04:10, 6. Jul. 2017 (CEST)

Ja, wir reden hier einander vorbei ..... solange du schreibst (zweimal hieroben): "der BEGRIFF Reihe in der Nachbarschaft fällt/auftaucht" (= geschrieben steht).   Ein WORT, oder allgemeiner: ein verbaler oder symbolischer AUSDRUCK, kan geschrieben stehen. Nicht der hinterliegende 'Begriff'.  Wie eher gesagt, das Wort 'Reihe' lässt sich nicht eindeutig mit nur ein Begriff verbinden. Sehe die Untereinteilung in meiner Text auf english (01:38, 6 Juli).
Oder, wenn das nicht überzeugt, sehe "Angabe als Reihe" mit:
-  das nichts-sagende "Eine Folge deren $n$-tes Glied die Summe der ersten $n$ Glieder einer anderen Folge ist, heißt eine Reihe." (Früher: "......geschrieben werden kann, heisst eine Reihe.") Kommentar: Jeder Folge ist Summenfolge ihrer Differenzenfolge. Also: jeder Folge ist eine Reihe.
-  "Man kann jede Folge ... als eine Reihe auffassen".  Kommentar: 'Man kann..'? Warum nicht 'Man soll..'? Warum nicht: 'Man kann jede Folge 'Reihe' nennen.'?
-  "Folge und Reihe sind also nicht scharf voneinander trennbar.  Kommentar: Warum 'nicht scharf, und nicht 'gar nicht'?
Oder sehe "Reihe - Definition" mit (paraphrasiert):
-  "Eine Folge heisst 'Reihe', wenn man [wer?] die Folge aus ihre Differenzenreihe konstruiert hat."  Kommentar: Was sagt ein Mathematiker davon?
Oder sehe Dreissig Versuche um 'Reihe' zu definieren  Gefunden in Biblioteke in Holland.

In deinen acht Zeilen lese ich:  "der Begriff Reihe",  "mit einer Reihe",  "der Begriff Reihe",  "den Begriff Reihe".  Es ist mir nicht möglich zu verstehen was du meinst wenn du schreibst das ich etwas "künstlich unterdrücken" will,  solange ich hier nicht lesen kann was du versteht unter 'Reihe' (oder 'Reihe zu einer Folge'), und was du denkst das ein Leser sich dabei denkt.
In meiner Textvorschlag (15:31, 4. Jul.) wird - meiner Meinung nach - nichts "künstlich unterdrückt"  (I did not (artificially) 'avoid or skip the term series'.)  Ich versuchte die Text maximal eindeutig und lesbar zu machen; ich glaube nicht das es eine WP-Regel gibt die das nicht billigt.

Das traditionele zweideutig sein von 'konvergent' und 'konvergieren' (Gauss 18??: " Die Convergenz einer Reihe an sich ist also wohl zu unterscheiden von der Convergenz ihrer Summirung", Werke, Abt.I, Band X, S.400.)  macht  'konvergente Folge a  ≠   'konvergente Reihe zu a '  (weil: 'summierbare Folge a '  =  'summierbare Reihe zu a ').
Viele Autoren (sehe Google) versuchen beim Cesàro-konvergenz die zweideutigkeit zu vermeiden, und anwenden nicht 'Cesàro-konvergente Reihe zu a '  (und zugleich ebensowenig 'Cesàro-summierbare Reihe zu a '). -- Hesselp (Diskussion) 20:51, 6. Jul. 2017 (CEST)

Um es noch einmal zu sagen, wir stellen es so dar, wie es in der Literatur dargestellt wird. Dass du den Begriff Reihe offenbar wegen der Mehrdeutigkeit nicht magst, kann ich bedingt nachvollziehen, das ist aber für WP irrelevant. Die Diskussionen zu Reihen und Folgen auf en.wp habe ich gelesen und die dort von gewünschte Gleichsetzung/Gleichbehandlung von Reihe und Folge bzw. Nichtverwendung des Reihenbegriffes wurde abgelehnt. Aus meiner Sicht zu Recht und ich sehe keinen Grund da auf de.wp anders zu verfahren.--Kmhkmh (Diskussion) 21:18, 6. Jul. 2017 (CEST)

- Bei Kmhkmh 6. Jul. 2017: "Nichtverwendung des Reihenbegriffes wurde abgelehnt".
Nein, es war umgekehrt. Alle Diskussions-Teilnehmer akzeptierten das es keine mathematische Definition zu finden ist für 'der Reihebegriff'. Und das das Wort 'Reihe' ('series') nur brauchbar ist als Variante für (ebensowenig als mathematischer Begriff zu definieren) 'unendliche Summe' ('infinite sum'). Sehe "removing subhead ['Definition', Hesselp as discussed on talk"]

- Bei Kmhkmh 6. Jul. 2017: "gewünschte Gleichsetzung/Gleichbehandlung von Reihe und Folge [....] wurde abgelehnt".
Auf en.wp in dieser Artikel-Version Attempt to describe different uses of the word 'series' in mathematics. Instead of defining this word as the name of a non-existend entity. Als vierter/letzter Mögligheit wurde genannt: "Finally, (the noun) series can be synonymous with sequence.  Cauchy defined the word series by "an infinite sequence of real numbers". The use of the word 'series' for 'sequence' has a long tradition, with analogons in other languages, but seems to be considered as somewhat outdated."   Dieser Auffassung ist in der Diskussion nirgendwo abgeleugnet.

- In dieser Version (4 May 2017)  wurde "summable series"  introduziert als Synonym für "convergent series" . -- Hesselp (Diskussion) 13:49, 30. Jul. 2017 (CEST)

1)   "...wie es in der Literatur dargestellt wird."
Ich wiederhole: bitte zeige hier Bücher usw. mit einer Sektion: Cesàro-summierbare 'Objekte' .  So das die Leser hier sehen können was du meinst mit 'in der Literatur'.
2)   "...den Begriff Reihe .. wegen der Mehrdeutigkeit..."
Nochmals: Nein. Das Wort (der Name) 'Reihe' ist mehrdeutig. Was du denkst bei 'den Begriff Reihe' hast du hier noch nicht erzählt. Ich warte.
3)   "Nichtverwendung des Reihenbegriffes..."
Welches 'Reihenbegriff' hast du hier vor Augen? Ich weiss es wirklich nicht, du sprichst (schreibst) in Rätsel.
4)   Zusammenfassend:  Wir sind darüber einverstanden das die heutige Text 'falsch' ist ("Ja stimmt"; 08:09, 5.Jul.). Noch immer?  Es liegt einen Vorschlag vor, und du hast angekündigt 'es etwas zu umarbeiten'.  Ich sehe natürlich gerne dein Resultat; innerhalb einer Woche? (oder zwei?). -- Hesselp (Diskussion) 23:48, 6. Jul. 2017 (CEST)

Ehrlich gesagt langsam finde ich die Diskussion nervig und sie fängt an auf der Stelle zu treten, deswegen werde ich sie mit diesem Beitrag vorläufig beenden. Jemand mit deinen Kenntnissen sollte genug Literatur kennen und zwar auch solche die in diesem Zusammenhang im Zusammenhang mit Cesaro-Mittel, (Cesaro-)Summierbarkeit, oder Cesaro-Konvergenz der Begriff Reihe fällt.

Um deine obige Frage zu beantworten, unter Literatur versteht man Zeitschriften/Journale und Bücher und im Artikel stehen die ganze schon zwei Bücher angegeben, die damals für den Artikel verwendet wurden. Aber wenn du unbedingt einen Google-Vergleich möchtest, mit Google-Books erhält man z.B. "summierbare Folge" - 162 Treffer und "summierbare Reihe" - 294 Treffer, "summable sequence" - 3200 Treffer und "summable series" - 4540 Treffer. In diesem Lexikon-Eintrag zur Cesaro-Summation bzw. Summierbarkeit wird der Wort Folge nicht einmal verwendet: Guido Walz: Lexikon der Mathematik.

Eine Diskussion um Vor- und Nachteile sowie Mehrdeutigkeit des Reihenbegriffes führe ich mit dir hier nicht. Ob dich oder mich der Begriff stört (oder auch nicht) ist für WP kein Kriterium und die Darstellung in WP orientiert sich, wie bereits mehrfach erwähnt, an der in der Literatur üblichen Darstellung. Gibt es mehrere übliche Darstellungen, erwähnt WP gegebenenfalls alle. Die Orientierung an der Literatur ist eine Projektvorgabe und nicht verhandelbar.

Ja, die aktuelle Darstellung der Summierbarkeit ist völlig falsch und wird bei der Überarbeitung dementsprechend korrigiert, ebenso werden die Beispiel etwas erweitert und die Verweise auf Fourier-Reihen und divergente Reihen etwas ausgebaut.--Kmhkmh (Diskussion) 05:05, 7. Jul. 2017 (CEST)

A.  "...fängt an auf der Stelle zu treten,..."
Mit als erster Ursache das du beharrst in deinen Texte von "der Begriff Reihe" zu reden, ohne deine Auffassung darüber zu erläutern.  Du sollst recht haben, wenn du sagst das deiner (und meiner) Interpretation die Darstellung in WP nicht beeinflüssen soll. Aber bitte, kannst du dann auch aufhören hier von "der Begriff Reihe" zu reden beim Argumentieren.
B.  Vielen Dank für den Lexikon-Artikel, es war mir nicht bekannt. Mit darin:
-  "Eine Reihe zu einer gegebenen Folge, heisst Cesàro-konvergent wenn.......... . Man sagt dann.....ist Cesàro-summierbar ";
-  scheinbar ist  "der Wort Folge nicht einmal verwendet".  Aber deinem (08.09, 5. Jul.) "Summierbarkeit bezieht sich auf die Reihe zu $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$"  ist auch zu lesen als "Summierbarkeit bezieht sich auf die Reihe zur Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$",  und auch als "Summierbarkeit bezieht sich auf die Reihe zu einer beliebigen Folge".
Ebenso beim aussprechen von  " $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ "  im Lexikon-Artikel.
C.  Mit Google Books (bzw. Google) fand ich noch:
"Cesaro summable" sequence 673 (2750)  "Cesaro summable" series 1250 (3530)
"Cesaro convergent" sequence 112 (938)           "Cesaro convergent" series 164 (1180)
"C1 summable "sequence 27 (347)           "C1 summable" series 38 (366)
"C1 convergent" sequence 9 (285)                     "C1 convergent"series 20 (436)
Folgerung (?): "summable" slagt "convergent" , "series" slagt "sequence" . -- Hesselp (Diskussion) 23:32, 7. Jul. 2017 (CEST)

Hieroben schrieb Kmhkmh (05:05, 7. Jul. 2017 (CEST)): "Gibt es [in der Literatur] mehrere übliche Darstellungen, erwähnt WP gegebenenfalls alle."
Ich habe zwei konkrete Fragen dabei.
In der Literatur gibt es Darstellungen von was die Namen 'C-summierbarkeit' und 'C-Summe' bezeichnen:
- mit und ohne ein Symbol (σ_n, σ) für die Glieder (und den Grenzwert) der Folge der arithmetischen Mittel der Glieder der Folge der Partialsummen der Glieder einer gegebenen Folge; sollen beide Darstellungen erwähnt werden in WP-'Cesàro-Mittel'?
- mit ein, mit zwei, und mit drei Bedeutungen des Worts 'Reihe'; sollen deswegen alle drei Darstellungen nebeneinander kommen in WP-'Cesàro-Mittel'? -- Hesselp (Diskussion) 23:52, 12. Jul. 2017 (CEST)

Zitat: "...da in der Literatur summierbar eindeutig mit Reihen assoziiert ist ....... an der üblich Darstellung... "
Gegenüber "eindeutig mit Reihen" und "üblich" kann gestelt:
- Im "Cauchyscher Grenzwertsatz" :  nur "Folge".     - Im "Cesàro-Mittel" :  nur "Folge" (einmal "Fourier-Reihen").   - Google:
    summierbare Folge 385,   summierbare Reihe 311
    summierbare Folgen 170,   summierbare Reihen 235
    summable sequence(s) 35 900,   summable series 8 550
    Cesàro summable sequence(s) 1 817,   Cesàro summable series 288
    suite sommable 427,   série sommable 290 .
- "Summierbare Familie $(x_{i})_{i\in I}$"  ist eine Veralgemeinerung von "summierbare Folge $(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }$" .
Also glaube ich nicht das es gegen einen Wikipedia-Regel sein soll, wenn in die Cesàro-Artikel nur für 'Folge' gewählt wird. (Um Verwirrung zu vermeiden. Und die Form-Bedeutung des Worts 'Reihe' kommt in diesen zwei Texte nicht vor.)
Das nicht eindeutig sein von 'Reihe' will ich weiter erläutern mittels Folgendes, auf englisch:

About the meaning of "series"   The use of the word "series" is at many places questionable, because of the threefold way it is generally used.
1. As name for a sequence with numbers as its terms. (Cauchy 1821: a sequence of real numbers).  Later also: functions .
Used in: arithmetic sequence/series, geometric sequence/series, harmonic sequence/series, alternating sequence/series, partial sums of a sequence/series, sum of a sequence/series, terms of a sequence/series, summable sequence/series, ..... etc.
[Traditionally the adjective 'convergent' is used in two different ways;  in "convergent series" it means: 'having a sum',  and in "convergent sequence": 'having a limit'.]
2a, 2b. As name for a symbolic form like the capital-sigma form (Σ_i a_i) and the pluses-bullets form (a₁ + a₂ + ···), expressing a summation function and a sequence (with terms that can be added).  Such a form denotes either:  the sequence of partial sums of the sequence expressed in the form, or:  (in case this sequence is summable) the sum of this sequence.
-- Hesselp (Diskussion) 01:38, 6. Jul. 2017 (CEST)

I don't really see a problem here. Many words are domain and context specific and may have a different meaning in a different context. In a way that is a bit unfortunate but that is just how language works in practice. All you have to do here anyhow is to ensure that meaning and context is clear readers if necessary by spelling explicitly. The notion that math articles (in WP) should avoid or skip the term series because in general it can carry different meanings seems completely unreasonable to me and as mentioned above already would be completely differ from the usage in literature. The latter is in WP normally a no-go anyhow.--Kmhkmh (Diskussion) 04:21, 6. Jul. 2017 (CEST)

Please, show sources/books with 'series' in the chapter on Cesàro convergence and Cesàro summability.  If a sufficient number of them is found, we can consider to add a line with:  "Instead of  'Cesàro summability of a sequence' and 'Cesàro sum of a sequence',   the expressions 'Cesàro summability of the series of a given sequence' and 'Cesàro sum of the series of a given sequence'  is sometimes used.". -- Hesselp (Diskussion) 20:51, 6. Jul. 2017 (CEST)

Revision "Cesàro-Mittel", Vorschlag-2

Vorschlag-2, 7. Juli 2017

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Cesàro-Mittel Mit Cesàro-Mittel einer Folge (oder Cesàro-Durchschnitte einer Folge), werden die arithmetischen Mittel der Glieder ihrer endlichen Anfangsstücke angedeutet. Das 'Mittel-nehmen' gibt ein Ausgleich von (eventuelle, nicht zu grosse) Unregelmässigkeiten in einer gegebener Folge, wodurch es möglich wird falls die Folge selbst nicht konvergiert, doch eine alternatieve 'Grenzwert' bei zu fügen. Dieses Verfahren macht es auch bisweilen möglich einer nicht-summierbarer Folge eine alternatieve 'Summe' zu geben. Die Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859-1906) zurück. Cesàro-konvergente Folge Wenn die Glieder einer Folge ($a_{n}$)  einem Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  konvergent . Und wenn die arithmetischen Mittel  ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)$/n$  der Glieder $a_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man Folge ($a_{n}$)  Cesàro-konvergent / C1-konvergent ,  und diesen Grenzwert  Cesàro-Grenzwert der Folge ($a_{n}$) . Satz:   Die Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge, ist der gewöhnlichen Grenzwert dieser Folge gleich.  Beweis in Cauchyscher Grenzwertsatz. Cesàro-summierbare Folge Wenn die Summenfolge ($a_{1}+\cdots +a_{n}$)  =  ($s_{n}$)  einer Ausgangsfolge ($a_{n}$) konvergiert, nennt man Folge ($a_{n}$) summierbar (und nennt man die Reihe zur Folge ($a_{n}$) konvergent) . Und wenn die arithmetischen Mittel  ($s_{1}+\cdots +s_{n}$)$/n$  der Partialsummen $s_{n}$ einer Folge ($a_{n}$)  einen Grenzwert nähern, nennt man: die Folge ($a_{n}$)  Cesàro-summierbar / C1-summierbar ,  und die Grenzwert  Cesàro-Summe der Folge ($a_{n}$),   oder: die Reihe zur Folge ($a_{n}$)  Cesàro-summierbar / C1-summierbar  (auch: Cesàro-konvergent / C1-konvergent),  und die Grenzwert  Cesàro-Summe der Reihe zur Folge ($a_{n}$) . Satz: Die Cesàro-Summe einer summierbaren Folge (einer konvergenten Reihe), ist der gewöhnliche Summe dieser Folge (Reihe) gleich. Beispiele Zu die divergenten Folge  1, -1, 1, -1, 1, ···  (die Grandi-Folge, G)  gehören die Cesàro-Mittel: 1/1 = 1,   (1-1)/2 = 0,   (1-1+1)/3 = 1/3,   (1-1+1-1)/4 = 0,   (1-1+1-1+1)/5 = 1/5,  usw. Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heisst Folge G  Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0. Zu die nicht summierbaren Folge G gehört die divergente Partialsummen-Folge  1, 0, 1, 0, 1, ··· ,  mit Cesàro-Mittel: 1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   (1+0+1+0+1) = 3/5,   (1+0+1+0+1+0) = 3/6,  usw. Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heisst Folge G  Cesàro-summierbar, mit Cesàro-Summe 1/2. Anwendung Die Cesàro-Mittel sind insbesondere in der Theorie der Fourier-Reihen von Bedeutung. Literatur Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 2. 5. Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S.155 Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 3. Auflage, Walter de Gruyter 1987, ISBN 311-011517-4, S.459 * G. Walz, Lexikon der Mathematik, 2. Aufl. 2017 Weblinks Cesaro-Mittel und Cesàro-Summierbarkeit auf PlanetMath (engl.) Cesaro-Mittel auf SOS Math (engl.)

Mehr Ergänzungen oder Änderungen erwünscht? -- Hesselp (Diskussion) 23:32, 7. Jul. 2017 (CEST)

Ergänzung   Im letztem Vorschlag ist noch nicht genannt: Folge von Cesàro-Mittel einer Folge. Das kann im Anfangssastz:
    Die Folge von Cesàro-Mittel / Cesàro-Durchschnitte zu einer (gegebener) Folge  hat als Glieder:
    die arithmetischen Mittel der Glieder der endlichen Anfangsstücke der gegebenen Folge.

Das "einer Folge" oder "zu einer Folge" oder "zu einer gegebener Folge" muss dazu stehen. Genau wie bei: "Grenzwert einer Folge",  "Partialsummenfolge einer Folge",  "Reihe zu einer Folge",  "Summe einer Folge" .   Denn nur "eine Grenzwert" bedeutet nichts (nichts mehr als: "eine Zahl") . -- Hesselp (Diskussion) 11:58, 8. Jul. 2017 (CEST)

Zum Artikeltext 22:38, 10. Juli 2017

Bei diesem offenbar sorgfältig zusammengesetzten Text (und Literatur/Weblinks):

1. (Zeile 1) "oder auch Cesàro-Summe" ist nicht passend in diesem Satz.

2. Die Namen Cesàro-Summe der Reihe zu einer Folge und Cesàro-Summe einer Folge sollen ins Artikel nicht fehlen.

3.Im Artikel wird mit  $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine (nicht mathematisch definierte) Reihe bezeichnet,  mit  $\textstyle C{\text{-}}\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ eine Zahl.  (Dabei wird in der Literatur mit  $\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ auch noch die Partialsummenfolge einer Folge bezeichnet.)   Dieser doppelsinniger Gebrauch der Sigma-Schreibweise ist zwar üblich, aber hier nicht empfehlenswert.
Die Frage ist: soll ein WP-Text die zwei-(oder drei-)deutigkeit in der Praxis übernehmen? Oder versuchen sie möglichst zu vermeiden.

4. Mit  "Folgen von Partialsummen (Reihen)" (Zeile 3)  wird suggeriert das 'Reihe' und 'Folge von Partialsummen' hier synonym gebraucht sind, wie oft in der Literatur. Was hier gemeinnt sein soll, ist für vielen nicht leicht zu verstehen.

5. Warum "Formale Definition"? Ist nur "Definition" nicht exact genug?   Zwei andere Bedeutunge von "formal" liegen nah:
- Sehe "Formally" in Weblink 'Richard Hench' (an expression that may or may not make sense); und
- "formal sum" in einem Teilgebiet der Algebra.

6. "Zu einer gegebenen Zahlenfolge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ bildet man die arithmetische Mittel über die ersten n Folgenglieder, also ...."   Das ist sehr weit von dem übligen Sprachgebrauch in einer Enzyklopädie. Warum so umständlich, mit extra Symbole $\sigma _{n}$ ? Das gewisse Lehrbücher es so schreiben (nicht das Walz-Lexikon) ist doch nicht hinreichend als Grund um es in WP unnötig komplex zu machen?

7) Das Verstehen des heutigen Text ist extra schwer, weil das $\sigma _{n}$-Symbol kein $a$ mit sich hat.   Und weil mehrmalig nur Cesàro-Mittel steht, und nicht Cesàro-Mittel der Folge ($a_{n}$), oder ähnliches.

8) Das zweite Beispiel nimmt 18 Zeilen, weil es in drei auch gut (besser?) kann.

9) Zum Schluss die zentrale Frage.
Soll der WP-Artikel beim erklären der Begriffe Cesàro-Mittel, Cesàro-Konvergenz, Cesàro-Summierbarkeit', 'Cesàro-Summe' nur basiert sein auf mathematisch definierbaren Sachen (z.B. Folge = Function auf $\mathbb {N}$); wie in Version Hesselp?
Oder soll "der Begriff Reihe" als Basisbegriff genommen werden; wie in Version Kmhkmh?
Einerseits kommt "Reihe" (auch "unendliche Summe" genannt) sehr häufig in der Literatur vor. Auf der anderen Seite betrifft es ein nirgendwo mathematisch definiert 'etwas',  irgendwo zwischen die Begriffe Folge, ihrer Partialsummenfolge und ihrer Summe. Und zwischen einem mathematischem Begriff und einer Notationsweise. Hier und hier und hier und hier und hier  kann man sehen das es hier nicht geht um einen in mathematischen Sinne definierbaren Begriff.

Inhaltlich beschreiben beide Artikel-Versionen genau die auch in der Literatur beschrieben Begriffe. Die eine spricht von: C-Summe einer Folge, die andere von: C-Summe einer Reihe. Im letzten Fall muss der Leser weiter im Kontext suchen mit welchen Folge sie 'assoziiert', 'verbunden', 'zugehörig' ist. Und der Leser muss wissen das er für "die Reihe zur Folge ($a_{n}$)", auch einfach "Folge ($a_{n}$)" lesen darf. Mit 1 Ausnahme: wenn irgendwo "konvergente Reihe (zur Folge ($a_{n}$) )" steht,  muss "summierbare Folge ($a_{n}$)"   gelesen werden. (In der Urzeit (Cauchy, Gauss) wird 'konvergent' für summierbar und für 'limitierbar' benutzt.)

Gibt es eine WP-Regel der sagt das in einer WP-Text nicht für die einfachste Formulierungen gewählt werden kann, wenn diese Formulierungen in der Literatur nicht üblich sein?

10) In einer Umarbeitung der Version 9. Juli steht nun dennoch die 'Reihe'-Nomenklatur voran. Der Stil ist enzyklopädisch gehalten.
-- Hesselp (Diskussion) 23:12, 11. Jul. 2017 (CEST)

Zur Wiederherstellung 05:36, 12. Juli 2017

Die Zusammenfassung redet von (1) Darstellung nach angegebener Literatur, und (2) Formatverstöße.
Zu (1): Ist kein Grund zur Zurücksetzung. Explizit soll angegeben werden, warum gedacht wird das Version-Kmhkmh dem Leser mehr Info gibt, oder leichter zu verstehen ist, als die sehr viel kürzere, in enzyklopädicher Stil geschrieben, Version Hesselp.
Zu (2): Es ist mir nicht klar was gemeinnt wird. Welche WP-Regel ist übertreten? Auf welche 'Verstöße' wird hier hingewiesen? -- Hesselp (Diskussion) 23:52, 12. Jul. 2017 (CEST)

Fettschrift in Wikipedia:Typografie#Schriftauszeichnung

Die "kürzere" Verson ist weder enzyklopädischer noch verständlicher und enthält weniger Detailinformationen. --Kmhkmh (Diskussion) 00:53, 13. Jul. 2017 (CEST)

Bei: "Weniger Detailinformationen im Hesselp-Version":   Kann Kmhkmh Beispiele geben? Und angeben warum dieser die Darstellung für Leser verständlicher machen?   Akkord mit: Fettschrift → Kursivschrift. -- Hesselp (Diskussion) 11:46, 13. Jul. 2017 (CEST)

Zur Artikeltext 15. Juli 2017

- Die eher genannte 'fehlenden Detailinformationen' sind noch nicht spezifiziert, also kann der kürzere Tekst prävalieren.
- Die Version 11. Juli würde 'keine Verbesserung' genannt, darum ist wieder von Version 9. Juli ausgegangen.
- Das Wort "Reihe" kommt im Definitios-Text nur in Namen vor. Also hat eine Diskussion bezüglich die Bedeutung/Bedeutungen dieses Wort hier kein Zweck. -- Hesselp (Diskussion) 23:53, 15. Jul. 2017 (CEST)

Zur Rückgänglichmachung 19:33, 16. Juli 2017

a. Das Argument im Zusammenfassung: "sprachlich nicht ausreichend", reicht hier nicht um eine Text-Version wogegen keine Bedenken mehr gemacht werden, zu ersetzen. Weil (b. und c.)

b. Es fehlen Vorschläge zur sprachliche Verbesserung. Wo kann Hilfe dazu gefunden werden?

c. Die (doppelt so lange) Version 19:47, 16 Juli 2017 hat seriöse Schwäche und Fehler. Z.B.:
- c1. Intro Satz. 3: "Im Falle von Reihen (als Folgen von Partialsummen) spricht man auch von Cesàro-Summierbarkeit ..."
Aber das 'summierbar sein' (die (Cesàro-)Summierbarkeit) betrifft nicht die Folge von Partialsummen einer Ausgangsfolge, aber die Ausgangsfolge selbst.
Warum: "Reihen (als Folgen von...)" ?   Kann Reihe in der Mathematik auch gesehen werden als etwas anderes?  Was?
- c2. Sektion "Spezialfall Reihen".  In Satz 2 kann  "Reihe Σ a_n"  ersetzt werden durch  "Folge (a_n)".  Aber in Satz 3 soll für "Reihe Σ a_n"  gelesen werden:  "Partialsummenfolge der Folge (a_n)".   Eine unnötige, unerwünschte zweideutigkeit.
- c3. Im Intro Satz 3 wird gesagt das für 'Reihe' auch gelesen kann: 'Folge von Partialsummen'. In "Spezialfall Reihen" Satz 1 steht also:  "...auf Reihen, das heisst auf die Folge der Partialsummen der Reihe Folge der Partialsummen".
- c4. Die unter c2 erwähnte Zweideutigkeit macht die Sektion "Terminologie" unbegreiflich.

Man kan zusammengesetzte Namen definieren mit 'Reihe' darin. Aber man kann das Wort nicht anwenden in eine Beschreibung von neue Begriffe, weil es in der Praxis keine eindeutige mathematische Bedeutung hat. -- Hesselp (Diskussion) 16:06, 17. Jul. 2017 (CEST)

Hm, ich weiß leider auch nicht recht, wer dir dabei helfen kann. Vielleicht kennst du ja einen deutschen Muttersprachler, den du um Hilfe bitten kannst? Grundsätzlich ist halt eine Formulierung, die wegen der Grammatik- und Rechtschreibfehler kaum jemand verstehen kann, schlechter als eine sprachlich korrekte Version, bei der man vielleicht einzelne Details noch ausdiskutieren kann. Darum setze ich die Version nochmal zurück. Grüße -- HilberTraum (d, m) 23:14, 18. Jul. 2017 (CEST)

@HilberTraum. Bitte gefundene Grammatik- und Rechtschreibungsfehler hier melden. Oder im Artikeltext verbessern. -- Hesselp (Diskussion) 00:50, 21. Jul. 2017 (CEST)

Hardy: In der Literaturangaben wird hingewiesen auf: G.H. Hardy, Divergent Series. Seite 96 hat diesen Satz:
      If  $C_{n}^{k}(A)=A_{n}^{k}/E_{n}^{k}\rightarrow A$  when  $n\rightarrow \infty$ , then we say that  $\sum a_{n}$  is summable$(\mathrm {C} ,k)$ to sum $A$ ,
      and write  $a_{0}+a_{1}+a_{2}+\cdots =A(\mathrm {C} ,k)$ .
Wer kann erklären was Hardy sich gedacht hat bei  "we say that  $\sum a_{n}$  is summable$(\mathrm {C} ,k)$ " ?   War es:
(1) "we say that the sequence earlier meant, named a,  is summable cee kay" ,   oder:
(2) "we say that the series connected (associated) with the sequence earlier meant, named a, is summable cee kay", oder
(3) "we say that the sequence of partial sums of the sequence earlier meant, named a, is summable cee kay" ,   oder
(4) noch etwas anderes?
Und welchem mathematischem Begriff soll Hardy sich gedacht haben beim Wort series ?
Ohne Klarheit zu dieser Fragen, ist es nur verwirrend um den Leser dieser Hardy-Text zu empfehlen.   Dabei kommt noch das Hardy hier nicht die mehr einfache Höldersche Bescheibungsweise benutzt. -- Hesselp (Diskussion) 16:36, 22. Jul. 2017 (CEST)

Genau wie bei Hardy:
1906 Heinrich Weber:   Man sagt, die Reihe  a₁+a₂+a₃+ ··· [...] konvergiert.  (Enzyklopädie der elementaren Algebra und Analyses, 2. Aufl., S.397)
2016 Josef Leydold:   Die Reihe der Folge ⟨a_i⟩ lautet   ⟨s_i⟩ = ⟨Σ_i=1^k 2i-1⟩  =  ⟨1,4,9,16,25,...⟩  =  ⟨k²⟩.  (Mathematik - Grundlagen, S.35) -- Hesselp (Diskussion) 21:03, 8. Aug. 2017 (CEST)

Walz: In der Literaturangaben wird hingewiesen auf: G. Walz, Lexikon der Mathematik. Darin auf Seite 304:
"gewissen divergenten Reihen sinnvoll noch einen Wert zuzuordnen, sie also zu limitieren oder zu summieren."
Ist 'limitieren' hier als Synonym von 'summieren' präsentiert?  Also soll der Grenzwert der Reihe, der Wert wozu ihre Glieder sich nähern, ihrer Summe gleich sein?
Ohne Klarheit zu dieser Fragen, ist es nur verwirrend um den Leser diese Walz-Seite zu empfehlen. -- Hesselp (Diskussion) 12:05, 25. Jul. 2017 (CEST)

DeVito: In der Literaturangaben wird hingewiesen auf: C.L. DeVito, Harmonic Analyses.   Mit auf Seite 43 eine ganz ungewöhnliche Auffassung von "series": zweiseitig unendlich!
Darum soll diese DeVito-Seite nicht als Quelle genennt werden. -- Hesselp (Diskussion) 12:10, 25. Jul. 2017 (CEST)

Weblink Weidl hat:  Konvergiert die Folge der arithmetische Mittel einer gegebener Folge gegen S, dann ..... nimmt die zu der gegebene Folge gehörende Reihe den Wert S an.
Wie macht eine Reihe das: 'ein Wert annehmen' ?  Sprachstil nicht geeignet für einen Enzyklopädie-Leser. -- Hesselp (Diskussion) 12:14, 25. Jul. 2017 (CEST)

Weblink Hensh gibt auf Seite 12 'Cesàro sum' als Name für die, einer gegebener Reihe zugefügte, Mittel-Folge, und auch als Name für die einzelne Glieder ('Cesàro sums', Plural) dieser Folge.  Verwirrend. -- Hesselp (Diskussion) 12:17, 25. Jul. 2017 (CEST)

Weblink SOS Math hat:  "The new sequence generated from {x_n} is called the Cesaro Mean of the sequence."
Der WP-Artikel sagt etwas anderes. Also nicht als Quelle auf zu nehmen. -- Hesselp (Diskussion) 12:20, 25. Jul. 2017 (CEST)

Heuser: In der Literaturangaben wird hingewiesen auf: H. Heuser, Lehrbuch der Analysis, Teil 2.   Hier wird nicht gesprochen von:   "Cesàro-Durchschnitte",   "Cesàro-Mittel",   "Cesàro-konvergente Folge",   "Cesàro-konvergente Reihe",   "auf einem Grenzwert zulaufen".
Nur von:  "Ernesto Cesàro",  "arithmetische Mittel",  "C-summierbare Reihe". -- Hesselp (Diskussion) 01:02, 1. Sep. 2017 (CEST)

Barner-Flor: In der Literaturangaben wird hingewiesen auf: M. Barner - F. Flor, Analysis I.   Hier wird nicht gesprochen von:   "Cesàro",   "Cesàro-Mittel",   "Cesàro-Durchschnitte",   "(C,1)-Mittel",   "(C,1)-konvergente Reihe", "auf einem Grenzwert zulaufen".
Nur von:  "arithmetische Mittel",  "(C,1)-konvergente Folge",  "(C,1)-summierbare Reihe". -- Hesselp (Diskussion) 01:02, 1. Sep. 2017 (CEST)

Der am 10. Juli präsentierte Artikeltext hatte als 'Zusammenfassung':  Darstellung nach angegebener Literatur.  Weil die 'angegebener Literatur' sich als sehr divergent und inkonsequent erweisst, ist nicht zu entscheiden welcher der nach 8. Juli 2017 präsentierte Textversionen die 'angegebener Literatur' näher ist. -- Hesselp (Diskussion) 12:30, 25. Jul. 2017 (CEST)

@Digamma, du sprichst (in Fragen zur Wikipedia) von ein 'Kritikpunkt' (wichtiger als 'Grammatik- und Rechtschreibfehler').  Bitte, kannst du hier den von dir beabsichtigde 'Kritikpunkt' (oder Punkte) spezifizieren, insofern noch nicht inzwischen in dieser Textversion oder auf dieser Diskussionsseite widerlegt?
Benutzer Kmhkmh spricht von "enthält weniger Detailinformationen" 13. Jul. 2017; welche Informationen kann er hiermit gemeint haben? Ich kann es nicht entdecken. -- Hesselp (Diskussion) 23:39, 1. Aug. 2017 (CEST)

Sprache Vorschlag Hesselp

Hallo Hesselp, leider hat deine Version so viele sprachliche Probleme, dass das Verstehen schwer fällt. Auch weiß z.B. ich als Laie nicht, ob und wann Du Fachbgriffe wörtlich übersetzt oder durch den entsprechenden deutschen Fachterm. Du scheinst sehr "wörtlich" zu übersetzten. Am besten wäre es mittelfristig, wenn Du dir einen Partner aus der Redaktion Mathematik suchst, oder allgemein einen Mentor und Artikelentwürfe zunächst gemeinsam im Benutzernamensraum vorbereitest. Dein Aufbau ist zumindest unüblich, und auch nicht alle Quellen (sosmath?) unbedingt geeignet. Dennoch möchte ich den Versuch einiger sprachlicher Korrekturen, basierend auf der aktuellen ungesichteten Artikel-Version, versuchen (ohne Gewähr). -- Leif Czerny 14:35, 2. Aug. 2017 (CEST)

Bearbeitung von Leif Czerny, 2. Aug. 2017

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Cesàro-Mittel Ein arithmetisches Mittel der Glieder 1 bis n einer Folge heißt Cesàro-Mittel der Folge oder Cesàro-Durchschnitt; wenn die Mittel auf einen Grenzwert, den Cesàro-Grenzwert, zulaufen heißt Folge Cesàro-konvergent Eine Folge heißt Cesàro-summierbar, wenn ihrer Partialsummenfolge Cesàro-konvergent ist. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück. Sie ist insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und für die Fourier-Analysis von Bedeutung. Definitionen Konvergente Folge, Cesàro-konvergente Folge, Cesàro-Grenzwert Wenn die Glieder einer Folge auf einen Grenzwert zulaufen, heißt die Folge konvergent. Wenn (für $n\rightarrow \infty$) die arithmetischen Mittel ${\tfrac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}$ der $n$ Anfangsglieder einer Folge $(s_{k})$ auf einen Grenzwert zulaufen, heißt diese Folge Cesàro-konvergent oder C1-konvergent oder C1-limitierbar; der Grenzwert wird als Cesàro-Grenzwert der Folge bezeichnet. Durch den Cauchyschen Grenzwertsatz läßt sich zeigen, dass der Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge dem normalen Grenzwert dieser Folge gleich ist. Summierbare Folge, Cesàro-summierbare Folge, Cesàro-Summe Wenn (für $k\rightarrow \infty$) die Partialsummen ($a_{1}+\cdots +a_{k}$) der $k$ Anfangsglieder einer Folge $(a_{i})$ auf einen Grenzwert zulaufen, heißt Folge $(a_{i})$ summierbar und der Grenzwert Summe der Folge. Wenn (für $n\rightarrow \infty$) die arithmetischen Mittel ${\tfrac {s_{1}+\ldots +s_{n}}{n}}$ der $n$ Anfangsglieder der Partialsummenfolge $(s_{k})$ einer Folge $(a_{i})$ auf einen Grenzwert zulaufen, so ist die Folge $(a_{i})$ Cesàro-summierbar oder C1-summierbar, der Grenzwert ist die Cesàro-Summe der Folge. Die Cesàro-Summe einer summierbaren Folge, ist der normalen Summe dieser Folge gleich. Reihen-Nomenklatur Vor dem 20. Jahrhundert wurde konvergent sein (bzw. konvergieren) sowohl für 'ein Grenzwert haben' als auch für 'eine Summe haben' gebraucht. Eine unendliche Zahlenfolge wurde fast durchgängig als Reihe (als Übersetzung des lateinischen seria) bezeichnet. Infolgedessen wird noch immer oft von konvergenter Reihe oder seltener von summierbarer Reihe gesprochen, wenn die Partialsummen auf einen Grenzwert, die Summe der Reihe, zulaufen. Ebenso treten Cesàro-summierbare Reihe, Cesàro-konvergente Reihe und Cesàro-Summe der Reihe auf. Oft werden in zusammengesetzte Namen Formulierungen mit 'Reihe' benutzt. In der Praxis sollte man auf diese Ausdrucksweise insbesodere bei neuen Begriffen verzichten, da sie keine eindeutige mathematische Bedeutung hat. Beispiele Zur divergenten Folge 1, -1, 1, -1, 1, ··· (Grandi-Folge, G) gehören die Cesàro-Mittel: 1/1 = 1, (1-1)/2 = 0, (1-1+1)/3 = 1/3, (1-1+1-1)/4 = 0, 1/5, 0, 1/6, 0, usw. Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heißt Folge G Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0. Zur nicht summierbaren Folge G gehört die divergente Partialsummen-Folge 1, 0, 1, 0, 1, ··· , mit Cesàro-Mittel: 1/1 = 1, (1+0)/2 = 1/2, (1+0+1)/3 = 2/3, (1+0+1+0)/4 = 2/4, 3/5, 3/6, 4/7, 4/8, usw. Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heißt Folge G Cesàro-summierbar, mit Cesàro-Summe 1/2. Anwendungen Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf Dirichlet-Kerne in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen. Einzelnachweise

@Leif Czerny, sehr viel Dank für deine sehr genaue Arbeit!  Wunderbar.
Ein wenig Kommentar: (1) Satz.1: Die Pluralform steht auch in der konkurrierende Version. Schwierig (unmöglich?) um es perfekt zu formulieren.   (2) 'Grenzwert zulaufen' hat 24 Google-Treffer; 'Grenzwert nähern' (mit 'sich'!) 2400. -- Hesselp (Diskussion) 23:32, 2. Aug. 2017 (CEST)

Hallo, Du kannst die Änderungen übernehmen oder nicht, aber dann bitte alle. Auch deine aktuelle Version ist voller grammatischer Fehler und Fehler in der Wikisyntax. Zum Beispiel: "Die arithmetische Mittel" ist in jedem Fall falsch. Es muss "die arithmetischen Mittel" oder eben "Ein arithmetisches Mittel" heißen. Das ist keine frage "perfekter Formulierung". Auch "Wenn die Glieder einer Folge sich einen Grenzwert nähern" ist in jedem Fall einfach grammatisch falsch. Es muss dann "einem Grenzwert" heißen. Ich habe keine Ahnung, was Du da gegoogelt hast, aber die von mir verwendete Formulierung ist durchaus üblich. Nach einem Satzzeichen kommt immer nur ein Leerzeichen, nicht zwei. Fußnoten werden nicht an Abschnittsüberschriften gesetzt. Wenn Du meinst, das Du es besser weißt, dann bitte nicht um Hilfe. Du kannst aber davon ausgehen, das so deine Arbeit nicht akzeptiert wird.-- Leif Czerny 08:27, 3. Aug. 2017 (CEST)

Unter Benutzer:Hesselp/Cesàro-Mittel habe ich dir eine Kopie zum Bearbeiten angelegt. Bitte lass also den Artikel einstweilen in Ruhe, ich habe ihn noch einmal zurückgesetzt, und finde bitte einen Partner aus dem Portal:Mathematik, der deine Arbeit gegenliest.-- Leif Czerny 08:46, 3. Aug. 2017 (CEST)

Textvorschlag 10 Sep. 2017

Das Resultat der Bearbeitung einer Textversion (von Leif Czerny am 3. August 2017 hier angelegt) steht im Klappbox hierunter:

Textvorschlag 10 Sep. 2017 (Layout geändert 24 Sep. 2017. Zwei Überschriften korrigiert 21 Okt. 2017)

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Cesàro-Mittel Die arithmetischen Mittel der Glieder 1 bis n einer Folge heißen Cesàro-Mittel der Folge; wenn sich diese Mittel einen Grenzwert nähern nennt man die Folge Cesàro-konvergent und der Grenzwert Cesàro-Grenzwert der Folge. Eine Folge heißt Cesàro-summierbar wenn ihrer Partialsummenfolge Cesàro-konvergent ist. Diese Begriffsbildung geht auf den italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro zurück. Sie ist insbesondere in der Theorie der divergenten Reihen und Fourier-Analysis von Bedeutung. Definitionen Konvergente Folge Wenn sich die Glieder $\qquad \qquad \ \ a_{i}$ einer Folge $(a_{i})$, für $i\rightarrow \infty$ einen Grenzwert nähern, heißt die Folge $(a_{i})$ konvergent. Cesàro-konvergente Folge Wenn sich die arithmetischen Mittel $\qquad {\frac {a_{1}+\ldots +a_{n}}{n}}$ der $n$ Anfangsglieder einer Folge $(a_{i})$, für $n\rightarrow \infty$ einen Grenzwert nähern, heißt Folge $(a_{i})$ Cesàro-konvergent, C1-konvergent oder C1-limitierbar, und der Grenzwert Cesàro-Grenzwert der Folge. Durch den Cauchyschen Grenzwertsatz läßt sich zeigen, dass der Cesàro-Grenzwert einer konvergenten Folge dem normalen Grenzwert dieser Folge gleich ist. Summierbare Folge Wenn sich die Partialsummen $\qquad a_{1}+\cdots +a_{n}$ der $n$ Anfangsglieder einer Folge $(a_{i})$, für $k\rightarrow \infty$ einen Grenzwert nähern, heißt Folge $(a_{i})$ summierbar, und der Grenzwert Summe der Folge. Cesàro-summierbare Folge Wenn sich die arithmetischen Mittel $\qquad {\frac {s_{1}+\ldots +s_{k}}{k}}$ der $k$ Anfangsglieder der Partialsummenfolge $(s_{n})=(a_{1}+\cdots +a_{n})$ einer Folge $(a_{i})$, für $k\rightarrow \infty$ einen Grenzwert nähern, heißt Folge $(a_{i})$ Cesàro-summierbar oder C1-summierbar, und der Grenzwert Cesàro-Summe der Folge. Die Cesàro-Summe einer summierbaren Folge, ist der normalen Summe dieser Folge gleich. Nomenklatur mit 'Reihe' Vor dem 20. Jahrhundert wurde  konvergent sein (und  konvergieren)  sowohl für  'ein Grenzwert haben'  als auch für  'eine Summe haben'  gebraucht.  Zudem wurde eine unendlichen Zahlenfolge fast immer Reihe genannt.   Infolgedessen wird noch immer oft von konvergenter Reihe oder, seltener, von summierbarer Reihe gesprochen (statt summierbarer Folge), wenn sich die Partialsummen einer Folge die 'Summe der Reihe' (Summe der Folge) nähern. Ebenso wird Cesàro-summierbare Reihe (seltener Cesàro-konvergente Reihe), und Cesàro-Summe einer Reihe gesagt. Das Wort 'Reihe' kann vorkommen in eindeutig definierte zusammengesetzte Namen, aber das Wort selbst hat in der Praxis keine eindeutige mathematische Bedeutung. Beispiele Zur divergenten Folge         1,  -1,  1,  -1,  1,  ···  (Grandi-Folge) gehören die Cesàro-Mittel:         1/1 = 1,   (1-1)/2 = 0,   (1-1+1)/3 = 1/3,   (1-1+1-1)/4 = 0,  1/5,  0,  1/6,  0,  usw. Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), heißt die Grandi-Folge Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert 0. Zu der nicht summierbaren Grandi-Folge gehört die divergente Partialsummen-Folge         1,  0,  1,  0,  1,  ··· mit Cesàro-Mittel:         1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   3/5,  3/6,   4/7,  4/8,  usw. Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), heißt die Grandi-Folge Cesàro-summierbar, mit Cesàro-Summe 1/2. Anwendungen Die Anwendung des Cesàro-Mittels auf den Dirichlet-Kerne in der Fourier-Analysis führt zum Fejér-Kern und dem Satz von Fejér, der das Konvergenzverhalten von Fourier-Reihen beschreibt. In der Theorie der divergenten Reihen lässt sich mit Hilfe der Cesàro-Mittel bestimmten divergenten Reihen ein Grenzwert im Sinne der Cesàro-Konvergenz zuordnen. Einzelnachweise Literatur Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik: Band 1: A bis Ei. Springer, 2. Auflage, 2017, ISBN 9783662534984, S. 304 Douglas N. Clark: Dictionary of Analysis, Calculus, and Differential Equations. CRC Press, 1999, ISBN 9781420049992, S. 120 Godfrey Harold Hardy: Divergent Series. Clarendon Press, Oxford, 1949, S. 94-118, insbesondere S. 96 {{SORTIERUNG:Cesaro Mittel}} [[:Kategorie:Folgen und Reihen]] [[:Kategorie:Analysis]] [[en:Cesàro mean]] [[fr:Moyenne de Cesàro]]

- Wer hat Kommentar?
- Am 3. Juli schrieb Kmhkmh hier oben:
      Die "kürzere" Verson ist weder enzyklopädischer noch verständlicher und enthält weniger Detailinformationen.
Die Fragen hierzu:
      Bei: "Weniger Detailinformationen im Hesselp-Version":   Kann Kmhkmh Beispiele geben? Und angeben warum dieser
      extra Detailinfomationen die Darstellung für Leser verständlicher machen?
sind bisher nicht beantwortet.
-- Hesselp (Diskussion) 21:16, 10. Sep. 2017 (CEST)

>Hallo, in dieser Version sind leider immer noch einige sprachliche Fehler und einige Formatierungs-Fehler wieder enthalten. Bitte mach dich mit den entsprechenden vorgaben vertraut und such dir einen in der Sache kompetenten Partner. Immer wieder neue Versionen zu posten bringt nichts.-- Leif Czerny

@Leif Czerny. Bitte anzeigen wo Du im 'Textvorschlag 10. Sep. 2017' Fehler siehst, sonst bleibt es spekulieren.
Bezüglich mehrfache Leerzeichen: zu meinem Kommentar hier (5. Aug. 2017, Punkte a, f, f1, f2, f3) habe ich keiner Reaktion gesehen.   Dabei: "unüblich" ≠ "unzulässig". -- Hesselp (Diskussion) 12:28, 12. Sep. 2017 (CEST)

Hallo, mein Freund. ich hatte das alles doch schon einmal (2./3. Aug.)durchgearbeitet. Es fängt doch schon bei den Überschriften mir mehrfachen Leerzeichen und Gedankenstrichen an- was soll der Quatsch? Jede noch so kleine Wissenschaftliche Zeitschrift erwartet, dass man sich an die Formatierungsregeln hält, wenn man einen Beitrag einreicht, das ist hier nicht anders. Auch ungrammatische Formulierungen und hausgemachte Lehnübersetzungen sind einfach ein Unding. Man kann nicht darauf bestehen, mitmachen zu dürfen, wenn man dann von vornherein alles ganz anders machen will. Da überrascht es nicht, wen die Kollegen aus der Mathematik-Redaktion dich inhaltlich auch nicht ernst nehmen. Bitte unterlasse das posten weiterer Textvorschläge, solange sie in diesen Hinsichten mangelhaft sind.-- Leif Czerny 20:34, 12. Sep. 2017 (CEST)

Was soll der Quatsch?   Bitte sehe Hinweis-1: "Diskutiere bitte sachlich und freundlich."
Ich wiederhole:
- Bitte anzeigen wo Du noch einige sprachliche Fehler und einige Formatierungs-Fehler siehst.
- Bitte inhaltlich reagieren auf Punkte a, f, f1, f2, f3.
- "Unüblich" (4. Aug. 2017) ≠ "unzulässig".
Dabei:
- Zu  "Jede noch so kleine Wissenschaftliche Zeitschrift erwartet, dass man sich an die Formatierungsregeln hält, wenn man einen Beitrag einreicht, das ist hier nicht anders.":   bitte zeige hier die WP-Formatierungsregeln bezüglich die oben erwähnte Punkte a, f, f1, f2, f3.   Welche sind adviserend, welche verpflichtend?   Grüße -- Hesselp (Diskussion) 15:50, 13. Sep. 2017 (CEST)

Ich wiederhole noch einmal: diverses, was ich schon im August korriegert hatte, hast Du jetzt achselzuckend wieder rückgängig gemacht. Das ist kein kooperatives Arbeiten. Ich habe dich mehrfach ausdrücklich aufgefordert, dir Hilfe zu suchen. Das hast Du nicht getan, es gibt kein Zeichen einer Bemühung darum. Statt dessen schmierst Du hier die Diskussionsseite mit Kopie um Kopie deine Version voll und äußerst "Herausforderungen" an andere Mitarbeiter. Und dannhast Du tatächlich die Chuzpe, von mir Freundlichkeit zu verlangen? -- Leif Czerny 16:40, 13. Sep. 2017 (CEST)

Okay, völlig klar.  In Holland sagt man hierzu:  "Daar staat geen woord Frans tussen" (Es steht kein Wort französisch dabei.) -- Hesselp (Diskussion) 23:19, 13. Sep. 2017 (CEST)

Achselzuckend?

Wo Leif Czerny schreibt (13. Sep. 2017):
"diverses, ...... hast Du jetzt achselzuckend wieder rückgängig gemacht"
hätte er mehr wahrheitsgemäß schreiben können:
"diverses, ...... hast Du jetzt aufgrund bisher unbestrittene Argumente (12 Aug. 2017) wieder vorgeschlagen". -- Hesselp (Diskussion) 23:17, 15. Sep. 2017 (CEST)

Ich brauche mich von Dir nicht diffamieren zu lassen. Sich nicht an Sprach- und Layoutkonventionen halten zu wollen, bis einem jemand persönlich darlegt, dass man es vielleicht doch machen sollte, sich nicht an Absprachen halten und notwendige Schritte auslassen wollen, aber dann andere persönlich anzugreifen, weil sie keine Lust haben, sich mit einem fehlerbehafteten Vorschlag auseinanderzusetzen, bevor die Mängel auch nur ansatzweise beseitigt sind... das hat so alles keinen Sinn. Bitte suche dir einen Mentor (WP:Mentorenprogramm). ich werde mit dir so nicht mehr zusammenarbeiten.-- Leif Czerny 12:19, 18. Sep. 2017 (CEST)

@Leif Czerny. Punkt für Punkt (insoweit es den Artikeltext betrifft):
1.   "Sprachkonvention(en)"
1a.  Betreffs zulaufen/streben/nähern:  "Sich nähern" ist gar nicht ungewöhnlich, ich nennte bereits Von Mangoldt, Knopp, Courant/Robbins, Leydold S.35.  Dabei: der WP-Artikel Grenzwert (Folge) hat 'nähert sie sich'; Grenzwert (Funktion) hat 'sich annähert'; Mathe für Nicht-Freaks hat 'die Folgenglieder [...] nähern sich von oben'.
1b.  Sind auch andere Sprachkonventionen gemeint? Falls ja, welche?
1c.  Hier (11. September 2017) sprichst du von 'immer noch einige sprachliche Fehler'; ohne Spezifizierung sind sie nicht zu finden.
1d.  Und hier (12 September 2017) sprichst du von 'ungrammatische Formulierungen und hausgemachte Lehnübersetzungen'; idem.
2.   Layoutkonvention(en)
2a.  Betriffs variabele Leerschritte: ich habe mittlerweile gelernt dass die deutsche Typographie sich allmählich geändert hat. (Vor einem Jahrhundert - und auch später - war eine größere Leerschritt zwischen Sätze ganz normal. Auch jetzt gibt's noch Ausnahmen: sehe der etwa dreifache Leerschritt in alle Überschriften in WP-Artikel.) Im 'Textvorschlag 10 Sep. 2017' sind Layout-Änderungen gemacht.
2b.  Sind auch andere Layoutkonventionen gemeint? Falls ja, welche?
-- Hesselp (Diskussion) 20:26, 24. Sep. 2017 (CEST)

Ich arbeite mit dir nicht mehr zusammen.- Leif Czerny 84.163.72.205

Viermal inkonsequent

Satz 3 der heutigen Intro spricht von "den Grenzwert". Gemeint ist hier: den Grenzwert einer Reihe (= den Grenzwert der Partialsummenfolge einer Folge (a_n) ).  Dieser Grenzwert kann aber nicht bezeichnet als:  der C-Summe der Partialsummenfolge der Folge (a_n).  Denn die C-Summe einer Folge ≠ ihrer C-Grenzwert.

Im Artikel Reihe (Mathematik) ist  "Reihe $\textstyle \sum a_{n}$"  definiert als  "Partialsummenfolge der Folge (a_n)" .
Also kann Satz 2 im Abschitt 'Spezialfall Reihen' gelesen als:  Zu einer Folge $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ sind die Partialsummen der Partialsummenfolge der Folge (a_n) definiert als: ....  Aber es betrifft hier nicht  'Partialsummen der Partialsummen'.

Ebenso kann Satz 2 im Abschitt 'Terminologie' gelesen als:   Bezogen auf der Partialsummenfolge einer Folge (a_n) haben die Bezeichnungen C-konvergent und C-summierbar die gleiche Bedeutung.   Aber....dieser Satz ist unwahr:  die Summenfolge einer Folge (a_n)  kann C-konvergent sein und zugleich doch nicht C-summierbar.

Auch Satz 4 dieses Abschnitts ist nicht korrekt: das "C-Summierbar sein einer Folge" ist nicht gleichbedeutend mit das "C-Summierbar sein der Cesàro-Mittel der aus den Folgengliedern gebildeten Partialsummen".
-- Hesselp (Diskussion) 23:17, 15. Sep. 2017 (CEST)

Verbesserung Abschnitt "Definition"

Der Abschnitt "Definition" ist mMn ziemlich unsystematisch. Definiert sind "$n$-te Cesàro-Mittel" und "Folge der Cesàro-Mittel einer Folge". Und im letzen Satz noch "Cesàro-konvergente Folge".  Im Abschnitt "Specialfall Reihe" steht noch "Cesàro-summierbare Folge" versteckt. Weil "Cesàro-Grenzwert einer Folge" und "Cesàro-Summe einer Folge" gar nicht zu finden sind. Der Vergleich mit den normalen Konvergenz und Summierbarkeit, und das Grandi-Beispiel, gehören nicht direkt zu diesem Abschnitt.   Mein Vorslag für den Abschnitt "Definition" wird:

Die Zahl $\,(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})/n\,$ heißt  $n$-te Cesàro-Mittel der Folge $(a_{n})$.

Die Folge $\,(\,(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})/n\,)_{n=1,2,\cdots }\,$ heißt  Folge der Cesàro-Mittel der Folge $(a_{n})$.

Eine Folge $(a_{n})$ heißt Cesàro-Konvergent  wenn die Cesàro-Mittel der Folge $(a_{n})$ konvergieren (also, wenn die Zahlen  $(a_{1})/1,\ (a_{1}{+}a_{2})/2,\ (a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3})/3,\,{\textit {usw.}}$ konvergieren).

Der Grenzwert der Cesàro-Mittel einer Cesàro-konvergenter Folge $(a_{n})$ heißt  Cesàro-Grenzwert der Folge $(a_{n})$.

Eine Folge $(a_{n})$ heißt Cesàro-Summierbar  wenn die Partialsummenfolge der Folge $(a_{n})$ Cesàro-Konvergent ist  (also, wenn die Zahlen $\,(a_{1})/1,\ \,(a_{1}+\,a_{1}{+}a_{2})/2,\ \,(a_{1}+\,a_{1}{+}a_{2}+\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3})/3,\,{\textit {usw.}}$  konvergieren).

Der Grenzwert der Cesàro-Mittel der Partialsummenfolge einer Cesàro-summierbarer Folge $(a_{n})$ heißt  Cesàro-Summe der Folge $(a_{n})$.

Eine Frage zu den zwei small Passagen:   stehen lassen?   auslassen?   normaler Größe?   Abschnitt Einzelnachweise? --Hesselp (Diskussion) 23:02, 11. Apr. 2021 (CEST)

Zweiter Versuch, die Abschnitte Definition / Specialfall Reihen / Terminologie systematischer zu gestalten.
Meiner Vorschlag 13. April 2021:

Definitionen

Die Zahl $\,(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})/n\,$ heißt  $n$-te Cesàro-Mittel einer Folge$/$Reihe (mit Glieder $a_{i}$).

Die Folge $\,(\,(a_{1}{+}a_{2}{+}\cdots {+}a_{n})/n\,)_{n=1,2,\cdots }\,$ heißt  Folge der Cesàro-Mittel einer Folge (mit Glieder $a_{i}$).

Eine Folge heißt Cesàro-Konvergent  wenn ihrer Cesàro-Mittel konvergieren (also, wenn die Zahlen  $(a_{1})/1,\ (a_{1}{+}a_{2})/2,\ (a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3})/3,\,{\textit {usw.}}$ konvergieren).

Der Grenzwert der Cesàro-Mittel einer Cesàro-konvergenter Folge heißt  Cesàro-Grenzwert der Folge.

Eine Folge$/$Reihe heißt Cesàro-summierbar oder C₁-summierbar  wenn die Cesàro-Mittel ihrer Partialsummenfolge konvergieren  (also, wenn die Zahlen $\,(a_{1})/1,\ \,(a_{1}+\,a_{1}{+}a_{2})/2,\ \,(a_{1}+\,a_{1}{+}a_{2}+\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3})/3,\,{\textit {usw.}}$  konvergieren).

Der Grenzwert der Cesàro-Mittel der Partialsummenfolge einer Cesàro-summierbarer Folge$/$Reihe heißt  Cesàro-Summe der Folge$/$Reihe.

Statt  "Cesàro-summierbare Reihe"  wird auch  "Cesàro-konvergente Reihe"  gesagt.   Früher (vor etwa 1920) wurde immer "Reihe" gesagt, niemals "Folge", und statt $\,a_{1},a_{2},a_{3},\cdots \,$ wurde auch $\,a_{1}{+}a_{2}{+}a_{3}{+}\cdots \,$ oder Σ$a_{n}\,$ geschrieben. Dabei bedeutete "konvergent" immer das Konvergieren der Partialsummen (nicht das Konvergieren der Glieder).

Eigenschaften

Der Grenzwert der Glieder einer (konvergente) Folge ist immer der Grenzwert ihrer Cesàro-Mittel gleich (Grenzwertsatz von Cauchy). Deshalb ist die Summe einer (summierbare) Folge immer die Cesàro-Summe dieser Folge gleich.

Wichtig ist, dass eine divergenten Folge dennoch einen Cesàro-Grenzwert haben kann. Also kann eine nicht-summierbare Folge einer Cesàro-Summe haben.

Beispiel: Grandi

Zu die divergenten Folge  1, -1, 1, -1, 1, ···  (die Grandi-Folge)  gehören die Cesàro-Mittel:

1/1 = 1,   (1-1)/2 = 0,   (1-1+1)/3 = 1/3,   (1-1+1-1)/4 = 0,  1/5,  0,  1/6,  0,  usw.

Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 0), ist die G-Folge Cesàro-konvergent, mit Cesàro-Grenzwert  0.

Zu die nicht summierbaren G-Folge gehört die divergente Partialsummen-Folge  1, 0, 1, 0, 1, ··· ,  mit Cesàro-Mittel:

1/1 = 1,   (1+0)/2 = 1/2,   (1+0+1)/3 = 2/3,   (1+0+1+0)/4 = 2/4,   3/5,  3/6,   4/7,  4/8,  usw.

Weil diese Mittel-Folge konvergiert (Grenzwert 1/2), ist die G-Folge Cesàro-summierbar, mit Cesàro-Summe  1/2.

Gegenbeispiel. Die harmonische Folge  1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 , ···  hat keine Summe und keine Cesàro-Summe.

Kommentar?   Sprachliche/grammatische Verbesserungen? --Hesselp (Diskussion) 10:03, 13. Apr. 2021 (CEST)

Ich habe absichtlich dahingestellt gelassen, ob man "Reihe" lesen will als synonym für "Zahlenfolge" (gemäß WP Reihe-Mathematik, Satz 3), oder als Name für etwas anderes (die Literatur zeigt mindestens 30 Varianten). --Hesselp (Diskussion) 13:05, 13. Apr. 2021 (CEST)