Diskussion:Tupel/Archiv

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nur ein Begriff der Mathematik ?

Ist "n-Tupel" nur ein Begiff der Mathematik ? In der Logik wird er doch auch verwendet, z.B. bei Detel, Grundkurs Philosophie I: Logik (2007), S. 28 und anderswo. --Hans-Jürgen Streicher 16:34, 14. Jun. 2007 (CEST)

Mag sein; aber die Logik ist eine Disziplin der Mathematik (die ihrerseits klassischerweise eine Diszplin der Philosophie ist ;-). --Tobias 13:25, 19. Jan. 2011 (CET)

Notation = runde Klammern ?

Nach Detel, Grundkurs Philosophie I: Logik (2007), S. 28 und Strobach, Einführung in die Logik (2005), S. 27 ist die Notation (in der Logik) "<a, b, c>". --Hans-Jürgen Streicher 16:34, 14. Jun. 2007 (CEST)

Da mag es natürlich unterschiedliche Konventionen geben. In Python (Programmiersprache) werden Tupel (dort als unveränderliche Listen) in runden Klammern notiert; ich nehme mal an, man hat sich da an eine etablierte Konvention angelehnt. --Tobias 13:29, 19. Jan. 2011 (CET)

Terminologie: "Paar", "Zweiertripel" ok ?

Bei Detel, Grundkurs Philosophie I: Logik (2007), S. 28 steht "Paar" statt "geordnetes Paar". Bei Strobach, Einführung in die Logik (2005), S. 27 auch "Zweiertripel". Wenn das aus (nicht nur) mathematischer Sicht ok ist, kann man diese Synonyme vielleicht mit anführen. --Hans-Jürgen Streicher 16:34, 14. Jun. 2007 (CEST)

Da offenbar „Paare“ hier zuweilen nicht implizit geordnet sein müssen (und somit Mengen mit zwei Elementen entsprechen können), würde ich bei geordneten Paaren bleiben; nach meinem Verständnis ist die Reihenfolge der Elemente eines Tupels signifikant.

Besonders drollig finde ich die „Zweiertripel“. Dromedare sind übrigens zweihöckrige Kamele, die nur einen Höcker haben... --Tobias 13:39, 19. Jan. 2011 (CET)

Fehl am Platz ?

In der Wissenschaft (und auch in der Wikipedia) sollten wir unsere gegensätzlichen Meinungen mit möglichst sachbezogenen, rationalen Argumenten erläutern. Das vage Gefühl, dass wahrscheinlich kein normaler Mensch an einer bestimmten Sache nicht zweifeln würde, mag ein (unter Umständen guter) Anhaltspunkt dafür sein, in welche Richtung man sich mit seinen eigenen Gedanken bewegen möchte. Es taugt aber nicht als Argument in einer sachbezogenen Auseinandersetzung, ebenso wie die Meinung, dass dieser oder jener "eher als gescheitert" gelte (wer möchte auch ernstlich darüber richten?).

Falls es gewünscht wird, ziehe ich meinen Verbesserungsvorschlag selbstverständlich zurück (ebenso natürlich, falls sich herausstellt, dass er nicht wirklich etwas verbessert). Er ist ohnehin nur als ein Beispiel dafür gedacht, wie man den dargestellten Mangel bei der bisherigen Definition beheben könnte. Das ist auf vielerlei Arten möglich. Die kritischen Bemerkungen zu der herkömmlichen Definition möchte ich allerdings gerne stehen lassen, denn sie sind meines Erachtens ganz gut geeignet, das Verständnis dafür zu schärfen, was diese Definition leistet, wie sie das tut und wo ihre Grenzen liegen. Ich hoffe, dass diese wenigen Sätze nicht den Rahmen sprengen, den die Wikipedia bietet. Sie sollte auch bei mathematischen Begriffen mehr sein, als ein blosses Glossar. Ich schätze die Wikpedia sehr und bin selber daran interessiert, dass sie nicht zum Forum für die Selbstdarstellung verwirrter Eigenbrötler verkommt. Insofern würde ich allerdings auch von jedem Artikel ein entsprechendes Maß an technischer Sauberkeit fordern.

Was die Sache selber angeht, kann ich der Kritik nichts entnehmen, was inhaltlich konstruktiv ist. Merkwürdig übrigens, dass die unter erstens in dem Artikel gegebene Definition, die richtiggehend falsch ist, dort über ein Jahr stehen konnte, ohne dass dies aufgefallen oder geändert worden wäre. Als Letztes: Einen Funken mathematische Intuition zu haben, nehme ich für mich selber durchaus in Anspruch. Ansonsten wäre ich kein Mathematiker, sondern allenfalls ein schlechter Computer. Aber um aus einem Funken ein Feuer zu schlagen, das einem selber und den Mitmenschen nützt und nicht etwa eine verbrannte Wüste hinterlässt - dazu gehört eine ganze Menge Arbeit, viel Handwerk und (nicht nur in der Mathematik) eine gewisse Meisterschaft in der Beherrschung der Formalismen.--Walter Lorenz 13:12, 4. Dez 2004 (CET)

Kritik an der zweiten Definition

Ist wirklich was dran an der Kritik an der zweiten Definition? Dem Symbol "2" sieht man ja auch nicht an, ob die natürliche, ganze oder reelle Zahl gemeint ist; auch die berühmte Gleichung $x^{n}+y^{n}=z^{n}$ ist ohne Angabe der Grundmenge sinnlos. Wenn ich ein "Tupel" vor mir habe, muss ich natürlich dazusagen, aus welcher Grundmenge es ist, ob ich es also als k-Tupel oder als l-Tupel interpretieren muss. Natürlich kann man die Grundmenge in jede Notation hineinpacken wie z.B. "2L" in der Programmiersprache C für "2 interpretiert als long int" im Gegensatz zu "2" für "2 interpretiert als int" steht, aber das ist doch auch in der restlichen Mathematik nur in Einzelfällen wirklich notwendig. --NeoUrfahraner 05:16, 19. Mär 2005 (CET)

Ist das kartesische Produkt von Mengen assoziativ?

Eine der wichtigsten Anwendungen von n-Tupel ist im Artikel gar nicht erwähnt, nämlich die Verwendung bei der Definition des kartesischen Produkts von Mengen. Nach der ersten Definition ist das kartesische Produkt offensichtlich assoziativ, bei der zweiten Definition anscheinend nicht, zumindest nicht offensichtlich. Gibt es keine bessere Definition, bei der das Assoziativgesetz erhalten bleibht? Kann man auf das Assoziativgesetz verzichten? Die Definition des n-fachen kartesischen Produkts $A^{n}$ der Menge $A$ wird ohne Assoziativgesetz schwieriger; die Rechenregel $A^{m+n}=A^{m}\times A^{n}$ geht jedenfalls verloren. --NeoUrfahraner 02:47, 20. Mär 2005 (CET)

Ich sehe die Assoziativität im ersten Fall nicht. Es gibt kanonische Bijektionen, mehr will man eigentlich auch gar nicht.--Gunther 03:05, 20. Mär 2005 (CET)

Kann man tatsächlich auf die Assoziativität verzichten? Zumindest die französische Version sieht das anders: "D'après ce qui précède, A×B×C = (A×B)×C" (fr:Produit_cartésien); die deutsche und die englische äußert sich nicht wirklich dazu. --NeoUrfahraner 03:35, 20. Mär 2005 (CET)

Es gilt aber mit dieser Konstruktion nicht A×B×C = A×(B×C).--Gunther 03:43, 20. Mär 2005 (CET)

Sprache

Mir hat mal jemand erzählt, dass es das Wort "Tupel" gar nicht gibt, sondern höchstens "n-Tupel". Könnte das Beutelspacher gewesen sein?--Gunther 01:46, 14. Mär 2005 (CET)

Es ist jedenfalls kein Wort der Standardsprache, sondern ein Kunstwort. Wenn es aber seinen Zweck erfüllt, warum sollte man es dann nicht verwenden? --NeoUrfahraner 06:58, 14. Mär 2005 (CET)

Habe nachgeschaut: ich habe mich an Das ist o.B.d.A. trivial! von Albrecht Beutelspacher erinnert. "Tupel" ist einer der vielen Ausdrücke, die die deutsche Sprache quälen.--Gunther 23:58, 18. Mär 2005 (CET)

Das n in "n-Tupel" ist aber meines Erachtens kein Teil des Wortes, sondern eine Variable, welche die Anzahl der Elemente des Tupels bezeichnet. Würdest Du, wenn Du von Tupeln mit k bzw. l Elementen sprichst, von einem "k-n-Tupel" und einem "l-n-Tupel" sprechen, oder doch eher von einem "k-Tupel" und "l-Tupel"? Im Artikel wird übrigens von 2-Tupel, 3-Tupel und (n-1)-Tupel gesprochen und nicht von 2-n-Tupel, 3-n-Tupel und (n-1)-n-Tupel. Willst Du das ändern? --NeoUrfahraner 05:05, 19. Mär 2005 (CET)

Nein, ich stimme Dir völlig zu, das n steht für irgendeine Zahl, die genausogut k oder l oder 2 oder 3 heißen kann. Analog ist beispielsweise p-adische Zahl, da spricht auch niemand von "adischen Zahlen", sondern von p-adischen, l-adischen, 5-adischen usw. Zahlen. (Und ich schlage auch nicht vor, einen Redirect n-Tupel anzulegen, ich habe gerade erst die Redirects A-Algebra, K-Algebra und R-Algebra aufgeräumt.)--Gunther 10:51, 19. Mär 2005 (CET)

Ups, nach dem Speichern habe ich erst gesehen, dass n-Tupel nicht rot ist. MMn bedingt sinnvoll.--Gunther 10:52, 19. Mär 2005 (CET)

Wo ist jetzt das Problem? "Tupel" fügt sich wunderbar in die grammatikalische Struktur der deutschen Sprache ein, lässt sich problemlos deklinieren und aussprechen und wer es zum ersten Mal hört, kommt gar nicht auf die Idee, es "Entupel" zu schreiben. Die Deklination von "Logarithmus" macht da schon viel mehr Probleme. Oder, um Kants kategorischen Imperativ heranzuziehen: nach welchem allgemeinen Gesetz ist "Tupel" abzulehnen? --NeoUrfahraner 11:44, 19. Mär 2005 (CET)

"n-Tupel" wurde gebildet, indem man bei Quintupel & co. die variablen Zahlensilben durch die jeweilige Zahl ersetzte. Ich würde also schlicht die Tradition als "Gesetz" anführen. (Natürlich gibt es immer die, die nach dem Motto schreiben: "Wenn der Leser errät, was ich meine, muss es deutsch gewesen sein.")

Logarithmus verändert seine Form beim Deklinieren nicht und besitzt keinen Plural.--Gunther 12:36, 19. Mär 2005 (CET)

In der Mathematik gilt ein anderes Motto, nämlich "Solange Du es sauber definierst, kannst Du es nennen wie Du willst, egal ob n-Tupel, Multippel, Polytett, Mehrling oder was auch immer" Natürlich erleichtern gute Definitionen die Lesbarkeit, aber wie Tupel "die deutsche Sprache quält" sehe ich bis jetzt nicht. Tradition ist jedenfalls eine schwache Aussage; aber wenn Du ein wenig Information über die ältesten Verwendungen von "n-Tupel" im Vergleich zu "Tupel" beisteuern kannst, würde das den Artikel durchaus bereichern. --NeoUrfahraner 19:16, 19. Mär 2005 (CET)

Ich stimme Dir da nicht zu. Ein mathematischer Text ist nicht automatisch gut, wenn er formal korrekt ist, Überkorrektheit kann die Lesbarkeit sogar beeinträchtigen. Eine (mMn durchaus lesenswerte) Referenz habe ich ja schon genannt, umfangreiche historische Studien habe ich keine angestellt, aber ich würde vermuten, dass es heute eine Minderheit der Autoren ist, die "Tupel" ohne n verwenden, und dass der Anteil früher noch kleiner war. Nenne mir ein mathematisches Buch von vor 1970, das "Tupel" ohne n verwendet, und ich versuche, die Historie zu klären :-)--Gunther 19:40, 19. Mär 2005 (CET)

Die Beweislast liegt bei Dir, nicht bei mir - ich habe nichts behauptet, sondern nur nachgefragt, wie Tupel "die deutsche Sprache quält". Zur heutigen Verwendung brauchst Du aber nur googlen: "Tupel": 61.000 Treffer; "n-Tupel": 7.490 Treffer. "Tuple": 756.000 Treffer, "n-Tuple": 149.000 Treffer. Das Ergebnis ist eindeutig, damit können wir es wohl belassen. Die Formulierung im Text ("Beutelspacher rät ab") ist jedenfalls ausreichend neutral; auch wenn ich nicht voll zustimme, sehe ich keine Notwendigkeit zur Änderung. --NeoUrfahraner 20:04, 19. Mär 2005 (CET)

Laut en:tuple hat "Tupel-ohne-n" auch eine eigene Bedeutung in der Informatik, und die ersten fünf Seiten des Google-Ergebnisses zu "tupel -n-tupel -k-tupel -wikipedia" enthalten denn auch keine mathematischen Treffer (außer einer alten Wikipedia-Kopie, die wieso auch immer nicht rausgefiltert wurde), weiter habe ich dann nicht mehr nachgesehen. Aber wenn Du nichts gegen den derzeitigen Inhalt des Artikels einzuwenden hast, spricht auch aus meiner Sicht nichts gegen ein Ende der Diskussion.--Gunther 20:21, 19. Mär 2005 (CET)

Tupel versus Vektor

Wieso wurde der Unterschied zwischen Tupel und Vektor (Vektor braucht eine algebraische Struktur) gestrichen? --NeoUrfahraner 04:58, 19. Mär 2005 (CET)

Weil "Vektoren" an sich kein Spezialfall von n-Tupeln sind. "Zeilen-" oder "Spaltenvektoren" mögen das sein, aber das ist eher eine Schreibweise für ein n-Tupel denn ein mathematischer Begriff. (Was ist der Unterschied zwischen einem Zeilen- und einem Spaltenvektor?)--Gunther 10:44, 19. Mär 2005 (CET)

Diesen Unterschied sollte man dann aber auch im Text erklären. Zeilen- und Spaltenvektoren sind Vektoren als Matrizen betrachtet. Das Produkt eines Zeilen- und eines Spaltenvektors ist ja auch nicht das Skalarprodukt der Vektoren, sondern das Matrizenprodukt, und daher auch nicht mehr kommutativ. --NeoUrfahraner 11:19, 19. Mär 2005 (CET)

Die Koordinatendarstellung eines Vektors ist eine Funktion B → K, wobei B die entsprechende Basis und K der Skalarkörper ist. Man kann natürlich eine Ordnung der Basis wählen usw., aber das wird zu kompliziert. Dass R³ aus Tripeln reeller Zahlen besteht, habe ich schon hingeschrieben, und alles andere finde ich nur verwirrend.--Gunther 19:25, 19. Mär 2005 (CET)

Oder umgekehrt: Man braucht nicht mit dem Vektorraum starten, sondern kann aus n-Tupeln ein Beispiel eines Vektorraums konstruieren: Mit den naheliegenden Verknüpfungen ist für fixes n die Menge der n-Tupel eines Körpers ein Vektorraum. --NeoUrfahraner 01:07, 20. Mär 2005 (CET)

Warum gerade der Begriff "Vektorraum"? Warum nicht "Darstellung der symmetrischen Gruppe S_n" oder "differenzierbare Mannigfaltigkeit"? Trifft alles auch auf den Rⁿ zu. Hat aber auch mit n-Tupeln nichts zu tun.--Gunther 01:41, 21. Mär 2005 (CET)

Weil die von Dir zitierten "meisten Lesern, die noch nicht wissen, was n-Tupel sind" die n-Tupel IMHO sehr leicht mit Vektoren vermischen könnten, insbesondere, da in Computersprachen die Trennung dieser Begriffe nicht sauber durchgezogen wird. --NeoUrfahraner 02:41, 21. Mär 2005 (CET)

In der naiven Bedeutung von Vektor als "Spaltenvektor" oder so etwas ist der Unterschied schwammig. Wenn man auf den Begriff "Vektorraum" eingehen will, sollte man klare Beispiele geben wie den 2-dimensionalen Vektorraum $\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\}$, der aus 3-Tupeln besteht, oder den zweidimensionalen Vektorraum der Folgen $a_{n}$, die $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$ erfüllen. Die von mir gelöschte Formulierung war m.E. nicht dazu geeignet, diesen Unterschied zu klären.--Gunther 11:02, 21. Mär 2005 (CET)

Die Informatiker benutzen die Bezeichnungen Vektor und Tupel durchaus als Synonyme. In Java gibt es z.B. den Vektor-Datentyp.--MKI 21:17, 19. Mär 2005 (CET)

Kann es sein, dass Vektor eher bei gleichen und Tupel bei verschiedenen Typen der Einträge benutzt wird?--Gunther 23:08, 19. Mär 2005 (CET)

Ja. In Programmiersprachen wird ein Tupel gleicher Typen häufig als Vektor bezeichnet (z.B. ein Vektor von Zeichenketten oder integern). Im C++ Standard beispielsweise kann man nachlesen, welche Voraussetzungen ein Typ T erfüllen muss, dass man einen Standard-"vector<T>" bilden kann. Von Körperaxiomen ist da jedenfalls nichts zu lesen. In der Mathematik hingegen wird etwas erst zum Vektor, wenn die algebraische Struktur eines Körpers vorhanden ist. Für jedes fixe n bilden die n-Tupel von Körperelementen dann mit den naheliegenden Verknüpfungen einen Vektorraum. Welche Verknüpfungen von Zeichenketten oder von ganzen Zahlen bilden aber einen Körper? Das, was in der Informatik salopp als Vektor von Zeichenketten bezeichnet wird, ist in der Mathematik zunächst lediglich ein n-Tupel von Zeichenketten. Genau dieser Unterschied gehört IMHO im Artikel aufgezeigt. --NeoUrfahraner 01:07, 20. Mär 2005 (CET)

Der Unterschied zwischen "Vektor" und "Tupel" in der Informatik ist aber für die mathematischen Begriffe irrelevant, denn in der Mathematik gibt es den Begriff des Typs nicht: man kann zu jedem (mathematischen) n-Tupel einen Körper K angeben, so dass es Element von Kⁿ wird.--Gunther 01:45, 20. Mär 2005 (CET)

Tupel ist eine geordnete Zusammenstellung von "Objekten", "Objekt" haben wir zwar in der Mathematik nicht defniert, es muss aber wohl ein Elemente irgendeiner vorher bestimmten Grundmenge sein; und diese Grundmenge ist dann genau der "Typ" des Objekts. "Tupel" läuft ja letzlich genau auf Element des kartesischen Produkts bestimmter Mengen hinaus. So groß ist der Unterschied zwischen Mathematik und Informatik auch wieder nicht; und wenn Du Aussagen so formulieren willst, dass sie auch ein dummer Computer versteht, musst Du eben Dinge wie den Typ dazusagen, die der Mathematiker aus dem Zusammenhang (Grundmenge) als gegeben ansieht. Wie Du nun aber beispielsweise die n-Tupel von ganzen Zahlen Modulo $2^{32}$, die einen Modul bilden, trotz der Nullteiler in einen Vektorraum einbetten willst, würde mich wirklich interessieren. --NeoUrfahraner 03:20, 20. Mär 2005 (CET)

Objekte sind Mengen, die Grundmenge ist die Klasse aller Mengen. Eine genauere Typisierung gibt es nicht.

Wie man aus Z/2³²Z Elemente eines Körpers macht: wähle einen Körper mit mehr als 2³² Elementen (z.B. R), wähle 2³² davon aus und ersetze sie durch die Elemente von Z/2³²Z. Hat natürlich rein gar nichts mit der Struktur von Z/2³²Z zu tun, ist aber ein Körper. Also ganz formal: es seien a₀,...,a_4294967295 Elemente von R. Dann sei

$K:=(\mathbf {R} \setminus \{a_{1},\ldots \})\cup \mathbf {Z} /2^{32}\mathbf {Z}$

Dabei sind die Körperoperationen auf K so erklärt: mit reellen Zahlen wird gerechnet wie immer, und mit $n\in \mathbf {Z} /2^{32}\mathbf {Z}$ wird gerechnet wie mit a_n. (Ich habe noch benutzt, dass R und Z/2³²Z disjunkt sind, aber das scheint mir glaubhaft und ist nicht allzu relevant.)

Praktisch relevant ist dieses Verfahren, wenn man die reellen Zahlen von den natürlichen, ganzen und rationalen Zahlen aus aufbaut, aber trotzdem Inklusionen

$\mathbf {N} \subset \mathbf {Z} \subset \mathbf {Q} \subset \mathbf {R}$

haben will.--Gunther 03:41, 20. Mär 2005 (CET)

Jetzt einmal abgesehen davon, dass Du also doch eine algebraische Struktur einführen hast müssen, um aus dem Tupel einen Körper zu machen (genau diesen Satz hast Du ja aus dem Artikel gestrichen): Wie zeigst Du, dass es Körper mit bliebig vielen Elementen gibt? Welcher Körper hat z.B. mindestens so viele Elemente wie die Potenzmenge der reellen Zahlen? --NeoUrfahraner 09:36, 20. Mär 2005 (CET)

Der Satz von Löwenheim, Skolem und Tarski besagt, dass zu jeder Kardinalzahl größergleich der Mächtigkeit einer Menge von Ausdrücken $\Phi$ einer Logik erster Stufe Modelle dieser Kardinalität existieren, die $\Phi$ erfüllen, sofern ein unendliches Modell existiert. Die Körperaxiome lassen sich durch eine edliche Menge von Ausdrücken erster Stufe beschreiben, und unendliche Körper existieren auch.--MKI 10:28, 20. Mär 2005 (CET)

OK. Zurück zur Ausgangsfrage. Ist also jetzt ein Tupel ein Vektor? --NeoUrfahraner 10:36, 20. Mär 2005 (CET)

Nein, jedenfalls nicht mehr als jedes andere mathematische Objekt.--Gunther 11:04, 20. Mär 2005 (CET)

Und warum darf das nicht im Artikel stehen? --NeoUrfahraner 11:39, 20. Mär 2005 (CET)

Es stand da vor meiner Löschung: "Ein Spezialfall von N-Tupeln sind Vektoren (eindimensionale Matrizen) in einem N-dimensionalen Vektorraum", und aber nicht jeder Vektor ist ein n-Tupel, "eindimensionale Matrizen" sind i.d.R. nur Koordinatendarstellungen von Vektoren. Elemente von Rⁿ sind per definitionem n-Tupel, aber das hat mit der Vektorraumstruktur nichts zu tun. Was also willst Du zu Vektoren und n-Tupeln schreiben?--Gunther 11:54, 20. Mär 2005 (CET)

N-Tupeln von Elementen eines Körpers (mit den naheliegenden Verknüpfungen) genügen den Axiomen eines Vektorraums und sind daher Vektoren. Brauchst Du genauere Information oder siehst Du es auch so? Wenn Dir nicht mehr zu dem Thema einfällt, dann zerstöre zumindest nicht die bereits vorhandene Information. --NeoUrfahraner 14:33, 20. Mär 2005 (CET)

1. Der oben zitierte Satz ("Ein Spezialfall von N-Tupeln...") ist in dieser Form falsch.

2. Ich hoffte, dass das Prinzip anhand des Beispiels des R³ auch ohne die Begriffe Vektorraum und Körper klar wird. Ich denke, dass den meisten Lesern, die noch nicht wissen, was n-Tupel sind, auch der Begriff des Vektorraums unbekannt ist.--Gunther 14:51, 20. Mär 2005 (CET)

Ad 1: So falsch ist die Aussage auch wieder nicht. N-Tupel von Körperelementen sind ein Spezialfall von N-Tupeln und mit den naheliegenden Verknüpfungen Vektoren. Ad 2: Google fragen: Tupel: 60.500 Treffer. Vektor: 587.000 Treffer. Tuple 757.000 Treffer. Vector: 15.200.00 Treffer. Was ist also bekannter? --NeoUrfahraner 15:06, 20. Mär 2005 (CET)

Der alte Satz war Unfug, er ist zurecht rausgeflogen. Man könnte einen Abschnitt Anwendung einfügen und dort was in dem Stil reinsetzen, dass eine Basisdarstellung eines Vektors aus einem n-dimensionalen Vektorraums häufig als n-Tupel von Körperelementen geschrieben wird. Und man könnte eine Bemerkung dazu machen, wie der Begriff Vektor in der Informatik verwendet wird.--MKI 15:14, 20. Mär 2005 (CET)

Was genau ist am alten Satz Unfug gewesen? Deinem Vorschlag stimme ich aber zu. --NeoUrfahraner 00:51, 21. Mär 2005 (CET)

PS: Was war am Satz "Während für Vektoren aber zusätzlich eine algebraische Struktur, nämlich der Vektorraum definiert sein muss, ist Tupel ein rein mengentheoretischer Begriff." Unfug? --NeoUrfahraner 01:41, 21. Mär 2005 (CET)

Der Unterschied "Vektor im Sinne der linearen Algebra" und "n-Tupel" besteht nicht in der Vektorraumstruktur.--Gunther 01:52, 21. Mär 2005 (CET)

Sondern? Auf Vektor steht "In allgemeinster Form ist ein Vektor ein Element eines Vektorraums" und auf Vektorraum steht "Ein Tripel (V,+,*) heißt Vektorraum über einem Körper K, wenn ...". "Vektor" hat also erst einen Sinn, wenn neben V auch +,* und K gegeben sind, Tupel hingegen braucht weder +,*, noch K. --NeoUrfahraner 02:41, 21. Mär 2005 (CET)

Dadurch, dass man auf den n-Tupeln eine Vektorraumstruktur hat, wird nicht jeder Vektor zu einem n-Tupel.--Gunther 11:02, 21. Mär 2005 (CET)

Wovon sprichst Du? Ich spreche vom Satz "Während für Vektoren aber zusätzlich eine algebraische Struktur, nämlich der Vektorraum definiert sein muss, ist Tupel ein rein mengentheoretischer Begriff." --NeoUrfahraner 12:15, 21. Mär 2005 (CET)

Ich auch. Dieser Satz suggeriert eine Ähnlichkeit zwischen dem Begriff "Vektor als Element eines Vektorraums" und dem Begriff "n-Tupel", die es nicht gibt. Dadurch, dass... s.o.--Gunther 13:30, 21. Mär 2005 (CET)

Ist der Satz also inhaltich richtig, suggeriert aber etwas Falsches? --NeoUrfahraner 00:13, 22. Mär 2005 (CET)

Ja.--Gunther 00:23, 22. Mär 2005 (CET)

Gefällt Dir "Tupel ist ein rein mengentheoretischer Begriff; für Vektoren muss aber zusätzlich eine algebraische Struktur definiert sein, nämlich der sogennante Vektorraum" besser? --NeoUrfahraner 02:07, 22. Mär 2005 (CET)

Um die Einrückung mal wieder zu reduzieren, antworte ich unten nach der Trennlinie.--Gunther 09:40, 22. Mär 2005 (CET)

Ad 1: Der Satz behauptete, dass Elemente eines N-dimensionalen Vektorraums N-Tupel seien, und das ist i.a. falsch.

So stimmt das tatsächlich nicht. Aber die N-dimensionalen Vektorräume über einem gegebenen Körper sind alle zueinander isomorph, und die N-Tupel bilden einen Repräsentanten dieser Äquivalenzklasse. So falsch ist der Satz also auch wieder nicht. --NeoUrfahraner 00:51, 21. Mär 2005 (CET)

Ad 2: Google: Vektorraum: 44.700 Treffer, vector space 631.000 Treffer.

Die Ausgangsfrage war aber nicht das Verhältnis Tupel zu Vektorraum, sondern das Verhältnis Tupel zu Vektor. --NeoUrfahraner 00:51, 21. Mär 2005 (CET)

Lies nochmal "2." oben durch.--Gunther 01:39, 21. Mär 2005 (CET)

Um 14:51, 20. Mär 2005 war auch der Begriff "Vektor", um den es ja geht, nicht im Beispiel zu finden." --NeoUrfahraner 02:41, 21. Mär 2005 (CET)

In "2." ging es um die Gründe, weshalb ich die alte Formulierung gelöscht hatte, und einer war die Verwendung des Wortes "Vektorraum", das ich für zu kompliziert im Kontext dieses Artikels hielt.--Gunther 11:02, 21. Mär 2005 (CET)

Habe das Beispiel abgeändert. Sind damit alle zufrieden?--Gunther 15:17, 20. Mär 2005 (CET)

Ich verstehe das Verhältnis Tupel zu Vektor damit nicht. Was ist ein Vektor im engeren Sinne? Was Du genau mit "wesentlich allgemeiner" (vielleicht unendlichdimensional?) meinst, ist mir auch nicht klar. --NeoUrfahraner 00:51, 21. Mär 2005 (CET)

Mit "Vektor im engeren Sinne" meine ich so etwas wie Zeilen- oder Spaltenvektoren, also Vektoren, wie man sie aus der Schule kennt, insbesondere Elemente von R³ o.ä. Der "weitere Sinn" wird ja durch den Verweis auf die lineare Algebra erklärt.

Mit "wesentlich allgemeiner" meine ich: ein Vektor in der linearen Algebra ist irgendetwas, Hauptsache, es liegt in einem Vektorraum. Und das hat mit n-Tupeln primär nichts zu tun, auch wenn jeder endlichdimensionale Vektorraum isomorph zu usw. ist.--Gunther 01:39, 21. Mär 2005 (CET)

Ok, der "engere Sinn" ist draußen.--Gunther 01:58, 21. Mär 2005 (CET)

---

Es geht hier in der Diskussion um drei Begriffe:

• n-Tupel
• Vektoren im Sinne von "n-Tupel von Zahlen", z.B. Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$
• Vektoren im Sinne der linearen Algebra

Der erste und der zweite Begriff sind formal kaum zu trennen, da es keinen präzisen Zahlbegriff gibt (es gibt nur Mengen). Der zweite und der dritte Begriff haben nicht viel miteinander zu tun, ausser dass der $K^{n}$ einen $K$-Vektorraum bildet. Ein einzelner Vektor der linearen Algebra entspricht nicht einem n-Tupel, sondern unterschiedlichen, je nach Basiswahl. Diese Differenzierung gehört meiner Meinung nach aber nicht hierher, sondern in Vektor oder Vektorraum.

Dein Vorschlag "Tupel ist ein rein mengentheoretischer Begriff; für Vektoren muss aber zusätzlich eine algebraische Struktur definiert sein, nämlich der sogennante Vektorraum" stellt für mich immer noch eine Verknüpfung von zwei wahren Aussagen dar, die fälschlicherweise suggeriert, dass die beiden Begriffe in einer engen Beziehung zueinander stehen.--Gunther 09:40, 22. Mär 2005 (CET)

Bezüglich ersten und dritten Begriff stimme ich Dir zu, beim zweiten habe ich eine andere Vorstellung, nämlich dass ich es tolerieren würde, n-Tupel von Köperelementen als Vektor zu bezeichen; n-Tupel ganzer Zahlen also nicht, dafür n-Tupel irgendwelche abstrakter Körper schon. Darum gefält mir auch die derzeitige Formulierung des Artikels nicht. Darum geht es aber nicht. Egal was man zulässt und was nicht, der zweite Begriff ist mathematisch nicht sauber. Es geht mir vielmehr um den umgangssprachlichen Begriff "Vektor", der oft ganz einfach als Synonym für n-Tupel verwendet wird, beispielsweise in Programmiersprachen wie Java oder C++ (vgl. den Beitrag von MKI 21:17, 19. Mär 2005). Leser, die von der Informatikseite kommen, sollen nach dem Lesen des Artikels nicht zum Eindruck kommen, dass auch in der Mathematik Tupel also nur ein anderes Wort für Vektor ist. Eine enge Beziehung zwischen Tupel und Vektor braucht nicht suggeriert zu werden, sondern existiert bereits (zumindest im Sprachgebrauch der Informatik). --NeoUrfahraner 16:45, 22. Mär 2005 (CET)

Es ist sogar üblich "Vektoren" (im n-Tupel-Sinn) von Differentialoperatoren hinzuschreiben, und das sind definitiv keine Zahlen. Die Einschränkung auf Zahlen erfolgt nur, um an den aus der Schule bekannten Begriff zu erinnern. Da der Begriff Vektor (in dieser Bedeutung) ohnehin nicht klar definiert ist, scheint mir das zulässig.

Zu den Begriffen der Informatik sollte man einen eigenen Abschnitt schreiben und sie nicht mit den mathematischen vermischen. Ich fürchte, dass gerade die Erwähnung von "Vektor im Sinne der linearen Algebra" und "n-Tupel" in einem Satz suggerieren könnte, dass die mathematischen Begriffe etwas miteinander zu tun haben, und das ist falsch. Dass die Begriffe der Informatik eng verwandt sind, macht die Gefahr dieses Missverständnisses noch größer.

Laut en:tuple, en:vector, en:array und en:list sind die Begriffe auch in der Informatik unterschiedlich insofern, als ein Tupel im Unterschied zu Vektoren, Listen und Arrays keine inhärente Ordnung besitzt. Eine Vermischung mit den Begriffen der Informatik wäre also schon deshalb extrem irreführend.--Gunther 17:47, 22. Mär 2005 (CET)

1) Welches Problem hast Du mit Vektoren von Differentialoperatoren?

2) Zeigt die Aussage, "dass eine Basisdarstellung eines Vektors aus einem n-dimensionalen Vektorraums häufig als n-Tupel von Körperelementen geschrieben wird." (Zitat MKI) nicht, "dass die mathematischen Begriffe etwas miteinander zu tun haben"?

3) Ist die unterschiedliche Verwendung in der Informatik nicht erst recht ein Grund, im Artikel Klärung zu schaffen? --NeoUrfahraner 06:24, 23. Mär 2005 (CET)

1) Keines. Du wolltest diesen Vektorbegriff gerade auf Körperelemente beschränken.

2) Nein. Basisdarstellungen von Vektoren in n-dimensionalen Vektorräumen haben etwas mit n-Tupeln zu tun, Vektoren nicht, vgl. den bereits genannten 2-dimensionalen Vektorraum $\{x\in \mathbb {R} ^{3}\mid x_{1}+x_{2}+x_{3}=0\}$, dessen Vektoren 3-Tupel sind. Selbst Basisdarstellungen werden erst zu n-Tupeln, wenn man eine Ordnung der Basis wählt.

3) Habe mich daran versucht.

--Gunther 11:51, 23. Mär 2005 (CET)

Ad 1: Warum hast Du dann "das sind definitiv keine Zahlen" geschrieben? Wie dem auch sei; mein Punkt ist, dass ich die Bezeichnung "Vektor" statt "n-Tupel" dann toleriere, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, über welchem Körper und mit welchen Verknüpfungen die Menge deser n-Tupel einen Vektorraum bilden. Speziell bei n-Tupeln von Körperelementen sind der Körper und die Verknüpfung normalerweise aus dem Zusammenhang klar; bei anderen n-Tupeln kann das auch der Fall sein. Bei n-Tupel natürlicher Zahlen sehe ich den Körper aber nicht. Der Unkehrschluss, dass damit jeder Vektor ein n-Tupel sein muss, gilt natürlich nicht, schon gar nicht im Unendlichdimensionalen.

Ad 2: Was Du angegeben hast, ist nur eine Menge, kein Vektorraum. Aus dem Zusammenhang kann ich zwar erraten, welchen Körper und welche Verknüpfungen Du meinst; aber die von Dir gegebene Menge kann auch als Vektorraum über den rationalen Zahlen betrachtet werden und hat dann ganz andere Eigenschaften. Genau das meine ich damit, dass Tupel ein rein mengentheoretischer Begriff ist, für Vektoren aber zusätzlich eine algebraische Struktur definiert sein muss.

Ad 3: OK --NeoUrfahraner 03:07, 24. Mär 2005 (CET)

Ad 1: Ich meinte "Vektoren" wie ${\begin{pmatrix}\partial /\partial x_{1}\\\partial /\partial x_{2}\\\partial /\partial x_{3}\end{pmatrix}}$, die 3-Tupel von Nichtkörperelementen sind.

Ad 2: Hm, natürlich kann man das missverstehen, wenn man will, da stimme ich Dir zu. Aber selbst mit der algebraischen Struktur (als reeller Unterraum des $\mathbb {R} ^{3}$) werden diese 3-Tupel kein dreidimensionaler Vektorraum.--Gunther 10:20, 24. Mär 2005 (CET)

Ad 1: Ich weiß, was Du mit Vektoren von Differentialoperatoren meinst, und dass Differentialoperatoren weder Körperelemente noch Zahlen sind. Da ich aber einen dazugehörigen Vektorraum erkennen kann, habe ich kein Problem damit, Vektor in diesem Zusammenhang ohne Anführungszeichen zu schreiben.

Ad 2: Die konkrete Dimension ist in diesem Zusammenhang nebensächlich. Der Punkt ist, dass die Menge erst dann zum Vektorraum wird (und die Elemente der Menge damit zu Vektoren), wenn die algebraische Struktur dazukommt - egal, ob die algebraische Struktur nun implizit aus dem Zusammenhang erkennbar wird, oder ob explizit dazugesagt wird, dass die Menge beispielsweise als Vektorraum über den rationalen Zahlen betrachtet wird. --NeoUrfahraner 12:25, 24. Mär 2005 (CET)

ad 1: Ich denke schon, dass es nicht unüblich ist, Elemente von $\mathbb {Z} ^{n}$ auch als Vektoren zu bezeichnen (google nach "ganzzahliger Vektor" liefert nicht nur spezielle Elemente von $\mathbb {R} ^{n}$). Der Begriff ist nicht exakt definiert, aber das ist auch nicht die Aufgabe hier, sondern wenn dann unter Vektor.

ad 2: Ich bezog mich auf den von Dir unter "2)" zitierten Satz, der "n-dimensional" und "n-Tupel" zusammenbringt, und ich wollte zeigen, dass das ohne das Wort "Basisdarstellung", das wir hoffentlich beide nicht in diesem Artikel erwähnen wollen, nicht sinnvoll ist.--Gunther 13:04, 24. Mär 2005 (CET)

Ich denke, wir sind uns weitgehend einig; natürlich können wir auch ewig so weitermachen. Gibt es konkrete Punkte in der derzeitigen Fassung, die Dir Unbehagen bereiten?--Gunther 13:04, 24. Mär 2005 (CET)

Da Du anscheinend nicht bereit bist, auf den eigentlichen Punkt einzugehen, ist es vermutlich wirklich besser, die Diskussion abzubrechen. Mit der derzeitgen Fassung kann ich mehr oder weniger gut leben, und eine Formulierung, die uns beiden besser gefällt, werden wir wohl nicht mehr finden, daher auch aus meiner Sicht Ende der Debatte. --NeoUrfahraner 15:08, 24. Mär 2005 (CET)

Es beruhigt mich zu hören, dass ich nicht der einzige bin, der den Eindruck hat, dass wir aneinander vorbeireden. Mir dabei mangelnden Willen zu unterstellen finde ich allerdings nicht ausgesprochen freundlich. (Ach ja, zur Sache: beim Durchlesen kam mir noch ein Gedanke: wenn Du wirklich meinst, dass ein 3-Tupel von Differentialoperatoren dadurch zum Vektor wird, dass man es mit reellen Zahlen multiplizieren kann, sind wir uns in diesem Punkt nicht einig. Ich hatte es ehrlich gesagt nicht so richtig für möglich gehalten, dass Du das meinst.)--Gunther 16:22, 24. Mär 2005 (CET)

Du lenkst schon wieder vom eigentlichen Punkt ab. --NeoUrfahraner 00:35, 25. Mär 2005 (CET)

Dann verrate mir doch bitte, welcher Dein "eigentlicher Punkt" ist. Ich weiß es nämlich wirklich nicht.--Gunther 00:42, 25. Mär 2005 (CET)

"Der Punkt ist, dass die Menge erst dann zum Vektorraum wird (und die Elemente der Menge damit zu Vektoren), wenn die algebraische Struktur dazukommt" (mein Beitrag von 12:25, 24. Mär 2005) Oder auch die ursprüngliche Frage "Wieso wurde der Unterschied zwischen Tupel und Vektor (Vektor braucht eine algebraische Struktur) gestrichen?" (04:58, 19. Mär 2005) Wir waren uns ja schon einig, dass im streng mathematischen Sinne ein Tupel nicht mehr Vektor ist als jedes andere mathematische Objekt (Dein Beitrag von 11:04, 20. Mär 2005). Du hast allerdings die Ansicht vertreten, dass es nicht notwendig wäre, diesen Unterschied hier zu beschreiben, und als Antwort darauf habe ich die oberflächlichen Gemeinsamkeiten von Vektor und Tupel betont. Im nachinein betrachtet habe ich die Gemeinsamkeiten wohl zu sehr betont. Mir geht es ja gar nicht um die Gemeinsamkeiten, sondern um den Unterschied; die Gemeinsamkeiten habe ich nur herausgestrichen, um klar zu machen, warum der Unterschied im Artikel deutlich gemacht werden soll. Die jetzige Formulierung (Vektor ist "allgemeiner") macht den Unterschied aber meines Erachtens nicht klarer, sondern verwischt ihn eher. Vektor ist weder allgemeiner noch spezieller, sondern ganz einfach etwas anderes. Tupel existieren für sich alleine; Vektoren nur im Kontext von algebraischen Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften. --NeoUrfahraner 02:36, 25. Mär 2005 (CET)

Danke für die Erklärung, das hatte ich wirklich nicht verstanden. Ich glaube aber immer noch, dass es zwei Vektorbegriffe gibt: einerseits alles, "das wie ein Vektor aussieht", also i.w. n-Tupel, und andererseits Vektoren der linearen Algebra. Habe den Artikeltext mal wieder ein wenig angepasst, zumindest der zweite Teil sollte Dir jetzt besser gefallen. Kann vielleicht noch geglättet werden.--Gunther 06:49, 25. Mär 2005 (CET)

Ach ja, hoffentlich überzeugende Begründung für die Zwei-Vektoren-Theorie: wenn ich eine Matrix mit Einträgen in einem Ring nach den üblichen Regeln auf ein n-Tupel von Ringelementen anwende, wäre es unnatürlich, es nicht Vektor nennen zu dürfen.--Gunther 07:07, 25. Mär 2005 (CET)

OK, haben wir es doch noch geschafft, einen gemeinsamen Standpunkt zu finden. Was Du im Artikel geschrieben hast, entspricht im Wesentlichen dem, was ich meine. Wenn Du im zweiten Teil noch irgendetwas wie algebraische Struktur, Verknüpfung oder dass man Vektoren beispielsweise addieren kann, unterbringst (mein Vorschlag: "Gesamtheit" durch "Menge mit bestimmten darauf definierten Verknüpfungen" ersetzen), wäre ich vollauf zufrieden, aber daran soll es jetzt jedenfalls nicht mehr scheitern. Danke, --NeoUrfahraner 10:22, 25. Mär 2005 (CET)

Es tut mir leid, dass ich Dich so lange missverstanden habe, und ich wünsche Dir frohe Ostern.--Gunther 00:08, 26. Mär 2005 (CET)

Auch ich wünsche Dir frohe Ostern. --NeoUrfahraner 01:14, 26. Mär 2005 (CET)

Runde 2

So ich bin ein bisschen angefuchst, dass Gunther einfach nen revert hingeklatscht hat ... aber ok, hier mal folgendes zur Erklärung: Ein Tupel kann als Matrix mit einer Zeile und m Spalten aufgefasst werden, das ist äquivalent mit einer Matrix mit n Zeilen und m Spalten, von der ab Zeile 2 nur 0en gesetzt werden. Transponiert man die Matrix (n x m) wird die erste Zeile zur ersten Spalte, also die Matrix zu einer m x n Matrix. Da nun aber alle Spalten Null sind, kann man sie auch weglassen. Rein analytisch betrachtet schlägt man da die Hände über den Kopf. Ich studiere aber Physik und habe als Nebenfach angewandte Mathematik(bzw. Höhere Mathematik), die nicht so genau, dafür aber praktisch veranlagt ist. Ich sehe es aber nicht ein, nur eine analytische Betrachtung vorzuziehen, es ging um Beispiele und ich habe ein praktisches Beispiel genannt, sowie einen Zusammenhang zwischen Tupel und Vektor. (Muss aber auch sagen, dass ich erst im ersten Semester bin und das meiste was ihr da erzählt noch nicht ganz verstehe ^^) --Tossek 23:32, 28. Mär 2005 (CET)

Das tut mir leid, aber wie Du bemerkt haben wirst, gab es ja schon ausführliche Diskussionen zu diesem Thema... Also: Es gibt kanonische Bijektionen $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{1\times n}$ und $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n\times 1}$, also die Identifikation von $n$-Tupeln mit Zeilen- bzw. Spaltenvektoren. Es ist aber nicht sinnvoll, eine dieser Identifikationen zu bevorzugen; $n$-Tupel sind per se weder Zeilen- noch Spaltenvektoren (auch wenn sie optisch nur schwer von Zeilenvektoren zu unterscheiden sind). Transposition stellt eine Bijektion zwischen Zeilen- und Spaltenvektoren her, hat also mit $n$-Tupeln direkt nichts zu tun. Genügt das?--Gunther 00:08, 29. Dez 2005 (CET)

Das bestreite ich auch nicht, aber: Dass nicht alle Tupel Vektoren sind, impliziert nicht, dass best. Vektoren Tupel sein können. --Tossek 22:42, 30. Mär 2005 (CET)

Ja, keine Frage. Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ sind $n$-Tupel und Vektoren. Aber sie sind per se weder Zeilen- noch Spaltenvektoren (im Sinne von $1\times n$- bzw. $n\times 1$-Matrizen).--Gunther 22:46, 30. Dez 2005 (CET)

wenn ich das mal weiterspinne heißt, dass doch, dass dann eine transponierte geordnete Menge (Tupel) in einer Mengendimension, ein Vektor in einem $\mathbb {R} ^{n}$ darstellt. Weil: Ich hatte hier von der Uni aus eine Aufgabe, in dem 2 Tupel transponiert wurden und ich wusste nicht, dass die dann zu Spaltenvektoren werden, deshalb behark ich so ein bisschen auf so einen Eintrag für diesen Spezialfall --Tossek 23:06, 30. Mär 2005 (CET)

Das war dann wohl eher ein transponierter Zeilenvektor, der dann ein Spaltenvektor wurde. Du scheinst $n$-Tupel mit Zeilenvektoren und Elemente von $\mathbb {R} ^{n}$ mit Spaltenvektoren gleichzusetzen; das sieht für mich eher nach einer Verwechslung aus.--Gunther 23:30, 30. Dez 2005 (CET)

Siehe auch: Relation

Was hat der Verweis auf Relation bei "Siehe auch" bedeuten? --NeoUrfahraner 02:40, 20. Mär 2005 (CET)

Nichts, rausgenommen. (Die Elemente einer mehrstelligen Relation sind n-Tupel, aber das rechtfertigt keinen Verweis.)--Gunther 03:07, 20. Mär 2005 (CET)

Geordnetes Paar

Sollte dieser Artikel nicht besser die gleiche Definition für "geordnetes Paar" verwenden wie der Artikel geordnetes Paar? --NeoUrfahraner 13:26, 29. Mär 2005 (CEST)

Radikalerer Vorschlag: Artikel vereinigen. Geordnete Paare sind nicht einfacher als n-Tupel, und inhaltlich ist geordnetes Paar ohnehin fast schon eine Teilmenge von Tupel.--Gunther 14:07, 29. Mär 2005 (CEST)

Ach ja, was hier noch rein sollte: es gibt eine Möglichkeit, geordnete Paare so zu definieren, dass man geordnete Paare echter Klassen bilden kann. Wenn ich mich nicht irre, ist

$(a,b):=\{(0,x)_{*}\mid x\in a\}\cup \{(1,y)_{*}\mid y\in b\}$ mit $(x,y)_{*}:=\{x,\{x,y\}\}$

eine solche Konstruktion.--Gunther 14:16, 29. Mär 2005 (CEST)

Artikel vereinigen halte ich nicht für sinnvoll, den erstens ist das in den anderssprachigen Versionen (zumindest en und fr) auch nicht der Fall und zweitens gibt es (wie auch Deine zweite Anmerkung zeigt) zum Thema "geordnetes Paar" anscheinend mehr zu sagen, als es auf den ersten Blick scheint (z.B. die Geschichte der verschiedenen Definitionen; in en und fr finden sich die Namen Wiener und Kuratowski). --NeoUrfahraner 19:12, 29. Mär 2005 (CEST)

Die anderssprachlichen Seiten habe ich gesehen, und die o.g. Definition funktioniert natürlich entsprechend für n-Tupel. Aber solange der mengentheoretische Ballast nicht dupliziert wird, sind mir zwei Artikel auch recht. (Wer zum erstenmal n-Tupel nachschlägt, will keine Konstruktion, dem reicht völlig, dass zwei n-Tupel genau dann gleich sind, wenn usw.)--Gunther 19:40, 29. Mär 2005 (CEST)

(Neuer Diskussionsbeitrag)

Ich bin nicht wenig irretiert über die in der Wikipedia stehende Definition des Tupel-Begriffs sowie auch über die Diskussionen zu diesem Begriff. Gerne gebe ich zu diesem Thema einen Begriffsklärenden Beitrag, den ich hier aber leider aus technischen Gründen nicht einbringen kann. Sollte jemand Interesse haben, so kann er sich bei mir melden. --Georg Roch

Leider ist diese Kritik so wenig konkret, dass ich nicht weiß, was ich darauf entgegnen könnte.--Gunther 20:42, 7. Mär 2006 (CET)

Sie können, falls Sie Interesse haben, Kontakt mit mir aufnehmen. --Georg Roch

Dazu sehe ich derzeit keinen Anlass. Wenn es irgendetwas zum Artikel zu sagen gibt, ist hier der richtige Ort (und Sie sind ja offenbar dazu in der Lage, sich hier zu äußern, die Form muss ja nicht druckreif sein).--Gunther 21:00, 7. Mär 2006 (CET)

Die nachstehenden Ausführungen sind lediglich Überlegungen zum mathematischen Hintergrund des Tupel-Kapitels.

Wenn das Wort "Tupel" denselben Begriff wie "endliche Folge", bei manchen Autoren allerdings mit dem Zusatz: "mit einer Länge größer als Eins", bezeichnet, dann muss auch die Tupel-Definition Folgen liefern. Die Definition einer Folge der Länge n, wobei n eine nichtnegative ganze Zahl ist, lautet so: Ist n gleich Null, dann ist die Folge die leere Menge, andernfalls ist sie das geordnete Paar (x,F), wobei x ein Objekt und F eine Folge der Länge n minus Eins ist. Diese Definition wird "nach vorn orientiert" bezeichnet, im Gegensatz zu der "nach hinten orientierten", wo anstelle des Paares (x,F) das Paar (F,x) zu setzen ist. Erstere hat den Vorteil, dass eine Folge ihre "Glieder" in "natürlicher Reihe" enthält, bei letztere dagegen in "umgekehrter Reihe": Sind m und n positive ganze Zahlen, m kleiner oder gleich n, und F eine Folge der Länge n, dann ist bei nach vorn orientierter Definition das "Glied in der Position" m die linke Komponente von F, wenn m=1, andernfalls das Glied in der Position m-1 der rechten Komponente von F. Bei nach hinten orientierter Definition ist das Glied in der Position m die rechte Komponente von F wenn m=n, andernfalls das Glied in der Position n-m der linken Komponente von F. Nach diesen Bemerkungen liegt es nahen den Tupel-Begriff, wenn man ihn mit dem Folge-Begriff gleichsetzen will, eventuell mit der oben erwähnten Einschränkung auf Längen größer als Eins, auf die nach vorne orientierte Definition zu gründen.

Wenn man den Tupel-Begriff nicht auf den Begriff der endlichen Folgen sondern, wie auch im Tupel-Kapitel geschehen, vom geordneten Paar als kürzestes Tupel ausgehend, aufbaut, ist es erforderlich, um Eindeutigkeit bezüglich der Länge eines Tupels und der Position seiner Glieder innerhalb eines Tupels zu wahren, wie schon im genannten Kapitel erwähnt, auf Hilfskonstruktionen zurückzugreifen, die auf den Betrachter "unnatürlich" wirken und die mathematische Behandlung der Tupel sehr kompliziert.

Eine weitere Möglichkeit, den Tupel-Begriff zu definieren, ist, wie schon im genannten Kapitel ebenfalls erwähnt, seine Rückführung auf den Abbildungs-, oder, was dasselbe ist, Funktions-Begriff: Eine Menge geordneter Paare heißt "Abbildung" oder "Funktion", wenn sie keine zwei Elemente mit gleicher vorderer Komponente enthält. Die Menge der vorderen Komponenten der Elemente einer Abbildung heißt ihr "Urbildbereich" und die der hinteren Komponenten ihr "Bildbereich". Die Definition des Tupel-Begriffs lautet dann so: Sei n eine positive ganze Zahl. Eine Abbildung, deren Urbildbereich aus den Zahlen von 1 bis n besteht, heißt "Tupel der Länge" n. Sind die Elemente im Bildbereich Mengen, so heißt die Abbildung auch "kartesisches Produkt der Länge" n. In einem Kapitel über Tupel ist es aber nicht erforderlich explizit den Abbildungs-Begriff anzusprechen, es würde genügen, so zu definieren: Sei n eine positive ganze Zahl. Eine n-elementige Menge von geordneten Paaren, deren vordere Komponenten die Zahlen von 1 bis n sind, heißt "Tupel der Länge" n. Sind die hinteren Komponenten Mengen, so heißt sie auch "kartesisches Produkt der Länge" n.

Der Rückgriff auf den Folgen-Begriff zur Definition des Tupel-Begriffs scheint mir inadäquat, es hat so etwas, wenn ich mir zu sagen erlauben darf, wie "schießen mit Kanonen nach Spatzen" an sich. Der Folgen-Begriff verdiente wegen seines Umfangs und seiner nicht unerheblichen Bedeutung in der Wikipedia ein eigenes Kapitel.

Abschließend noch eine Bemerkung zum Umgang mit dem Wort "n-Tupel". Wenn man z.B. schreibt "Sei n eine ganze Zahl und T ein n-Tupel", so dient das Gebilde "n-Tupel" als eine Abkürzung von "Tupel der Länge n". Allgemein steht "X-Tupel", wobei X ein Ausdruck ist, der in einem mathematischen Text an der Stelle, wo "X-Tupel" steht, einen Zahlwert hat, für "Tupel der Länge X". Demnach hat z.B. in dem Satz "Seien k und n positive ganze Zahlen und T ein (2*k+m-1)-Tupel" das Gebilde "(2*k+m-1)-Tupel" eine Bedeutung. Das Wort "n-Tupel" hat also an "n-freien" Stellen, d.h. an Textstelle, wo über "n" nichts "vereinbart" ist, keinen Sinn. Ich würde es begrüßen, wenn sich Mathematiker durchringen könnten, dies zu beherzigen, d.h. an n-freien Stellen nicht mehr "n-Tupel" sondern nur noch "Tupel" zu schreiben. --Georg Roch

"Endliche Folge" wird auch häufig definiert als Abbildung mit Definitionsbereich $\{1,\ldots ,n\}$, z.B. [1] S. 90. Vgl. auch Folge (Mathematik).

Ihre Definition von "kartesisches Produkt" ist extrem ungewöhnlich, üblicherweise versteht man darunter die Menge aller n-Tupel mit Einträgen aus den jeweiligen Mengen, oder falls n-Tupel nicht ohnehin als Abbildungen definiert werden, auch die Menge der Abbildungen mit Definitionsbereich $\{1,\ldots ,n\}$ und passenden Werten. Es sollte jedenfalls $|X\times Y|=|X|\cdot |Y|$ gelten und nicht generell $|X\times Y|=2$.

Der Umgang mit dem Problem "Tupel" vs. "n-Tupel" folgt Beutelspacher (vgl. Artikel). Es gibt keine Objekte, die Tupel (schlechthin) heißen, sondern nur 1-, 2- oder n-Tupel für irgendeine Variable n (oder wie sie auch immer heißen mag). Es steht schon im Text: n bezeichnet hierbei die Anzahl der Elemente des n-Tupels. Allerdings sollte das früher gesagt werden, da muss ich Ihnen zustimmen. (Allerdings wäre es mir aufgrund der Verwechslungsgefahr mit der $\in$-Relation sympathischer, von "Einträgen" statt "Elementen" zu sprechen.)

Generell sehe ich den Artikel eher unter dem Aspekt des working mathematician, d.h. es genügt mir vollkommen, dass es eine formale Umsetzung der Aussage "X ist das 5-Tupel mit den Einträgen $X_{1},\ldots ,X_{5}$" als eine logische Formel mit den freien Variablen $X,X_{1},\ldots ,X_{5}$ gibt. Für 99% der Mathematik ist es vollkommen egal, wie diese Formel genau aussieht, ob sie geordnete Paare verwendet, ob sie dabei das Prinzip (x,F) oder (F,x) verwendet, oder ob sie auf dem Abbildungsbegriff aufbaut. Deshalb würde ich derartigen Detailfragen auch nur begrenzten Raum zugestehen wollen.--Gunther 19:04, 8. Mär 2006 (CET)

Die Kritik an der Bezeichnung "$n$-Tupel" lässt sich direkt auf den Begriff "$p$-adische Zahlen" übertragen. Ich kann mir aber nicht vorstellen, dass jemand ernsthaft fordern würde, diese künfig als "adische Zahlen" zu bezeichnen. Persönlich empfinde ich es eher so: Wenn die Variable $n$ frei ist, dann wird sie durch die Formulierung "$n$-Tupel" gebunden, d.h. ab diesem Punkt weiß ich, dass $n$ eine nichtnegative ganze Zahl ist, die mit der Länge des $n$-Tupels übereinstimmt.--MKI 19:58, 8. Mär 2006 (CET)

Ansonsten muss ich Gunther zustimmen: Für die Verwendung des Tupel-Begriffs ist es in den allermeisten Fällen unerheblich, wie die "mengentheoretischen Innereien" aussehen. Ein klares Indiz dafür ist auch die Tatsache, dass es, wie oben beschrieben, mehrere Wege gibt, ein $n$-Tupel mengentheoretisch zu definieren. Deshalb finde ich den Aufbau des Artikels so wie er jetzt ist genau richtig: Das für die allermeisten Leser Wesentliche, nämlich die Intuition, die hinter dem Begriff des $n$-Tupels steckt, kommt in der Einleitung, und das "Expertenwissen" im letzten Abschnitt.--MKI 20:07, 8. Mär 2006 (CET)

Ich antworte hiermit nicht auf Ihre Antwort auf meinen letzten Diskussions-Beitrag sondern fasse den informalen Teil Ihres Tupel-Kapitels noch einmal ins Auge und beginne mit Bemerkungen.

1. "… eine geordnete Zusammenstellung von Objekten, …" Diese Formulierung ist problematisch: Jedes Objekt ist ein Unikat, es kann sich beispielsweise nicht mehrmals in einer Reihe befinden.

2. "Die Objekte werden als Elemente …" Das Wort "Element" sollte hier nicht verwendet werden: Vorher wurde ausdrücklich darauf hingewiesen, dass ein n-Tupel hier nicht als Menge anzusehen ist. "Element" wird in der Mathematik nur im Sinne "Element einer Menge" gebraucht.

3 . "… mehrfach dasselbe Element enthalten …" Siehe Bemerkung zu Punkt 1.

4. "Diese Anzahl muss endlich sein." Diese Aussage ist überflüssig: Es wird hier von einem n-Tupel gesprochen, wobei n eine ganze Zahl ist. "unendlich" ist aber keine Zahl.

5. "Im Fall eines 2-Tupels spricht man auch von einem geordneten Paar" Diese Bemerkung trifft nicht zu. Ein 2-Tupel ist kein geordnetes Paar

6. "Albrecht Beutelspacher rät in seinem mathematischen Stilratgeber ..." Privatmeinungen gehören nicht in ein wissenschaftliches Kapitel, insbesondere dann nicht, wenn sie gegen logische Prinzipien verstoßen, hier gegen die wissenschaftliche Nomenklatur-Ordnung.

7. "Notationskonflikt: …" Diese Bemerkung ist schon wegen des Passus: "… ist aus dem Kontext zu ersehen …" überflüssig.

Nachstehend eine korrekte Version des informalen Teils vom Tupel-Kapitels.

• • Ein n-Tupel (n ist eine ganze Zahl größer als Eins) ist eine aus n Eintragungen bestehende Liste. Eingetragen sind mathematische Objekte (Zahlen oder anderes), wobei ein Objekt auch mehrmals eingetragen sein kann. Z.B. ist (3,2,3,3,8) ein 5-Tupel. Das an der i-ten Stelle eines n-Tupels eingetragene Objekt wird seine "i-te Komponente" genannt. Bei 3-Tupeln spricht man auch von "Tripeln", bei 4-Tupeln von "Quadrupeln", bei 5-Tupeln von "Quintupeln" usw. Daher der Name "Tupel".

Unter Berücksichtigung der Bemerkung 6. und der unmotivierten Einschränkung auf n>1, lautet obiger Text:

• • Eine Liste, in der mathematische Objekte (Zahlen oder anderes) eingetragen sind, wobei ein Objekt auch mehrmals eingetragen sein kann, heißt "Tupel". Ist n die Länge der Liste und größer als 1, so spricht man von einem "n-Tupel". Z.B. ist (3,2,3,3,8) ein 5-Tupel. Das an der i-ten Stelle eines Tupels eingetragene Objekt wird seine "i-te Komponente" genannt. Bei 3-Tupeln spricht man auch von "Tripeln", bei 4-Tupeln von "Quadrupeln", bei 5-Tupeln von "Quintupeln" usw. Daher der Name "Tupel".

Gegen diese Formulierung werden auch Mathematiker keine Einwendungen erheben können. Abhängig von Ihrer Reaktion werde ich auch einen Vorschlag zum formalen Teil des Kapitels machen. --Georg Roch

Jetzt stellt sich "nur" die Frage, wie ein Mathematiker "Liste" definiert. --NeoUrfahraner 09:21, 13. Mär 2006 (CET)

So: (Leider weiß ich nicht, wie man mathematischen Text schreibt, insbesondere Indizes setzt, aber Sie werden schon herausfinden, was ich meine.)

• Die Mathematik kennt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, Listen zu definieren, die eine als Abbildung, die andere als Folge. Um Verwechslungen zu vermeiden, werden nachstehend geordnete Paare nicht mit runden sondern mit eckigen Klammern geschrieben.

• • Liste der Länge n als Abbildung:
  • n=0, Definition: {}, Notation: ()
  • n>0, Definition: {[1,a1],...[n,an]}, Notation: (a1,...an)

• • Liste der Länge n als Folge:
  • n=0, Definition: {}, Notation: ()
  • n=1, Definition: [(),a1], Notation: (a1)
  • n>1, Definition: [(a1,...an-1),an], Notation: (a1,...an) --Georg Roch

Damit wird die Definition aber zirkulär. Eine endliche Folge ist eine Abbildung/Funktion mit einer endlichen Teilmenge der natürlichen Zahlen als Definitionsmenge, eine Funktion ist eine linkstotale, rechtseindeutige Relation, und eine Relation ist ein Tripel/3-Tupel (A,B,R) mit zwei Mengen A, B und R als Teilmenge von AxB, womit wir wieder beim n-Tupel gelandet wären. "Liste" hilft also nicht weiter. --NeoUrfahraner 17:23, 13. Mär 2006 (CET)

Ich habe mit meinen letzten beiden Beiträgen den Inhalt des bestehenden Tupel-Artikels, der mir logisch fundiert erscheint, präzisiert. Mein nächster Beitrag wird ein Entwurf für einen Tupel-Artikel sein.--Georg Roch

Ich schlage vor, das gegenwärtige Tupel-Kapitel durch Nachstehendes zu ersetzen.

Diskussion des Neuformulierungsvorschlags

Den gesamten Artikel auf die vorgeschlagene Version zu kürzten halte ich nicht für sinnvoll. Die formale Definition, insbesondere die Variante "Definition mit Hervorhebung des Hintereinanderstehens" kann man aber von mir aus gerne im Artikel unterbringen. Vermeidet diese Definition eigentlich das Problem, "dass die bei der Bildung des n-Tupels intendierte Stellenzahl nicht als Information im Tupel enthalten ist"? Die Definition zeigt natürlich nicht, dass ein geordnetes Paar kein 2-Tupel ist (eine Definiton zeigt gar nichts), aber es stimmt, dass ein geordnetes Paar kein 2-Tupel im Sinne dieser Definition ist.

Frage: ist die vorgeschlagene "Definition mit Hervorhebung des Hintereinanderstehens" irgendwo publiziert? Ich werde schauen, ob ich zu anderen Definitionen von n-Tupel Literaturverweise finde; im Sinne von NPOV sollte der Artikel die verbreiteten Definitionen anführen und deren Zweckmäßigkeit diskutieren. --NeoUrfahraner 12:27, 16. Mär 2006 (CET)

Die Stellenzahl, gemeint ist wohl damit die Anzahl der Stellen eines Tupels in der Definitionsversion "Hervorhebung des Hintereinanderstehens" ist bei der Definition mitgegeben, denn sie geht von einer gegebenen Tupellänge aus und bringt so viele Objekte als rechte Paar-Komponenten ein wie die gegebene Länge ausweist. Bei der im Tupel-Artikel gegebenen entsprechenden Definition ist die Anzahl nicht eindeutig definiert; vor allem weil sie nicht bei der leeren Menge startet.

Ein 2-Tupel ist nach der ersten Definition eine Menge der Form {<1,a>,<2,b>} und nach der zweiten Definition das geordnete Paar <<{},a>,b>. Beide sind verschieden von <a,b>, womit, so denke ich, die Definition zeigt, dass ein 2-Tupel kein geordnetes Paar (ich hätte zusetzen sollen: "mit denselben Komponenten") ist.

Der Folgen-Begriff ist ein zentraler Begriff in der Mathematik und wird so definiert wie ich es angegeben habe, allerdings stets bei der leeren Menge startend, was ich implizit durch den Ausgang von <{},a> statt von {} getan habe, denn mir schien es nicht angebracht, den Leser eventuell mit dem 0-Tupel-Begriff zu irritieren.

Eine weitere Definition geht auf eine andere Folgen-Definition zurück. Die von mir angegebene benutzt die Paare <F,x>, wobei F eine Folge ist, die andere die Paare <x,F>. Man kann zeigen, dass beide Definitionen untereinander und auch mit der Definition "Hervorhebung der Nummerierung" äquivalent sind.

Ich kann mir nicht vorstellen, dass der Tupel-Begriff anders als auf die angegebenen Arten definiert werden kann.

Um auf Ihre Frage zurück zukommen: Mir fällt keine Publikation ein.--Georg Roch

Sie haben den Tupel-Artikel so eingeleitet:

Das n-Tupel ist ein Begriff der Mathematik. Er bezeichnet eine geordnete Zusammenstellung von Objekten, im Gegensatz zu Mengen, deren Elemente keine festgelegte Reihenfolge haben.

Die Aussage des ersten Satzes ist bereits in der Artikel-Überschrift enthalten, bringt also keinen Beitrag zum Verstehen des Artikels. Die Aussage des zweiten Satzes ist problematisch: "Zusammenstellung von Objekten". Diese Formulierung impliziert beim nachdenklichen Leser die Verschiedenheit der Objekte, denn Objekte sind Unikate, in der Mathematik wie überall.

Etwas später formulieren Sie

Dadurch, dass bei einem n-Tupel jedem seiner Elemente ein eindeutiger Platz zugeordnet ist, kann es auch mehrfach dasselbe Element enthalten.

Hiermit vervollständigen Sie Ihre erste Aussage in Richtung des Tupel-Begriffs, beschwören jedoch die erwähnten Unikat-Probleme. Ich meine, die Formulierung:

Ein Tupel der Länge n , kurz n-Tupel genannt, ist eine Liste, in der hintereinander n Eintragungen von Objekten stehen, wobei Objekte mehrmals eingetragen sein können. Die eingetragenen Objekte werden meist Komponenten des Tupels genannt.

vermeidet das Unikat-Problem und trifft das Wesen des Tupels genau : In eine Liste kann man sich mehrfach eintragen, denn man steht ja nicht anstelle des Eintrags. Mithilfe des Komponenten-Begriffs, den ich im zweiten Satz erwähne, kommen die Objekte wieder ins Spiel.Bei meiner Formulierung wäre es auch deplaziert, auf den Gegensatz zu Mengen aufmerksam zu machen, denn die Vorstellung einer Liste hat keinen Bezug zu Mengen.

Etwas später schreiben Sie:

n bezeichnet hierbei die Anzahl der Elemente des n-Tupels. Diese Anzahl muss endlich sein. Im Fall eines 2-Tupels spricht man auch von einem geordneten Paar.

n ist eine Zahl-Variable. Da es eine Zahl "Unendlich" nicht gibt, kann auf die entsprechende Bemerkung verzichtet werden. Mathematische Begriffe sind ausschließlich durch mathematische Methoden definiert. Eine informale Begriffsbeschreibung kann nicht gegen die Mathematik verstoßen. Weil Sie ebenso gut wie ich wissen, dass es nicht möglich ist, den Tupel-Begriff so zu definieren, dass geordnete Paare 2-Tupel sind, hat der entsprechende Satz oben in der informalen Beschreibung keinen Platz.

Weiter schreiben Sie:

Oft werden die Elemente eines n-Tupels mit Hilfe der natürlichen Zahlen indiziert.

Auch würde ich diesen Satz vermeiden, er ist nicht Bestandteil des Tupelbegriffs. Ich werde Ihnen in ein paar Tagen einen überarbeiteten Vorschlag für beide Teile, Informal- und Formal-Teil, unterbreiten.--Georg Roch

Ich habe ein wenig in der Literatur nachgelesen. Die meisten Bücher (z.B. Hlawka/Binder/Schmitt, Grundbegriffe der Mathematik) definieren das n-Tupel genau wie im Artikel und weisen darauf hin, dass ein 2-Tupel mit einem geordneten Paar identisch ist. Eine etwas andere Definition habe ich in der Encyclopedia of Mathematics, Vol 9, Kluwer Verlag gefunden. Dort ist

$(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})=\left\{{\begin{matrix}\left\{\right\}&{\mbox{falls }}n=0\\\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{n-1}),\{a_{n}\}\right\}&{\mbox{falls }}n>0\end{matrix}}\right.$

Oben vorgeschlagene Definition habe ich aber nicht gefunden. Es ist jedenfalls nicht im Sinn der Wikipedia, eine neue von der Literatur abweichende Definition zu erfinden. --NeoUrfahraner 21:20, 17. Mär 2006 (CET)

Die von Ihnen erwähnte Tupel-Definition war mir nicht bekannt, sie ist aber sehr elegant und ich meine, sie sollte als einzige unter "Hintereinanderstehen" im Artikel aufgenommen werden. An die Kritik in meinem letzten Diskussionsbeitrag erinnernd schlage ich vor, das gegenwärtige Tupel-Kapitel durch Nachstehendes zu ersetzen.

Definition in Hlawka/Binder/Schmitt

Der Hlawka ist wohl zu österreichisch ;-) Ich zitiere:

Seite 15, Definition 1.11: $(s,t):=\{\{s\},\{s,t\}\}$ nennt man ein geordnetes Paar.

Seite 16, Definition 1.12: Unter einer Produktmenge oder dem Kartesischen Produkt zweier Mengen S und T verstehen wir die Menge aller jener geordneten Paar, deren erstes Element aus S und deren zweitens Element aus T ist:

$S\times T:=\{(s,t)|s\in S,t\in T\}$

Seite 17: Der Begriff des geordneten Tripels, oder allgemein des geordneten n-tupels braucht nun nicht neu definiert zu werden, sondern kann auf den Begriff des Paares zurückgeführt werden. (Wir verwenden das Prinzip der Definition durch Induktion - wir definieren das geordnete n-tupel mit Hilfe des geordneten (n-1)-tupels; da wir das geordnete Paar ("2-tupel") bereits definiert haben, erhalten wir nach endlich vielen Schritten (genau: n-2 Schritten) eine Definition des n-tupels):

Definition 1.13: $(s,t,u):=(s,(t,u))$ nennt man geordnetes Tripel $(s_{1},s_{2},\dots ,s_{n}):=(s_{1},(s_{2},\dots ,s_{n}))$ heißt geordnetes n-tupel.

--NeoUrfahraner 19:03, 22. Mär 2006 (CET)

Ich kann nur Dank für Ihre Mühe sagen und für Ihr Interesse an der Sache!

Die Definition 1.13 ist in der Tat im Wesentlichen die im Kapitel, nur ist sie hier nach vorn orientiert, im Kapitel nach hinten und das Problem der fehlenden Eindeutigkeit daher auch hier nicht behoben.

Betrachtet man z.B. ein 2-Tupel, deren Komponenten Paare sind, etwa ((a,b),(c,d)), dann fragt es sich: ist es ein 2-Tupel mit den Komponenten (a,b) und (c,d) oder ist es ein 3-Tupel mit den Komponenten (a,b),c und d.

Wir sollten uns nicht scheuen, geordnete Paare und Tupel als völlig wesensfremde Begriffe anzusehen und uns nicht durch die meistens gemeisam verwendete Notation "(x,y)" zu mathematisch nicht haltbaren Aussagen verleiten lassen. Ich meine es wäre der Wikipedia angemessen, mathematisch sauber zu bleiben. Wie sehen sie es? --Georg Roch

Ich halte es ebenfalls für wichtig, mathematisch sauber zu bleiben. Ein Grundsatz der Wikipedia ist aber NPOV, und der verlangt, dass alle ernsthaften Standpunkte erwähnt werden. Die In Hlawka/Binder/Schmitt verwendete Definiton ist nun anscheinend die in der Literatur am weitesten verbreitete (Lexikon der Mathematik, Bibliographisches Institut Leipzig, 1979 sowie dtv-Atlas zur Mathematik verwenden ebenfalls die gleiche), und gehört daher jedenfalls in den Artikel - das soll aber nicht daran hindern, andere in der Literatur verwendete Definitionenn (insbesondere die aus der Encyclopedia of Mathematics) auch aufzunehmen und die Vor- und Nachteile der verschiedenen Definitionen (und eventuell deren historische Entwicklung) darzustellen.

Die Frage, ob geordnete Paare und 2-Tupel unterschiedlich sind, ist allerdings nicht durch einen Beweis entscheidbar, sie hängt lediglich von der verwendeten Definition ab, und bei der verbreiteten Definition sind eben 2-Tupel als geordnete Paare definiert. In welchen Fällen macht es Probleme, wenn man geordnete Paare und 2-Tupel vermischt? Enthält das Kartesische Produkt $A\times B$ geordnete Paare oder 2-Tupel? Wieso ist es ein Problem, wenn ich bei ((a,b),(c,d)) nicht sagen kann, ob es ein 2-Tupel oder ein 3-Tupel ist? Dieses Problem ist mir in der Mathematik bisher nicht untergekommen (es scheint mir so unsinnig wie die Frage, ob jetzt 4=2+2 oder 4=3+1). Bei den Anwendungen, bei denen mir n-Tupel bisher untergekommen sind, ist die Komponentenanzahl vorgegeben (z.B. bei der Definition einer Relation als 3-Tupel (A,B,R) mit $R\subseteq A\times B$). Ist das jetzt nur eine theoretische Mehrdeutigkeit oder spielt diese Mehrdeutigkeit in gewissen Anwendungen (in welchen?) tatsächlich eine Rolle? --NeoUrfahraner 07:35, 24. Mär 2006 (CET)

Ich habe jetzt die Definition aus der Encyclopedia of Mathematics wie vorgeschlagen eingebaut. --NeoUrfahraner 12:56, 24. Mär 2006 (CET)

Ich kann Ihnen nicht folgen. Es ist zwar nicht ausdrücklich in NPOV erwähnt, aber wohl impliziert, dass nicht offensichtlich Unrichtiges eingebracht werden darf, insbesondere nicht Mathematisches. Die Tupel-Definition nach Hlawka 1.13 ist keine mathematische. Erlauben Sie es mir, mich deutlicher auszudrücken: sie ist Unsinn! Ich habe schon darauf hingewiesen: sie lässt z.B. nicht die Länge eines Tupels erkennen, und diese ist ja wesentlicher Bestandteil des Tupels. Ich kann mir nicht vorstellen, dass NPOV verlangt, auch offensichtlich Falsches in der Literatur zu erwähnen, es sei denn mit dem Hinweis, dass dort Falsches steht und mit der Begründung, warum es falsch ist.--Georg Roch

Wieso muss die Länge eines Tupels eindeutig bestimmt sein? Die wesentliche Eigenschaft von Tupeln ist $(a_{1},\ldots ,a_{n})=(b_{1},\ldots ,b_{n})\iff \forall i\colon a_{i}=b_{i}$. Über die Gleichheit von Tupeln verschiedener Länge sagt das nichts aus.--Gunther 00:14, 26. Mär 2006 (CET)

Ich bin neu im Geschäft.

Es wurde oben kontrovers um den Namen des Tupel-Begriffs und um die formale Definition diskutiert. Zum ersteren möchte ich mich hier nicht äußern. Beim letzteren ging es auch um die Suche nach einer form.Def. die längendefinitiv ist und nach der ein geord.Paar ein 2-Tupel ist. Wenn man die inform.Def. "ein n-Tupel ist eine Objekt-Folge der Länge n" zugrunde legt, dann wird man nicht fündig werden. Geht man jedoch von "ein n-Tupel ist eine Folge der Länge n, deren Glieder Elemente einer vorgegebenen Menge sind" aus (n-Tupel über M), wie ja Tupel in der Mathematik meistens verstanden werden, dann lässt sich eine form.Def mit den gewünschten Eigenschaften für n>0 angeben:

Ein 1-Tupel über M ist ein Element aus M, für n>1 ist ein n-Tupel über M das geord.Paar (a,T), wobei a ein Element aus M ist und T ein (n-1)-Tupel über M. --Hederich 12:57, 21. Jan. 2008 (CET)

Typischerweise sind aber die Komponenten des Tupels Elemente verschiedener Mengen; eine Funktion z.B. ist ein Tripel (A,B,G), wobei G eine Teilmenge von A x B ist. --NeoUrfahraner

Du hast völlig recht, NeoUrfarahner, die von Dir erwähnten Tupel sind keine Tupel über Mengen, sondern gewöhnliche. Typische Mengen-Tupel sind Mathematische Objekte wie z.B. Vektoren. --Hederich 17:52, 21. Jan. 2008 (CET)

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• Ich habe mir heute einige der obigen Diskussions-Beiträge angesehen und fand Skurriles und Interessantes. So wird in einem Beitrag von GeorgRoch das Tupel als eine endliche Folge von Objekt-Einträgen und nicht einfach nur von Objekten definiert. Er weist dabei auf die Tatsache hin, dass Objekte Unikate sind und daher nicht mehrmals in einer Folge stehen können, wie ja auch ein und dieselbe Person nicht zu gleicher Zeit mehrmals in einer Schlange (z.B. vor einem Schalter) stehen kann. Dies ist recht scharfsinnig und konsequent gedacht, denn der Tupel- und geord.Paar-Begriff sind, im Gegensatz zum Mengen-Begriff, von diesem Problem berührt. Ich bin hier im Zweifel, soll man lax sein und einfach definieren "Ein Tupel ist eine endliche Objekt-Folge" oder GeorgRoch folgen?

• Ich komme jetzt auf das Beutelspacher "n-" zu sprechen. "Tupel" ist der Name einer wohl definierten Klasse von Objekten. Wenn man eine Unterklasse bezeichnen will, dann gibt man ihr einen neuen Namen, z.B. durch einen Zusatz zum Namen der Hauptklasse. Beutelspacher propagiert den Zusatz "n-" auch für die Hauptklasse, und damit für diese einen zweiten Namen, was nicht nur bei Mathematikern gegen gute Sitten verstoßen dürfte.

NoeUrf und ihr anderen, ich bin mit Euren Gedankengängen noch nicht vertraut. Empfindet Ihr meine obigen Ausführungen als Abwegig? --Hederich 17:24, 22. Jan. 2008 (CET)

Dies empfahl mir Philipendula auf der Qualitätssicherungsseite des Portals Mathematik

Vielleicht solltest du die Vorschläge lieber auf der Diskussionsseite von Tupel bringen.

Ich habe das in Frage kommende hierher kopiert: --80.134.225.124 13:29, 6. Mär. 2008 (CET)

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Tupel können aufgefasst werden als Verallgemeinerungen geordneter Paare:

In einem geordneten Paar sind nur zwei Angaben mathematischer Objekte hintereinander stehend angeordnet, bei Tupeln können es auch mehr als zwei sein.

Einer andere Auffassung liegt die Vorstellung einer Liste zugrunde:

Ein Tupel, hier auch endliche Folge genannt, ist eine endliche Liste, in der hintereinander mathematische Objekte angegeben sind.
Auch wird hier die leere Liste zu den Tupeln gezählt.

Ist n die Anzahl der Objekt-Angaben eines Tupels, so spricht man von einem n-Tupel. 3-, 4-, 5- ... Tupel werden auch Tripel, Quadrupel, Quintupel usw. genannt.
Das an erster Stelle eines nichtleeren Tupels angegebene Objekt heißt 1. Glied oder 1. Komponente des Tupels, das an zweiter Stelle angegebene 2. Glied bzw. 2. Komponente usw.

Nachstehend für geordnete Paare eckige Klammern.
Wie man Tupel explizit angeben kann zeigen Beispiele. Welche Klammern dabei verwendet werden, hängt vom mathematischen Kontext ab:

n-Tupel:   (x₁, x₂, ... x_n)   auch so:   (x_i )_{i=1, ... n}   oder so:    (x_i )$_{i=1}^{n}$   oder ohne Klammern:   x₁, x₂, ... x_n   (nach Hazewinkel)
6-Tupel:   $\langle$1,1,0,0,1,0$\rangle$
3-Tupel:   ( {x,y} , {u,v} , {[x,v],[y,v]} )    (dieses Tupel ist eine Abbildung {x,y} $\mapsto$ {u,v} )
1-Tupel:   (x)   (nur bei Tupel als Liste)
0-Tupel:   ()   (nur bei Tupel als Liste)

Definition von n-Tupel als Verallgemeinerung geordneter Paare (nach N. Bourbaki: Elements de Mathematique 1970; Theorie des Ensembles II §2)

•   n=2:    (x₁, x₂) := [x₁,x₂]   

n>2:    (x₁, ... x_n) := [(x₁, ... x_n-1), x_n]

Bei dieser Definition
       – ist jedes Tupel ein geordnetes Paar.
       – ist die Länge eines Tupels im allgemeinen nicht bestimmbar.
       – werden weder 1-Tupel noch das 0-Tupel definiert.
       – sind zwei Tupel genau dann gleich, wenn sie gleiche geordnete Paare sind.

Definition von n-Tupel als Liste (nach Hazewinkel)
Aus der Vielzahl von Definitionen sind hier zwei angegeben. Die erste betont das Hintereinanderstehen der Objektangaben, die zweite deren Nummerierung.

•   n=0:    () := {}

n=1:    (x) := {(),{x}}

n>1:    (x₁, ... x_n) := {(x₁, ... x_n-1), {x_n}}

•   n=0:   () := {}

n>0:   (x₁, ... x_n) := {[1,x₁], ... [n,x_n]}

Bei beiden Definitionen
       – sind 2-Tupel keine geordneten Paare.
       – ist die Länge eines Tupels eindeutig bestimmt.
       – werden sowohl 1-Tupel wie auch das 0-Tupel definiert.
       – sind zwei Tupel genau dann gleich,wenn sie beide das 0-Tupel sind; andernfalls, wenn sie gleiche lang sind und ihre entsprechenden Glieder gleich sind.

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Vielleicht solltest du die Vorschläge lieber auf der Diskussionsseite von Tupel bringen. --Philipendula 10:26, 6. Mär. 2008 (CET)

Frage

Gibt es auch ω-Tupel? Z.B. (a, b, c, d, ..., α) wo a, b, c, ... haben natürliche Nummern und α hat die Nr. ω.
ﺀ 22:22, 5. Jul. 2008 (CEST)

Tupel sind endliche Folgen. Deine interessante Frage ist eher bei unendlichen Folgen zu stellen. --Lothario Hederich 17:47, 26. Jul. 2008 (CEST)

n-Tupel, die n-te

Ein Tupel ist keine geordnete Menge, das bestätigt z.B. Häuser ausdrücklich. Aber der erste Satz sollte eine verbale, nicht nur eine pragmatische Definition haben (also nicht die mathematische Definition, geschickt so definiert wird, dass es sich so verhält, wie es soll, sondern eine unverbindliche Angabe, worum es sich bei einem Tupel eigentlich handelt. Z.B. Häuser: "Ein Tupel ist eine Zusammenstellung $(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{k})$ von Elementen aus den Mengen $A_{1}$, ..., $A_{k}$, wobei zwei Tupel als gleich angesehen werden, wenn... " Weitergehen könnte es dann mit "Mathematisch kann ein k-Tupel definiert werden mittels wiederholter Paarbildung..."--Erzbischof 11:51, 29. Aug. 2008 (CEST)

Am 1. März 2008 war das noch eine "geordnete Zusammenstellung". --NeoUrfahraner 12:44, 29. Aug. 2008 (CEST)

Revert von Erzbischof: "Deine Kritik ist richtig, aber deine Lösung ist falsch, siehe Disku"

Ein Tupel ist nichts anderes als eine endliche Folge mathematischer Objekte. Das weiß jeder Mathematiker und so ist dieser Begriff auch in jedem seriösen mathematischen Fachbuch definiert, ebenso gleich anfangs im Folge (Mathematik)-Artikel. Ich halte es für nicht angebracht, den Eindruck erwecken zu wollen, als seien Tupel etwas besonderes, ja, ich halte das für ausgesprochen unseriös und mit Wkipedia-Richtlinien nicht vereinbar.

Und noch etwas: Ein Sichter trägt wohl die Sachlichkeits-Verantwortung für den Inhalt des von ihm als gesichtet ausgegebenen Artikels. Im vorliegenden Fall ist der erste Satz des Artikels totaler Unsinn. Weiß denn der Sichter nicht, was eine geordnete Menge ist? Oder weiß er es und schludert einfach?

Ich kann nur hoffen, dass man mir meine klaren Worte nicht verübelt. --Lothario Hederich 13:48, 29. Aug. 2008 (CEST)

Ich bin einen Beitrag oben genauer darauf den Grund für den Revert eingegangen. Ich habe vorhin in drei verschiedenen Fachbüchern drei verschiedene Definitionen von Tupel gefunden, und an deiner Definition hätte ich zum Beispiel auszusetzen, dass ein Paar dann kein 2-Tupel ist. (Definition von Paar geht ein in die Definition von Funktion geht ein in die Definition von Folge geht ein in die Definition von Tupel). Dass der erste Satz des Artikels falsch ist, wenn ihn ein Mathematiker liest, ist bedauerlich, verstanden als Begriffe der normalen Sprache ist "geordnete Menge" jedoch für den Nicht-Mathematiker gar nicht so schlecht (geordnet in der normalen Sprache != Ordnung in der Mathematik). Jedenfalls rennt der Artikel nicht weg, und man kann in Ruhe eruieren, was die richtige Lösung ist. --Erzbischof 14:40, 29. Aug. 2008 (CEST)

Lieber Erzherzog, ich nenne Dir eine außer Zweifel stehende seriöse Literaturangeben zu Tupeln: Encyclopaedia of Mathematics/Tuple und erspare mir weitere. Der von Dir vorgelegten Form könnte ich mich entschließen zuzustimmen, wenn statt

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$(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})$,
wenn $x_{1},\ldots ,x_{n}$ Elemente der Mengen $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$ sind.

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einfach gesagt würde

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$(x_{1},\ldots ,x_{n})$,  wobei die $\,x_{i}$ mathematische Objekte sind.

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Die Passage:    "wenn $x_{1},\ldots ,x_{n}$ Elemente der Mengen $X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}$"   ist nicht so ganz korrekt und irritiert nur. Es würde mich zufrieden stellen, wenn Du Dich entschließen könntes, entsprechend im Artikel zu ändern. Für diesen Fall: Dank im Voraus --Lothario Hederich 16:44, 29. Aug. 2008 (CEST)

Übernehme ich, mal sehen wie es ankommt. --Erzbischof 17:06, 29. Aug. 2008 (CEST)

Ich bin ja jetzt schon recht zufrieden...

... und habe Deinen Zusatz nicht zwingend verschiedene ... wohlwollend zur Kenntnis genommen. Aber, bis der Mensch endlich zufrieden ist, ist es ein weiter Weg. Ich hätte gerne die Einleitung etwas straffer, jedoch midestens ebenso verständlich wie die bestehende. Mein Vorschlag:

Tupel bezeichnet eine endliche angeordnete Zusammenstellung mathematischer Objekte, dargestellt zum Beispiel durch $(x_{1},\ldots x_{n})$, wobei die $\,x_{i}$ (nicht zwingend verschiedene) Objekte sind. Enthält die Zusammenstellung, wie im Beispiel, n Angaben von Objekten, dann spricht man von einem n-Tupel.

Ich hoffe nicht, von Dir zuviel zu verlangen, wenn ich Dich bitte, obiges wohlwollend zu betrachten und gegebenenfalls im Artikel einzustellen. --Lothario Hederich 18:49, 29. Aug. 2008 (CEST)

Du kannst ruhig selbst am Artikel Änderungen vornehmen: nur weil ich eine Änderung revertiert hatte, heißt das nicht, das der Artikel irgendwie gesperrt ist. Irgendwer wird sie dann schon sichten. Spätestens morgen ich, aber jetzt ruft das Wochenende.--Erzbischof 19:45, 29. Aug. 2008 (CEST)

Kapitel "Zusammenhang mit anderen Begriffen" heraugenommen

Die mengentheoretische Betrachtung liefert mEs keinen Beitrag zum Verständnis des Tupelbegriffs.

Der Tupelbegriff ist universell, er steht im definitorischen Zusammenhang mit vielen mathematischen Begriffen, unter ferner liefen auch mit Kart.Produkt. Wenn schon, dann wäre Weiteres zu nennen. Es kommt aber noch hinzu, dass Aussagen über Kartesisches Produkt problematisch sind, da es unterschiedliche Vorstellungen über die Definition dieses Begriffs gibt, wie schon der vorstehende Diskussionsbeitrag von Neo zeigt, mMn sollte man den Tupelartikel nicht mit problematischen Dingen belasten. --Lothario Hederich 13:33, 1. Sep. 2008 (CEST)

Interessant wäre es auch, diesen "definitorischen Zusammenhang mit vielen mathematischen Begriffen" deutlicher herauszuarbeiten. Was läuft denn alles noch vor dem kartesischen Produkt? --NeoUrfahraner 14:32, 5. Sep. 2008 (CEST)

Gestrichen: "2-Tupel nennt man Paar"

Sagt der Mathematiker einfach "Paar" und nicht "geordnetes Paar", so meint er wahrscheinlich zweielementige Menge. Geordnete Paare können aber nicht als 2-Tupel angesehen werden, denn nach der ersten Definition ist ein 2-Tupel die Menge {(1,a),(2,b)} ≠ (a,b) und nach der zweiten Definition {{{},{a}},{b}} ≠ (a,b), welche Definition für geordnete Paare man auch heranzieht. Nach der dritten Definition, ist jedes n-Tupel ein geordnetes Paar, also auch ein 2-Tupel, so dass die Aussage "2-Tupel nennt man geordnetes Paar" keinen Sinn hat. --Lothario Hederich 10:40, 5. Sep. 2008 (CEST)

Allerdings ist das Kartesische Produkt zweier Mengen die Menge der geordneten Paare --NeoUrfahraner 13:33, 5. Sep. 2008 (CEST)

Ich sehe nicht, was Du mit Deiner Bemerkung ansprichst, Neo --Lothario Hederich 17:51, 5. Sep. 2008 (CEST)

Sind jetzt die Elemente des kartesischen Produkts zweier Mengen geordnete Paare oder 2-Tupel oder beides zugleich oder weder-noch? --NeoUrfahraner 18:03, 5. Sep. 2008 (CEST)

Wie vieles in der Mathematik, sind auch Begriffe wie geordnetes Paar, Tupel, Kartesisches Produkt, auf unterschiedliche Weise definiert. Von Definitionen wird lediglich verlangt, dass sie einer jeweils definierenden Eigenschaft genügen. Bei geordneten Paaren gibt es 1/2es Duzend unterschiedliche Definitionen, die dem bekannten Gleichheits-Axiom genügen, mithin mathematisch gleichwertig sind, im Tupel-Artikel sind drei unterschiedliche Definitionen angegeben, auch sie genügen der bekannten definierenden Eigenschaft für Tupel. Entsprechendes gilt auch für das Kartesische Produkt. Hier lautet die definierende Eigenschaft, entsprechend der für Tupel, so:

M₁x … M_m = N₁x … N_n <=> m=n und M_i = N_i für i=1,...n

Ist hiermit Deine Anfrage beantwortet,Neo? --Lothario Hederich 12:31, 6. Sep. 2008 (CEST)

Nein, ist nicht beantwortet. Soll das also heißen, die Elemente des kartesischen Produkts zweier Mengen sind je nach Definition manchmal geordnete Paare, manchmal aber auch nicht? --NeoUrfahraner 13:40, 6. Sep. 2008 (CEST)

PS: Angenommen $\times$ erfüllt Deine definierende Eigenschaft des kartesischen Produkts, erfüllt dann nicht auch $M\ast N=M\times M\times N\times N$ die definierende Eigenschaft des kartesischen Produkts? --NeoUrfahraner 13:40, 6. Sep. 2008 (CEST)

Wenn Du, Neo, z.B. die Aussage machst: "Ein Kart.Produkt ist eine Menge geordneter Paare ..." dann, nehme ich an, ist es Dir egal, wie geordnete Paare definiert sind, es reicht Dir zu wissen, dass sie dem Gleichheits-Axiom genügen. Entsprechendes gilt für Tupel, Kart.Produkte und allen anderen mathem. Objekten. --Lothario Hederich 20:03, 6. Sep. 2008 (CEST)

Genau. Das kartesische Produkt von n Mengen enthält n-Tupel; das kartesische Produkt von 2 Mengen enthält geordnete Paare. In diesem Sinne sind 2-Tupel und geordnete Paare das selbe. --NeoUrfahraner 15:02, 6. Sep. 2008 (CEST)

Ok! Das Kartesische Produkt von 2 Mengen besteht aus geordneten Paaren. Aber nur dann, wenn man das Kart.Prod. sich entsprechend definiert denkt. Ich nehme an, dass Du keinem Mathematiken vorschreiben möchtest, was er unter einem Kart.Prod. verstehen will, solange er der definierenden Eigenschaften für K.Prod.e genügt. Ich hoffe, wir sind uns jetzt einig --Lothario Hederich 17:17, 6. Sep. 2008 (CEST)

Es geht nicht darum, was ich will, sondern darum, was die übliche Definition ist. Wie willst Du denn das kartesische Produkt zweier Mengen sonst definieren? --NeoUrfahraner 18:33, 6. Sep. 2008 (CEST)

Du kannst es als Menge von Paaren definieren, aber auch als Menge von Abbildungen mit Definitionsmenge {1,2} oder noch anders, ganz nach Gusto. Was üblich ist, weiß der Teufel, ich nicht. Wenn man den KartProduckt-Begriff einführt, sollte verschiedene Definitionen angegeben und darauf hingewiesen werden, dass sie gleichwertig im Sinne der definierenden Eigenschaften sind. Es gibt keine Standarddefinition, oder hast Du neue Erkenntnisse, Neo? Das würde mich sehr interessieren. --Lothario Hederich 20:03, 6. Sep. 2008 (CEST)

Im Gegensatz zu Dir habe ich keine neuen Erkenntnisse, sondern nur die allgemein üblichen Definitionen. Wie willst Du das kartesische Produkt zweier Mengen als Abbildung definieren, wenn Du zur Definition von Abbildung das kartesische Produkt zweier Mengen brauchst? Eine Abbildung ist ja üblicherweise als ein Tripel (D,Z,G) definiert, bestehend aus Definitionsmenge D, Zielmenge Z und einer Teilmenge G des kartesischen Produkts DxZ mit gewissen zusätzlichen Eigenschaften, vgl. auch http://eom.springer.de/F/f041940.htm ). Oder hast Du da auch neue Erkenntnisse zur Definition von Abbildung? --NeoUrfahraner 15:37, 7. Sep. 2008 (CEST)

Funktionen sind Tripel (D,Z,R)

Lieber Neo! Erstens: ich habe keinerlei neue Erkenntnisse in unsere Diskussion eingebracht. Zweitens: eine Funktion ist nichts anderes als eine Menge geordneter Paare, die der bekannten Eindeutigkeitsbedingung genügt. Du weißt sicher, wo diese fundamentale Definition herkommt. Sei doch mal mathematisch: Wenn Du sagst:

Ist F eine Funktion, x ein Element aus ihrem Definitionsbereich, dann bezeichnet man mit F(x) das von F dem Element x zugeordnete Element aus der Zielmenge von F.

Und wenn Du ferner sagst:

Funktionen sind Tripel (D,Z,G), wobei D ...

Dann kommt ein Mathematiker nicht umhin, Deine obige Aussage auch so zu formulieren:

Ist (D,Z,G) eine Funktion, x ein Element aus ihrem Definitionsbereich, dann bezeichnet man mit (D,Z,G)(x) das von (D,Z,G) dem Element x zugeordnete Element aus der Zielmenge von (D,Z,G).

Ich mute Dir zu, Neo, herauszufinden, was hier mit "Tripel" gemeint sein kann, und wie man aus diesem Dilemma mathematisch korrekt herauskommen kann. --Lothario Hederich 17:56, 7. Sep. 2008 (CEST)

Welches Dilemma? Wenn man so, wie die englische, deutsche, franzöische und spanische Wikiepdia das kartesische Produkt zweier Mengen als Menge der geordneten Paare definiert, gibt es kein Dilemma. Ich nehme aber zur Kenntnis, dass Du es anscheinend besser weißt. --NeoUrfahraner 21:52, 7. Sep. 2008 (CEST)

Neo, wenn Du etwas Zeit hast, dann lies meine letzten Ausführungen oben, dann wirst Du sehen, dass "Dilemma" sich in keiner Weise auf KartProd. bezieht. --Lothario Hederich 08:22, 8. Sep. 2008 (CEST)

Mir ist es egal, worauf Du das "Dilemma" beziehst und wie Du es lösen willst; wenn man sich an die üblichen Definition hält, gibt es jedenfalls kein Dilemma. --NeoUrfahraner 12:24, 8. Sep. 2008 (CEST)

Gerade dann, wenn man sich an die übliche Definition: Funktion als Tripel hält, gibt es das Dilemma! Warum nimmst Du Dir nicht einen Augenblick Zeit und liest das was unter der Überschrift Funktionen sind Tripel (D,Z,R) steht? Oder verstehst Du die Ausführungen dort nicht? --Lothario Hederich 12:38, 8. Sep. 2008 (CEST)

Welches Dilemma siehst Du, wenn man Funktionen wie üblich als Tripel definiert? --NeoUrfahraner 13:09, 8. Sep. 2008 (CEST)

Ich muss mich bei Dir entschuldigen, Noe, ich habe mich Dir gegenüber nicht klar genug ausgedrückt, worauf ich hinaus will. Beginnen wir von vorn: Eine der einfachsten Funktionen der Mathematik, schon Mathe-Anfängern vertraut, ist die bekannte Potenzmengenfunktion $\,{\mathcal {P}}$, die jeder Menge die Menge ihrer Teilmengen zuordnet. Vorsichtig formuliere ich eine Frage an Dich:

Wie lautet das Tripel der Potenzmengen-Funktion?

Ich würde mich freuen, von Dir auf diese Frage eine Antwort zu erhalten. Gruß --Lothario Hederich 16:12, 8. Sep. 2008 (CEST)

Wer bitte führt die Potenzmenge als Funktion ein? Da es keine Menge aller Mengen gibt, liegt hier keine Funktion im mengentheoretischen Sinn vor. --NeoUrfahraner 17:31, 8. Sep. 2008 (CEST)

({x,y},{u,v},{(x,u)}) (x) = u

Ok! Ich wollte Dich nur herausfordern, andere Bearbeiter von Mathe-Artikeln, auch Admis, war der Unterschied zwischen echter Klasse und Menge nicht geläufig. Der Funktions-Begriff wie wir ihn im Auge haben, ist der gewöhnliche Funktions-Begriff. Allgemein versteht man unter einer Funktion eine Zuordnung mathem Objekte zu mathem. Objekten, die wegen mengentheoretischer Problematik erst in der Kategorien-Theorie behandelt werden können. Nun zurück zum Dilemma: Gemäß gewöhnlicher Definition von Folge ist es korrekt die Gleichung

({x,y},{u,v},{(x,u)}) (x) = u

zu schreiben, nicht wahr? --Lothario Hederich 18:13, 8. Sep. 2008 (CEST)

Du meinst wohl "Funktion" und nicht "Folge". Abgesehen davon, dass das keine Funktion ist (es fehlt das Bild von y), sehe ich kein Problem bei dieser Schreibweise. --NeoUrfahraner 21:59, 8. Sep. 2008 (CEST)

Zu welchem Dilemma führt denn nun diese Schreibweise? --NeoUrfahraner 20:15, 9. Sep. 2008 (CEST)

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1. Ich muss Dir ganz und gar zustimmen, Leo: ich meinte in der Tat "Funktion" und nicht "Folge"
2. ({x,y},{u,v},{(x,u)}) ist eine "Tripel"-Funktion, und zwar eine weder linkstotale noch surjektive. Auch ist dies eine "Tripel"-Funktion: ({x,y},{u,v},{})
3. Ich sehe in dieser Schreibweise ein gravierendes Dilemme: Unter uns Mathematikern: z.B. wäre ({x,y},{u,v},{(x,u)})(2) = {u,v} korrekt!

Ich bitte Dich, unsere weitere Diskussion auf der DiskSeite von Funktion zu führen. Dort ist es auch von allgemeinen Interesse bezüglich einer Überarbeitung des Funktions-Artikels. Dort findest Du auch eine neue Bemerkungen von mir vor. Es grüßt Dich in der Hoffnung auf gedeihliche Zusammenarbeit --Lothario Hederich 15:41, 10. Sep. 2008 (CEST)

Anmerkung zum Kapitel: Definition

Der Fall n=1 besagt, dass jedes mathematische Objekt ein 1-Tupel ist, insbesondere ist jedes Tupel ein 1-Tupel! --80.134.247.109 17:48, 9. Mai 2009 (CEST)

Hast du damit ein Problem? --RPI 11:37, 12. Mai 2009 (CEST)

Frage

Wenn man ein 0-Tupel definiert, gilt aufgrund des unteren Teils der Definition doch folgende Beziehung: :$((),a_{1})=((a_{1},\ldots ,a_{0}),a_{1})=(a_{1},\ldots ,a_{1})=(a_{1})=a_{1}.$

Richtig? --Röhrender Elch 22:24, 1. Nov. 2009 (CET)

Richtig ist $(a_{1})=a_{1}.$

Bei den anderen Gleichungen meinst du wohl das richtige, sie sind aber fehlinterpretierbar, denn $(a_{1},\ldots ,a_{1})$ könnte auch ein $n$-Tupel mit $n>1$ sein, bei dem in jeder Komponente $a_{1}$ steht, man schreibt deshalb ein $1$-Tupel $(a_{1}).$ Und $(a_{i})_{i=1}^{0}$ schreibt man aus dem gleichen Grund nicht $(a_{1},\ldots ,a_{0})$ sondern $(\,).$ Die Schreibweise $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ benutzt man, wenn $n$ nicht konkret vorgegeben ist und bedeutet für $n=0$ eben $(\,),$ für $n=1$ entsprechend $(a_{1})$, $n=2$ $(a_{1},a_{2}),$ $n=3$ $(a_{1},a_{2},a_{3})$ oder $(a_{1},\ldots ,a_{3})$ usw. (bei größeren $n$ bietet sich die letzte Schreibweise an, damit man nicht so viel zu schreiben hat). --RPI 12:11, 2. Nov. 2009 (CET)

Ups! Da habe ich etwas Unsinn erzählt: $((\,),a_{1})\neq (a_{1}),$ denn die induktive Definition gilt nur für $n>1.$ Das funktioniert nämlich nicht für $n=1,$ weil $((\,),a_{1})$ ein $2$-Tupel ist dessen 1. Komponente die leere Menge ist. Das ist auch der Grund, warum in der Definition nicht mit $0$-Tupeln angefangen wird. --RPI 12:29, 2. Nov. 2009 (CET)

Grund: Geordnete und ungeordnete Tupel?

Okay, Verlagerung auf Diskussions-Seite, wegen Dissens. [Meta-Bemerkung: Sichter misbraucht scheinbar seine Rechte]

• kann man automatische Sichtung auch abschalten? Falls ja, mach' das, P. Birken. Falls nicht: MediaWiki-Entwickler: Hopp-hopp!
• Was ist an den in der Quelle definierten ungeordneten Tupeln interessant? Die dumme und unnützliche Schreibweise für Mengen? [Btw., ich mache nicht die Quelle runter -- sie ist für ihre Zwecke wahrscheinlich fast mehr als geeignet. Aber: Sie erhebt nicht den Anspruch auf Universalität (der Standpunkt ist eher der aus mathematischer Sicht normale: sozusagen: 'ich definiere hier irgendwas. Nutzen: Spätere Referenzierung in diesem Werk. *Mehr nicht*') und kann deshalb eigentlich nicht als Quelle benutzt werden.)]
• Multimengen (um nur eins zu nennen) sind auch nur einen Schritt entfernt, halt bloß in einer anderen Richtung. Wollen wir jetzt alle Richtungen aufzählen (bzw. die Punkte, die man erreicht, wenn man den kleinstmöglichen Schritt tut)? --Daniel5Ko 02:07, 19. Mai 2010 (CEST)

Ergänzung: Offenbar findet der Autor von http://math.boisestate.edu/~holmes/holmes/head.pdf die Definition ungeordneter Tupel so unnütz, dass er sie nicht einmal selbst benutzt -- im ganzen restlichen Buch nicht! --Daniel5Ko 20:12, 19. Mai 2010 (CEST)

Okay, ein einziges mal wird von einem Paar {a,b} gesprochen (und dafür braucht man die Definition eigentlich auch nicht -- jedenfalls nicht die einer Vereinigung von Einermengen). Öfter aber nicht. Der Anhang, der scheinbar wichtiges und interessantes aus den einzelnen Kapiteln zusammenfasst, erwähnt ungeordnete Tupel oder Paare ebenfalls nicht. Der Autor verwendet "Paar" und "Tupel" auch des öfteren unqualifiziert. Bis auf das eine genannte Vorkommen ist im Zusammenhang immer geordnet gemeint. Der Mann hätte hunderte "ordered"s einsparen können... --Daniel5Ko 20:36, 19. Mai 2010 (CEST)

Noch 'ne Ergänzung: http://books.google.de/books?id=4K0geUrF2gYC&pg=PA877&lpg=PA877&dq=ungeordnetes+Tupel&source=bl&ots=Bi6g99hzC0&sig=mXNC5lmchlPVoIslz_LAzNuFV8U&hl=de&ei=UTH0S4u5C9D__Aad6bn8DA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=4&ved=0CCYQ6AEwAw#v=onepage&q=ungeordnetes%20Tupel&f=false definiert ungeordnete Tupel im Widerspruch zur im Artikel verwendeten Quelle als Multimengen. Daran sieht man auch, wie unsinnig das ganze ist.

P. Birken: Feel free to revert your revert :) --Daniel5Ko 20:49, 19. Mai 2010 (CEST)

Wo auch immer ein Missbrauch irgendwelcher Rechte stattgefunden haben soll, das können wir ja gerne auf Benutzer Diskussion:P. Birken diskutieren, da es nicht wirklich zum Thema hier gehört. Den Punkt hatte ich bei meinem ersten Revert genannt und ich wiederhole ihn gerne: Der Artikel ist Ergebnis langer Diskussion, deswegen substanzielle Änderungen bitte erst auf der Diskussionsseite diskutieren und begründen. "Tupel sind von allem möglichen zu unterscheiden. Z.B. auch von Zahnrädern, einem Modem und der rationalen Zahl 11. Dazu sind Definitionen da, nicht wahr? Warum eins herausgreifen?" ist sicher keine Begründung dafür, die Definition ungeordneter Tupel rauszuschmeißen. Das was Du jetzt geschrieben hast, schon, entsprechend habe ich die "ungeordneten Tupel" ganz rausgeschmissen. --P. Birken 13:53, 24. Mai 2010 (CEST)

Seine eigenen Änderungen zu sichten, obwohl möglicherweise eine Kontroverse vorliegt, war das, was ich als Missbrauch empfand. Ist vielleicht eine sehr starke Behauptung, aber aus meiner Sicht zutreffend. Eigentlich ist sogar die Bedingung "obwohl möglicherweise eine Kontroverse vorliegt" nicht notwendig. Sichten muss immer jemand anders. Mag sein, dass das in der deutschen Wikipedia anders gehandhabt wird, aber dadurch wird's nicht richtig.

Im übrigen finde ich es gut, dass du mich veranlasst hast, meine Begründung zu konkretisieren. :) --Daniel5Ko 14:54, 24. Mai 2010 (CEST)

Dann halt doch hier... Ungesichtete Versionen erschweren die Bearbeitung von Artikeln und sollten deswegen so schnell wie möglich als gesichtet markiert werden. Insbesondere gibt es zwischen Revert und "Nichtmarkieren" keinen Unterschied für Dich. Der Revert stupst Dich im Gegensatz zum nichtstun allerdings darauf, dass etwas nicht in Ordnung ist. Sprich: es erfüllt die Funktion, noch nicht so erfahrenen Benutzern eine Rückmeldung zu ihren Edits zu geben. Eine Regel einzuführen wie "Sichten muss immer jemand anders" würde nur dazu führen, dass Nichtsichter länger als notwendig auf Freischaltung ihrer Edits warten müssten. Deswegen an dieser Stelle auch noch eine Rückmeldung an Dich: Bitte benutze doch die Zusammenfassungszeile und Einzelnachweise für die Angabe Deiner Belege. Viele Grüße --P. Birken 15:00, 24. Mai 2010 (CEST)

Ja, mit dem Wunsch nach Praktikalität lässt sich sehr viel begründen. Auch die Fehlverwendung des Wortes "Sichtung". Ich bleibe erstmal bei meinem angenommenen/eingebildeten Ideal. --Daniel5Ko 16:37, 24. Mai 2010 (CEST)

Arbeitskreis

Ich glaub, irgendwann müssen wir eine Tupelkommission bilden :)--Hagman 20:25, 31. Mai 2010 (CEST)

Yay! Tupel-Kommission!

Hederich: Kritik an deinem Entwurf:

1. Du erwähnst andauernd (auch in früheren Entwürfen) "das Peanosche Lesbarkeitsaxiom". Wer nennt denn diesen naheliegenden und trivialen Tupelvergleich so? (Und selbst wenn das jemand tut, warum muss man diesen blödsinnigen Namen dafür weiterverbreiten?)
2. Inflationärer Gebrauch von Fettschrift, Unterstreichung und Kursivität.
3. Der Abschnitt "Definition als Menge" ist ziemlich sinnlos. Es gibt viele Möglichkeiten, und es ist auch schleierhaft, warum man das tun wollen sollte (s. Hilbert, Gödel).
4. Beispiele im Abschnitt "Verwendungen" sind schlecht (zu speziell oder anderweitig komisch): Vektorenbeispiel spricht von Koordinaten bzgl. einer Basis. Daher sind die Tupelelemente alle vom gleichen Typ. Das Monoiden-Beispiel zeigt auf, wie Tupel-Mengen zusammen mit einer geeigneten Verknüpfung Monoiden darstellen. Keine Spur von "Verwendung" — eher Eigenschaftsangabe. Das Beispiel zum kartesischen Produkt hat nicht besonders viel mit Tupeln zu tun; außer vielleicht, dass ein Tupel (mit Variablen drin) Teil einer Funktionsdefinition ist (Alternativ: das Beispiel ist gehaltlos, weil man z.B. Tupel eben gerade als Elemente eines kartesischen Produkts definieren kann). Allen 3 Beispielen (und dem Rest des Entwurfes) gemeinsam ist zudem ein Notationsfehler: üblicherweise schreibt man den vor einem "..." verwendeten Operator hinter dem "..." nochmals.

--Daniel5Ko 00:07, 1. Jun. 2010 (CEST)

(Nach BK) Zu 4. "alle vom gleichen Typ" ist nicht unbedingt schlimm. Das ist beim Weblink auf die Enc. of Math. ebenfalls der Fall: A finite sequence (admitting repetitions) of elements from some set X. Ist aber formal in vielen Anwendungen relativ unkritisch, da man sich notfalls sein X a posteriori hinbiegen kann. Allerdings würde das für ein Tupel mit z.B. einer echten Klasse als eine Komponente (man versuche: eine Kategorie ist ein Tupel (Ob,Mor,$\circ$) ...) leichte Klimmzüge erfordern. Andere Frage: Kann jemand verifizieren, ob "Lesbarkeitsaxiom" im zitierten Oberschelp auftaucht? (Ein in dem Falle von Google völlig ignoriertes Buch)--Hagman 00:49, 1. Jun. 2010 (CEST)

Natürlich ist "alle vom gleichen Typ" nicht schlimm. Es macht das Beispiel lediglich (viel) uninteressanter [weil zu speziell -- die Möglichkeit der Verwendung verschiedener Typen wird nicht benutzt]. --Daniel5Ko 01:00, 1. Jun. 2010 (CEST)

Hagman: Zu Deiner Frage: Oberschelp gibt auf Seite 47 das erwähnte Axiom als Satz an (Satz 6.2) ohne es zu benennen.

Daniel, zu Bemerkungen von Dir

unter Punkt 1: Der Terminus “lesbar” hebt den Sinn des Peanoschen Axioms hervor. Du kannst ihn z.B. bei H.Lüneburg, Gruppen, Ringe, Körper finden.

unter Punkt 2: Die Hervorhebungen und Unterstreichungen werde ich zurücksetzen, da hast Du recht.

unter Punkt 3: Da muss ich Dir leider widersprechen.

unter Punkt 4: In einem gewöhnlichen Term mit cdots bringt man eine fortlaufende Nummerierung von Termen zum Ausdruck und gibt einen “Operator” an, nicht mehr und nicht weniger. Wenn Du beispielsweise schreibst: ‘’$\,^{{\mathfrak {T}}{_{4}}\,\omega \,\cdots \,{\mathfrak {T}}{_{8}}}$‘’, dann hast Du alles gesagt. Da ich davon ausgehe, dass es jeder versteht, sehe ich nicht ein, wozu ich Überflüssiges hinzufügen sollte, z.B. so schreiben: ‘’$\,^{{\mathfrak {T}}{_{4}}\,\omega \,\cdots \,\omega \,{\mathfrak {T}}{_{8}}}$‘’, es gäbe doch keinen Sinn, wenn andere es schön finden, dann sollen sie es tun.

Ich nehme an, Du hast treffendere Beispiele zu “Verwendungen” in petto. Ich würde sie gerne übernehmen, vielleicht kannst Du sie hier zur Diskussion präsentieren. Gruß -- Lothario Hederich 12:23, 1. Jun. 2010 (CEST)

<quetsch>Zu cdots: Wir sind uns ja gewiss ohnehin einig, dass deren Verwendung "eigentlich" mathematische Exaktheit vermissen lässt. So schreibt man ja auch statt $a_{1}+\cdots +a_{n}$ besser $\sum _{i=1}^{n}a_{i}$, was rekursiv definiert werden kann. Dennoch kommt die Pünktchen-Schreibung ja "in den besten Familien" vor, weil letztlich (hoffentlich) klar ist, was gemeint ist, und gerade Anfänger und OMAs sich damit leichter tun. Da sie aber keine wirklich mathematische Schreibweise ist, handelt es sich eher um eine typografische oder Stilfrage, ob man den Operator wiederholt. Und da muss man dann ganz andere Vorbilder zitieren: 1.) Beutelsbacher, "Das ist o.B.d.A. trivial" verwendet durchaus Pünktchen (allerdings bei raschem Durchblättern wohl durchweg ldots statt cdots), aber stets mit Wiederholung des Trenners (Komma, Operator, ...), sofern ein letztes Glied angegeben wird. 2.) Lamport oder Knuth zum Thema TeX bzw. LaTeX hätten bestimmt auch etwas zu sagen, zuminest implizit in Beispielen; schlage ich jetzt nicht nach, aber aus der bloßen Erinnerung würde ich mich wundern, wenn der Operator vor dem letzten Glied nicht wiederholt würde. 3.) siehe auch einfach Hilfe:TeX#Auslassungspunkte--Hagman 16:46, 3. Jun. 2010 (CEST)</quetsch>

Sinnvolles Verwendungsbeispiel: Definition mehrstelliger Funktionen! Um Begriffe wie den Definitionsbereich normal weiterverwenden und nicht erweitern zu müssen, wird einerseits vereinbart: okay, die Funktion nimmt nicht wirklich mehrere Werte, sondern ein Tupel; andererseits wird ein Tupel (aus Platzhaltern) benutzt, um das Argument auseinanderzunehmen und auf die Bestandteile Bezug nehmen zu können.

Zu Punkt 1 und 3: Zitiere doch mal bitte. Hab' das Buch gerade nicht zur Hand. Der 'Terminus' "lesbar" ist völlig fehl am Platze. Weiter: das Buch heißt "Gruppen, Körper, Ringe" -- es geht also um algebraische Strukturen und geht tendenziell auch in Richtung Kategorientheorie. Vor dem Hintergrund verstehe ich nicht, wie du die "Definitionen als Mengen" verteidigen kannst. --Daniel5Ko 20:11, 1. Jun. 2010 (CEST)

Ergänzung: Die Verteidigung mit "da muss ich dir leider widersprechen" ist auch arm. Widerspreche doch meiner Behauptung, dass es viele Möglichkeiten gibt, ganz konkret und beantworte die Frage nach dem Sinn (letzteres am besten unter Zurkenntnisnahme von Gödels Unvollständigkeit und dem Wrack namens Hilbertprogramm). --Daniel5Ko 20:38, 1. Jun. 2010 (CEST)

Und das: "Da ich davon ausgehe, dass es jeder versteht, sehe ich nicht ein, wozu ich Überflüssiges hinzufügen sollte" (Betonung von mir) ist übrigens ebenfalls kein Argument. Aber scheinbar besteht dein Ziel ja eh darin, unübliches unterzubringen. Also, viel Spaß dabei. --Daniel5Ko 21:03, 1. Jun. 2010 (CEST)

Zum 1.Absatz Deiner Antwort: Nicht uninteressant! Sei doch bitte so lieb und gib hier einen Entwurf für dieses Beispiel an.

Zum 2. Absatz: Im erwähnten Buch von Lüneburg der erste Satz im Kapitel “Relationen und Abbildungen” ist überschrieben “Satz von der eindeutigen Lesbarkeit”.

Zur Ergänzung: Du kennst es sicher: “arm dran” ist besser als “Arm ab”. Was Du mit “viele Möglichkeiten” meinst habe ich nicht verstanden, helf mir auf die Sprünge und präzisiere Deine Aussage!

PS: Ich wäre Dir dankbar, Daniel, wenn Du Deine Diskussionsbeiträge weniger abfällig formuliertest, ich würde dann auch lieber antworten.

Gruß -- Lothario Hederich 21:30, 1. Jun. 2010 (CEST)

Zur 2. Antwort: Das ist kein ausreichendes Zitat. Der Zusammenhang fehlt völlig.

Zur Ergänzung: Okay, ich könnte "viele" mit "unendlich viele" ersetzen, um es zu präzisieren. Viel wichtiger ist aber der zweite Teil -- die Frage nach dem Grund. Es ist nicht sinnvoll, und bei geeigneter Wahl der Definitionen auch nicht notwendig, alles direkt auf Mengenlehre-Begriffe zurückzuführen (und Mengenlehre an sich ist auch nicht die einzig mögliche Grundlage). Zudem sind die "Definitionen [von Tupeln] als Mengen" unvollständig. Wie extrahiere ich jeweils Tupelbestandteile aus einem Tupel (Wenn die Tupelbildung eine Einwegfunktion ist, ist sie ja sinnlos.)? Welche Mengenlehreaxiome werden dabei verwendet (ist die Extraktion darauf angewiesen, Kardinalitäten zu erkennen? Reicht die Unterscheidung zwischen 0 und größer als 0? Äh, welches Axiom erlaubt mir das noch gleich? Welches Axiomensystem verwende ich überhaupt?)?

Wie du siehst: Es ufert aus, wenn man es vervollständigt. Daher: Weg damit. --Daniel5Ko 22:17, 1. Jun. 2010 (CEST)

Ach ja: und wenn du nicht persönlich angesprochen werden willst (ob nun gefühlt abfällig oder nicht), dann bitte nicht um Kritik. Nutze Wikipedia wie ein normales Wiki. Extrahiere Kritik aus den Änderungen, Änderungskommentaren und (okay, das ist ist generell nicht normal für ein Wiki) Revertierungen. Vandaliere nicht. --Daniel5Ko 22:58, 1. Jun. 2010 (CEST)

Lustig ist übrigens auch, wie du alles umschmeißt (und dabei u.a. Links von anderen Artikeln in Sektionen von diesem ungültig machst), und dann mehr oder weniger darauf bestehst, dass lediglich hier Kritik geübt werden darf. Das ist weitaus schlimmer als das Beharren von P. Birken darauf, dass Änderungen zuerst hier besprochen werden sollen, was er auch als Reaktion auf einen früheren Edit von dir (oder mehreren Edits?) getan hat. Dafür sind die Diskussionsseiten nicht da, verdammt! Was ist aus dem "be bold" geworden? :( --Daniel5Ko 23:44, 1. Jun. 2010 (CEST)

Naja, wie auch immer. Nun, da eine Google-Suche nach "Lesbarkeitsaxiom" genau (also ausschließlich) deine Wikipedia-Edits zu Tupel und geordnetes Paar ergibt, solltest du mal ein ordentliches Zitat abliefern. Du hast die Quellen angeblich da, und daher geht das so am schnellsten. Wichtig sind folgende Inhalte: Wie ist das Axiom formuliert? Wie genau wird es verwendet, um die Gleichheit von Tupeln zu definieren? Ich hege die Vermutung, du hast da etwas falsch verstanden, und/oder es handelt sich lediglich um einen "Not"-Namen, der unter dem Zwang entstanden ist, jedem Axiom / Satz einen Namen zu geben -- was manche Autoren machen, aber üblicherweise keine universelle Bedeutung beansprucht. --Daniel5Ko 01:27, 2. Jun. 2010 (CEST)

 

An Hagman: Zu Deiner Bemerkung: “Ein in dem Falle von Google völlig ignoriertes Buch”
Das angesprochene Buch von Oberschelp ist mehrfach in WP-Artikeln als Quelle und/oder Literatur angegeben. Z.B. in den Artikeln Klasse (Mengenlehre), Mengenlehre, Klassenlogik.

<quetch>Ich kann ja nicht alle Bücher kennen, aber ich meinte auch lediglich, dass, sofern denn der Begriff Lesbarkeitsaxiom in dem Buch erwähnt wird (was ja mittlerweile sich als nicht zutreffend herausgestellt hat), dies in der mathematischen Gemeinschaft so wenig rezipiert wurde, dass niemand den Begriff in einer von Google indizierten Seite verwendet hat (abgesehen von deiner Artikeländerung).--Hagman 16:25, 3. Jun. 2010 (CEST)</quetsch>

Die große Bedeutung, die Arnold Oberschelps Arbeiten zukommen, mögest Du zwei Zitaten aus WP-Artikeln entnehmen:

• Aus Artikel Axiomatische Mengenlehre:  “Arnold Oberschelp bettete 1974 ZFC in eine allgemeine axiomatische Klassenlogik ein, so dass seine Mengenlehre eine bequeme syntaktisch korrekte Darstellung mit beliebigen Klassentermen erlaubt”.

• Artikel Klassenlogik:  “Von Quine ausgehend entwickelte Arnold Oberschelp ab 1974 die erste voll funktionsfähige moderne axiomatische Klassenlogik. Sie ist eine widerspruchsfreie Erweiterung der Prädikatenlogik und erlaubt den uneingeschränkten Gebrauch des Klassenbausteins im Sinne Peanos. Sie benützt generell alle Klassen als Terme, auch solche, die in der naiven Mengenlehre Antinomien erzeugen. Das ist möglich, weil sie keine Existenzaxiome für Klassen annimmt. Sie setzt insbesondere keine Mengenaxiome voraus, kann aber solche zusätzlich aufnehmen und syntaktisch korrekt in der traditionell-einfachen Darstellung mit Klassenbaustein formulieren; zum Beispiel entwickelt die Oberschelp-Mengenlehre die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre im Rahmen der allgemeinen Klassenlogik”.
  

Ich kann nur jedem Autor, der sich mit WP-Artikeln aus dem Grundlagenbereich der Mathematik beschäftigt, dieses gutlesbare Buch wärmstens empfehlen.
--Lothario Hederich 12:42, 2. Jun. 2010 (CEST)

Oberschelp

Ich hab mal bei Benutzer_Diskussion:Wilfried_Neumaier#Oberschelp wegen des Buches nachgefragt. Vielleicht kann der ein wenig weiterhelfen. --NeoUrfahraner 13:27, 2. Jun. 2010 (CEST)

PS: Wilfried Neumaier hat Oberschelp in Klasse (Mengenlehre) am 5. Jänner 2008 eingetragen. In Mengenlehre kommt der Eintrag von 141.51.76.142, 7. Nov 2007, in Klassenlogik ebenfalls von Wilfried Neumeier, 2. März 2007 bzw. dem gesperrten Benutzer Taxiarchos228, 31. Juli 2007. Falls von Wilfried Neumaier keine Antwort kommt, könnten wir noch WP:BIBR kontaktieren. --NeoUrfahraner 13:42, 2. Jun. 2010 (CEST)

Ein Lesbarkeitsaxiom ist mir nie begegnet, weder bei Peano noch bei Oberschelp (die ich beide gut kenne) noch sonst wo. Der Satz 6.2 in Oberschelp 47 wird bewiesen mit dem namenlosen Axiom für geordnete Paare, das von Peano aus dem Jahr 1897 stammt (Logique Mathematique, Regel 71, in: Peano, Opere scelte II 224), aber bei Oberschelp gar nicht erscheint, es sei denn ich übersehe etwas. Was soll aber dieses Axiom oder jener Satz mit "lesbar" zu tun haben? Der Name scheint mir künstlich, nichtssagend oder irreführend. Lesbar ist bei mir eine Schrift oder ein Text. So ein unüblicher Begriff darf m.E. nicht in den Artikel.--Wilfried Neumaier 14:41, 2. Jun. 2010 (CEST)

Danke, Neo, für Deine Bemühungen. Das Wort “lesbar” ist mir bei Lüneburg Gruppen, Ringe, Körper begegnet. Er spricht dort genauer von “eindeutig lesbar”, was mir den Sinn des sog. “Peonoaxiom für Tupel” gut zu kennzeichnen schien. Ich habe inzwischen wegen der bestehenden Vorbehalte zu dieser Benennung, “lesbar” vom Artikel entfernt. -- Lothario Hederich 16:39, 2. Jun. 2010 (CEST)

Pro-Tipp: Hänge dich nicht an einzelnen Worten (oder Büchern) auf und erfinde kein Zeug. Beides hilft nicht beim Verstehen und beim unseltsamen Wiedergeben. Stattdessen: lese breiter und erkenne (und befolge) übliche Konventionen. --Daniel5Ko 20:57, 2. Jun. 2010 (CEST)

Nochmals zum Namen: Ich kenne keinen gängigen Eigennamen für das Axiom. Eine Benennung halte ich aber auch für sinnvoll. Da nimmt man am besten die übliche grammatikalische Bennenungsmethode und bildet ein zusammengesetzes Substantiv. Statt "Peanos Axiom über Tupel" sagt man dann "Peanos Tupelaxiom", und die Sache ist geritzt. Alles andere ist m. E. unnatürlich und ruft nur unnötige Diskussionen hervor. Die gibt es beim zusammengesetzten Substantiv sicher nicht. Das akzeptiert man automatisch. Ich habe nur Bedenken, dieses Axiom Peano zuzuschreiben. Von ihm stammt nur das entsprechende Paaraxiom und übrigens auch die Tripeldefinition (Logique Mathematique, Tripeldefinition, in: Peano, Opere scelte II 256), aus der dann das Tripelaxiom beweisbar ist. Die verallgemeinerte Definition (der Definitionstyp C) liegt damit auf der Hand (rekursiv) und damit auch das beweisbare Tupelaxiom. Man braucht also gar kein Tupelaxiom. Daher nennt auch Oberschelp kein Tupelaxiom, sonder führt 6.2 als Satz auf. Das ist die natürliche Methode und auch die gängige, weil es Usus ist, die Axiome nicht unnötig redundand zu machen. Daher plädiere ich dafür, Peanos Paaraxiom an erster Stelle zu nennen und das "Tupelaxiom" als Folgerung aus den Definition aufzuführen. Man kann dann immer noch dazu bemerken, dass sich dieser Satz als "Tupelaxiom" eignet.--Wilfried Neumaier 22:40, 2. Jun. 2010 (CEST)

Ein "Axiom" als Folgerung einer Definition? Bedenklich... --Daniel5Ko 23:13, 2. Jun. 2010 (CEST)

Ich verstehe Wilfried Neumaier eher so, dass das, was bei Peanos Aufbau ein Axiom ist, in einem anderen Aufbau eben als Satz herleitbar ist. Grundsätzlich gilt aber, dass in der Wikipedia nicht die besten aller möglichen Axiome präsentiert werden sollen, sondern die verschiedenen verbreiteten Zugänge und deren Verhältnis zueinander erläutert werden sollen. Die üblichen Regeln, also WP:TF, WP:NPOV und bei allen Schwierigkeiten der Mathematik trotzdem auch WP:OMA. --NeoUrfahraner 06:54, 3. Jun. 2010 (CEST)

Jetzt ist ein Link zu Peanos Paaraxiom gesetzt. Das ist gut so. Aber dort im Artikel findet man auch das unglückliche "Lesbarkeitsaxiom". Das sollte man ändern und anpassen.--217.229.59.63 14:56, 4. Jun. 2010 (CEST)

Die jetzige Form des Entwurfs unterscheidet sich nicht unerheblich von der anfänglichen, was als Folge der lebhaften Diskussion anzusehen ist, wofür ich allen Teilnehmern danke, insbesondere Wilfried Neumaier für seine von Neo angestoßenen profunden Beiträgen. Wir sollten jedoch unsere Bemühungen um den Artikel noch nicht aufgeben. Ich würde es begrüßen, wenn wir die einzelnen Abschnitte nochmals durchgehen, der Reihe nach. Jeder könnte, wenn er ihn für akzeptabel hält, dies mit einer kurzen Bemerkung zum Ausdruck bringe, andernfalls Änderungswünsche anmelden oder einen kompletten neuen Vorschlag unterbreiten. Ich fange mal damit an:

Meine Meinung: Revert

Also ich kann ehrlich gesagt nicht so recht erkennen, inwiefern die aktuelle Version besser ist als die vorherige. Neu ist im wesentlichen der quellenlose und fragwürdige Abschnitt "Verwendungen", die fragwürdigen neuen Definitionen von Tupeln als Mengen, die durch Unverständlichkeit glänzen, dafür fehlt nun der Abschnitt zum Zusammenhang mit anderen Begriffen. Wenn man mich fragt: Revert und von vorne durchgehen, was geändert werden soll, allerdings haben sich ja diverse Leute mit mehr Geduld als ich sie habe in dieser Diskussion eingebracht, insofern: andere Meinungen? --P. Birken 20:06, 7. Jun. 2010 (CEST)

Keine andere Meinung --Daniel5Ko 23:24, 7. Jun. 2010 (CEST)

ad Abschnitt Einleitung

Mir würde dieser Abschnitt besser gefallen, wenn der erste Satz, der den Zusammenhang mit geordneten Paaren darlegt, anders formuliert wäre oder ganz entfiele. -- Lothario Hederich 13:19, 3. Jun. 2010 (CEST)

Der erste Satz ist doch gut. Ich kann mir keine bessere Zusammenfassung in einem Satz vorstellen, die nicht aus einer gänzlich anderen Richtung kommt und dabei einen anderen Begriff verwendet (bspw. "Ein Tupel ist ein Element eines kartesischen Produkts"). Das hängt natürlich auch davon ab, was du mit dem "erste[n] Satz" meinst. Geht der über den ersten Doppelpunkt hinaus? Falls ja: ja hinter dem Doppelpunkt klingt's tatsächlich ein wenig schwaflich. ", eine erste und eine zweite" sollte man wohl weglassen. --Daniel5Ko 22:33, 3. Jun. 2010 (CEST)

Überflüssiges rund um (bzw. rechts von) ...

Hederich, ich stimme voll und ganz zu, dass die erneute Angabe eines Kommas oder Operators überflüssig ist. Sie kann sogar hinderlich sein, wie z.B. in $a_{1}+a_{2}-a_{3}+a_{4}\cdots ?a_{n}$, wo es von der Teilbarkeit von n durch 2 abhängt, was man für ? einsetzen müsste. Aber es ist nunmal üblich (greife z.B. irgendwelche zufälliggewählten Wikipedia-Artikel heraus, die soetwas enthalten könnten. Matrix (Mathematik), Summe, Vektorraum, Folge (Mathematik), http://en.wikipedia.org/wiki/Inclusion-exclusion_principle beispielsweise. Aber suche selber, um dich zu überzeugen.) — wahrscheinlich aufgrund besserer Lesbarkeit (welche sich dummerweise wiederum aus dem ergibt, was üblich ist). Also bitte wieder rein damit. Wie schon früher argumentiert: Was du einsiehst oder nicht spielt hier keine Rolle. --Daniel5Ko 19:40, 3. Jun. 2010 (CEST)

Bemerkung: In dem konkreten Beispiel ist es wohl üblich, $a_{1}-a_{2}-+a_{3}-a_{4}\pm \cdots \pm a_{n}$ zu schreiben - und das konkrete Beispiel zeigt auch, dass die suggestive Lesbarkeit der Ellipsis durchaus trügerisch sein kann: War $\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}a_{k}$ oder $\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k+1}a_{k}$ gemeint oder tatsächlich die Mischform $a_{1}+\sum _{k=2}^{n}(-1)^{k}a_{k}$ oder dann gar gar gleich etwas allgemeineres wie $\sum _{k=1}^{n}\varepsilon _{k}a_{k}$ mit $\varepsilon _{k}\in \{-1,1\}$ für $1\leq k\leq n$?--Hagman 19:58, 3. Jun. 2010 (CEST)

Richtig. Verwendung der Ellipsis ist eigentlich im Allgemeinen sowieso uneindeutig. Aber hier geht's um die existierenden Gepflogenheiten, wenn man sie verwendet. Nichtbeachtung tendiert gewissermaßen in Richtung Theoriefindung, um das mal in-terms-of Wikipedia-Standards auszudrücken ;) . Ergänzung: Ich könnte natürlich auch selber die Zeichen wieder einfügen. Aber das hilft nicht dabei, zu bewirken, dass Hederich zukünftig besser recherchiert und weniger Schaden macht. --Daniel5Ko 22:05, 3. Jun. 2010 (CEST)

In meinem Diskussionsbeitrag vom 1.Jun. habe ich zum Ausdruck gebracht, dass die Angabe eines Operators hinter den cdots überflüssig ist, wenn er zwischen allen Gliedern derselbe ist: Ich schreibe lieber  ‘’$\,^{{\mathfrak {T}}{_{1}}\,\omega \,{\mathfrak {T}}{_{2}}\,\omega \,\cdots \,{\mathfrak {T}}{_{n}}}$‘’  statt  ‘’$\,^{{\mathfrak {T}}{_{1}}\,\omega \,{\mathfrak {T}}{_{2}}\,\omega \,\cdots \,\omega \,{\mathfrak {T}}{_{n}}}$‘’. Aber ich merke schon, dass meine Vorstellung über ökonomisches Formulieren wenig Anklang findet, so dass ich meinen Widerstand wohl aufgeben muss und, wenn Kommata wieder eingesetzt werden, ich diese nicht wieder entfernen werde. --Lothario Hederich 11:30, 4. Jun. 2010 (CEST)

Lehrreicher ist, wenn du die Kommata (und die anderen Zeichen) selber wieder einsetzt. Das würde zudem die Konsistenz innerhalb des Artikels verbessern, denn in der Einleitung ist ein solches "überflüssiges" Komma noch drin. --Daniel5Ko 17:54, 4. Jun. 2010 (CEST)

Daniel: "eine erste und eine zweite" sollte zum Ausdruck bringen, dass Tupel auch bezüglich der Komponentennummerierung eine Verallgemeinerung von “geordnetes Paar” ist. Meinst Du, dass auch unter diesem Gesichtspunkt der Passus herausgenommen werden sollte? Oder gefiele Dir der Satzteil hinter dem Doppelpunkt so besser: “Ein geordnetes Paar hat eine erste und eine zweite Komponente, ein Tupel kann weitere haben, aber auch weniger (nur eine einzige oder gar keine)”? --Lothario Hederich 11:46, 4. Jun. 2010 (CEST)

Die vorgeschlagene Alternative klingt in Ordnung. --Daniel5Ko 17:54, 4. Jun. 2010 (CEST)

Diese Änderung ist vorgenommen. Das mit den Kommata geht so stark gegen meine Überzeugung, dass ich mich nicht dazu überwinden kann, schon gar nicht deswegen, weil es nichts mit Theoriefindung zu tun hat, man findet es ja auch in der Literatur. Wenn Du meinst, in WP muss das Komma hin, dann tue es, ich werde es nicht zurücksetzen, versprochen! -- Lothario Hederich 18:27, 4. Jun. 2010 (CEST)

Also ich habe die nicht-Wiederholung noch nie gesehen. Kann mich jedenfalls an kein Vorkommen erinnern. Aber egal. Hast du auch Literatur vorgefunden, in denen beide Möglichkeiten durcheinander verwendet werden? Sicherlich nicht. Und wenn man WP als Gesamtwerk betrachtet und zur Kenntnis nimmt, dass mindestens 99% der betreffenden Artikel die Wiederholung vornehmen, ist klar was "richtig" ist. Übrigens argumentierst du erneut ganz ungeniert mit deiner "Überzeugung". Nettes Zitat von Nietzsche: "Überzeugungen sind gefährlichere Feinde der Wahrheit als Lügen". Passt vielleicht nicht ganz, weil es hier eher um Konventionen denn um Wahrheit geht, aber es fiel mir gerade ein. [Besonders unpassend wird es auch dadurch, dass Konventionen auch eine Art Überzeugung sind -- nur halt kollektiv entstanden] --Daniel5Ko 01:52, 6. Jun. 2010 (CEST)

So etwas Hartnäckiges wie Dich ist mir selten begegnet, ich gebe mich geschlagen! Bis Du nun zufrieden? --Lothario Hederich 11:18, 6. Jun. 2010 (CEST)

Nichts zu danken. Was gelernt dabei? --Daniel5Ko 23:24, 7. Jun. 2010 (CEST)

überflüssiger Zweitartikel

Der Artikel Tupel (Informatik) beschreibt keinen anderen Tupel-Begriff und gehört hier im Unterabschnitt "Verwendungen" integriert. Der besondere Inhalt dieses Artikels (Array... und andere Sprechweisen der Informatik) kann man hier nennen.--Wilfried Neumaier 14:11, 7. Jun. 2010 (CEST)

Ich denke eher, der betreffende Inhalt müsste ausgetauscht oder vergrößert werden. Zum Beispiel definieren viele Programmiersprachen (wenn sie mit einem statischen Typsystem arbeiten) Listen/Arrays etc. als homogen, d.h. die Elemente sind vom gleichen Typ. Tupelbestandteile hingegen können unterschiedliche Typen haben, welche aber alle angegeben bzw. statisch ermittelbar sein müssen — weshalb dann z.B. auch die jeweilige Tupellänge konstant ist. --Daniel5Ko 23:24, 7. Jun. 2010 (CEST)

Genauer: Der Artikel dort ist wahrscheinlich zu sehr auf den Datenbank-Tupel-Begriff fixiert. --Daniel5Ko 23:35, 7. Jun. 2010 (CEST)

Wir leben in verschiedenen mathematischen Welten, Birken

Ich kann deine Änderungen nicht akzeptieren und sehe mich durch dich gezwungen, meine Mitarbeit einzustellen, Tschüss --Lothario Hederich 09:14, 8. Jun. 2010 (CEST)

Das ist jetz die Gelegenheit, auf die letzte prä-Hederich-Version zurückzugehen und von da aus sinnvolle Änderungennachzupflegen...--Hagman 19:30, 8. Jun. 2010 (CEST)

Hmm, scheint so. :-/ --Daniel5Ko 20:39, 8. Jun. 2010 (CEST)

Ich habe das, wie unter Diskussion:Tupel#Meine_Meinung:_Revert schon vorgeschlagen, ausgeführt. Viele Grüße --P. Birken 13:40, 13. Jun. 2010 (CEST) @Hederich: Ja, wir leben wohl wirklich in verschiedenen mathematischen Welten und ich kann nur zustimmen, dass eine Zusammenarbeit nicht möglich und nicht produktiv ist.

@Birken: Es ehrt mich, dass wir hier übereinstimmen. Wahrscheinlich hast Du die von mir gestalteten Artikel geordnetes Paar und Mathematisches Objekt übersehen, ich würde es sehr begrüßen, wenn Du sie auf Vorhederiches zurücksetztest oder wenigstens Deinen mathematischen Vorstellungen anpasstest. -- Lothario Hederich 12:57, 14. Jun. 2010 (CEST)

Single, Double

Ein 1-Tupel heißt auch Single (Einzel), ein 2-Tupel, also ein geordnetes Paar, Double (Doppel), ein 3-Tupel Tripel, ein 4-Tupel Quadrupel usw.

Die Bezeichnungen "Single", "Double" und "Doppel" für 1- bzw. 2-Tupel habe ich noch nie gehört. Mir scheint, der Autor hat da etwas durcheinandergebracht mit dem Abschnitt in der englischen Wikipedia über die Etymologie des Wortes:

The term originated as an abstraction of the sequence: single, double, triple, quadruple, quintuple, sextuple, septuple, octuple, ..., n‑tuple, ... The unique 0‑tuple is called the null tuple. A 1‑tuple is called a singleton, a 2‑tuple is called a pair and a 3‑tuple is a triple or triplet.

-- Digamma 21:17, 4. Aug. 2010 (CEST)

Zustimmung. Ich glaube, den betreffenden Satz kann man auch bedenkenlos ersatzlos streichen, und tue das gleich mal. --Daniel5Ko 22:52, 4. Aug. 2010 (CEST)

Allerdings könnte man die Namen Paar, Tripel und Quadrupel gerne trotzdem noch erwähnen (m.E. wird bereits Pentupel heutzutage nicht mehr verwendet)--Hagman 07:44, 5. Aug. 2010 (CEST)

Wenn schon, dann Quintupel. Die Bezeichnungen kommen aus dem Lateinischen, nicht aus dem Griechischen. Ich hab's mal eingebaut. -- Digamma 10:17, 5. Aug. 2010 (CEST)

Bemerkung zu dem im Artikel gegebenen Axiom über Gleichheit von Tupel

Gemäß des im Kapitel “Definition“ Stehenden gilt z.B. ((a,b))=(a,b), d.h. ein 2-Tupel ist gleich einem 1-Tupel, was zu der im Artikel stehenden Aussage “Zwei Tupel sind genau dann gleich, wenn sie gleichlang sind und ihre jeweiligen Komponenten gleich sind“ im Widerspruch steht. -- 80.134.199.40 11:49, 17. Sep. 2010 (CEST)

Da hast Du leider Recht. Ich sehe auch nicht, wie man die rekursive Definition retten kann, wenn man zulässt, dass die Elemente des Tupels auch wieder Tupel sein dürfen. -- Digamma 17:50, 17. Sep. 2010 (CEST)

Tja, wenn man mit dem 0-Tupel anfangen würde, und alle größeren als Paar (Unter-Tupel, Element), dann wäre das 1-Tupel $(a)$ "eigentlich" $((),a)$. Gut unterscheidbar von einem einfach nur eingeklammerten $a$. Obige beiden Tupel wären $((),(((),a),b))$ und $(((),a),b)$.

Zwei Tupel wären gleich, wenn sie beide das leere Tupel sind, oder wenn sie als Paar gleich sind. Die Länge wäre rekursiv definierbar (falls man das braucht): 0-Tupel hat die Läge 0, die Länge eines als Tupel interpretierten Paares ist eins mehr als die Länge des Untertupels (linker Paar-Bestandteil). Bums, fertig, keine Probleme mit Tupeln in Tupeln, aber wahrscheinlich "schwer verständlich" ;) --Daniel5Ko 18:37, 17. Sep. 2010 (CEST)

Das wird aber ziemlich umständlich und auch konterintuitiv. Ein 2-Tupel (((),a),b) ist dann etwas anderes als das geordnete Paar (a,b). Was ist das kartesische Produkt $A\times B$? Die Menge aller Paare $(a,b)$ mit $a\in A,b\in B$, oder die Menge aller 2-Tupel $(((),a),b)$?

Ich finde, für alle praktischen Zwecke genügt die Definition: Ein n-Tupel ist das, was man hinschreibt als (a_1, a_2, ... , a_n). Und (a_1, a_2, ..., a_n) = (b_1, b_2, ..., b_n) gdw. a_1 = b_1, a_2 = b_2, ..., a_n = b_n. Solange man sich nicht wirklich gerade mit der mengentheoretischen Grundlegung der Mathematik beschäftigt, kann man darauf verzichten, dies auf mengentheoretische Konstruktionen zurückzuführen und kann getrost alle möglichen gleichwertigen Darstellungen miteinander identifizieren. Also (a,b,c) mit ((a,b),c), mit (a,(b,c)) und mit {(1,a), (2,b), (3,c)}. -- Digamma 18:56, 17. Sep. 2010 (CEST)

Nun ja, man könnte sich retten, indem man betont, dass man durch diese Konstruktion ein Element aus $(1\times A)\times B$ statt aus $A\times B$ erhält etc., und dass das nicht stört, da es eine Bijektion zwischen diesen Mengen gibt.

Aber ich stimme zu, die praktische Definition ist gut genug. Und sie beschreibt auch das, worum es eigentlich gehen sollte: Das Interface, und nicht eine mögliche Implementierung. --Daniel5Ko 21:46, 17. Sep. 2010 (CEST)

Im Übrigen liegt das angesprochene Problem nicht darin, Tupel in Tupel zu erlauben (es wäre fatal, wenn man das verbieten müsste!), sondern an der gegenwärtigen, nicht funktionierenden Definition.

Wahrscheinlich hältst du Tupel in Tupel für problematisch wegen der Verwirrung, die dadurch entsteht, dass man beim Niederschreiben von kartesischen Produkten die Klammern aus guten oder weniger guten Gründen verschiebt und/oder weglässt. $(a_{1},a_{2},a_{3})$ hat aber definitiv die Länge 3 (weil man das so haben will!), auch wenn $a_{2}\in B\times C$. Und mit konsequenter Benutzung der Klammerung kann man ein solches Tupel auch eindeutig hinschreiben: $(a_{1},(b,c),a_{3})$. Nur $A_{1}\times (B\times C)\times A_{3}$ ist ziemlich uneindeutig: dienen die Klammern nur der Gruppierung oder meint der Autor, dass das mittlere Tupelelemt ein Paar ist? Natürlich wird niemand das Ergebnis der zweiten Interpretation verbieten wollen. --Daniel5Ko 22:33, 17. Sep. 2010 (CEST)

Ach ja, hier noch der wahre Grund, warum die momentane Definition nicht funktioniert: 1-Tupel über $A$ werden mit Elementen von $A$ gleichgesetzt. Es ist also nicht zu viel Tupel-Verschachtelung in der Anwendung der Definition, die zu Problemen führt, sondern zu wenig in der Definition. $A\neq A^{1}$. --Daniel5Ko 22:56, 17. Sep. 2010 (CEST)

Ich hab' den "Definitions"-Abschnitt einfach mal gelöscht, da er außer der nicht funktionierenden Definition und einer eingeschränkten Alternative nichts enthielt, was nicht auch schon in der Einleitung steht.

Auch habe ich die Sichtung dieser Änderung entfernt. Falls also jemand denkt, dass das der richtige Schritt war, einfach sichten! Erspart Diskussion. :) (ich hab' viel zu viele Diskussionsbeiträge :( ) --Daniel5Ko 23:51, 17. Sep. 2010 (CEST)

Ist vielleicht wirklich nicht der verkehrteste Schritt. In der Praxis betrachtet man ja ohnehin Tupel als neue, eigenständige Objekte und die "Interface"-Eigenschaft der Gleichheit. Die "Implementation" benötigt man "nur", damit man sich sicher sein kann, dass z.B. die Menge aller n-Tupel nicht so leer ist wie die Menge aller Einhörner. Man müsste aber wohl den Artikel doch noch entweder weiter bereinigen (oben genannten Definition??) oder doch wieder eine Definition (mit Hinweis auf Variationen!) anbieten, möglicherweise weniger prominent bzw. mit Hinweis auf das "nur" der Fundierung halber bestehende Erfordernis eines Modells. Dennoch ist solch ein Schritt nochmal gründlich zu überdenken, da man auf dem Wege ja wiederum Tupel echter Klassen ausscheidet. Klassen-Tupel kann man im Zweifelsfall nur auf dem Wege der Eliminierbarkeit des Tupelbegriffs über die Gleichheitsdefinition handhaben. Geht man von dort wieder zurück zu Mengen, wird man nahezu gezwungen zu einer lediglich die universelle Eigenschaft verwendenden Definition. Dann wiederum ist zwar wie gewünscht $A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$ nicht beweisbar, aber leider auch nicht $A\times (B\times C)\neq (A\times B)\times C$.--Hagman 12:17, 18. Sep. 2010 (CEST)

Wo braucht man Tupel von echten Klassen? Das ist mir bisher nicht begegnet. -- Digamma 20:44, 18. Sep. 2010 (CEST)

Man könnte Kategorien als Tripel beschreiben aus 1.) eine Klasse von Objekten, 2.) eine Klasse von Morphismen, 3.) eine Verknüpfung, so dass ... --Hagman 14:17, 19. Sep. 2010 (CEST)

Hmm, die Bezugnahmen auf die Definition im Text sind durchaus einigermaßen wertvoll. Daher habe ich statt eine weitere Bereinigung vorzunehmen, die Definition wieder eingebaut. Allerdings in einer unproblematischeren Fassung.

Vielleicht sollte man das Ding aber nicht Definition nennen, sondern Realisierung/Modell/Implementierung? --Daniel5Ko 15:25, 18. Sep. 2010 (CEST)

Vielleicht helfen hier

die Ausführungen zu “Tupel“ in www.oggar.de weiter? --- 80.134.210.212 13:18, 18. Sep. 2010 (CEST)

Keinesfalls. Das Dokument ist voll von Rechtschreib- und formalen Fehlern, und die dort angegebenen "Definitionen" sind in Wahrheit auch nur Implementierungen, von denen mindestens eine nicht mal funktioniert (identisch mit der ehemals hier vorhandenen "Definition"). --Daniel5Ko 14:48, 18. Sep. 2010 (CEST)

Ich finde, es bleibt schwierig ... :(

Die Beschreibung in der Definition wobei $\star$ das Element einer Einermenge ist heißt ja wohl nichts anderes als wobei $\star$ irgendetwas ist und sagt somit mehr oder weniger gar nichts.--Hagman 15:28, 18. Sep. 2010 (CEST)

Naja, man kann da irgendwas nehmen, was von einem Paar unterschieden werden kann. Von mir aus auch $\emptyset$ oder das etwas zirkuläre $()$. Wichtig ist unter anderem, dass keine nützliche Information drinsteckt. --Daniel5Ko 16:29, 18. Sep. 2010 (CEST)

@ Daniel

Leider ist mir der Autor des angesprochenen, schon etwas älteren Web-Artikels nicht bekannt, so dass Ich ihn nicht auf die grammatischen Flüchtigkeitsfehler hinweisen kann, die ja ohnehin die Aussagen im Artikel nicht berühren. Mich würde es interessieren, welche formalen Fehler, von den Sie sprechen, im Artikel zu finden sind und ferner, was Sie mit “Implementierungen“ meinen. -- 80.134.187.163 17:43, 18. Sep. 2010 (CEST)

• Rechtschreibfehler: "Gleiheitsaxiom",
• formaler Fehler: fehlende geschweifte Klammer im 3. Satz nach "Tupel als Mengen." auf Seite 2 (Da diese beiden so schnell auffindbar waren, habe ich, ehrlich gesagt, extrapoliert und die Behauptung "voll von [...] Fehlern" generiert.),
• mit "Implementierung" meine ich eine Realisierung einer abstrakteren Definition. Die abstraktere Definition beschreibt gewünschte Eigenschaften des zu definierenden Dinges. Vgl. moderne Definitionen von Körpern, Ringen, Vektorräumen, whatever... oder auch was Kategorientheoretiker so treiben. Eine "ordentliche" Definition beschreibt also meiner Meinung nach das, was alle Implementierungen gemeinsam haben; eine Implementation ist ein Existenzbeweis.

Übrigens missbrauchen wir mit diesem Thread die Diskussionsseite, da die für Artikelverbesserungen gedacht ist. Mich stört das zwar nicht, aber vielleicht andere... --Daniel5Ko 18:12, 18. Sep. 2010 (CEST)

Im Web-Artikel von Volkmar Grundmann ist auch die im aktuellen WP-Artikel stehende Definition angegeben und bemerkt, dass solche Tupel einem abgeschwächten Gleichheitsaxiom genügen, welches Grundmann auch aufführt. Zwei Definitionen für Tupel als Mengen die dem vollen Gleichheitsaxiom genügen, gibt Grundmann ebenfalls an. Insbesondere die zweite der beiden findet man, meistens anders formuliert, häufig, wenn nicht gar vorwiegend, in der Literatur. -- 80.134.222.56 11:15, 19. Sep. 2010 (CEST)

Ich nehme an, mit der zweiten der beiden ist die gemeint:

• n=0: $():=\emptyset$
• n>0: $(x_{1},...,x_{n}):=(x_{1},...,x_{n-1})\cup \{(n,x_{n})\}$.

Die steht gewissermaßen schon im Artikel, als "andere übliche Definition", wenn man Funktionen als Mengen von Paaren auffasst. --Daniel5Ko 14:51, 19. Sep. 2010 (CEST)

Vermutlich hat Grundmann deswegen diese Form der Definition von Tupel als Funktion gewählt, weil er die mathem. Basisbegriffe im Artikel aufbauend definiert, d.h. keinen Begriff an einer Stelle verwendet, an der er noch nicht definiert ist. Es wäre vielleicht ebenso gut gewesen, wenn folgendermaßen definiert worden wäre: n=0: ( ):={}; n>0: (x_1,…,x_n) :={[1,x_1],…,[n,x_n]}. Auch brauchte man so “endliche Folge“ nicht als bekannt vorauszusetzen, mithin auch nicht zu erwähnen. -- 80.134.192.17 17:41, 19. Sep. 2010 (CEST)

Die im ungesichteten Artikel stehende Definition ist keine Verallgemeinerung von “geordnetes Paar“. Sie widerspricht auch den in Quellen zu findenden Definitionen, von denen die ursprüngliche lautet: N. Bourbaki: Eléments de mathématique. Première partie: Les strurures fondamentales de l’analyse. Livre I. Théorie des ensembles. Definition von n-Tupel (n>1): Ein 2-Tupel ist ein geordnetes Paar. Für n>2 ist ein n-Tupel das geordnete Paar (t,x), wobei t ein n-1-Tupel ist. Im Deutschen auch zitierbar: 1. Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. (Um der Klarheit Willen verwendet Oberschelp spitze statt der Allerwelts-Klammern ( )). Definition von n-Tupel (n>0). 1-Tupel: <X>:=X, n+1-Tupel: <X_1,…X_n,X_(n+1)>:=< <X_1,…X_n>,X_(n+1)>. 2. Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. Definition von n-Tupel (n>0). (x):=x, n>0: (x_0,…,x_n):=((x_0,…,x_(n-1)),x_n) -- 80.134.162.24 13:21, 20. Sep. 2010 (CEST)

Die erste Definition definiert 0- und 1-Tupel überhaupt nicht, die anderen beiden definieren 0-Tupel nicht, und 1-Tupel problematisch: Das erste Tupelelement kann stets das ganze Tupel sein, weil es ja insgesamt ein 1-Tupel sein kann (wegen x = <x> für alle x, also auch <1,2,3>=<<1,2,3>>); auch enthielte, aus dem selben Grund, das leere Tupel sich selbst — bravo. Man müsste also entweder Tupel in Tupeln für unzulässig erklären, oder eine Längeninformation mitführen. (Ich bin mir nicht mal sicher, ob letzteres für das Gesamttupel ausreichend ist, oder ob man sie auf die aufbauenden Paare verteilen müsste; falls letzteres der Fall ist, haben wir mit der gegenwärtigen Definition im Artikel eine bessere, weil leichtgewichtigere Alternative: leer oder nicht-leer; unterscheidbar durch Unterschied zwischen $\varnothing$ und $(a,t)$.)

Warum können sich nun die zitierten letzten beiden Quellen (die erste definiert ja keine 1-Tupel) eine solche Schlamperei gestatten? Nun, weil sie annehmen können, dass sie intelligente Leser haben, die "aus dem Kontext" erkennen, was gemeint ist. Eine Definition, die sich auf externe Orakel stützt, ist aber echt nicht gut.

Zum Einwand, es handele sich bei der gegenwärtig im Artikel befindlichen Definition gar nicht um eine Erweiterung von Paaren (wohl weil (a,(b,())) ungleich (a,b)): Nun, das ist der Preis der Verallgemeinerung. Und nochmal: Ich würde das sowieso nicht als Definition bezeichnen, sondern eher Modell/Implementierung/Realisierung/etc. auf der Grundlage der bereits vorhandenen Begriffe Paar und leere Menge. Was ein Tupel tatsächlich ist, definiert die Einleitung informell, und die im "Definition"sabschnitt angegebene "andere übliche Definition" formalisiert das ziemlich direkt. --Daniel5Ko 21:18, 20. Sep. 2010 (CEST)

Die Aussage: “wegen x = <x> für alle x, also auch <1,2,3>=<<1,2,3>>“ ist zwar richtig aber nicht zu gebrauchen, denn das 1-Tupel ist nicht so definiert: “<x>=x“ sondern so: “<x>:=x“. In meinen letzten Ausführungen hätte noch bemerkt werden sollen, dass sowohl Oberschelp wie auch Ebbinghaus ausdrücklich bemerken, dass ihre Definitionen lediglich dem abgeschwächten Gleichheitsaxiom für Tupel genügen. Weil mir die Literatur jetzt nicht zur Hand ist, kann ich leider nicht feststellen, ob das auch bei Bourbaki der Fall ist; soweit ich aber Bourbaki kenne, ist es wohl. -- 80.134.176.204 11:35, 21. Sep. 2010 (CEST)

Wenn Definitionen der Form x := y nicht die Gleichheit von x = y (welche symmetrisch ist) induzieren, wozu macht man sie dann? Was kann man dann überhaupt aus einer solchen Definition schließen? Und wieso ist meine Aussage richtig und gleichzeitig nicht zu gebrauchen? Wenn sie richtig ist, und zu Blödsinn führt, ist sie sehr gut dazu zu gebrauchen, zu sehen, dass irgendwo etwas nicht stimmt. --Daniel5Ko 19:37, 21. Sep. 2010 (CEST)

Zur Bedeutung des Definitionssymbols ':='

Die Definition “<x>:=x“ ist eine Abkürzung für:    “<x>“ stehe für “dasjenige x, für welches gilt: $\exists$ξ x=ξ".   -- 80.134.176.90 10:44, 22. Sep. 2010 (CEST)

Hmm? a:=b bedeutet also a=b (a steht ja für b) und b existiert ($\exists c:b=c$) ? Der erste Teil der Bedeutung widerspricht mir nicht, und der zweite ist zu bezweifeln. Oder soll der griechische Buchstabe da irgendeine nicht-genannte Spezialbedeutung haben? --Daniel5Ko 20:58, 22. Sep. 2010 (CEST)

Im jetzigen aktuellen Artikel ist die angegebene Quelle «Encyclopaedia of Mathematics» inkorrekt zitiert.

Dort finden sich die beiden folgenden Definitionen für “Tupel“: (geordnetes Paar in anderen Klammern als runde, was unbedingt erforderlich ist, da hier 2-Tupel keine geordneten Paare sind!)

1. als n-gliedriege Folge. n=0: ( ):={ }, n>0: (x₁ ,.., x_n):={[1,x₁] ,…, [n,x_n]}
2. induktiv. n=0: ( ):={ }, n>0: (x₁ ,.., x_n):={( x₁ ,.., x_n-1),{x_n}} jedoch keinesfalls wie im Artikel stehend

beide Definitionen genügen dem vollen Gleichheitsaxiom für Tupel. -- 80.134.172.50 18:23, 22. Sep. 2010 (CEST)

Stimmmt. Wenn schon zitiert, dann - jetzt - richtig.--Hagman 18:58, 22. Sep. 2010 (CEST)

Hehe. Wegen der Bemerkung über geordnete Paare, die jetzt im Artikel steht, war ich mir zunächst sicher, dass das, was ich in meinem Änderungskommentar schrieb, stimmt. Eine Weile später ist mir aufgefallen, dass es ja doch nicht ganz stimmt, wusste aber nicht, wie man es reparieren könnte. Es fiel mir komischerweise nicht ein, die Definition einfach vollständig zu übernehmen. :) --Daniel5Ko 20:58, 22. Sep. 2010 (CEST)

Zwei Bedenken:

1) Im Kapitel “Notation“ wird angegeben, wie Tupel geschrieben werden. Diese Angabe sollte vor der ersten Benutzung der Schreibweise erfolgen, also das was im Kapitel “Notation“ steht vor Kapitel “Definition“. 2) Die Definition des Tupelbegriffs erfolgt bereits in der Einleitung des Artikels. Das im Kapitel “Definition“ stehende ist nicht die Definition des Tupelbegriffs, was der Kapitelname implizieren könnte, sondern Darstellung von Tupel als Mengen, so dass es angebracht erscheint, die Kapitelüberschrift entsprechend zu ändern z.B. “Darstellung eines Tupels als Menge“ oder kurz: “Darstellung als Menge“ . Wenn man sich dazu entschließen könnte wäre es sinnvoll, entsprechendes auch im Artikel für geordnetes Paar zu tun. -- 80.134.174.71 11:44, 23. Sep. 2010 (CEST)

Es gibt zu jedem Artikel einen Link mit der Beschriftung "Bearbeiten". --Daniel5Ko 22:07, 23. Sep. 2010 (CEST)

@ Daniel

Meine obigen Angaben zu “:=“ waren bedauerlicher Weise unrichtig; es muss heißen: Die Definition “<x>:=x“ ist zu lesen: “<x>“ stehe für den Kennzeichnungsterm “ί ξ: ξ=x". Wenn von Ihnen gewünscht, könnten wir uns auf Ihrer Diskussionsseite darüber unterhalten. -- 80.134.217.147 10:30, 24. Sep. 2010 (CEST)

Ähm, ehrlich gesagt kann man nicht behaupten, dass ich mir das wünschen würde. Aber ich würde es auch nicht verbieten. Als erstes wäre zu klären, was ί denn sein soll, und warum seltsame Variablennamen verwendet werden (letzteres ist manchmal ein Hinweis darauf, dass es eine Zusatzbedingung gibt, die woanders genannt wird, und die Werte der Variablen nicht gänzlich beliebig sind). --Daniel5Ko 17:40, 24. Sep. 2010 (CEST)

Das Zeichen ί soll der griechische Kleinbuchstabe Iota sein. Der Kennzeichnungsterm in allgemeiner Form lautet ${\boldsymbol {\iota }}\,{\mathfrak {v}}\!:\!{\mathfrak {A}}_{\mathfrak {v}}$, wobei ${\mathfrak {A}}_{\mathfrak {v}}$ ein Ausdruck ist, der die durch den Kennzeichnungsoperator ${\boldsymbol {\iota }}$ gebundene Variable ${\mathfrak {v}}$ als freie Variable enthält. Zu lesen ist der Kennzeichnungsterm: “dasjenige ${\mathfrak {v}}$, für welches ${\mathfrak {A}}_{\mathfrak {v}}$ gilt“. Näheres hierzu findet sich in jedem besseren Buch über Mengenlehre z.B. dem vom Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre, welches besonders klar die modernen Aspekte der Mengenlehre herausstellt. In einem der obigen Diskussionsbeiträge ist von der ‘‘Menge der Tupel‘‘ die Rede. Wer mit der Mengenlehre vertraut ist, etwa Oberschelp gelesen hat, dem ist bekannt, dass die Gesamtheit der Tupel keine Menge bildet, mithin nirgends als mathematisches Objekt, z.B. als Koordinate eines geordneten Paars, verwendet werden kann. -- 80.134.213.54 11:42, 25. Sep. 2010 (CEST)

Aha. Das ί zu benutzen ist also nur dann sinnvoll, wenn ${\mathfrak {A}}_{\mathfrak {v}}$ zum Beispiel als metasyntaktische Variable dasteht, also die freie Variable nicht sichtbar ist. Im Übrigen sieht das identisch zu Lambda-Abstraktionen aus, woran man sieht, dass man Notationen nicht als bekannt voraussetzen darf: eben, weil es viele verschiedene gibt, die das gleiche aussagen.

Nochmal den Zusammenhang zu := zusammengefasst: $x:=y$ bedeutet also, x stehe für alle Werte (bzw. den Wert), für die das Prädikat ${\boldsymbol {\iota }}v:v=y$ gilt. (Oder für das Prädikat selbst, was keinen Unterschied macht) Super. Umständlicher geht's ja gar nicht, zu sagen, dass man aus x:=y y=x schließen kann. Ich sehe beim besten Willen keinen Mehrwert. --Daniel5Ko 15:17, 25. Sep. 2010 (CEST)

Selbstverständlich kann man im Kontext der Definition (x):=x für ${\mathfrak {t}}$ auch ( ${\mathfrak {t}}$ ) schreiben, wobei ${\mathfrak {t}}$ ein beliebiger Term ist, z.B. 1=(1)=((1))=..., was ich nicht habe bestreiten wollen.

Aber nun zu etwas anderem: Sie sind, wie ich es sehe, meinen Bedenken in Bezug auf den ursprünglichen Tupel Artikel gefolgt, was mich angenehm berührt hat. Gravierende Bedenken habe ich auch in Bezug auf den aktuellen Funktionsartikel. Hierzu habe ich eine Frage auf der Diskussionsseite des Artikels gestellt. -- 80.134.201.173 12:46, 26. Sep. 2010 (CEST)

n-Tupel

• Die Definition der n-Tupel über die Mengen ist falsch, bitte ändern. (nicht signierter Beitrag von 80.228.73.239 (Diskussion) 15:56, 10. Apr. 2004 (CEST))
  • Inwiefern falsch? Es erfüllt die Bedingung, wenn ich mich nicht irre. (Ist allerdings nicht unbedingt die übliche Definition, die ich kenne ...) Problematischer ist die rekursive Definition - da wird "(X, a)" verwendet, ohne zu sagen, was das ist. Man sollte dazusagen, dass 2-Tupel wie oben definiert werden. -- Paul E. 00:16, 2. Sep 2004 (CEST)

Kritik an Lehrmeinung

Der aktuelle Abschnitt mit der Kritik an der üblichen Tupeldefinition ist hier aus diversen Gründen fehl am Platze.

• wir sind hier keine wissenschaftliche Publikation, d.h. wir stellen keine neuen Ideen hier erstmals vor und wir fordern auch schon gar nicht die entsprechende technische Sauberkeit
• ein guter Wikipediaartikel sollte Laien einen ersten Einblick geben und Profis als Gedächtnisstütze oder zum überblickhaften Lernen der Grundideen dienen, wer es dann ganz genau wissen soll, der soll sich woanders (meinetwegen auch wikibooks) umschauen
• weiter zweifelt (glaube ich jedenfalls) kein normaler Mensch an der normalen Tupeldefinition
• der Nicolas Bourbaki ist so ein Werk, wo alles ganz genau versucht wird, aber ich glaube das gilt eher als gescheitert, denn gelungen. Ein bisschen Intuition gehört auch zur Mathematik, nicht nur Formalismus. --Marc van Woerkom 18:12, 3. Dez 2004 (CET)

Tupel, n-Tupel

Ich schlage vor, das gegenwärtige Tupel-Kapitel durch nachstehendes zu ersetzen.

Ein Tupel der Länge n , kurz n-Tupel genannt, ist eine Liste, in der hintereinander n Eintragungen von Objekten stehen, wobei Objekte mehrmals eingetragen sein können. Die eingetragenen Objekte heißen Komponenten des Tupels. 3-, 4- und 5-Tupel werden auch Tripel, Quadrupel bzw. Quintupel genannt (daher der Name Tupel.)

Tupel werden in vielen mathematischen Disziplinen gebraucht. Jede hat ihre Eigenart, Tupel zu notieren: Oftmals werden die Komponenten in der Reihenfolge ihres Vorkommens hintereinander, in einigen Disziplinen, z.B. der analytische Geometrie, untereinandert aufgelistet und das Ganze in Klammern eingeschlossen:

$(a,b,c)\quad [a,b,c]\quad {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}$

Formale Definition

Die Mathematik kennt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, den Tupel-Begriff zu definieren: Die eine hebt die Nummerierung der Komponenten hervor, die andere deren Hintereinanderstehen.

Nachstehend wird zur Notation der Tupel die in runde Klammern gesetzte Nebeneinander-Schreibung der Komponenten verwendet. Um Verwechslungen vorzubeugen, werden geordnete Paare in spitze Klammern gesetzt.

• Definition mit Hervorhebung der Nummerierung:

$(a_{1},\;\dots \;a_{n}):=\lbrace \langle 1,a_{1}\rangle ,\;\dots \;\langle n,a_{n}\rangle \rbrace$ ( Abbildung mit der Urbildmenge {1, ... n} )

• Definition mit Hervorhebung des Hintereinanderstehens:

$n=1:\quad (a):=\langle \lbrace \rbrace ,a\rangle$

$n>1:\quad (a_{1},\;\dots \;a_{n}):=\langle (a_{1},\;\dots \;a_{n-1}),a_{n}\rangle$ ( Folge der Länge n )

Diese Definitionen zeigen, dass ein geordnetes Paar kein 2-Tupel ist! --Georg Roch 12:23, 15. Mär. 2006 (CET)

Tupel, n-Tupel

Die von Ihnen erwähnte Tupel-Definition war mir nicht bekannt, sie ist aber sehr elegant und ich meine, sie sollte als einzige unter "Hintereinanderstehen" im Artikel aufgenommen werden. An die Kritik in meinem letzten Diskussionsbeitrag erinnernd schlage ich vor, das gegenwärtige Tupel-Kapitel durch Nachstehendes zu ersetzen.

Ein Tupel der Länge n , einfach n-Tupel, ist eine Liste, in der hintereinander n Eintragungen von Objekten stehen, wobei Objekte mehrmals eingetragen sein können. Die eingetragenen Objekte werden oftmals Komponenten des Tupels genannt. Bei 3-, 4-, 5-Tupel usw. spricht man auch von Tripel, Quadrupel, Quintupel usw. (daher der Name Tupel.)

Tupel werden in vielen mathematischen Disziplinen gebraucht und nicht überall auf gleich Weise notiert: Meistens werden die Komponenten in der Reihenfolge ihres Vorkommens hintereinander, in einigen Disziplinen, z.B. der analytische Geometrie, untereinander aufgelistet und das Ganze von Klammern eingeschlossen:

$(a,b,c)\quad [a,b,c]\quad {\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}\quad {\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}$

Geordnete Paare zählen nicht zu den 2-Tupeln.

Formale Definition

Die Mathematik kennt im Wesentlichen zwei Möglichkeiten, den Tupel-Begriff zu definieren: Die eine hebt die Nummerierung der Komponenten hervor, die andere deren Hintereinanderstehen.

Nachstehend wird zur Notation der Tupel die in runde Klammern gesetzte Nebeneinander-Schreibung der Komponenten verwendet. Um Tupel von geordneten Paaren zu unterscheiden, sind diese hier in spitze Klammern gesetzt.

• Definition des n-Tupels mit Hervorhebung der Nummerierung:

$n=0:\quad ():=\lbrace \rbrace$

$n>0:\quad (a_{1},\;\dots \;a_{n}):=\lbrace \langle 1,a_{1}\rangle ,\;\dots \;\langle n,a_{n}\rangle \rbrace$

• Eine derjenigen Definitionen des n-Tupels, welche das Hintereinanderstehen hervorheben:

$n=0:\quad ():=\lbrace \rbrace$

$n=1:\quad (a):=\lbrace (),\lbrace a\rbrace \rbrace$

$n>1:\quad (a_{1},\;\dots \;a_{n}):=\lbrace (a_{1},\;\dots \;a_{n-1}),\lbrace a_{n}\rbrace \rbrace$

Nach der ersten Definition ist das 2-Tupel $\;(a,b)$ die Menge $\lbrace \langle 1,a\rangle ,\langle 2,b\rangle \rbrace$ und nach der zweiten Definition die Menge $\;\lbrace \lbrace \lbrace \rbrace ,\lbrace a\rbrace \rbrace ,\lbrace b\rbrace \rbrace$. Dagegen ist das geordnete Paar $\;\langle a,b\rangle$ die Menge $\;\lbrace \lbrace a\rbrace ,\lbrace a,b\rbrace \rbrace$ oder $\;\lbrace a,\lbrace a,b\rbrace \rbrace$, je nachdem, welche Definition des geordneten Paars zugrunde gelegt wird. Auch bei anderen Definitionen des Tupel-Begriffs sind 2-Tupel nicht Paare.--Georg Roch

Leider komme ich nicht an den "Hlawka". Ist es Ihnen möglich, die dortige Tupel-Definition zu skizzieren? Ich kann mir beim besten Willen keine Definition vorstellen, die den Paar-Begriff beinhaltet. Die im Artikel angegebene 2te Definition ist dort schon wegen der Mehrdeutigkeit verworfen. Die Definitionen im Artikel umfassen nicht 0- und 1-Tupel. --Georg Roch 19:17, 20. Mär. 2006 (CET)

Ich habe ...

... mich gefreut, dass ein Vorschlag von mir nicht begründungslos verworfen, sondern mit wohlgemeinten Modifikationen akzeptiert wurde. Das gibt mir Mut, in WP weiter tätig zu sein. Dank dafür, Erzbischof.

Ich versuche den Spagat, mathematische Texte einerseits verständlich für interessierte Laien aber nicht unbedingt, wie man so schön sagt, für OMA, zu gestalten, andererseits Texten eine Form zu geben, die für einen kritischen Mathematiker noch akzeptabel ist. Gerade in letzter Hinsicht kann ich mich nicht überwinden, zu schludern. Wie Du vielleicht schon vermutest, will ich an der vorliegenden Fassung des Artikels einiges bemerken. Ich rufe hier die Einleitung ins Gedächtnis:

Ein n-Tupel ist eine Zusammenstellung nicht notwendig voneinander verschiedener mathematischer Objekte fester Anzahl (n), allgemein dargestellt durch Hintereinanderschreiben, zum Beispiel wie in $(1,4,1,3)$. Die Objekte werden durchnummeriert und als erstes Glied des Tupels, zweites Glied etc. bezeichnet. Aus formalen Gründen wird auch die "Folge ohne Glieder" zu den Tupel gezählt, es ist das 0–Tupel. 2-Tupel nennt man auch Paar, 3-Tupel nennt man auch Tripel, 4-Tupel auch Quadrupel.

Der Passus "fester Anzahl (n)" im unterstrichenen Teil kann nur die Anzahl der Objekte, aus denen ein n-Tupel besteht, meinen. Das ist eine definitive Aussage, die durch den Zusatz "nicht notwendig voneinander verschiedener" nicht wieder aufgehoben wird. Im konkreten Fall folgt, dass die Menge der Objekte des Tupels (1,4,1,3), also {1,3,4}, die Mächtigkeit 4 hat. Diese enorme Schwierigkeit bei der verbalen Definition des Tupel-Begriffs habe ich versucht zu umgehen, indem ich nicht von Objekten, sondern von nummerierten Objekten sprach, was ein unbedarfter Leser vielleicht nicht unterscheidet, wohl aber ein kritischer. Ich gebe zu, meine Formulierung war ein nicht leicht lesbarer Bandwurm, der als Einleitung nicht angebracht ist. Das ist eine Schwäche von mir, die mir oft zu schaffen macht. Ich versuche es noch einmal

Ein n-Tupel besteht aus n nummerierten mathematischen Objekten. Die Nummerierung ist durchgehend von 1 bis n, wobei ein Objekt auch mehrfach nummeriert sein kann. Entsprechend der Nummerierung spricht man vom ersten Glied des Tupels, vom zweiten Glied etc. Allgemein dargestellt wird ein Tupel durch Hintereinanderschreiben ihrer Glieder: $\,(x_{1},x_{2},\ldots x_{n})$, zum Beispiel (1,4,1,3). Aus formalen Gründen wird auch die "Folge ohne Glieder" zu den Tupel gezählt, es ist das 0–Tupel. 3-Tupel nennt man auch Tripel, 4-Tupel auch Quadrupel.

Die allgemeine Form der Darstellung bietet sich hier an, sie braucht dann weiter unten im Kapitel Notation nicht erst erklärt zu werden. Deinen Passus "2-Tupel nennt man auch geordnetes Paar" habe ich nicht übernommen. Er ist problematisch, da alle gängigen formalen Definitionen des Tupel-Begriffs, sie sind im Kapitel Formale Definition aufgeführt, den Begriff des geordneten Paars nicht beinhalten. --Lothario Hederich 18:58, 30. Aug. 2008 (CEST)

Tupel und kartesisches Produkt

Da das kartesische Produkt per defintionem aus geordneten Paaren beseht, kann die Aussage „Jede Menge aus $n$-Tupeln (ist) stets eine Teilmenge des cartesischen Produkts über den $n$ Mengen […], aus denen die Bestandteile der $n$-Tupel jeweils entnommen sind.“ nur dann gelten, wenn die Definition der Tupel als geordnete Paare (und nicht als Liste) verwendet wird. --NeoUrfahraner 22:11, 31. Aug. 2008 (CEST)

Kompliziert, kompliziert

Schon erstaunlich, dass der Artikel so viele Revisionen hat und sich IMHO immer noch ein wenig gurkig anfühlt. :-)

Was mir gerade auffällt:

• Das 6-Tupel verwendet spitze Klammern, warum wird nicht erläutert
• Die Namen für bestimmte Tupel fehlen (Singleton - könnte auch Informatikerslang sein, Paar, usw.)

--Marc van Woerkom 17:25, 16. Sep. 2008 (CEST)

Fehler bei "Formale Definition" unter "Nummerierung d. Folgegleider betonende Def."?

Hallo,

müsste es nicht so heißen?: n>0: (x(unten)n) statt 1? (nicht signierter Beitrag von 79.195.76.138 (Diskussion) 11:08, 13. Okt. 2008 (CEST))

fehler in animation unter "Darstellung als Menge"

in der ersten zeile steht "Rekusrionsschritt" statt Rekursionsschritt! Das sollte/ müsste mal geändert werden.--Der Spion 18:56, 31. Mär. 2011 (CEST)

Habe dem Erzeuger der Animation Bescheid gegeben. --zeno 15:09, 6. Jan. 2012 (CET)

Entfernung zweier Quellenangaben

Die beiden angegebenen Quellen definieren Tupel anders: jedes geordnete Paar ist ein 2-Tupen, ein geordnetes Paar, dessen 1. Komponente ein n-1-Tupel ist, ist ein n-Tupel. Mit dieser Definition ist jedes n-Tupel (n>2) auch ein n-1-Tupel, was insbesondere dem angegebenen Gleichheitsaxiom widerspricht. Oberschelp und andere definieren darüber hinaus auch jedes mathematische Objekt als 1-Tupel. --80.134.162.3 13:01, 3. Feb. 2012 (CET)

Damit sind die Quellen aber an der Stelle, wo sie waren, doch genau richtig; Unterschiede scheint es allenfalls bei der Behandlung der Fälle n<2 zu geben. Im Gegenteil ergibt sich daraus, dass Bourbaki es anders sieht, eher die Aussage, dass das Gleichheitsaxiom in dieser Form nicht allgemeine Verbreitung findet.--Hagman 17:56, 5. Feb. 2012 (CET)

Wie kann man die Animation stoppen?

Warum kann man die Animation nicht stoppen? (nicht signierter Beitrag von 92.206.63.249 (Diskussion) 02:41, 10. Apr. 2012 (CEST))

Finde ich auch extrem ungut und auch völlig unnötig. Das Ende sieht man immer nur ganz kurz, dann muss man wieder ewig warten. Die Animation verhindert effektiv, dass man daraus etwas lernt. Was soll das bitte? Ist da jemand schon so internetgeschädigt, dass er ohne blinkende Werbung nicht mehr auskommt und sich damit optische Erleichterung verschaffen muss? --86.32.116.94 11:23, 3. Mai 2012 (CEST)

Das will ich unterstützen, denn die Animation nervt. Ich würde solchen Schmarrn am liebsten überall raushauen, wenn es nicht hieße, dass man die Arbeit anderer Benutzer respektieren soll und ich nicht damit rechnen müsste, dass es ohnehin revertiert wird und ich am Ende noch als Vandale gebrandmarkt werde.

OT: Wäre übrigens gut, wenn die Browser generell eine Einrichtung zum Anhalten von Animationen hätten, z.B. per Rechtsklick darauf, wodurch die Animation in dem Zustand stehen bleibt, in dem sie gerade ist. Ein erneuter Rechtsklick ließe sie dann weiterlaufen... --Megatherium (Diskussion) 16:28, 27. Mai 2012 (CEST)

Also ich finde die Animation auch affig. Warum nicht gleich den kompletten Inhalt auf die Seite schreiben? So schreibt man dem User genau das Tempo vor, indem er den Inhalt lesen und verstehen muss. Er darf weder zu langsam sein (sonst ist alles wieder weg, bevor er fertig mit dem Verstehen ist) noch zu schnell (hier müsste er immer auf den nächsten Beitrag warten). Außerdem muss er im richtigen Augenblick beginnen. Der Vorteil eines Textes ist doch gerade, dass der Leser anders als beim Hörspiel oder Film das Tempo und die Zeit selbst entscheiden kann. Noch ein abschließender Tipp an Verfechter solcher Animationen: Habt ihr schonmal drüber nachgedacht, jeden Artikel als Animation zu gestalten? --Jobu0101 (Diskussion) 10:28, 26. Jun. 2012 (CEST)

Ich habe die Animation entfernt. Bei Bedarf kann man von mir aus den Inhalt der Animation als Text einfügen, aber eine Anmation ist auch meiner Meinung nach in diesem Fall mehr störend als hilfreich. --NeoUrfahraner (Diskussion) 14:42, 26. Jun. 2012 (CEST)

quintuplus, septuplus

Muss es nicht lateinisch korrekt quintuplex, septuplex, usw. heißen? (nicht signierter Beitrag von 213.61.78.219 (Diskussion) 13:19, 18. Jan. 2013 (CET))

Merriam-Webster sagt: quintuplus von quintus + plus. Grüße, --Quartl (Diskussion) 13:59, 18. Jan. 2013 (CET)

Es scheint eine mittellateinische (= mittelalterliche lateinische) Bildung zu sein. Die Sprachangabe in der Herkunftserklärung könnte man daher von "lat." in "mlat." oder "mittellat." präzisieren, aber ich bin nicht sicher, ob dies der allgemeinen Verständlichkeit dient. -- Lɛnts (Diskussion) 09:49, 5. Apr. 2013 (CEST)

Die Angabe mittellat. finde ich gut, eine Präzisierung schadet ja nicht. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 10:14, 5. Apr. 2013 (CEST)

Runde 3

Neu bei diesem Begriff sehe ich, dass schon vor Jahren umfangreiche Diskussionen zum Thema Tupel und Vektor stattgefunden haben. Das Ergebnis finde ich reichlich unbefriedigend, dass der Begriff Vektor nämlich gar nicht mehr vorkommt. Mein Mathe-Prof hat in der Lineare-Algebra-Vorlesung (Kursvorlesung auch für Mathematiker selber) u. a. die n-Tupel eingeführt und am Schluss verraten, dass man die auch Vektoren nennen könne. Auch wenn er das womöglich etwas zu undifferenziert formuliert haben sollte, in irgendeiner Form erwarte ich schon die Erwähnung des Stichworts Vektor in diesem Zusammenhang. --PeterFrankfurt 02:37, 16. Mär. 2011 (CET)

Auch wenn mit zwei Jahren Verspätung: Nein, das ist nicht richtig. Die Menge der n-Tupel von reellen oder komplexen Zahlen oder Elementen eines Körpers kann mit einer Vektorraumstruktur ausgestattet werden, d.h. Addition und skalare Multiplikation können (recht einfach) darauf definiert werden. Aber nicht alle Tupel enthalten ausschließlich Körperelemente. Ein Tupel von Teilmengen ist halt kein Vektor.--LutzL (Diskussion) 18:25, 5. Apr. 2013 (CEST)

ad Abschnitt: Beispiele

Ich bin mit der gegenwärtige Form nicht zufrieden: Wäre es nicht besser, auf die erste Spalte zu verzichten, man weiß ja, dass es Tupel sind und deren Länge ergibt sich unmittelbar aus dem jeweiligen Beispiel. --Lothario Hederich 09:59, 5. Jun. 2010 (CEST)

ad Abschnitt: Definition als Menge

Die Tabelle enthält vieles doppelt; ich hätte sie gerne redundanzfrei, z.B. so:

$\,^{(\,)\,:}$	$\,^{\emptyset }$	$\,^{\emptyset }$	nicht definiert
$\,^{(x)\,:}$	$\,^{\{\emptyset \,,\,\{x\}\}}$	$\,^{\{{\boldsymbol {[}}1,x{\boldsymbol {]}}\}}$	$\,^{x}$
$\,^{(x_{1},x_{2},\,\ldots ,\,x_{n})\,:}$	$\,^{\{(x_{1},\ldots ,\,x_{n-1})\,,\,\{x_{n}\}\}}$	$\,^{\{{\boldsymbol {[}}i,x_{i}{\boldsymbol {]}}\}_{i\in \{1,\ldots ,n\}}}$	$\,^{{\boldsymbol {[}}(x_{1},\ldots ,\,x_{n-1})\,,\,x_{n}{\boldsymbol {]}}}$

Hat jemand dazu eine Meinung? --Lothario Hederich 10:46, 7. Jun. 2010 (CEST)

Quartl hat den Vorschlag

11:32, 27. Nov. 2013‎ 80.134.138.45 ‎ in allen Teilen mit einer lapidaren Bemerkung verworfen, vielleicht möchte diesen sich der eine andere von euch ansehen. --91.54.60.100 13:13, 30. Nov. 2013 (CET)

Die Bemerkung war nicht lapidar, sondern hat konkret angeregt, das alles erstmal hier auf der Diskussionsseite vorzustellen und zu diskutieren. --PeterFrankfurt (Diskussion) 00:53, 1. Dez. 2013 (CET)

Ich kann mir vorstellen, dass der Entwurf 11:32, 27. Nov. 2013‎ 80.134.138.45 eine Diskussionsbasis ist. Vielleich könnte man Teile daraus hier zur Diskussion einstellen --91.54.31.57 10:37, 1. Dez. 2013 (CET)

Mit dem aktuellen Artikel bin ich gar nicht zufrieden. Weil ich kein Sichter bin, möchte ich meine Vorstellungen über den Tupelartikel nicht gleich einbringen, sonder ihn zunächst zur Diskussion vorlegen. Nach meinem Verständnis ist er für Schüler gut geeignet. Für schwache Schüler gibt es Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Tupel --91.54.33.154 15:01, 11. Dez. 2013 (CET)

Vorschlag

Der Tupel-Begriff, auch spricht man von endlichen Folgen, ist in vielen Bereichen der Mathematik bedeutsam. Tupel sind endliche Listen, in denen hintereinander mathematische Objekte angegeben sind, zum Beispiel ist die Liste  1, 0, 0, 1, 0, 1, 1  ein aus Nullen und Einsen bestehendes Tupel der Länge Sieben. Das Wort Tupel leitet sich aus dem Mittellateinischen ab, zum Beispiel: quintuplus ‚fünffach‘, septuplus ‚siebenfach‘, centuplus ‚hundertfach‘.

Definitionen und Notationen

• Ist $n$ die Länge eines Tupels $t$, so notiert: $\lambda (t)$, dann nennt man es ein $n$–Tupel und 2–, 3–, 4–, 5–Tupel auch geordnete Paare, Tripel, Quadrupel, Quintupel.
  
• Das an $\imath$–ter Stelle eines Tupels, $t$, stehend Objekt heißt $\imath$–te Komponente von $t$, man bezeichnet diese vermittels des Projektionsoperators: $\pi _{i}(t)$.
  
• Es gibt keine festen Regeln zur Notation von Tupeln, nachstehende Beispiele geben eine Auswahl.

$()\,,\,{\boldsymbol {[}}\,{\boldsymbol {]}}\,,\,\langle \,\rangle$	für das 0-Tupel
$(x_{1},\ldots x_{n})$ $(x_{i})_{i=1}^{n}$ $(x_{i})_{i\in \{1,\ldots n\}}$	${\Biggr \}}$ $n$-Tupel, gängige Notationen, auch mit anderen Klammern
$1\;0\;0\;1\;0\;1\;1$	7-Tupel ohne Klammern und ohne Trennzeichen
$(\sin \mid \mathbb {R} \,;\,\pi )$	3-Tupel, deren Komponenten von unterschiedlicher Objektart sind: Funktion, Menge, Zahl; verschiedene Trennzeichen: "|" und ";"
${\boldsymbol {[}}2^{i}{\boldsymbol {]}}_{i=0,1,\ldots \,n}$	für n=4 das 5-Tupel  ${\boldsymbol {[}}1,2,4,8,16{\boldsymbol {]}}$
$(\langle x_{ij}\rangle _{i=1}^{n})_{j=1}^{m}$	Für m=2, n=3 ein 2-Tupel, dessen Komponenten 3–Tupel sind:    $(\langle x_{11},x_{12},x_{13}\rangle ,\langle x_{21},x_{22},x_{23}\rangle )$
${\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}}$   ${\begin{Bmatrix}a\\b\\c\end{Bmatrix}}$   ${\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}}$	vertikale Notationen
${\begin{pmatrix}x_{11}\;x_{12}\;x_{13}\\x_{21}\;x_{22}\;x_{23}\end{pmatrix}}$	vertikale Notation eines 2-Tupels, dessen Komponenten 3–Tupel sind, diese ohne Klammern, ohne Trennzeichen

Gleichheit von Tupeln

Wann Tupel als gleich gelten, besagt die Gleichheitsforderung:  Zwei Tupel gelten genau dann als gleich, wenn sie gleich lang sind und, falls sie nicht das Nulltupel sind, auch ihre entsprechenden Komponenten gleich sind . Formal:

$t=t'\iff \lambda (t)=\lambda (t')\;\wedge \;{\bigl (}\,\lambda (t)>0\implies \forall i\!\in \!\mathbb {N} _{1}^{\lambda (t)}\!\colon \pi _{i}(t)=\pi _{i}(t')\,{\bigr )}$

Darstellung als Menge

Wie jedes mathematische Objekt, werden auch Tupel als Mengen dargestellt. Nachstehend zwei Darstellungsformen (geordnete Paare mit eckigen Klammern):

$()\!:=\!\emptyset ;\;\;(x_{1},\ldots x_{n})\!:={\begin{cases}\;\{(x_{1},\ldots x_{n-1}),\{x_{n}\}\}\\\;\{{\boldsymbol {[}}1,x_{1}{\boldsymbol {]}},\ldots {\boldsymbol {[}}n,x_{n}{\boldsymbol {]}}\}\end{cases}}$

Diese Darstellung ist eine Generalisierung einer der Darstellungen geordneter Paare. Mit dieser Darstellung sind Tupel auch als endliche Folgen definiert.

Tupel als Generalisierung des Paarbegriffs

Eine anderes Verständnis als Tupel = Liste ist Tupel = Schachtelung geordneter Paare: Hier ist jedes mathematische Objekt ein 1-Tupel und jedes geordnete Paar, dessen erste Komponente ein $n$-Tupel ist, ein $n$+1-Tupel. Formal: $(x)\!:=\!x;\;\;(x_{1},\ldots x_{n+1})\!:=\!{\boldsymbol {[}}(x_{1},\ldots x_{n}),x_{n+1}{\boldsymbol {]}}$ . Das 0-Tupel ist nicht definiert. Diese Tupel haben die Eigenschaft, dass jedes $n$-Tupel für $n$ > 1 auch ein $n$-1-Tupel ist, so dass hier nicht Länge eines Tupels definiert ist, mithin kann man auch nicht von $\imath$-ter Komponente eines Tupels sprechen, vielmehr spricht von «$\imath$-ter Komponente von $t$ unter dem Aspekt, dass $t$ ein $n$-Tupel ist» und notiert dies mit dem Projektionsoperator $\pi _{n,i}(t)$. Entsprechendes gilt für die Gleicheitsforderung von Tupel: Unter dem Aspekt, dass zwei Tupel gleichlang sind, gelten sie genau dann als gleich, wenn ihre entsprechenden Komponenten gleich sind .

Dieser Tupelbegriff gestattet auch echte Klassen als Komponenten, da geordnete Paare auch für echte Klassen definiert sind.

Verwendung

Tupel werden in der Mathematik zum Beispiel als Koordinaten von Punkten oder Vektoren in $n$-dimensionalen Räumen und in der Inf    ormatik als Datenfelder und -strukturen verwendet. Folglich werden auch Zeilen oder Spalten von Matrizen ggf. als Tupel angesehen und behandelt.

Literatur

• Heinz-Dieter Ebbinghaus: Einführung in die Mengenlehre. 4. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3 (HochschulTaschenbuch).
• Roger Godement: Algebra. Hermann, Paris 1968.

Einzelnachweise

Siehe auch

Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Tupel – Lern- und Lehrmaterialien

Diskussion

Zunächst einmal: Warum bist du mit dem aktuellen Artikel nicht zufrieden? Was genau gefällt dir nicht? Zu deinem Vorschlag:

• Einleitung: Die Einleitung im aktuellen Artikel ist wesentlich verständlicher und entspricht auch mehr der enzyklopädischen Form. Beispiele, noch dazu eines in unüblicher Notation, werden typischerweise nicht in der Einleitung gebracht, sondern in einem eigenen Abschnitt.
• Definitionen und Notationen: Textformatierungen als Tabelle sollten wenn möglich vermieden werden (u.a. wegen barrierefreiheit). Die Längendefinition und der Projektionsoperator wird erst bei der Gleichheit von Tupeln benötigt (s.u.) und sollten höchstens dorthin. Die mit Abstand üblichste Notationsvariante ist die mit runden Klammen; nur selten verwendete Varianten sollten nicht gleichberechtigt nebeneinander stehen. Die vertikale und die Matrixnotation wird nur bei Spaltenvektoren bzw. Matrizen verwendet, nicht bei Tupeln im Sinne dieses Artikels und gehören deshalb nicht hier rein. Das geschachtelte Beispiel ist unnötig komplex. Das Beispiel mit den verschiedenen Trennzeichen verwirrt noch mehr und ist auch kein Standard.
• Gleichheit von Tupeln: Unnötig formal, die Charakterisierung aus dem Artikel ist genauso korrekt und wesentlich verständlicher.
• Darstellung als Menge: Die Vermischung von Formeln und Text ist ungünstig und unnötig. Außerdem werden hier zwei verschiedene Definitionen unnötigerweise zusammengeworfen.
• Tupel als Generalisierung des Paarbegriffs: Gehört inhaltlich zum vorangegangen Abschnitt (gut, ist keine Menge, daher sollte man über eine andere Überschrift nachdenken). Der erste Satz ist keiner. Ansonsten sehe ich keine Verbesserung gegenüber dem bisherigen Text, der auch ohne $\imath$ auskommt.

Grüße, --Quartl (Diskussion) 15:29, 11. Dez. 2013 (CET)

Lieber Quartl, es kostet mir schon einigen Überwindung, auf deine Kritik zu antworten.

• Der in der Einleitung und im ersten Satz in Notation des aktuellen Artikels wiederholte Gegensatz zu Menge ist Klippschulenniveau. Es genügt vollkommen, deutlich und unmissverständlich zu sagen was eine Sache ist und nicht zu sagen, was sie nicht ist, wie gesagt, auf Klippschulen kann man so etwas machen, nicht aber vor verständigen Oberschülern. Das meine ich aber mit dem Satz "Tupel sind endliche Listen, in denen hintereinander mathematische Objekte angegeben sind, zum Beispiel ist die Liste 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1 ein aus Nullen und Einsen bestehendes Tupel der Länge Sieben." klar genug ausgedrückt zu haben. Ich hatte mir lange überlegt, in welcher Form am besten eine Liste geschrieben werden kann und fand schließlich, dass diese einfache, nichts entbehrliches entfaltende Form an dieser Stelle am angebrachtesten ist.
  

• Länge und Komponenten eines Tupels sind Wesensbestandteile des Tupelbegriffs, mithin die zugehörigen Operatoren auch. Ich kann nicht einsehen, warum sie nicht anfangs angegeben werden sollten.
  Was der die Notationen betreffend Teil betrifft, habe ich die Vielfalt des Gebrauchs dargelegt, die Reichweite des Tupelbegriffs wird dadurch erst anschaulich. Das Beispielkapitel im Artikel ist im ersten Teil "Tupel gleichartiger Objekte" sehr primitiv und wenig aussagekräftig, im Letzten Beispiel sogar mathematischer Unsinn (in der Mathem. sind Buchstaben Namen für mathematische Objekte und bezeichnen sich nicht selbst.) Der zweite Teil "Tupel verschiedenartiger Objekte" schmeißt mit Begriffen um sich, die wohl kaum von einem Schüler, der um den Tupelbegriff ringt, verstanden wird.
  

• Ich habe Gleichheit von Tupeln zunächst mathematisch korrekt verbal definiert (was leider im Artikel nicht ganz korrekt ist) und dann für jemanden der noch möchte, korrekt formal definiert. Die im Artikel gegebene formale Definition ist mir zu primitiv und auch nicht ganz korrekt. Wenn ein Schüler in der Lage ist, formalen Text zu lesen, dann sollte man ihm sauberen vorlegen und nicht semiformal.
  

• Die Darstellung als Menge habe ich in aller Einfachheit und ohne Blabla klar und präzise dargelegt, ich kann mir nicht vorstellen, dass sie ein Schüler nicht auf Anhieb versteht. Sie nimmt nur einen Bruchteil Platz des entsprechenden Kapitels im aktuellen Artikel ein, der ja nicht klarer den Sachverhalt zum Ausdruck bringt.
  

• Das signifikante Andere von Tupel als Liste im Gegensatz von Tupel als Geordnetes-Paar-Schachtelung habe ich herausgestellt. indem ich ein eigenes Kapitel hierfür anlegte und alles dort sagte, was unbedingt gesagt werden muss. Dieses im vorangehenden Kapitel unterbringen zu wollen wäre nicht sauber zu bewerkstelligen. Gut, mein erster Satz hier ist keiner, dem stimme ich zu, man kann ihn ja ändern. Das Wikipedia-TeX ist leider nicht für InlineText geeignet, im Gegensatz zu Latex, daher das sehr Unschöne wie z.B. im aktuellen Artikel die Textstelle "Das an der $i$-ten Stelle stehende Objekt $x_{i}$ heißt dabei die $i$-te Komponente des Tupels". Um so etwas zu lindern hat man \imat und \jmat eingeführt.
  

• Zu deiner Bemerkung: "Ansonsten sehe ich keine Verbesserung gegenüber dem bisherigen Text" bemerke ich, dass der aktuelle Artikel so wie die Artikel Funktion, Folge, Relation und einigen weitere der Grundlagenmathematik, sich durch mathematisches Laientum und für Lernende Verwirrendes hervorheben.
  

Das etwas Harsche, lieber Quartl, wirst du mir, so hoffe ich, nicht nachsehen. Vielleicht möchtest du jetzt noch etwas zu meinem Vorschlag bemerken.

Mit Grüßen --91.54.2.52 11:31, 13. Dez. 2013 (CET)

Der größte Kritikpunkt der Leser an den mathematischen Artikeln ist nicht eine fehlende Korrektheit sondern eine mangelhafte Verständlichkeit. Ich und andere arbeiten hart daran, die Artikel so verständlich und korrekt wie möglich zu gestalten. Eine Umwandlung eines korrekten und verständlichen Artikels in einen vermeintlich korrekteren aber unverständlicheren Artikel sehe ich als klare Verschlechterung an. Als einführende Lektüre empfehle ich hier Wikipedia:Wie schreibe ich gute Artikel und Portal:Mathematik/Mitarbeit#Wie schreibe ich gute mathematische Artikel? „Klippschulenniveau“ und „mathematisches Laientum“ empfinde ich als persönliche Beleidigung und werde daher dieses Gespräch nicht fortführen. --Quartl (Diskussion) 14:07, 13. Dez. 2013 (CET)

Na klar, lieber Quartl, ich habe auch keine andere Reaktion von dir erwartet, wünsche trotzdem euch Sichtern viel Spaß beim Artikeln. Liebe Grüße --91.54.59.38 15:18, 13. Dez. 2013 (CET)

Linkservice: Klippschule Beispielsweise bei uns in Bayern kennt man so etwas nicht (und das wahrscheinlich nicht nur aus sprachlichen Gründen ;)-- HilberTraum (Diskussion) 12:21, 14. Dez. 2013 (CET)

Das leidige $i$ im Text.

Ich habe leichte Veränderungen vorgenommen, einerseits um das wenig schöne „i“ im Text zu vermeiden, was sich leider nicht an allen Stellen machen ließ, und andererseits das ${\text{nicht definiert}}$ im Kapitel „ Tupel als Schachtelung geordneter Paare“ eliminiert, was ja ohnehin durch Nichtangabe des Falls n=0 impliziert wird und nun auch im vorangehenden Text ausgesprochen ist. Apropos leidiges „i“: ich verfasse mathem. Texte normalerweise mit Latex, dort gibt es keine Diskrepanz zwischen mathem. Text und Fließtext, so dass dort sprachästhetischem Empfinden Genüge getan ist --91.54.18.187 15:10, 7. Jan. 2014 (CET)

Ich setze auch hier mathematische Zeichen im Fließtext immer in der math-Umgebung, so dass sie im Fließtext gleich aussehen wie in abgesetzten Formeln. --Digamma (Diskussion) 17:07, 7. Jan. 2014 (CET)

Komponenten müssen nicht vom selben Typ sein

Falls ich es nicht übrsehen habe, wird das nirgendwo erwähnt und ein expliziter Hinweis darauf (vielleicht auch ein explizites typisches Beispiel (z.B. W-Raum) wäre mMn. wünschenmswert.--Kmhkmh (Diskussion) 14:38, 9. Jan. 2014 (CET)

Das gegebene Beispiel

• $((0),\{0\},0)$   3-Tupel, dessen Komponenten verschiedenen Objektklassen angehören: Tupel, Mengen, Zahlen.

müsste Deinen Wünschen genügen, Gruß Georg --91.54.38.160 17:40, 9. Jan. 2014 (CET)

einzig

Das Wort einzigst existiert nicht, da eine Komparation von Absolutadjektiven in der deutschen Sprache nicht regelkonform ist. Es wird daher durch einzig ersetzt-- TK-lion (Diskussion) 12:08, 5. Mai 2012 (CEST)

Der? Das?

Was ist der richtige Artikel? --Edroeh (Diskussion) 00:08, 8. Mär. 2016 (CET)

Das. --Digamma (Diskussion) 14:03, 8. Mär. 2016 (CET)

Etymologie: Begriff "Suffix" ist irreführend

Der Begriff "Suffix" hat je nach Fachsprache verschiedene Bedeutungen. Im Zusammenhang mit einer etymologischen Erklärung sollte "Suffix" m. E. aber nur in der linguistischen Bedeutung verwendet werden, wonach damit ein morphologisches Segment gemeint ist. D. h. wenn -tuplus ein Suffix wäre, müsste es noch im Lateinischen als verschiebbare Einheit angesehen worden sein, was aber nicht der Fall war, denn die Zusammensetzung war dem Lateinsprecher als quintu-plus, nicht als *quin-tuplus bewusst (siehe z. B. http://www.merriam-webster.com/dictionary/quintuple).

Eventuell kann man von einem Neo-Suffix sprechen, da offenbar später die Zusammensetzung neu interpretiert wurde (eben als quin-tuplus), aber dann wird's für einen nicht-sprachwissenschaftlichen Artikel wieder fast zu linguistisch. -- Lɛnts (Diskussion) 09:42, 5. Apr. 2013 (CEST)

zum Abschnitt "Notation"

Mit folgenden Quellen ist belegt, dass der Begriff "Dupel" nicht nur mir geläufig ist:

• Bernd Ulmann, "Mathematik: Eine Einführung für Praktiker", Walter de Gruyter GmbH & Co KG, 25.09.2015, S. 28
• Bruno Buchberger,F. Lichtenberger, "Mathematik für Informatiker I: Die Methode der Mathematik", Springer-Verlag, 07.03.2013, S.19
• Heinz Körth (Hrsg.), "Lehrbuch der Mathematik für Wirtschaftswissenschaften", Springer-Verlag, 09.03.2013, S.490
• Ulrich Nagel, "Leitfaden der Mathematik 1. Klasse bis Abitur" S. 206

--Psychironiker (Diskussion) 22:41, 23. Nov. 2017 (CET)

Nicht zu vergessen: die Unupel bzw. Monopel … -- HilberTraum (d, m) 23:11, 23. Nov. 2017 (CET)

Etymologisch korrekt wäre wohl Simpel. --Digamma (Diskussion) 16:48, 24. Nov. 2017 (CET)

Jetzt ernsthaft: Ich habe "Dupel" noch nie gehört. Die Verwendung dürfte wohl so selten sein, dass die Formulierung "geordnetes Paar oder Dupel", die "geordnetes Paar" und "Dupel" gleichwertig behandelt, meiner Meinung nach nicht angemessen ist. --Digamma (Diskussion) 16:51, 24. Nov. 2017 (CET)

Einzelnachweis

--Lothario Hederich (Diskussion) 16:42, 19. Nov. 2014 (CET)

Tupelelement ansprechen

Gibt es eine eingebürgerte Notation, um ein bestimmtes Element eines Tupels anzusprechen?

Wenn etwa $f:A\rightarrow B^{n}$ definiert ist ist, wie kann ich dann „erstes Element von f(x)“ notieren?

• $f(x)(1)$
• $f(x)_{1}$
• $f(x)(0)$
• $f(x)[0]\;\;$?

--Megatherium (Diskussion) 16:42, 13. Jul. 2018 (CEST)

Alle Deine Vorschläge kommen in der Literatur vor.

Und bei allen muss im Kontext ein bisschen Erläuterung sein.

Insbesondere kommen wirklich beide Indexursprünge (engl. index origin) ∈{0,1} vor.

In APL (Programmiersprache) gibt es dafür extra das Symbol ⎕IO und überdies für den von Dir angesprochenen Zweck das Zeichen $\uparrow tuple$ (gesprochen take). --Nomen4Omen (Diskussion) 17:34, 13. Jul. 2018 (CEST)

Habe ich mir fast gedacht, dass es ohne Erläuterung im Einzelfall kaum geht. Vielen Dank. --Megatherium (Diskussion) 18:33, 13. Jul. 2018 (CEST)

Ach ja, da fällt mir noch ein: Bei Programmiersprachen, die stark sind im Bearbeiten von Zeichenketten, gibt es $\operatorname {left} (tuple,length)$. Das spricht noch am bestten für sich selbst. --Nomen4Omen (Diskussion) 20:03, 13. Jul. 2018 (CEST)

Länge und i-te Komponente

Ich meine man sollte klar herausstellen, dass sich für Tupel als linksiterierte Paare weder "Länge eines Tupels" noch "i-te Komponente eines Tupels" definieren lassen. --Lothario Hederich (Diskussion) 17:23, 26. Mai 2016 (CEST)