Gumbel-Verteilung

Die Gumbel-Verteilung (nach Emil Julius Gumbel), die Fisher-Tippett-Verteilung (nach Ronald Aylmer Fisher) oder Extremal–I–Verteilung ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung, die wie die Rossi-Verteilung und die Fréchet-Verteilung zu den Extremwertverteilungen gehört.

Definition

Dichtefunktion f(x) der Gumbel-Verteilung

Eine stetige Zufallsgröße $X$ genügt einer Gumbel-Verteilung mit Skalenparameter $\beta >0$ und Lageparameter $\mu \in \mathbb {R}$ , wenn sie die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x)={\frac {1}{\beta }}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R}

und damit die Verteilungsfunktion

F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{\beta }}(x-\mu )}},~x\in \mathbb {R}

besitzt.

Standard-Fall

Werden keine Parameter angegeben, so sind die Standard-Parameter $\mu =0$ und $\beta =1$ gemeint. Damit ergibt sich die Dichte

f(x)=\mathrm {e} ^{-x}\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R}

und die Verteilungsfunktion

F(x)=\mathrm {e} ^{-\mathrm {e} ^{-x}},~x\in \mathbb {R}

Durch die affin-linearen Transformationen $X\mapsto Y:=a+bX$ erhält man die ganze oben angegebene Klasse von Verteilungen mit den Eigenschaften

F_{Y}(x)=F\left({\frac {x-a}{b}}\right)

f_{Y}(x)={\frac {1}{b}}f\left({\frac {x-a}{b}}\right)

\operatorname {E} (Y)=b\operatorname {E} (X)+a

\operatorname {Var} (Y)=b^{2}\operatorname {Var} (X)

.

Eigenschaften

Erwartungswert

Die Gumbelverteilung besitzt den Erwartungswert

\operatorname {E} (X)=\mu +\beta \gamma

.

Dabei ist $\gamma \approx 0{,}5772$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Varianz

Die Varianz einer Gumbelverteilung ist

\operatorname {Var} (X)={\frac {(\pi \beta )^{2}}{6}}

.

Standardabweichung

Die Standardabweichung einer Gumbelverteilung ist

\sigma ={\frac {\pi \beta }{\sqrt {6}}}

.

Anwendung

Sie wird u. a. in folgenden Bereichen benutzt:

Hydrologie, insbesondere Wasserwirtschaft für extreme Ereignisse wie Hochwasser und Trockenzeiten
Verkehrsplanung
Meteorologie (Wettervorhersage)

Die Gumbel-Verteilung ist eine typische Verteilungsfunktion für jährliche Serien. Sie kann nur auf Reihen angewendet werden, bei denen die Länge der Messreihe mit dem Stichprobenumfang übereinstimmt. Ansonsten erhält man negative Logarithmen.

Beziehung zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Extremwertverteilung

Als Doppelexponentialverteilung wird der Spezialfall der Extremwertverteilung mit $\xi =0$ (also die Gumbel-Verteilung) bezeichnet^[1]. Die Verteilungsfunktion hat dann die Form (bei $\mu =0,\beta =1$ )

F_{P}(x)=\exp(-\exp(-x))).

Weblinks

Eric W. Weisstein: Extreme Value Distribution auf MathWorld.

Einzelnachweise

↑

[1] ↑

[1]

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