Die inverse Betaverteilung ist eine univariate Verteilung für stetige Zufallsvariablen , mit zwei Parametern
α
{\displaystyle \alpha }
β
{\displaystyle \beta }
Gamma-Gamma-Verteilung und somit um eine Mischverteilung .
Die Dichtefunktion ist:
f
(
x
)
=
x
α
−
1
(
1
+
x
)
−
α
−
β
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}}
Dabei ist
B
(
α
,
β
)
{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )}
Betafunktion .
Ein Zufallsvariable
X
{\displaystyle X}
Erwartungswert
E
(
X
)
=
α
β
−
1
, falls
β
>
1
{\displaystyle \operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\beta -1}}{\text{, falls }}\beta >1}
den Modus
Mod
(
X
)
=
α
−
1
β
+
1
, falls
α
≥
1
, sonst
Mod
(
X
)
=
0
{\displaystyle \operatorname {Mod} (X)={\frac {\alpha -1}{\beta +1}}{\text{, falls }}\alpha \geq 1{\text{, sonst }}\operatorname {Mod} (X)=0}
und die Varianz
Var
(
X
)
=
α
(
α
+
β
−
1
)
(
β
−
2
)
(
β
−
1
)
2
, falls
β
>
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\alpha (\alpha +\beta -1)}{(\beta -2)(\beta -1)^{2}}}{\text{, falls }}\beta >2}
Beziehung zur Gammaverteilung Ist der zweite Parameter
ϵ
{\displaystyle \epsilon }
Gammaverteilung
G
(
a
,
ϵ
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(a,\epsilon )}
G
(
b
,
1
)
{\displaystyle {\mathcal {G}}(b,1)}
I
n
v
B
(
a
,
b
)
{\displaystyle {\mathcal {InvB}}(a,b)}
Beziehung zur Gamma-Gamma-Verteilung Eine Gamma-Gamma-Verteilung
G
a
m
m
a
-
G
a
m
m
a
(
a
,
b
=
1
,
d
)
{\displaystyle \operatorname {Gamma-Gamma} (a,b=1,d)}
I
n
v
B
(
α
=
d
,
β
=
a
)
{\displaystyle {\mathcal {InvB}}(\alpha =d,\beta =a)}
Weblinks
Diskrete univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen
