Vektorgradient

Abb. 1: Die Drehung und Streckung von materiellen Linienelementen (rot) bei einer Deformation wird mit einem Vektorgradient beschrieben

Der Gradient eines Vektorfeldes oder kurz Vektorgradient (von lateinisch gradiens ‚schreitend‘) fasst das Gefälle oder den Anstieg der Komponenten eines Vektorfeldes zu einem mathematischen Objekt zusammen. Während mit dem Gradient eines Skalarfeldes das Gefälle oder der Anstieg in einer bestimmten Richtung (sog. Richtungsableitung) als Skalar angegeben wird, stellt die Richtungsableitung mit dem Vektorgradient einen Vektor dar.

Ein anschauliches Beispiel ist das Vektorfeld der Bewegung der Partikel eines Körpers. Die mit dem Deformationsgradient gebildete Richtungsableitung des Bewegungsfeldes transformiert die Strecke von einem Partikel zu einem benachbarten Partikel des Körpers im undeformierten Zustand in die entsprechende Strecke im deformierten Zustand, siehe Bild. Die Strecke kann bei der Deformation gedreht und gestreckt werden. Die Richtungsableitung mit maximalem Wert ist hier diejenige Richtung, in der der Körper die größte Dehnung erfährt; in dieser Richtung benachbarte Partikel entfernen sich im Zuge der Verformung am weitesten voneinander, siehe auch #Verformungen und die #Beispiele.

Der Gradient eines Vektorfeldes entsteht aus dem Vektorfeld durch Anwendung des Gradientenoperators grad, der eine Verallgemeinerung der Ableitung in der mehrdimensionalen Analysis ist. Zur besseren Abgrenzung zwischen Operator und Resultat seiner Anwendung bezeichnen manche Quellen den Gradient vektorieller Feldgrößen als Vektorgradient.

Der Gradient hat tensorielle Eigenschaften: der Gradient eines Skalarfeldes (Tensorfeld nullter Stufe) führt auf ein Gradientenvektorfeld, das ein Tensorfeld erster Stufe ist. Entsprechend ist der Vektorgradient ein Tensorfeld zweiter Stufe; das Ergebnis lässt sich bezüglich einer Orthonormalbasis als Matrix schreiben. Die Komponenten des Vektorgradienten sind die kovarianten Ableitungen der Komponenten des Vektorfeldes in einem Punkt; bei den Basisvektoren sind dies die Christoffelsymbole.

Der Gradient wird zusammen mit anderen Differentialoperatoren wie Divergenz und Rotation in der Tensoranalysis untersucht.

Definition

Der Gradient $\mathrm {grad} {\big (}{\vec {f}}({\vec {x}}){\big )}$ eines differenzierbaren Vektorfeldes ${\vec {f}}$ nähert dieses in der Umgebung eines Punkts ${\vec {x}}$ linear an:

${\vec {f}}({\vec {y}})-{\vec {f}}({\vec {x}})=\mathrm {grad} {\big (}{\vec {f}}({\vec {x}}){\big )}[{\vec {y}}-{\vec {x}}]+{\mathcal {O}}(|{\vec {y}}-{\vec {x}}|)$ für ${\vec {y}}\to {\vec {x}}$

Das Landau-Symbol 𝓞(x) steht für Terme, die langsamer als x wachsen, und $\ldots [{\vec {h}}]$ stellt eine lineare Funktion von ${\vec {h}}$ dar. Wenn der Gradient existiert, ist er eindeutig und kann aus dem Gâteaux-Differential

$\mathrm {grad} {\big (}{\vec {f}}({\vec {x}}){\big )}[{\vec {h}}]=\left.{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\vec {f}}({\vec {x}}+s{\vec {h}})\right|_{s=0}=\lim _{s\to 0}{\frac {{\vec {f}}({\vec {x}}+s{\vec {h}})-{\vec {f}}({\vec {x}})}{s}}$

berechnet werden. In einem euklidischen Vektorraum mit Standardskalarprodukt „·“ ergibt sich der Vektorgradient aus der Anwendung des skalaren Operators ${\vec {h}}\cdot \nabla$, der mit dem Nabla-Operator 𝜵 gebildet wird:

$\mathrm {grad} {\big (}{\vec {f}}({\vec {x}}){\big )}[{\vec {h}}]=({\vec {h}}\cdot \nabla ){\vec {f}}$

So werden auch Gradienten für Tensorfelder zweiter Stufe oder allgemein Tensorfelder n-ter Stufe definiert. Durch Gradientenbildung entsteht aus einem Tensorfeld n-ter Stufe ein Tensorfeld der Stufe n+1.

Bei einem Vektorfeld, das ein Tensorfeld erster Stufe ist, ergibt sich als Gradient ein Tensorfeld zweiter Stufe und zwar durch Nutzung des dyadischen Produkts „⊗“:

$\mathrm {grad} {\big (}{\vec {f}}({\vec {x}}){\big )}[{\vec {h}}]=({\vec {h}}\cdot \nabla ){\vec {f}}={\vec {h}}\cdot (\nabla \otimes {\vec {f}})=(\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }\cdot {\vec {h}}$

Das hochgestellte ^⊤ bedeutet eine Transponierung. In einigen Quellen wird

$\mathrm {grad} ({\vec {f}}):=(\nabla \otimes {\vec {f}})^{\top }\quad \rightarrow \quad \mathrm {grad} {\big (}{\vec {f}}({\vec {x}}){\big )}[{\vec {h}}]=\mathrm {grad} ({\vec {f}})\cdot {\vec {h}}$

und in anderen

${\tilde {\mathrm {grad} }}({\vec {f}}):=\nabla \otimes {\vec {f}}\quad \rightarrow \quad {\tilde {\mathrm {grad} }}{\big (}{\vec {f}}({\vec {x}}){\big )}[{\vec {h}}]={\vec {h}}\cdot {\tilde {\mathrm {grad} }}({\vec {f}})$

definiert, was wegen des nicht kommutativen dyadischen Produkts einen nicht unerheblichen Unterschied ausmacht, der beispielsweise bei der #Produktregel und der Richtungsableitung zu beachten ist.

Hier wird erstere Form (die ohne Tilde) benutzt.

Schreibweisen

Die vielfältigen Anwendungen haben zu variantenreichen Schreibweisen geführt.

In der Kontinuumsmechanik ist es üblich, Größen, die sich auf den undeformierten Ausgangszustand eines Körpers beziehen, groß zu schreiben, und solche, die sich auf den deformierten Zustand beziehen, klein. Entsprechend bedeuten GRAD oder Grad Gradienten im undeformierten Körper und grad einen Gradient im deformierten. Andere Notationen mit dem Nabla-Operator benutzen 𝜵_X, 𝜵₀ für den Operator im undeformierten Körper und 𝜵_x, 𝜵_t für den im deformierten.

Es wird auch

$\mathrm {grad} ({\vec {v}})={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} {\vec {x}}}}$

geschrieben.

Geometrische Interpretation

Das eingangs aufgeführte Beispiel des Deformationsgradienten soll hier vertieft werden. Dazu sei das Vektorfeld in einer nahen Umgebung eines Punkts als Bewegungsfeld der Partikel einer Gummihaut interpretierbar, was der Fall ist, wenn der Vektorgradient invertierbar ist, es also eine Eins-zu-eins-Beziehung zwischen Raumpunkten und ihren Bildern gibt. Bezeichnen im undeformierten Körper Großbuchstaben die Orte von Partikeln und Kleinbuchstaben ihre Orte im deformierten, dann stellt man folgendes fest.

Auf der Haut wird ein (infinitesimal) kleiner Kreis gezeichnet und wenn man nun die Gummihaut lang zieht, wird der Kreis zu einer Ellipse, siehe Abb. 3. Ein Pfeil MP vom Mittelpunkt M zu einem Partikel P auf dem Umfang des Kreises wird zu mp gedehnt und verdreht, wobei p auf der Ellipse liegt. Die Transformation von MP zu mp leistet die mit dem Vektorgradient gebildete Richtungsableitung. Die lineare Annäherung des Vektorfeldes mittels der Richtungsableitung in der Umgebung des Punkts ist die definierende Eigenschaft eines Gradienten.

Die betraglich größte Änderung der Positionsdifferenzen mp zu MP tritt in der Richtung auf, in der der Körper die größte Dehnung erfährt. Auf der Gummihaut landet das Partikel P im Kreis auf der Hauptachse der Ellipse (bei p). Die Richtung der größten betraglichen Änderung erhält man hier als Lösung eines Eigenwertproblems, jedoch nicht des Deformationsgradienten, sondern des mit ihm gebildeten Strecktensors, siehe #Zusammenhang mit der Richtungsableitung und #Beispiele.

Markiert man im undeformierten Körper ein Partikel A und ein (infinitesimal) nahe benachbartes B und trägt im deformierten Körper vom Ort a des Partikels A die Richtungsableitung in Richtung AB auf, dann landet man im deformierten Körper am Ort b des Partikels B. Genauso kann man in b die Richtungsableitung in Richtung BC zu einem benachbarten Partikel C auftragen und landet im deformierten Körper an dessen Ort c. Diese Prozedur kann man beliebig oft wiederholen, die Integralrechnung gestattet sogar unendliche Wiederholungen. So gelangt man von a aus an den Ort p eines beliebigen Partikels P und zwar unabhängig vom eingeschlagenen Weg von A nach P. Diese Wegunabhängigkeit zeichnet Gradientenfelder aus.

Koordinatendarstellung

Zwecks kompakter Darstellung bezeichnet im Folgenden ein Index hinter einem Komma die Ableitung nach einer Koordinate:

$f_{,i}:={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\,,\quad f_{r,\vartheta }={\frac {\partial f_{r}}{\partial \vartheta }}$

Kartesische Koordinaten

In kartesischen Koordinaten $x_{i}\in \mathbb {R}$ mit Standardbasis ê_i lautet der Vektorgradient eines Vektorfeldes $\textstyle {\vec {f}}=\sum _{i}f_{i}{\hat {e}}_{i}$ mit Komponenten $f_{i}$

$\mathrm {grad} ({\vec {f}})=\sum _{i}{\hat {e}}_{i}\otimes \mathrm {grad} (f_{i})=\sum _{i,j}f_{i,j}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$

mit

$\mathrm {grad} (f)=\sum _{j}f_{,j}{\hat {e}}_{j}$.

In drei Dimensionen ist speziell

$\mathrm {grad} ({\vec {f}})={\begin{pmatrix}f_{1,1}&f_{1,2}&f_{1,3}\\f_{2,1}&f_{2,2}&f_{2,3}\\f_{3,1}&f_{3,2}&f_{3,3}\end{pmatrix}}$

Zylinderkoordinaten

In Zylinderkoordinaten mit radialer Koordinate ρ, Azimut φ und Höhe z über der ρφ-Ebene lauten die Basisvektoren mit dem Sinus und Cosinus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{e}_\rho=\begin{pmatrix}\cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\\ 0\end{pmatrix}, \quad \hat{e}_\varphi=\begin{pmatrix}-\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi)\\0\end{pmatrix}, \quad \hat{e}_z=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix} }

und der Vektorgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{grad}(\vec f) =& \hat{e}_\rho\otimes\mathrm{grad}(f_\rho) +\hat{e}_\varphi\otimes\mathrm{grad}(f_\varphi) +\hat{e}_z\otimes\mathrm{grad}(f_z) \\& +\frac{1}{\rho}(f_\rho\hat{e}_\varphi-f_\varphi\hat{e}_\rho) \otimes\hat{e}_\varphi \end{align}}

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(f) =f_{,\rho}\hat{e}_\rho+\frac{f_{,\varphi}}{\rho}\hat{e}_\varphi +f_{,z}\hat{e}_{z} }

Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten mit Abstand r vom Ursprung, Zenitwinkel ϑ und Azimut φ lauten die Basisvektoren mit dem Sinus und Cosinus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{e}_r=\begin{pmatrix} \sin(\vartheta)\cos(\varphi)\\ \sin(\vartheta)\sin(\varphi)\\ \cos(\vartheta) \end{pmatrix}, \quad \hat{e}_\vartheta=\begin{pmatrix} \cos(\vartheta)\cos(\varphi)\\ \cos(\vartheta)\sin(\varphi)\\ -\sin(\vartheta) \end{pmatrix}, \quad \hat{e}_\varphi=\begin{pmatrix} -\sin(\varphi)\\ \cos(\varphi)\\ 0 \end{pmatrix}}

und der Vektorgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{grad}(\vec f) =& \hat{e}_r\otimes\mathrm{grad}(f_r) +\hat{e}_\vartheta\otimes\mathrm{grad}(f_\vartheta) +\hat{e}_\varphi\otimes\mathrm{grad}(f_\varphi) \\& +\frac{f_r}{r}(\mathbf1-\hat{e}_r\otimes\hat{e}_r) -\hat{e}_r\otimes \frac{f_\vartheta\hat{e}_\vartheta+f_\varphi\hat{e}_\varphi}{r} +\frac{f_\vartheta\hat{e}_\varphi-f_\varphi\hat{e}_\vartheta}{r\tan(\vartheta)} \otimes\hat{e}_\varphi \end{align}}

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(f) =f_{,r}\hat{e}_{r} +\frac{f_{,\vartheta}}{r}\hat{e}_\vartheta +\frac{f_{,\varphi}}{r\sin(\vartheta)} \hat{e}_\varphi}

dem Tangens tan und dem Einheitstensor 1 = ê_r ⊗ ê_r + ê_ϑ ⊗ ê_ϑ + ê_φ ⊗ ê_φ.

Allgemein krummlinige Koordinaten

In krummlinigen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_i\in\R} lauten die ko- und kontravarianten Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_i =\frac{\partial\vec{x}}{\partial y_i} =\vec x_{,i} ,\quad \vec{g}^{i}=\mathrm{grad}(y_i ) \quad\rightarrow\quad\vec{g}_i\cdot\vec{g}^{j}=\delta_i^j :=\begin{cases}1 & \text{falls}\;i=j \\ 0 & \text{falls}\;i\ne j\end{cases} }

Das Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_i^j} ist das Kronecker-Delta und der Index _,i bedeutet in diesem Abschnitt eine Ableitung nach y_i. Der Nabla-Operator schreibt sich in krummlinigen Koordinaten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla=\vec g^i\frac{\part}{\part y_i}}

Hier wie im Folgenden muss die Einsteinsche Summenkonvention angewendet werden, dergemäß über in einem Produkt doppelt vorkommende Indizes, hier nur i, von eins bis zur Dimension des Raumes zu summieren ist.

Kontravariantes Vektorfeld

Die #Produktregel angewandt auf ein kontravariantes Vektorfeld führt zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(f^i\vec g_i) =\vec g_i\otimes\mathrm{grad}(f^i)+f^i\mathrm{grad}(\vec g_i) }

Der Gradient des kovarianten Basisvektors kann mit den Christoffelsymbolen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma^k_{ij}=\vec g_{i,j}\cdot\vec g^k} ausgedrückt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}\mathrm{grad}(\vec g_i) =&(\nabla\otimes\vec g_i)^\top =(\vec g^j\otimes\vec g_{i,j})^\top =\vec g_{i,j}\otimes\vec g^j =(\vec g_{i,j}\cdot\vec g^k)\vec g_k\otimes\vec g^j \\=&\Gamma^k_{ij}\vec g_k\otimes\vec g^j \end{align}}

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(f^i)=\nabla f^i=f^i_{,j}\vec g^j} lautet der Gradient schließlich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}\mathrm{grad}(f^i\vec g_i) =&f^i_{,j}\vec g_i\otimes\vec g^j+f^i\Gamma^k_{ij}\vec g_k\otimes\vec g^j =f^i_{,j}\vec g_i\otimes\vec g^j+f^k\Gamma^i_{kj}\vec g_i\otimes\vec g^j \\=&\left.f^i\right|_j\vec g_i\otimes\vec g^j \end{align}}

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left.f^i\right|_j=f^i_{,j}+\Gamma^i_{kj}f^k} die sogenannte kovariante Ableitung der Komponente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^i} .

Kovariantes Vektorfeld

Bei einem kovarianten Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec f=f_i\vec g^i} wird die Ableitung des kontravarianten Basisvektors benötigt, eine Ableitung, die auch mit Christoffelsymbolen ausgedrückt werden kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \delta^k_{i,j}=&(\vec g^k\cdot\vec g_i)_{,j} =\vec g^k_{,j}\cdot\vec g_i+\vec g^k\cdot\vec g_{i,j} =\vec g^k_{,j}\cdot\vec g_i+\Gamma^k_{ij} =0 \\ \rightarrow\vec g^k_{,j} =&(\vec g^k_{,j}\cdot\vec g_i)\vec g^i =-\Gamma^k_{ij}\vec g^i \end{align}}

Der Gradient eines kontravarianten Basisvektors schreibt sich damit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\vec g^k) =(\nabla\otimes \vec g^k)^\top =\vec g^k_{,j}\otimes\vec g^j =-\Gamma^k_{ij}\vec g^i\otimes\vec g^j }

Die #Produktregel liefert analog zum kontravarianten Vektor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}\mathrm{grad}(f_i\vec g^i) =&\vec g^i\otimes\mathrm{grad}(f_i)+f_k\mathrm{grad}(\vec g^k) =f_{i,j}\vec g^i\otimes\vec g^j-f_k\Gamma^k_{ij}\vec g^i\otimes\vec g^j \\=&\left.f_i\right|_j\vec g^i\otimes\vec g^j \end{align}}

mit der kovarianten Ableitung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left.f_i\right|_j=f_{i,j}-\Gamma^k_{ij}f_k} der Komponente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_i} .

Eigenschaften

Zusammenhang mit dem totalen Differenzial

Betrachtet wird eine infinitesimale Verschiebung in einem Vektorfeld:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{F}(\vec{r}+\mathrm{d}\vec{r}) =\vec{F}(\vec{r})+\operatorname{grad}(\vec{F})\cdot\mathrm{d}\vec{r} =\vec{F}(\vec{r})+(\mathrm{d}\vec{r}\cdot\nabla)\vec{F} =\vec{F}(\vec{r})+\mathrm{d}\vec{F}}

Das vollständige oder totale Differenzial eines Vektorfeldes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{F}(\vec{r})} ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{F}=\operatorname{grad}(\vec{F})\cdot\mathrm{d}\vec{r}}   bzw. in Indexschreibweise   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}F_{i}=\sum_{j}\frac{\partial F_{i}}{\partial x_{j}}\mathrm{d}x_{j}}

Das totale Differenzial eines Skalarfeldes und eines Vektorfeldes haben somit (formal) dieselbe Form. Beim totalen Differenzial eines Skalarfeldes wird der Gradient mit dem Differenzial skalar multipliziert. Beim totalen Differenzial eines Vektorfeldes ist die Multiplikation zwischen dem Gradient (Matrixform) mit dem Differenzialvektor als Matrix-Vektor-Produkt durchzuführen.

Zusammenhang mit der Richtungsableitung

Mit dem Vektorgradient kann die Richtungsableitung in Richtung eines Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec h} berechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{h}\cdot\vec\nabla)\vec f =\vec{h}\cdot(\vec\nabla\otimes\vec f) =(\vec\nabla\otimes\vec f)^\top\cdot\vec{h} =\operatorname{grad}(\vec f)\cdot\vec{h} }

Das hochgestellte ^⊤ bedeutet eine Transponierung. In der Strömungsmechanik wird die linke Darstellung mit dem Nabla-Operator gegenüber der rechten bevorzugt, die in der Kontinuumsmechanik üblich ist. Die mithilfe des Vektorgradienten berechnete Richtungsableitung entspricht der Richtungsableitung, die man durch Grenzwertbildung bekommt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{grad}(\vec f)\cdot\vec{h} =\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\vec f(\vec{x}+s\vec{h})\right|_{s=0} =\lim_{s\rightarrow 0}\frac{\vec f(\vec{x}+s\vec{h})-\vec f(\vec{x})}{s} } für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x},\vec{h}}

Interessiert diejenige Richtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec n} , in der die Richtungsableitung maximalen Betrag hat, ergibt sich das Eigenwertproblem

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\vec f)^\top\cdot\mathrm{grad}(\vec f)\cdot\vec n +\lambda\vec n=\vec0}

Der Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\vec f)^\top\cdot\mathrm{grad}(\vec f)=:\mathbf C} ist symmetrisch und positiv semidefinit, sodass alle Eigenwerte reell und nicht negativ sind. Der zum größten Eigenwert gehörende Eigenvektor liefert die Richtung, in der die Richtungsableitung den größten Betrag hat.

Denn die Zielgröße ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\mathrm{grad}(\vec f)\cdot\vec{n}|^2 =\big(\mathrm{grad}(\vec f)\cdot\vec{n}\big) \cdot\big(\mathrm{grad}(\vec f)\cdot\vec{n}\big) =\vec n\cdot\mathbf C\cdot\vec n }

Ein Extremum unter der Nebenbedingung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec n|=1} berechnet sich mit einem Lagrange-Multiplikator λ:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Pi(\vec n,\lambda):= \vec n\cdot\mathbf C\cdot\vec n +\lambda(\vec n\cdot\vec n-1)\to\text{extr.} }

Im Extremum müssen die Ableitungen nach allen Variablen verschwinden. Die Ableitung nach dem Lagrange-Multiplikator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\part}{\part\lambda}\Pi(\vec n,\lambda)=\vec n\cdot\vec n-1=0 }

bedeutet, dass wie gewünscht die Nebenbedingung notwendig eingehalten wird. Die Ableitung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec n} in Richtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec h} liefert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \left.\frac{\part}{\part s}\Pi(\vec n+s\vec h,\lambda)\right|_{s=0} =& \frac{\part}{\part s}\left[ (\vec n+s\vec h)\cdot\mathbf C\cdot(\vec n+s\vec h) +\lambda\big((\vec n+s\vec h)\cdot(\vec n+s\vec h)-1\big)\right]_{s=0} \\=& \Big[\vec h\cdot\mathbf C\cdot(\vec n+s\vec h) +(\vec n+s\vec h)\cdot\mathbf C\cdot\vec h \\&\quad +\lambda\big(\vec h\cdot(\vec n+s\vec h)+(\vec n+s\vec h)\cdot\vec h\big) \Big]_{s=0} \\=& \vec h\cdot\mathbf C\cdot\vec n +\vec n\cdot\mathbf C\cdot\vec h +2\lambda\vec n\cdot\vec h \\=& 2(\mathbf C\cdot\vec n+\lambda\vec n)\cdot\vec h \stackrel{!}=0 \end{align}}

weil C symmetrisch ist. Da dies für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec h} gelten soll, ist das gleichbedeutend mit dem oben angegebenen Eigenwertproblem.

Zusammenhang mit Rotation und Divergenz

Der Vektorgradient beinhaltet alle partiellen Ableitungen der Komponenten eines Vektorfeldes, die bei der Rotation und Divergenz eines Vektorfeldes gebraucht werden. Es ist zu vermuten, dass diese Operatoren aus dem Gradient eines Vektorfeldes ableitbar sind. Tatsächlich ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [\mathrm{grad}(\vec v)-\mathrm{grad}(\vec v)^\top]\cdot\vec c=\mathrm{rot}(\vec v)\times\vec c}

für alle konstanten Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c} . Der Tensor in der eckigen Klammer ist schiefsymmetrisch und dessen dualer axialer Vektor (·)_× ist die Rotation. Der duale axiale Vektor ist die negative Hälfte der Vektorinvariante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec i} , bei der das dyadische Produkt ⊗ durch das Kreuzprodukt × ersetzt ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{grad}(\vec v)_\times =&-\frac12\vec i(\mathrm{grad}(\vec v)) =-\frac12\vec i\left((\nabla\otimes\vec v)^\top\right) =\frac12\vec i(\nabla\otimes\vec v) \\=&\frac12\nabla\times\vec v =\frac12\mathrm{rot}(\vec v) \end{align}}

Die Spur des Vektorgradienten liefert die Divergenz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp(grad}\,\vec v) =\mathrm{Sp}\left((\nabla\otimes\vec v)^\top\right) =\mathrm{Sp}\big(\nabla\otimes\vec v\big) =\nabla\cdot\vec v =\mathrm{div}(\vec v) }

Rechenregeln

Für alle Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c\in\R} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf C\in\R^{n\times n}} , total differenzierbaren Skalarfelder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f,\,g\in\R} und Vektorfelder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec f,\,\vec g\in\R^n} gilt:

Linearität

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{grad}(c\vec f)=c\operatorname{grad}(\vec f)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{grad}(\mathbf C\cdot\vec f) =\mathbf C\cdot\operatorname{grad}(\vec f)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{grad}(\vec f+\vec g)=\operatorname{grad}(\vec f)+\operatorname{grad}(\vec g)}

Produktregel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(f g)=g\,\mathrm{grad}(f)+f\,\mathrm{grad}(g) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(f\vec{g}) =\vec{g}\otimes\mathrm{grad}(f) + f\,\mathrm{grad}(\vec{g}) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\vec{f}\cdot\vec{g}) =\vec{g}\cdot\mathrm{grad}(\vec{f})+\vec{f}\cdot\mathrm{grad}(\vec{g}) }

In drei Dimensionen ist speziell

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\vec{f}\cdot\vec{g}) =\mathrm{grad}(\vec{f})\cdot\vec{g}+\mathrm{grad}(\vec{g})\cdot\vec{f} +\vec{f}\times\mathrm{rot}(\vec{g})+\vec{g}\times\mathrm{rot}(\vec{f}) }

Integralsätze

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{\vec a}^{\vec b} \mathrm{grad}\big(\vec f(\vec x)\big)\cdot\mathrm{d}\vec x =\vec f(\vec b)-\vec f(\vec a) }

Dabei ist der Integrationsweg von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} beliebig. Diese Wegunabhängigkeit zeichnet Gradientenfelder aus.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_V\mathrm{grad}(\vec f)\,\mathrm dV =\int_A\vec f\otimes\hat n\,\mathrm dA }

Hier ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec f} ein zweimal stetig differenzierbares Feld und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat n} der nach außen gerichtete Normaleneinheitsvektor auf der geschlossenen Oberfläche A des Volumens V.

Anwendungen

Verformungen

Siehe auch: Deformationsgradient

Abb. 2: Verlagerung von materiellen Linien

Der schon angesprochene Deformationsgradient ist die grundlegende Größe zur Beschreibung von Verformungen von Körpern. Lokal stellen sich bei einer Verformung Längenänderungen und Winkeländerungen zwischen materiellen Linienelementen ein, die man sich in das Material eingeritzt denken kann, siehe Bild. Die Längenänderungen korrespondieren mit Dehnungen und die Winkeländerungen mit Scherungen im Material.

In der Kontinuumsmechanik gibt die Bewegungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x=\vec\chi(\vec X,t)} den Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} an, an dem zur Zeit t ein Partikel ist, das zu einer definierten Zeit t₀ am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec X} war. Der Deformationsgradient F kann aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{F}(\vec{X},t)\cdot\mathrm{d}\vec{X} =\lim_{s\to0}\frac{\vec\chi(\vec{X}+s\;\mathrm{d}\vec{X},t) -\vec\chi(\vec{X},t)}{s} =\mathrm{d}\vec{x}}

berechnet werden, was seine Transformationseigenschaften der Linienelemente im undeformierten Zustand (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{X}} ) in den deformierten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{x}} ) verdeutlicht.

Substanzielle Beschleunigung

In der Fluidmechanik wird die Eulersche Betrachtungsweise eingenommen, die das Vektorfeld der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v(\vec x,t)} als Funktion des Ortes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} und der Zeit t benutzt. Der Impulssatz eines Kontinuums besagt, dass eine volumenverteilte Kraft, wie die Schwerkraft eine ist, die Partikel des Körpers beschleunigt. Um das darzustellen, wird die Geschwindigkeit des Partikels mittels der Bewegungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x=\vec\chi(\mathcal P,t)} eingeführt, die den Ort angibt, an dem sich das Partikel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal P} zur Zeit t befindet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v(\vec x,t)=\vec v\big(\vec\chi(\mathcal P,t), t\big) :=\dot{\vec\chi}(\mathcal P,t) }

Der Überpunkt bildet hier die Substanzielle Zeitableitung. Für den Impulssatz kann nun die Substanzielle Beschleunigung als Zeitableitung der Geschwindigkeit bei festgehaltenem Partikel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal P} berechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot{\vec v}(\vec x,t) :=\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm dt} \vec v(\vec\chi(\mathcal P,t),t)\right|_{\mathcal P\,\text{fest}} =\frac{\part\vec v}{\part t} +\frac{\part\vec v}{\part\vec x}\cdot\dot{\vec\chi}(\mathcal P,t) :=\frac{\part\vec v}{\part t} +\mathrm{grad}(\vec v)\cdot\vec v }

Der zweite Summand stellt einen konvektiven Anteil dar, der physikalisch daraus resultiert, dass das Partikel auch dadurch beschleunigt werden kann, dass es von einem schneller oder langsamer fließenden Stromfaden mitgenommen wird. Der Geschwindigkeitsgradient Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\vec v)} hat eine fundamentale Bedeutung in der Fluidmechanik.

Tensorgradient

Mit dem skalaren Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec h\cdot\nabla} kann auch der Gradient eines Tensorfeldes T gebildet werden, wobei ein Tensorgradient entsteht:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\mathbf T)[\vec h] =(\vec h\cdot\nabla)\mathbf T}

In krummlinigen Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y_i} und dem Nabla-Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla=\vec g^k\tfrac\part{\part y_k}} (Notation siehe #Allgemein krummlinige Koordinaten) wird daraus:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\mathbf T)[\vec h] =(\vec h\cdot\vec g^k)\mathbf T_{,k} =\vec h\cdot(\vec g^k\otimes\mathbf T_{,k}) =(\mathbf T_{,k}\otimes\vec g^k)\cdot\vec h }

Soll das Argument wie beim Vektorgradient rechts vom Operator stehen, dann lautet der Tensorgradient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\mathbf T)=\mathbf T_{,k}\otimes\vec g^k}

Für einen Tensor zweiter Stufe gibt es in krummlinigen Koordinaten vier Darstellungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf T =T_{ij}\vec g^i\otimes\vec g^j =T^{ij}\vec g_i\otimes\vec g_j =T_i^{.j}\vec g^i\otimes\vec g_j =T^i_{.j}\vec g_i\otimes\vec g^j }

Mit den Ableitungen der Basisvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec g_{n,k}=\Gamma^l_{nk}\vec g_l ,\quad \vec g^n_{,k}=-\Gamma^n_{lk}\vec g^l }

ergibt sich in der ersten Ausführung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{grad}(T_{ij}\vec g^i\otimes\vec g^j) =&(T_{ij}\vec g^i\otimes\vec g^j)_{,k}\otimes\vec g^k \\=&(T_{ij,k}\vec g^i\otimes\vec g^j +T_{ij}\vec g^i_{,k}\otimes\vec g^j +T_{ij}\vec g^i\otimes\vec g^j_{,k})\otimes\vec g^k \\=&(T_{ij,k}\vec g^i\otimes\vec g^j -T_{ij}\Gamma^i_{lk}\vec g^l\otimes\vec g^j -T_{ij}\vec g^i\otimes\Gamma^j_{lk}\vec g^l)\otimes\vec g^k \\=&(T_{ij,k}-T_{lj}\Gamma^l_{ik}-T_{il}\Gamma^l_{jk}) \vec g^i\otimes\vec g^j\otimes\vec g^k \\=&\left.T_{ij}\right|_k\vec g^i\otimes\vec g^j\otimes\vec g^k \end{align}}

mit der kovarianten Ableitung der Tensorkomponente

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left.T_{ij}\right|_k =T_{ij,k}-\Gamma^l_{ik}T_{lj}-\Gamma^l_{jk}T_{il}}

Analog ergibt sich in den anderen Darstellungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{grad}(T^{ij}\vec g_i\otimes\vec g_j) =&\left.T^{ij}\right|_k\vec g_i\otimes\vec g_j\otimes\vec g^k ,\quad \left.T^{ij}\right|_k \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&= T^{ij}_{,k}+\Gamma^i_{lk}T^{lj}+\Gamma^j_{lk}T^{il} \\ \mathrm{grad}(T_i^{.j}\vec g^i\otimes\vec g_j) =&\left.T_i^{.j}\right|_k\vec g^i\otimes\vec g_j\otimes\vec g^k ,\quad \left.T_i^{.j}\right|_k \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&= T_{i,k}^{.j}-\Gamma^l_{ik}T_l^{.j}+\Gamma^j_{lk}T_i^{.l} \\ \mathrm{grad}(T^i_{.j}\vec g_i\otimes\vec g^j) =&\left.T^i_{.j}\right|_k\vec g_i\otimes\vec g^j\otimes\vec g^k ,\quad \left.T^i_{.j}\right|_k \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!&= T^i_{.j,k}+\Gamma^i_{lk}T^l_{.j}-\Gamma^l_{jk}T^i_{.l} \end{align}}

siehe auch die Anwendung der Christoffelsymbole bei Tensorfeldern.

Beispiele

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec r} der Ortsvektor und r sein Betrag. Dann ist mit dem Einheitstensor 1:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{grad}\,\vec{r} =(\nabla\otimes\vec{r})^\top=\mathbf1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{grad}\,r=\nabla|\vec r|=\frac{\vec r}{r}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{grad}\,r^n=\nabla|\vec r|^n =nr^{n-1}\frac{\vec r}{r}=nr^{n-2}\vec r,\quad n\in\R,\ne0}

siehe Gradient (Mathematik)#Nützliche Formeln. Mit der #Produktregel berechnet sich damit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}\left(\frac{\vec{r}}{r^{3}}\right) =\vec{r}\otimes\mathrm{grad}(r^{-3})+\frac{1}{r^{3}}\mathrm{grad}(\vec{r}) =-\frac{3}{r^{5}}\vec{r}\otimes\vec{r}+\frac{1}{r^{3}}\mathbf1 =-\frac{1}{r^{5}}(3\vec{r}\otimes\vec{r}-r^{2}\mathbf1) }

Die beiden letzten Formeln werden z. B. bei der kartesischen Multipolentwicklung verwendet.

Als weiteres Beispiel wird das Vektorfeld

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v\left(\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}\right) =\begin{pmatrix}x+ay+a(x+2ay)^2\\y-(x+2ay)^2\end{pmatrix}}

angeführt, wo a eine beliebige Konstante ist. Der Gradient wird aus der Richtungsableitung berechnet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \mathrm{grad}(\vec v)\cdot\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} =& \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm ds} \vec v\left(\begin{pmatrix}x+sp\\y+sq\end{pmatrix}\right)\right|_{s=0} \\=& \left.\frac{\mathrm d}{\mathrm ds} \begin{pmatrix} x+sp+a(y+sq)+a\big(x+sp+2a(y+sq)\big)^2 \\ y+sq-\big(x+sp+2a(y+sq)\big)^2 \end{pmatrix}\right|_{s=0} \\=& \begin{pmatrix} p+aq+2a(x+2ay)(p+2aq) \\ q-2(x+2ay)(p+2aq) \end{pmatrix} \\=& \underbrace{\begin{pmatrix} 1+2a(x+2ay) & a+4a^2(x+2ay) \\ -2(x+2ay) & 1-4a(x+2ay) \end{pmatrix}}_{\mathrm{grad}(\vec v)} \cdot\begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix} \end{align}}

Abb. 3: Bei a=3/2 auf gleichgroßes Urbild skalierte Abbildungen des Kreises, die sich der Ellipse (blau) bei Radien 0,1, 0,01 und 0,001 annähern, sowie Eigenvektoren 1 (grün) und 2 (rot) mit ihren Bildern (türkis bzw. magenta).

Im Ursprung nimmt der Gradient die Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\vec v)=\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}

an. Die maximale Richtungsableitung ergibt sich aus dem Eigensystem des Tensors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{grad}(\vec v)^\top\cdot\mathrm{grad}(\vec v) =\begin{pmatrix}1&a\\a&1+a^2\end{pmatrix}}

Er hat bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=\tfrac32} die Eigenwerte und Eigenvektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1=\frac14,\, \hat v_1=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_2=4,\,\hat v_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix} }

Die größte Richtungsableitung ist in Richtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat v_2} , die durch den Gradient auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}} abgebildet wird.

Siehe auch

• Formelsammlung Tensoranalysis mit vielen Formeln aus dem Bereich.