Benutzer:Alva2004/Euler Gleichungen

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Die Euler-Gleichungen (oder auch eulerschen Gleichungen) der Strömungsmechanik sind ein von Leonhard Euler entwickeltes mathematisches Modell zur Beschreibung der Strömung von reibungsfreien elastischen Fluiden. Die Gleichungen sind in eulerscher Betrachtungsweise formuliert und lauten:

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)={\vec {k}}\quad \Leftrightarrow \quad {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}v_{j}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}=k_{i}\;,\quad i=1,2,3\,.$

Der Vektor ${\vec {v}}$ ist das Geschwindigkeitsfeld im Fluid mit Komponenten $v_{1,2,3}$ in Richtung der kartesischen Koordinaten $x_{1,2,3}$, $\rho$ die Dichte, $p$ der Druck und ${\vec {k}}$ eine äußere volumenverteilte Beschleunigung (z. B. Schwerebeschleunigung). Der Vektorgradient $({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}$ entspricht dem Produkt aus dem Geschwindigkeitsgradienten und der Geschwindigkeit: $({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}=\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}$. Alle Variablen in den Euler-Gleichungen sind im Allgemeinen sowohl vom Ort als auch von der Zeit abhängig. Die linke Vektorgleichung ist die koordinatenfreie Version, die in beliebigen Koordinatensystemen gilt, und die rechten Komponentengleichungen ergeben sich im Sonderfall des kartesischen Koordinatensystems.

Bei den Euler-Gleichungen handelt es sich um ein partielles Differentialgleichungssystem erster Ordnung. Die Navier-Stokes-Gleichungen beinhalten diese Gleichungen als den Sonderfall, in dem die innere Reibung (Viskosität) und die Wärmeleitung des Fluids vernachlässigt werden.

Anwendung finden die Euler-Gleichungen bei laminaren Strömungen, wie sie in technischen Rohrströmungen oder in der Flugzeugentwicklung in guter Näherung angenommen werden können. Bei Inkompressibilität läßt sich aus den Euler-Gleichungen die Bernoullische Energiegleichung ableiten und bei zusätzlich wirbelfreier Strömung ergeben sich Potentialströmungen.

Herleitung

Die Euler-Gleichungen können auf verschiedene Weise hergeleitet werden: Ein verbreiteter Ansatz wendet das Transporttheorem von Reynolds auf das zweite newtonsche Axiom an. Das Transporttheorem beschreibt die zeitliche Änderung einer physikalischen Größe in einem bewegten Kontrollvolumen.

Ein weiterer Ansatz geht von der Boltzmann-Gleichung aus: Der Kollisionsoperator wird dort mit drei möglichen Termen multipliziert, den sog. Kollisionsinvarianten. Nach Integration über die Teilchengeschwindigkeit entstehen Kontinuitätsgleichung, Impulsgleichung und Energiebilanz. Schließlich wird eine Skalierung für große Zeit- und Raumabmessungen durchgeführt (Hydrodynamische Limites), und das Ergebnis sind die erweiterten Euler-Gleichungen.

Formulierung

Impulsgleichung

Der wesentliche Teil der Euler-Gleichungen ist das erste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz, das dem Impulssatz entspricht:

$\rho \left[{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {v}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}\right]=\rho \,{\vec {k}}+\operatorname {div} ({\boldsymbol {\sigma }})\,.$

Zusätzlich zu den eingangs beschriebenen Variablen tritt hier der Cauchy’sche Spannungstensor ${\boldsymbol {\sigma }}$ und der Divergenzoperator div auf. Innere Reibung, die sich in Viskosität und damit in Schubspannungen zeigen würde, wird in elastischen Fluiden vernachlässigt, weshalb der Spannungstensor dort Diagonalgestalt hat. Des Weiteren ist jedes Fluid auch isotrop. Wird nun ein Fluid gedanklich in zwei Teile zerschnitten, dann bilden sich an den Schnittflächen Schnittspannungen aus, die senkrecht zur Schnittfläche sind, denn der Druck in einem elastischen Fluid wirkt immer senkrecht auf begrenzende Flächen. In einer isotropen Flüssigkeit muss die Normalspannung für alle Orientierungen der Schnittfläche dieselbe sein weshalb der Spannungstensor mithin ein Vielfaches des Einheitstensors I ist: ${\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I}$. Ein Spannungstensor dieser Form wird auch Drucktensor genannt, denn der Proportionalitätsfaktor p ist der Druck. Ausführung der Ableitung zeigt: $\operatorname {div} (-p\mathbf {I} )=-\operatorname {grad} (p)$. Dies in das Bewegungsgesetz eingesetzt ergibt nach Division durch die Dichte und Vernachlässigung äußerer Kräfte:

${\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)={\vec {0}}\;.$

In kartesischen Koordinaten lautet diese Gleichung im zweidimensionalen Fall für ${\vec {v}}=(v_{1},v_{2})$ und ${\vec {x}}=(x_{1},x_{2})$ vollständig ausgeschrieben:

${\begin{aligned}{\frac {\partial v_{1}}{\partial t}}+v_{1}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{1}}}+v_{2}{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{1}}}&=0\\{\frac {\partial v_{2}}{\partial t}}+v_{1}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}+v_{2}{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{2}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{2}}}&=0\;.\end{aligned}}$

Die Terme mit Ableitungen der Geschwindigkeit bilden die substanzielle Beschleunigung, bestehend aus der lokalen und der konvektiven Beschleunigung:

${\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}\;.$

Flussformulierung

Obige Bewegungsgleichung ist auf Grund der Kontinuitätsgleichung äquivalent zur Bilanzgleichung der Impulsdichte ${\vec {m}}=\rho {\vec {v}}$ für ideale Fluide:

${\frac {\partial {\vec {m}}}{\partial t}}+\operatorname {div} ({\vec {v}}\otimes {\vec {m}})+\operatorname {grad} (p)={\vec {0}}$

oder in alternativer Schreibweise

${\frac {\partial {\vec {m}}}{\partial t}}+\operatorname {div} ({\vec {v}}\otimes {\vec {m}}+p\mathbf {I} )={\vec {0}}\;.$

Das Rechenzeichen „$\otimes$“ bildet das dyadische Produkt. Der symmetrische Tensor

${\vec {v}}\otimes {\vec {m}}={\vec {m}}\otimes {\vec {v}}=\rho {\vec {v}}\otimes {\vec {v}}=\sum _{i,j=1}^{3}v_{i}m_{j}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$

ist der konvektive Transport der Impulsdichte, seine Divergenz

$\operatorname {div} ({\vec {v}}\otimes {\vec {m}})=\operatorname {div} ({\vec {v}}){\vec {m}}+\operatorname {grad} ({\vec {m}})\cdot {\vec {v}}$

ist der konvektive Impulsfluss.

Integriert man über ein ortsfestes Volumen $V$ und wendet den Gaußschen Integralsatz an, so erhält man:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}{\vec {m}}\;\mathrm {d} V+\oint _{S}({\vec {v}}\otimes {\vec {m}}+p\mathbf {I} )\cdot {\vec {n}}\;\mathrm {d} S={\vec {0}}\;.$

Hierbei ist $V$ das Volumen mit der Oberfläche $S$ und ${\vec {n}}$ ist der Normaleneinheitsvektor auf dem Flächenelement $\mathrm {d} S$. Diese Formulierung der Gleichung beweist die Erhaltung des Impulses bei Einführung des statischen Druckes $p$. Der Druck ist eine Oberflächenkraft und nimmt Einfluss auf den Impuls durch Austausch mit der Umgebung. Kräfte werden nur senkrecht zur Oberfläche übertragen, es treten keine Reibungskräfte auf.

Umgekehrt folgen die Euler-Gleichungen aus der Impulsbilanz an beliebigen, hinreichend glatt berandeten Volumina $V$, wenn man annimmt, dass es einen hydrostatischen Druck gibt und nur dieser Kräfte auf $V$ (und zwar über die Oberfläche und nur in Normalenrichtung) überträgt – vorausgesetzt die auftretenden Funktionen sind hinreichend glatt, um den Gaußschen Integralsatz anwenden zu können.

Vollständiges Gleichungssystem

Obige Impulsgleichung stellt (selbst mit passenden Rand- und Anfangsbedingungen) kein geschlossenes System dar. Intuitiv sieht man dies bereits, da man im $n$-Dimensionalen nur $n$ Differentialgleichungen für $n+1$ unbekannte Funktionen (Geschwindigkeit und Druck) hat. Um das System zu schließen, ist noch mindestens eine weitere Gleichung nötig.

Inkompressibler Fall

Die Annahme der Inkompressibilität ist für Flüssigkeiten bei moderaten Drücken und für Gaströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit eine häufig sinnvolle Näherung. Inkompressible Fluide sind dichtebeständig ($\rho ={\text{const.}}$) und das Gleichungssystem wird durch Hinzunahme der Massenerhaltung in Form der Kontinuitätsgleichung

$\operatorname {div} {\vec {v}}=0$

geschlossen. Die Lösung der Gleichungen vereinfacht sich dadurch, dass sich der Druck durch Bildung der Rotation aus der Euler-Gleichung eliminieren läßt:

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} ({\vec {v}})+\operatorname {rot(grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}})+{\frac {1}{\rho }}\underbrace {\operatorname {rot(grad} (p))} _{={\vec {0}}}=&{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} ({\vec {v}})+\underbrace {\operatorname {rot} \left({\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})\right)} _{={\vec {0}}}-\operatorname {rot} ({\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})=\operatorname {rot} ({\vec {k}})\\\rightarrow {\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {rot} ({\vec {v}})=&\operatorname {rot} ({\vec {v}}\times \operatorname {rot} {\vec {v}})+\operatorname {rot} ({\vec {k}})\,.\end{aligned}}$

Hier wurde die Grassmann-Entwicklung einsetzt. Der Druck ergibt sich hier nicht aus einer Zustandsgleichung der Form $p=p(\rho )$ sondern allein aus der Impulsbilanz in Form der Euler-Gleichung und den Randbedingungen, d. h. aus dem bereits berechneten Geschwindigkeitsfeld. Anwendung der Divergenz auf die Euler-Gleichung liefert die Bestimmungsgleichung für den Druck:

${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial t}}\underbrace {\operatorname {div} ({\vec {v}})} _{=0}+\operatorname {div(grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}})+{\frac {1}{\rho }}\underbrace {\operatorname {div(grad} (p))} _{=\Delta p}=&\operatorname {div} (\operatorname {grad} ({\vec {v}}))\cdot {\vec {v}}+\operatorname {Sp(grad} ({\vec {v}})\cdot \operatorname {grad} ({\vec {v}}))+{\frac {1}{\rho }}\Delta p\\=&\operatorname {grad} (\underbrace {\operatorname {div} ({\vec {v}})} _{=0})\cdot {\vec {v}}+\operatorname {Sp(grad} ({\vec {v}})\cdot \operatorname {grad} ({\vec {v}}))+{\frac {1}{\rho }}\Delta p=\operatorname {div} ({\vec {k}})\\\rightarrow \Delta p=&\rho \operatorname {div} ({\vec {k}})-\rho \operatorname {Sp(grad} ({\vec {v}})\cdot \operatorname {grad} ({\vec {v}}))\,.\end{aligned}}$

Der Operator Sp berechnet die Spur und das Produkt der Geschwindigkeitsgradienten wird mit dem Tensorprodukt „$\cdot$“ gebildet. In kartesischen Koordinaten entwickelt sich:

$\operatorname {Sp(grad} ({\vec {v}})\cdot \operatorname {grad} ({\vec {v}}))=\operatorname {Sp} \left(\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x_{i}}}\otimes {\hat {e}}_{i}\cdot {\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x_{j}}}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)=\operatorname {Sp} \left(\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial x_{i}}}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}\,.$

Kompressibler Fall

Bei kompressiblen Fluiden und insbesondere, wenn die Temperatur als weitere Unbekannte eine Rolle spielt, benötigt man außerdem die Energieerhaltung und Zustandsgleichungen (d. h. konstitutive Gleichungen) des zu modellierenden Fluids. Im dreidimensionalen Fall ergeben sich so die fünf gekoppelten Differentialgleichungen

${\frac {\partial {\vec {u}}}{\partial t}}+\left(\operatorname {div} \mathbf {f} \left({\vec {u}}\right)\right)^{\top }={\vec {0}}\;,$

wobei ${\vec {u}}=\left(\rho ,\,\rho v_{1},\,\rho v_{2},\,\rho v_{3},\,\rho H\right)^{\top }$ der Vektor der Erhaltungsvariablen ist und der Fluss $\mathbf {f} =\left({\vec {f}}_{1},\,{\vec {f}}_{2},\,{\vec {f}}_{3}\right)^{\top }$ mit der Enthalpie $H$ durch folgende Ausdrücke gegeben ist:

${\vec {f}}_{1}={\begin{pmatrix}\rho v_{1}\\\rho v_{1}^{2}+p\\\rho v_{1}v_{2}\\\rho v_{1}v_{3}\\\rho v_{1}H\end{pmatrix}}\,,\quad {\vec {f}}_{2}={\begin{pmatrix}\rho v_{2}\\\rho v_{1}v_{2}\\\rho v_{2}^{2}+p\\\rho v_{2}v_{3}\\\rho v_{2}H\end{pmatrix}}\,,\quad {\vec {f}}_{3}={\begin{pmatrix}\rho v_{3}\\\rho v_{1}v_{3}\\\rho v_{2}v_{3}\\\rho v_{3}^{2}+p\\\rho v_{3}H\end{pmatrix}}\;.$

Die erste Gleichung in diesem System ist die Kontinuitätsgleichung für den kompressiblen Fall

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\operatorname {div} \left(\rho \,{\vec {v}}\right)=0\;,$

die zweite bis vierte Gleichung sind die Impulsgleichungen (Euler-Gleichungen im engeren Sinn, siehe oben) und die letzte Gleichung ist die Energiebilanz. Zusammen mit einer thermischen Zustandsgleichung, welche Druck $p$, Temperatur $T$ und Dichte $\rho$ miteinander verknüpft, sowie einer kalorischen Zustandsgleichung, welche Temperatur $T$, Druck $p$ und Enthalphie $H$ verknüpft, erhält man ein formal geschlossenes Gleichungssystem, um die sieben unbekannten Größen Geschwindigkeit $v_{1}$, $v_{2}$ und $v_{3}$, Druck $p$, Dichte $\rho$, Temperatur $T$ und Enthalpie $H$ zu berechnen. In der Praxis wird oft ein perfektes Gas-Modell verwendet, d. h. ein ideales Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität.

In diesem Modell werden Wärmeleitung und innere Reibung vernachlässigt. Berücksichtigt man auch Reibungs- und gegebenenfalls Wärmeleitungseffekte, so erhält man an Stelle der Euler-Gleichungen die Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Fluide.

Randbedingungen

An festen Wänden wird als Bedingung gesetzt, dass die Geschwindigkeit in Normalenrichtung ${\vec {n}}$ null ist: ${\vec {n}}\cdot {\vec {v}}=0$. Flächen können durch eine skalare Funktion f mittels $f({\vec {x}},t)=0$ definiert werden und die Normale der Fläche ist dann der Gradient ${\vec {n}}=\operatorname {grad} (f)$. Außerdem kann sich die Fläche auch noch bewegen. Allgemein lautet also die Randbedingung an einer undurchdringlichen Wand, die mit einer Funktion f in einem Gebiet ${\vec {x}}\in \Omega _{u}$ beschrieben ist:

${\frac {\partial f({\vec {x}},t)}{\partial t}}+\operatorname {grad} (f({\vec {x}},t))\cdot {\vec {v}}({\vec {x}},t)=0\quad \forall \;{\vec {x}}\in \{{\vec {u}}|{\vec {u}}\in \Omega _{u}\wedge f({\vec {u}},t)=0\}\,.$

An die Tangentialkomponente der Geschwindigkeit wird hier wegen der angenommen Reibungsfreiheit keine Bedingung gestellt, was im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen ist, bei denen die No-Slip-Bedingung gilt.

Außerdem können Druckrandbedingungen, wie z. B. an der Oberfläche $\Omega _{p}$ eines Gewässers, auftreten:

${\frac {\partial g({\vec {x}},t)}{\partial t}}+\operatorname {grad} (g({\vec {x}},t))\cdot {\vec {v}}({\vec {x}},t)=0\quad {\text{und}}\quad p({\vec {x}},t)=p_{0}({\vec {x}},t)\quad \forall \;{\vec {x}}\in \{{\vec {u}}|{\vec {u}}\in \Omega _{p}\wedge g({\vec {u}},t)=0\}\,.$

Die Bestimmung der Oberfläche g, auf der der Druck $p_{0}$ vorgegeben ist, kann dann mit zum Problem gehören. An der Oberfläche g verschwindet die Normalkomponente der Geschwindigkeit im Allgemeinen nicht. Zumeist, vor allem im technischen Bereich wie z. B. am Auslass eines durchströmten Rohres, ist die Fläche g bekannt, was die Aufgabenstellung erheblich vereinfacht.

Mathematische Eigenschaften

Die Euler-Gleichungen gehören zur Klasse der nichtlinearen hyperbolischen Erhaltungsgleichungen. Damit treten in der Regel nach endlicher Zeit auch bei glatten Anfangsdaten Unstetigkeiten auf, etwa Schocks (Verdichtungsstöße). Unter starken Voraussetzungen existieren im relevanten Fall $\rho ,p>0$ globale glatte Lösungen, etwa dann, wenn die Lösung sich in einer Art Verdünnungswelle fortbewegt. Im stationären Fall ist die Gleichung je nach Mach-Zahl elliptisch oder hyperbolisch. Bei einer transsonischen Strömung treten dann sowohl Unterschall als auch Überschallgebiete auf, und die Gleichung hat gemischten Charakter.

Die Eigenwerte der Gleichungen sind die Geschwindigkeit in Normalenrichtung $v_{n}$ (mit Vielfachheit der Dimension) und diese plus minus die Schallgeschwindigkeit, $v_{n}\pm c$. Damit sind die Euler-Gleichungen unter Verwendung der idealen Gasgleichung als Druckfunktion im Eindimensionalen sogar strikt hyperbolisch, so dass es für diesen Fall brauchbare Existenz- und Eindeutigkeitsresultate gibt. Im Mehrdimensionalen sind sie aufgrund des mehrfachen Eigenwerts nicht mehr strikt hyperbolisch. Damit ist die mathematische Lösung extrem schwierig. Hierbei dreht es sich vor allem um das Bestimmen physikalisch sinnvoller schwacher Lösungen, also solcher, die sich als Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen mit verschwindender Viskosität interpretieren lassen.

Neben den oben erwähnten Unterschieden bei den Randbedingungen und im Hinblick auf Grenzschichtbildung, ist das Fehlen von Turbulenz ein wesentlicher Unterschied zwischen den Euler- und den Navier-Stokes-Gleichungen.

Die Euler-Gleichungen sind rotationsinvariant. Darüber hinaus sind die Flussfunktionen homogen, es gilt also ${\vec {f}}_{l}({\vec {u}})={\frac {\partial {\vec {f}}_{l}({\vec {u}})}{\partial {\vec {u}}}}{\vec {u}}$.

Numerische Lösung

Da die Euler-Gleichungen Erhaltungsgleichungen darstellen, werden sie in der Regel mit Hilfe von Finite-Volumen-Verfahren gelöst. Umgekehrt waren die Bemühungen aus dem Bereich der Aerodynamik seit den 1950ern, die Euler-Gleichungen numerisch zu simulieren, treibende Kräfte bei der Entwicklung von Finite-Volumen-Verfahren. Da im Gegensatz zu den Navier-Stokes-Gleichungen keine Grenzschicht berücksichtigt werden muss, kann die Simulation auf vergleichsweise groben Rechengittern passieren. Die zentrale Schwierigkeit stellt die Behandlung des Euler-Flusses dar, der üblicherweise mit Hilfe von approximativen Riemann-Lösern behandelt wird. Diese liefern eine Näherung an die Lösung von Riemann-Problemen entlang von Zellkanten. Das Riemann-Problem der Euler-Gleichungen ist sogar exakt lösbar, allerdings ist die Berechnung dieser Lösung extrem aufwändig. Seit den 1980ern wurden deswegen zahlreiche approximative Löser entwickelt, angefangen mit dem Roe-Löser bis hin zur AUSM-Familie in den 1990ern.

Bei der Zeitintegration ist die CFL-Bedingung zu beachten. Gerade im Bereich von Machzahlen nahe null oder eins werden die Gleichungen aufgrund der unterschiedlich Eigenwertskalen sehr steif, was den Einsatz impliziter Zeitintegrationsverfahren notwendig macht: die CFL-Bedingung orientiert sich am größten Eigenwert ($v_{n}\pm c$), während die für die Simulation relevanten Teile der Strömung sich mit $v_{n}$ bewegen. Ein explizites Verfahren bräuchte damit in den meisten Fällen inakzeptabel viele Zeitschritte.

Die Lösung dabei auftretender nichtlinearer Gleichungssysteme erfolgt dann entweder mit Hilfe von vorkonditionierten Newton-Krylow-Verfahren oder mit speziellen nichtlinearen Mehrgitter-Verfahren.

Spezialfälle

Aus den Euler-Gleichungen können eine Reihe gasdynamischer Grundgleichungen abgeleitet werden. Dazu gehören die eingangs erwähnte Bernoulli’sche Energiegleichung und die Potentialströmung, denen eigene Artikel gewidmet sind. Im folgenden sollen die Wellengleichungen der linearen Akustik und ebene, dichtebeständige und stationäre Strömungen in einem rotationsfreien Schwerefeld vorgestellt werden.

Wellengleichungen der linearen Akustik

→ Hauptartikel: Wellengleichung

Gegeben sei ein ruhendes, im Gleichgewicht befindliches Gas, in dem also das Geschwindigkeitsfeld, die Dichte, der Druck und die Temperatur räumlich und zeitlich konstant sind. Dies bezeichne den Grundzustand des Gases. Betrachtet werden Größen $\varphi =\varphi _{0}+\varphi '$, deren konstantem Grundzustand $\varphi _{0}$ kleine Störungen $\varphi '$ überlagert werden, deren örtlichen Ableitungen ebenfalls klein seien. Die Störungen seien zudem so klein und schnell, dass die Wärmeflüsse ebenfalls vernachlässigt werden können („adiabatische Prozesse“). Dann lautet die Massenbilanz an der Stelle ${\vec {v}}_{0}={\vec {0}}$:

${\frac {\partial (\rho _{0}+\rho ')}{\partial t}}+\operatorname {div} [(\rho _{0}+\rho '){\vec {v}}']={\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\operatorname {div} (\rho _{0}{\vec {v}}')+\operatorname {div} (\rho '{\vec {v}}')\approx {\frac {\partial \rho '}{\partial t}}+\rho _{0}\operatorname {div} ({\vec {v}}')=0\,.$		(I)

Die Euler-Gleichung nimmt die Form

${\frac {\partial {\vec {v}}'}{\partial t}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}}')\cdot {\vec {v}}'+{\frac {1}{\rho _{0}+\rho '}}\operatorname {grad} (p_{0}+p')\approx {\frac {\partial {\vec {v}}'}{\partial t}}+{\frac {1}{\rho _{0}}}\operatorname {grad} (p')={\vec {k}}$		(II)

an, denn die quadratische konvektive Beschleunigung kann gegenüber der lokalen Beschleunigung vernachlässigt werden. Partielle Zeitableitung der Massenbilanz (I) und Subtraktion der mit $\rho _{0}$ multiplizierten Divergenz der Euler-Gleichung (II) liefert bei divergenzfreier Schwerebeschleunigung ($\operatorname {div} \,{\vec {k}}=0$):

${\begin{aligned}0&={\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}+\rho _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div} ({\vec {v}}')\\0&=\rho _{0}\operatorname {div} \left({\frac {\partial {\vec {v}}'}{\partial t}}\right)+\underbrace {\operatorname {div} (\operatorname {grad} (p'))} _{=\Delta p'}\\\Rightarrow \quad 0&={\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}+\underbrace {\rho _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {div} ({\vec {v}}')-\rho _{0}\operatorname {div} \left({\frac {\partial {\vec {v}}'}{\partial t}}\right)} _{=0}-\Delta p'={\frac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}-\Delta p'\,.\end{aligned}}$

In einem idealen Gas ist die Druckänderung unter den getroffenen Voraussetzungen proportional zur Änderung der Dichte, $p'=c^{2}\rho '$, und so entstehen die Wellengleichungen der linearen Akustik:

${\dfrac {\partial ^{2}\rho '}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta \rho '\quad ,\qquad {\dfrac {\partial ^{2}p'}{\partial t^{2}}}=c^{2}\Delta p'\,.$

Die Konstante $c$ ist die Schallgeschwindigkeit und $\Delta$ ist der Laplace-Operator.

Ebene, dichtebeständige und stationäre Strömung

Betrachtet wird eine in der x-y-Ebene stattfindende, dichtebeständige und stationäre Strömung in einem rotationsfreien Schwerefeld. Die Bedingung $\operatorname {div} {\vec {v}}=0$ für die Inkompressibilität lautet dann

${\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}=0$

und wird identisch erfüllt, wenn sich die Geschwindigkeitskomponenten aus den Ableitungen einer skalaren Funktion gemäß

$v_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}}\,,\quad v_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}$

berechnen. Die Funktion ψ wird Stromfunktion genannt. Die Rotation des Geschwindigkeitsfeldes hat im ebenen Fall nur eine Komponente senkrecht zur Ebene:

$\operatorname {rot} {\vec {v}}=\left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right){\hat {e}}_{z}=\left(-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\right){\hat {e}}_{z}=-\Delta \psi {\hat {e}}_{z}\,.$

Das Symbol „Δ“ bezeichnet den Laplace-Operator.

Bildung der Rotation in den Euler-Gleichungen liefert in einem rotationsfreien Schwerefeld mit der Grassmann-Entwicklung unter Ausnutzung der Produktregel und den Tatsachen, dass die Rotation eines Gradientenfeldes sowie die Divergenz eines Rotationsfeldes verschwinden und der Geschwindigkeitsgradient keine Komponente in z-Richtung besitzt, eine Gleichung für die Stromfunktion:

${\begin{array}{rcl}\operatorname {rot} \left(\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}+{\frac {1}{\rho }}\operatorname {grad} (p)\right)&=&\operatorname {rot(grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}})=\underbrace {\operatorname {rot} {\Bigl (}{\frac {1}{2}}\operatorname {grad} ({\vec {v}}\cdot {\vec {v}})} _{={\vec {0}}}-{\vec {v}}\times \operatorname {rot} ({\vec {v}}){\Bigr )}=-\operatorname {rot} ({\vec {v}}\times \operatorname {rot} ({\vec {v}}))\\&=&\underbrace {\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot \operatorname {rot} ({\vec {v}})} _{={\vec {0}}}-\underbrace {\operatorname {div} ({\vec {v}})} _{=0}\operatorname {rot} ({\vec {v}})+\underbrace {\operatorname {div} (\operatorname {rot} ({\vec {v}}))} _{=0}{\vec {v}}-\operatorname {grad} (\underbrace {\operatorname {rot} ({\vec {v}})} _{=-\Delta \psi {\hat {e}}_{z}})\cdot {\vec {v}}\\&=&\left[{\begin{pmatrix}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial x}}\\{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial y}}\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}\\-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\\0\end{pmatrix}}\right]{\hat {e}}_{z}=\operatorname {rot} ({\vec {k}})={\vec {0}}\\\rightarrow {\frac {\partial \Delta \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}-{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}&=&0\end{array}}$

Auf der linken Seite des Gleichheitszeichens steht die Poisson-Klammer der Stromfunktion ψ mit Δψ. Letztere Bedingung wird mit

$\Delta \psi =f(\psi )$

und einer beliebigen Funktion f immer erfüllt:

${\begin{array}{rcl}{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}-{\frac {\partial \Delta \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}&=&{\frac {\partial f(\psi )}{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}-{\frac {\partial f(\psi )}{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}={\frac {\partial f}{\partial \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}-{\frac {\partial f}{\partial \psi }}{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0\,.\end{array}}$

Drei Fälle sind bemerkenswert:

• f=0 liefert die Laplace-Gleichung die auf die Potentialströmungen führt.
• $f(\psi )=-c^{2}\psi$ liefert die Helmholtzsche Differentialgleichung, die von Wellenfunktionen der Form $\psi (x,y)=A\cos(c{\hat {e}}\cdot {\vec {x}})\,,\;|{\hat {e}}|=1$ mit beliebigem Faktor A und Einheitsvektor ${\hat {e}}$ gelöst wird. Eine Überlagerung von N solchen Wellen mit ${\hat {e}}=(\cos \alpha _{n},\sin \alpha _{n})$ und $\alpha _{n}=\pi (n-1)/N$ ergibt parallele Streifen, periodisch rechts und links drehende Wirbel oder bei N>3 kompliziertere Strukturen, die eine 2N-zählige Rotationssymmetrie aufweisen.
• Der Fall $f(\psi )=e^{-2\psi }$ mit der eulerschen Zahl e liefert die Stuart-Gleichung, die eine exakte Lösung $\psi (x,y)=\ln(c\cosh y+{\sqrt {c^{2}-1}}\cos x)$ mit $c\geq 1$ besitzt. Diese Stromfunktion stellt eine in x-Richtung verlaufende Wirbelstraße dar, deren Wirbeldichte von der Konstanten c bestimmt wird.

Siehe auch

• Strömung nach Bernoulli und Venturi
• Geschwindigkeitspotential
• Formelsammlung Tensoranalysis

Literatur

• Landau, L. D. und E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band VI Hydrodynamik, Akademie Verlag Berlin, 1991, ISBN 3-05-500070-6.
• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Springer, 2003, ISBN 3-540-00760-1. 
• M. Bestehorn: Hydrodynamik und Strukturbildung. Springer, 2006, ISBN 978-3-540-33796-6. 
• G. K. Batchelor: An introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2000, ISBN 0-521-66396-2 (Cambridge mathematical library).
• Alexandre Chorin, Jerrold Marsden: A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. 3rd Edition corrected, 3rd printing. Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 3-540-97918-2 (Texts in Applied Mathematics 4).
• Pierre-Louis Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 1: Incompressible Models. Clarendon Press, Oxford u. a. 1996, ISBN 0-19-851487-5 (Oxford lecture series in mathematics and its applications 3).
• Pierre-Louis Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 2: Compressible Models. Clarendon Press, Oxford u. a. 1998, ISBN 0-19-851488-3 (Oxford lecture series in mathematics and its applications 10).
• Edwige Godlewski, Pierra-Arnaud Raviart: Hyperbolic Systems of Conservation Laws. Ellipses, Paris 1991 (Mathématiques & applications 3/4, ISSN 1154-483X).

Kategorie:Strömungslehre Kategorie:Kontinuumsmechanik Kategorie:Partielle Differentialgleichungen