Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen [navˈjeː stəʊks] (nach Claude Louis Marie Henri Navier und George Gabriel Stokes) sind ein mathematisches Modell der Strömung von linear-viskosen newtonschen Flüssigkeiten und Gasen (Fluiden). Die Gleichungen sind eine Erweiterung der Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik um Viskosität beschreibende Terme.

Im engeren Sinne, insbesondere in der Physik, ist mit Navier-Stokes-Gleichungen die Impulsgleichung für Strömungen gemeint. Im weiteren Sinne, insbesondere in der numerischen Strömungsmechanik, wird diese Impulsgleichung um die Kontinuitätsgleichung und die Energiegleichung erweitert und bildet dann ein System von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Dieses ist das grundlegende mathematische Modell der Strömungsmechanik. Insbesondere bilden die Gleichungen Turbulenz und Grenzschichten ab. Eine Entdimensionalisierung der Navier-Stokes-Gleichungen liefert diverse dimensionslose Kennzahlen wie die Reynolds-Zahl oder die Prandtl-Zahl.

Die Navier-Stokes-Gleichungen bilden das Verhalten von Wasser, Luft und Ölen ab und werden daher in diskretisierter Form bei der Entwicklung von Fahrzeugen wie Autos und Flugzeugen angewendet. Dies geschieht in Näherungsform, da keine exakten analytischen Lösungen für diese komplizierten Anwendungsfälle bekannt sind. Die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der Gleichungen ist außerdem im allgemeinen Fall noch nicht erwiesen, was zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen, den Millennium-Problemen, gehört.

Geschichte

Isaac Newton veröffentlichte 1686 seine dreibändige Principia mit den Bewegungsgesetzen und definierte zudem im zweiten Buch die Viskosität einer linear viskosen (heute: newtonschen) Flüssigkeit. 1755 leitete Leonhard Euler aus den Bewegungsgesetzen die Euler-Gleichungen her, mit denen sich das Verhalten viskositätsfreier Fluide (Flüssigkeiten und Gase) berechnen lässt. Voraussetzung dafür war seine bis heute gültige Definition des Drucks in einem Fluid. Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717–1783) führte die eulersche Betrachtungsweise ein, leitete die lokale Massenbilanz her und formulierte das d’Alembertsche Paradoxon, gemäß dem von der Strömung viskositätsfreier Flüssigkeiten auf einen Körper keine Kraft in Richtung der Strömung ausgeübt wird (was Euler schon vorher bewiesen hatte). Wegen dieser und anderer Paradoxien viskositätsfreier Strömungen war klar, dass die Euler’schen Bewegungsgleichungen zu ergänzen sind.

Claude Louis Marie Henri Navier, Siméon Denis Poisson, Barré de Saint-Venant und George Gabriel Stokes formulierten unabhängig voneinander in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts den Impulssatz für newtonsche Fluide in differentieller Form. Navier (1827) und Poisson (1831) stellten die Impulsgleichungen nach Betrachtungen über die Wirkung von intermolekularen Kräften auf. 1843 veröffentlichte Barré de Saint-Venant eine Herleitung der Impulsgleichungen aus Newtons linearem Viskositätsansatz, zwei Jahre bevor Stokes dies (1845) tat. Es setzte sich allerdings der Name Navier-Stokes-Gleichungen für die Impulsgleichungen durch.

Einen wesentlichen Fortschritt im theoretischen und praktischen Verständnis viskoser Fluide lieferte Ludwig Prandtl 1904 mit seiner Grenzschichttheorie. Ab Mitte des 20. Jahrhunderts entwickelte sich die numerische Strömungsmechanik so weit, dass mit ihrer Hilfe für praktische Probleme Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen gefunden werden können, die – wie sich zeigt – gut mit den realen Strömungsvorgängen übereinstimmen.

Formulierung

Impulsgleichung

Die Navier-Stokes-Gleichung im engeren Sinne ist der Impulssatz als Anwendung der newtonschen Axiome auf ein Kontinuum. Eine verwendete Form für kompressible Fluide ist:

$\rho {\frac {D{\vec {v}}}{Dt}}=\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right)=-\nabla p+\mu \Delta {\vec {v}}+(\lambda +\mu )\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {f}}.$

Hier ist $\rho$ die Dichte, $p$ der (statische) Druck, ${\vec {v}}$ die Geschwindigkeit eines Teilchens in der Strömung, der Überpunkt genauso wie ${\tfrac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}$ unten die substantielle Zeitableitung, $\partial /\partial t$ die partielle Ableitung nach der Zeit bei festgehaltenem Ort des Fluidelements, „$\cdot$“ das (formale) Skalarprodukt mit dem Nabla-Operator $\nabla$ und $\Delta$ der Laplace-Operator. Links der Gleichheitszeichen steht die substantielle Beschleunigung der Fluidelemente und der mit dem Nabla-Operator gebildete Term stellt ihren konvektiven Anteil dar. Der Vektor ${\vec {f}}$ steht für eine Volumenkraftdichte wie beispielsweise die Gravitation oder die Corioliskraft, jeweils bezogen auf das Einheitsvolumen, und besitzt die SI-Einheit Newton/Kubikmeter. Bei den Parametern $\mu$ und $\lambda$ handelt es sich um die dynamische Viskosität ($\mu$) und die Volumenviskosität ($\lambda$). In der Literatur werden sie auch als Lamé-Viskositäts-Konstanten bezeichnet. Sie sind nicht zu verwechseln mit den Lamé-Konstanten im Rahmen der Kontinuumsmechanik.

Eine andere Schreibweise für die in der Literatur verwendete Form ist:

$\rho {\dot {\vec {v}}}=\rho \left({\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\right)=-\nabla p+\mu \Delta {\vec {v}}+\left(\zeta +{\frac {\mu }{3}}\right)\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {f}}.$

Darin ist $\zeta$ die Volumenviskosität. Mit der Kontinuitätsgleichung und Anwendung der Stokes’schen Hypothese $\zeta =0$ wird hieraus die Gleichung für die Impulsdichte ${\vec {m}}=\rho {\vec {v}}$:

${\frac {\partial {\vec {m}}}{\partial t}}+\nabla \cdot ({\vec {v}}\otimes {\vec {m}})=-\nabla p+\mu \Delta {\vec {v}}+{\frac {\mu }{3}}\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {f}}.$

Das Rechenzeichen $\otimes$ bildet das dyadische Produkt. Zur Vervollständigung der Gleichungen müssen noch die Massenbilanz oder Kontinuitätsgleichung (der Massenerhaltungssatz) und bei Gasen die Energiebilanz (der Energieerhaltungssatz) hinzugefügt werden. Je nach weiteren Annahmen, die an das Fluid gestellt werden, ergibt sich das vollständige System in unterschiedlicher Form. Die am häufigsten verwendete Form sind die Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Fluide, denn sie sind für Unterschallströmungen gut geeignet und ihre Berechnung ist einfacher als die kompressibler Fluide.

Impulsgleichung in Komponenten

Die Vektorform der Gleichungen gelten in jedem Koordinatensystem. Hier sollen die Komponentengleichungen der Impulsgleichung speziell für kartesische Koordinaten angegeben werden.

${\begin{aligned}&{\frac {\partial (\rho v_{x})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}^{2})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{y})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{z})}{\partial z}}=\dotsm \\&\qquad \dotsm =-{\frac {\partial p}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu \left(2{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}\right)\right]+f_{x}\\&{\frac {\partial (\rho v_{y})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{y})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}^{2})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{z})}{\partial z}}=\dotsm \\&\qquad \dotsm =-{\frac {\partial p}{\partial y}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\mu \left(2{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}\right)\right]+f_{y}\\&{\frac {\partial (\rho v_{z})}{\partial t}}+{\frac {\partial (\rho v_{x}v_{z})}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho v_{y}v_{z})}{\partial y}}+{\frac {\partial (\rho v_{z}^{2})}{\partial z}}=\dotsm \\&\qquad \dotsm =-{\frac {\partial p}{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\mu \left({\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial z}}\left[\mu \left(2{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}-{\frac {2}{3}}(\nabla \cdot {\vec {v}})\right)\right]+f_{z}\end{aligned}}$

Darin sind $v_{x,y,z}$ und $f_{x,y,z}$ die Vektorkomponenten in den räumlichen $x$-, $y$- und $z$-Richtungen. In dieser Form kann eine mögliche Ortsabhängigkeit der Scherviskosität infolge ihrer Temperaturabhängigkeit und Temperaturschwankungen im Fluid berücksichtigt werden.

Entdimensionalisierung

Die Navier-Stokes-Gleichungen können mit charakteristischen Maßen des gesamten Strömungsgebiets für die charakteristische Länge $L$, die durchschnittliche Geschwindigkeit $v_{\infty }$ und die durchschnittliche Dichte $\rho _{\infty }$ entdimensionalisiert werden. Damit entstehen die dimensionslosen Größen

${\begin{aligned}{\vec {x}}^{\ast }:={\frac {\vec {x}}{L}},\quad \nabla ^{\ast }:=L\nabla ,\quad \Delta ^{\ast }:=L^{2}\Delta ,\quad {\vec {v}}^{\ast }:={\frac {\vec {v}}{v_{\infty }}},\quad \\t^{\ast }:={\frac {v_{\infty }t}{L}},\quad \rho ^{\ast }:={\frac {\rho }{\rho _{\infty }}},\quad p^{\ast }:={\frac {p}{\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}}},\quad {\vec {f}}^{\ast }:={\frac {L{\vec {f}}}{\rho _{\infty }v_{\infty }^{2}}},\end{aligned}}$

die zu der dimensionslosen Impulsgleichung führen:

$\rho ^{\ast }\left({\frac {\partial {\vec {v}}^{\ast }}{\partial t^{\ast }}}+({\vec {v}}^{\ast }\cdot \nabla ^{\ast }){\vec {v}}^{\ast }\right)=-\nabla ^{\ast }p^{\ast }+{\frac {1}{\mathrm {Re} }}\Delta ^{\ast }{\vec {v}}^{\ast }+{\frac {1}{3\mathrm {Re} }}\nabla ^{\ast }(\nabla ^{\ast }\cdot {\vec {v}}^{\ast })+{\vec {f}}^{\ast }$

Darin charakterisiert die dimensionslose Reynolds-Zahl

$\mathrm {Re} ={\frac {L\rho _{\infty }v_{\infty }}{\mu }}$

die Strömung hinsichtlich des Verhältnisses von Trägheits- zu Scherkräften.

Bei Strömungen mit freier Oberfläche enthält die dimensionslose Kraftdichte ${\vec {f}}^{\ast }$ die Froude-Zahl, die das Verhältnis von Trägheits- zu Schwerekräften charakterisiert.

Herleitung der Impulsgleichung

Die Chapman-Enskog-Entwicklung der Boltzmann-Gleichungen der kinetischen Gastheorie führt auf die Navier-Stokes-Gleichungen mit verschwindender Volumenviskosität, also für $\zeta =0$. Diese Entwicklung basiert auf einer Verteilungsfunktion, die nur von der Geschwindigkeit der Teilchen abhängt, also deren Rotationsdrehimpuls vernachlässigt. Dies ist in einatomigen Gasen bei niedrigem bis mittlerem Druck eine probate Annahme, gilt jedoch nicht mehr für mehratomige Gase. Die Chapman-Enskog-Entwicklung ist mathematisch so anspruchsvoll, dass sie hier nicht vorgestellt werden kann.

Im phänomenologischen kontinuumsmechanischen Ansatz ergeben sich die Navier-Stokes-Gleichungen mit Volumenviskosität wie folgt aus der Newton’schen Annahme der linearen Viskosität. Die Viskosität begründet sich aus dem Experiment, nach dem zur Aufrechterhaltung einer Scherströmung eine Kraft erforderlich ist, die, bezogen auf ihre Wirkfläche, einer Schubspannung entspricht. Im Fluid wirkt daneben auch noch der Druck, der eine gleichförmige Normalspannung in allen Raumrichtungen darstellt. Der Cauchy’sche Spannungstensor ${\boldsymbol {\sigma }}$ fasst den Spannungszustand in einem Fluidelement zu einem mathematischen Objekt zusammen und seine Divergenz verkörpert gemäß

${\vec {F}}=\int _{A}{\vec {s}}\,\mathrm {d} A=\int _{V}\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}\,\mathrm {d} V$

den Kraftfluss im Fluid. Die Kraft ${\vec {F}}$, die mit flächenverteilten Kräften ${\vec {s}}$ auf der Oberfläche $A$ des Volumens $V$ wirkt, ist das Volumenintegral über die Divergenz des Spannungstensors. Diese trägt demnach zur substantiellen Beschleunigung

${\dot {\vec {v}}}:={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {v}}={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+{\vec {v}}\cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+(\nabla \otimes {\vec {v}})^{\top }\cdot {\vec {v}}={\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}+\operatorname {grad} ({\vec {v}})\cdot {\vec {v}}$

der Fluidelemente bei. Neben der Divergenz des Spannungstensors kann noch eine volumenverteilte Kraft ${\vec {f}}$ wie die Schwerkraft auf ein Fluidelement wirken, und so ergibt sich mit der Dichte $\rho$ das erste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz:

$\rho {\dot {\vec {v}}}=\operatorname {div} {\boldsymbol {\sigma }}+{\vec {f}}$

Ein newtonsches Fluid vermag Kräfte über den Druck im Fluid und über Spannungen zu übertragen, die von der räumlichen Änderung der Strömungsgeschwindigkeit abhängen und sich makroskopisch als Viskosität bemerkbar machen. Die räumliche Änderung der Strömungsgeschwindigkeit ist im Geschwindigkeitsgradient $\operatorname {grad} {\vec {v}}$ zusammengefasst. Allerdings treten keine Spannungen bei einer starren Rotation auf, die vom schiefsymmetrischen Anteil des Geschwindigkeitsgradienten bemessen wird, siehe Kinematik in der Strömungsmechanik. Demnach trägt nur der symmetrische Anteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{d}} des Geschwindigkeitsgradienten, der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{d}:=\frac{1}{2}[\nabla\otimes\vec{v}+(\nabla\otimes\vec{v})^\top] =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2\frac{\partial v_x}{\partial x} &\frac{\partial v_x}{\partial y}+\frac{\partial v_y}{\partial x} &\frac{\partial v_x}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial x}\\ & 2\frac{\partial v_y}{\partial y} &\frac{\partial v_y}{\partial z}+\frac{\partial v_z}{\partial y}\\ \text{sym.} & & 2\frac{\partial v_z}{\partial z} \end{pmatrix} }

zur Viskosität bei. In einem bezugssysteminvarianten Materialmodell der linearen Viskosität kann der Spannungstensor nur von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{d}} und seiner linearen Hauptinvariante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Sp}(\mathbf{d})} abhängen. Das Materialmodell der klassischen Materialtheorie für das linear viskose, isotrope Fluid lautet demgemäß:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{\sigma} =-p\mathbf{1}+\lambda\operatorname{Sp}(\mathbf{d})\mathbf{1}+2\mu\mathbf{d} =-p\mathbf{1}+\zeta\operatorname{Sp}(\mathbf{d})\mathbf{1}+2\mu\mathbf{d}^{\rm D} }

Darin bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} den (statischen) Druck, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{1}} den Einheitstensor, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Sp}} die Spur, das hochgestellte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rm D} den Deviator, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} die Scherviskosität, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} die erste Lamé-Konstante und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta=\lambda + 2\mu/3} die Volumenviskosität.

Einsetzen der Divergenz des Spannungstensors in das erste Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz liefert die Navier-Stokes-Gleichungen.

Beweis

Für das Cauchy-Euler’sche Bewegungsgesetz wird die Divergenz des Spannungstensors unter Ausnutzung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} 2\mathbf{d} =&\nabla\otimes\vec{v}+(\nabla\otimes\vec{v})^\top \\ \operatorname{Sp}\mathbf{d}=&\nabla\cdot\vec{v} \end{align}} und den Ableitungsregeln Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \nabla\cdot(f\mathbf{1})=&\nabla f \\ \nabla\cdot(\nabla\otimes\vec{f}) =&(\nabla\cdot\nabla)\vec{f} =\Delta\vec{f} \\ \nabla\cdot(\nabla\otimes\vec{f})^\top =&\nabla(\nabla\cdot\vec{f}) \end{align}} siehe Formelsammlung Tensoranalysis, bereitgestellt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} =& \nabla\cdot\left[-p\mathbf{1}+\lambda\operatorname{Sp}(\mathbf{d})\mathbf{1}+2\mu\mathbf{d}\right] \\=& -\nabla p +\lambda\nabla(\nabla\cdot\vec{v}) +\mu\nabla\cdot(\nabla\otimes\vec{v}) +\mu\nabla\cdot(\nabla\otimes\vec{v})^\top \\=& -\nabla p +\mu\Delta\vec{v} +(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\vec{v}) \end{align}} Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta} der Laplace-Operator. Die Viskositätsparameter sind temperaturabhängig und die Temperatur ist insbesondere in Gasen örtlich variabel, was bei der Divergenzbildung zu berücksichtigen wäre. Das wurde hier (wie üblich) vernachlässigt. So entstehen die Navier-Stokes-Gleichungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \rho\dot{\vec{v}}=&-\nabla p+\mu\Delta\vec{v}+(\lambda+\mu)\nabla(\nabla\cdot\vec{v})+\vec{f} \\ \rho\dot{\vec{v}}=&-\nabla p+\mu\Delta\vec{v}+\vec{f}, \end{align}} wobei die untere Gleichung Inkompressibilität (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla\cdot\vec{v}=0} ) voraussetzt. Für die Impulsdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m}=\rho\vec{v}} berechnet sich mit der Produktregel: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{\partial\vec{m}}{\partial t} =\frac{\partial(\rho\vec{v})}{\partial t} =&\frac{\partial\rho}{\partial t}\vec{v}+\rho\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} \\ \nabla\cdot(\vec{v}\otimes\vec{m} ) =& \nabla\cdot(\vec{m}\otimes\vec{v} ) = (\nabla\cdot\vec{m})\vec{v}+(\vec{m}\cdot\nabla)\vec{v} \\ \rightarrow \frac{\partial\vec{m}}{\partial t}+\nabla\cdot (\vec{v}\otimes\vec{m} ) =& \underline{\frac{\partial\rho}{\partial t}\vec{v}} +\rho\frac{\partial\vec{v}}{\partial t} +\underline{(\nabla\cdot\vec{m})\vec{v}} +\rho(\vec{v}\cdot\nabla)\cdot\vec{v} = \rho\dot{\vec{v}} \end{align}} Die unterstrichenen Terme entfallen wegen der Kontinuitätsgleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\vec{v})=0} und es entsteht die Gleichung für die Impulsdichte: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial\vec{m}}{\partial t}+\nabla\cdot (\vec{v}\otimes\vec{m} ) =-\nabla p+\mu\Delta\vec{v}+(\lambda+\mu)\nabla (\nabla\cdot\vec{v})+\vec{f} }

Der Druck, die Dichte und der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{d}} sind objektiv, siehe Euklidische Transformation, werden also von verschiedenen Beobachtern in gleicher Weise wahrgenommen. Deshalb sind die Navier-Stokes-Gleichungen invariant gegenüber einer Galilei-Transformation.

Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Fluide

Flüssigkeiten können in guter Näherung als inkompressibel betrachtet werden

Falls sich die Dichte entlang von Teilchenbahnen nicht ändert, heißt die Strömung inkompressibel. Dies ist beispielsweise eine sinnvolle Annahme für Wasser oder Gase weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit (Mach-Zahl < 0,3). Die Kontinuitätsgleichung vereinfacht sich zur Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla\cdot\vec{v}=0}

Die Impulsgleichung vereinfacht sich zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho\left(\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+\left(\vec{v}\cdot\nabla\right)\vec{v}\right) =-\nabla p+\mu\Delta\vec{v}+\vec{f} }

Hierbei steht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} für den physikalischen Druck, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{f}} ist eine Volumenkraft bezogen auf das Einheitsvolumen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} ist die dynamische Viskosität. Damit wird eine inkompressible Strömung vollständig durch ein partielles Differentialgleichungssystem mit zwei Gleichungen für die zwei Größen Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} und Druck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} in Abhängigkeit von Ort und Zeit beschrieben. Die Energieerhaltung wird nicht zum Schließen des Systems benötigt. Dieser Satz von Gleichungen wird auch als inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen mit variabler Dichte bezeichnet. Anwendungsbeispiele für diese Gleichung sind Probleme der Ozeanographie, wenn Wasser unterschiedlichen Salzgehalts zwar inkompressibel ist, aber keine konstante Dichte hat.

In vielen praktischen Problemen ist die Strömung nicht nur inkompressibel, sondern hat sogar konstante Dichte. Hier kann man durch die Dichte dividieren und sie in die Differentialoperatoren einbeziehen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} =-\nabla\overline{p}+\nu\Delta\vec{v}+\overline{\vec{f}} }

In dieser Gleichung steht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{p}=p /\rho} für den Quotienten aus physikalischem Druck und Dichte und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\vec{f}}=\vec{f} /\rho} ist eine Schwerebeschleunigung. Diese Größen stellen somit den Druck bzw. die Volumenkraft bezogen auf die Einheitsmasse dar. Die Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu=\mu /\rho} ist die kinematische Viskosität und bemisst den diffusiven Impulstransport.

Die zuletzt genannten Gleichungen werden in der Literatur auch als inkompressible Navier-Stokes-Gleichungen oder einfach nur als die Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet, weil sie die am besten untersuchten und in der Praxis am häufigsten benutzten sind. Zudem sind sie einfacher zu lösen als die Gleichungen für kompressible Fluide. Anwendbar sind die Gleichungen bei vielen wichtigen Strömungsproblemen, beispielsweise bei Luftströmungen weit unterhalb der Schallgeschwindigkeit (Mach-Zahl < 0,3), für Wasserströmungen sowie für flüssige Metalle. Sobald sich die Dichten der betrachteten Fluide jedoch stark ändern, wie zum Beispiel bei Überschallströmungen oder in der Meteorologie, stellen die Navier-Stokes-Gleichungen für inkompressible Fluide kein geeignetes Modell der Wirklichkeit mehr dar und müssen durch die vollständigen Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Fluide ersetzt werden.

Impulsgleichung bei Inkompressibilität in Komponenten

Die Vektorform der Gleichungen gelten in jedem Koordinatensystem. Hier sollen die Komponentengleichungen der Impulsgleichung bei Inkompressibilität in kartesischen, zylindrischen und sphärischen Koordinaten angegeben werden.

In einem kartesischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle xyz} -System schreibt sich die Impulsbilanz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \rho\frac{\mathrm{D}v_x}{\mathrm{D}t}=&-\frac{\partial p}{\partial x}+\mu\Delta v_x+f_x \\ \rho\frac{\mathrm{D}v_y}{\mathrm{D}t}=&-\frac{\partial p}{\partial y}+\mu\Delta v_y+f_y \\ \rho\frac{\mathrm{D}v_z}{\mathrm{D}t}=&-\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\Delta v_z+f_z \\ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}=&\frac{\partial}{\partial t} +v_x\frac{\partial}{\partial x}+v_y\frac{\partial}{\partial y}+v_z\frac{\partial}{\partial z} \end{align}}

Der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{D}{\mathrm{D}t}} steht für die Substantielle Ableitung.

In Zylinderkoordinaten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R, \varphi, z} ) lauten die Gleichungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}\rho\left(\frac{\mathrm{D}v_R}{\mathrm{D}t}-\frac{v_\varphi^2}{R}\right) =& -\frac{\partial p}{\partial R} +\mu\left(\Delta v_R-\frac{v_R}{R^2}-\frac{2}{R^2}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi}\right) +f_R \\ \rho\left(\frac{\mathrm{D}v_\varphi}{\mathrm{D}t}+\frac{v_Rv_\varphi}{R}\right) =&-\frac{1}{R}\frac{\partial p}{\partial\varphi} +\mu\left(\Delta v_\varphi-\frac{v_\varphi}{R^2}+\frac{2}{R^2}\frac{\partial v_R}{\partial\varphi}\right) +f_\varphi \\ \rho\frac{\mathrm{D}v_z}{\mathrm{D}t} =& -\frac{\partial p}{\partial z}+\mu\Delta v_z+f_z \\ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} =& \frac{\partial}{\partial t}+v_R\frac{\partial}{\partial R} +\frac1Rv_\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi} +v_z\frac{\partial}{\partial z} \end{align}}

In Kugelkoordinaten (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r, \varphi, \theta} ) lauten die Gleichungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \rho\left(\frac{\mathrm{D}v_r}{\mathrm{D}t}-\frac{v_\varphi^2+v_\theta^2}{r}\right) =& -\frac{\partial p}{\partial r} +\mu\left[ \Delta v_r -\frac{2}{r^2}\left( v_r +\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} +v_\theta\cot\theta +\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi} \right) \right] +f_r \\ \rho\left(\frac{\mathrm{D}v_\varphi}{\mathrm{D}t}+\frac{v_rv_\varphi+v_\varphi v_\theta\cot\theta}{r}\right) =& -\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial p}{\partial\varphi} +\mu\left[ \Delta v_\varphi +\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\left( -v_\varphi +2\frac{\partial v_r}{\partial\varphi} +2\frac{\partial v_\theta}{\partial\varphi}\cos\theta \right) \right] +f_\varphi \\ \rho\left(\frac{\mathrm{D}v_\theta}{\mathrm{D}t}+\frac{v_rv_\theta-v_\varphi^2\cot\theta}{r}\right) =& -\frac1r\frac{\partial p}{\partial\theta} +\mu\left[ \Delta v_\theta +\frac{2}{r^2}\left( \frac{\partial v_r}{\partial\theta} -\frac{v_\theta}{\sin^2\theta} -\frac{\cos\theta}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial v_\varphi}{\partial\varphi} \right) \right] +f_\theta \\ \frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t} =& \frac{\partial}{\partial t} +v_r\frac{\partial}{\partial r} +\frac{v_\varphi}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\varphi} +\frac{v_\theta}{r}\frac{\partial}{\partial\theta} \end{align}}

Navier-Stokes-Gleichungen für kompressible Fluide

Für kompressible Gase werden die obigen Impulsgleichungen um die Energiebilanz und die Zustandsgleichung eines idealen Gases erweitert. Der komplette Satz an Gleichungen besteht also aus der Kontinuitätsgleichung (Massenerhaltung), Impulsbilanz (Impulserhaltung), Energiebilanz (Energieerhaltung) und einer Zustandsgleichung. Die in Klammern angegebenen Gesetze gelten in abgeschlossenen Systemen, aber an einem Fluidteilchen sind die ein- und ausgehenden Flüsse zu bilanzieren, was auf Bilanzgleichungen führt, die unter Strömungsmechanik nachzuschlagen sind. Unter der Annahme, dass die Dichte entlang der Teilchenbahnen konstant ist, entstehen wieder die Gleichungen für inkompressible Fluide.

Im Folgenden bedeutet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t} die Ableitung einer Größe nach der Zeit und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla} ist der Nabla-Operator, der die Ableitung nach dem Ort bildet, also je nach Verknüpfung die Divergenz oder den Gradient, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i~(i=1,2,3)} sind die drei Ortskoordinaten in einem kartesischen Koordinatensystem. Die angegebenen Bilanzgleichungen führen in abgeschlossenen Systemen zu Erhaltungsgleichungen.

Massenerhaltung

Die Kontinuitätsgleichung entspricht der Massenerhaltung und wird hier mit der Impulsdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{m}=\rho\vec{v}} formuliert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac {\partial\rho}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{m}=0}

Impulserhaltung

Die Impulsbilanz entspricht der Impulserhaltung und lautet in Indexschreibweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho\dot{v}_i :=\partial_t m_i+\sum_{j=1}^3\partial_{x_j} m_i v_j =-\partial_{x_i}p+\sum_{j=1}^3\partial_{x_j} S_{ij}+f_i\qquad (i=1,2,3),}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta_{ij}} das Kronecker-Delta und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S_{ij}=\mu(\partial_{x_j} v_i+\partial_{x_i} v_j) +\lambda\delta_{ij}\sum_{k=1}^3\partial_{x_k} v_k\qquad (i,j=1,2,3)}

der Reibtensor oder viskose Spannungstensor sind. Der Materialparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} ist die dynamische Viskosität, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} die erste Lamé-Konstante und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_i} ist die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -te Komponente des Volumenkraftvektors. In der alternativen koordinatenfreien Schreibweise lautet die Impulsbilanz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho\dot{\vec v} =\frac{\partial\vec{m}}{\partial t} +\nabla\cdot (\vec{v}\otimes\vec{m}) =\nabla\cdot\left(-p\mathbf{1}+\mathbf{S}\right) +\vec{f}, }

wobei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S} =\mu\left[(\nabla\otimes\vec{v})^\top+\nabla\otimes\vec{v}\right]+\lambda(\nabla\cdot\vec{v})\mathbf{1} =2\mu\mathbf{d}+\lambda\operatorname{Sp}(\mathbf{d})\mathbf{1} }

der viskose Spannungstensor, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{d}} der Verzerrungsgeschwindigkeitstensor, der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\nabla\otimes\vec{v})^\top} ist und die Spur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Sp}(\mathbf{d})=\nabla\cdot\vec{v}} besitzt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -p\mathbf{1}+\mathbf{S}=\boldsymbol{\sigma}} der Spannungstensor, 1 der Einheitstensor und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \otimes} das dyadische Produkt ist, siehe #Herleitung der Impulsgleichung oben.

Energieerhaltung

Die Energiebilanz am Fluidteilchen im Schwerefeld der Erde lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_t\rho E+\nabla\cdot (H\vec{m}) =\nabla\cdot(\mathbf{S}\cdot\vec{v}-\vec{W})+q-\rho\vec{v}\cdot\vec{g},}

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec g} die Schwerebeschleunigung und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H=E+\frac{p}{\rho}}

die Enthalpie pro Einheitsmasse ist. Das negative Vorzeichen vor der Schwerebeschleunigung resultiert aus dem abwärts gerichteten Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec g} , sodass in einer aufwärts führenden Strömung potentielle Energie hinzu gewonnen wird. Der Wärmefluss Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec W} kann mittels des Wärmeleitkoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{W}=-\kappa\nabla T}

geschrieben werden. Mit dem Quellterm Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle q} kann beispielsweise die Absorption und Emission von Wärme aus Treibhausgasen infolge von Einstrahlung beschrieben werden. Die totale Energie pro Einheitsmasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} ist die Summe von innerer (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} ), kinetischer und potentieller Energie, sie lässt sich (mit der Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} ) also schreiben als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E=e+\frac{1}{2} |\vec{v}|^2+h |\vec{g}|.}

Zustandsgleichung

Nun liegen also vier Gleichungen für fünf Variablen vor und das System wird durch die folgende Zustandsgleichung abgeschlossen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=(\gamma-1)\rho\left(E-\frac{1}{2} |{\textbf v}|^2-h |\vec{g}|\right)}

Die thermodynamischen Größen Dichte, Druck und Temperatur sind durch das ideale Gasgesetz verbunden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T=\frac{p}{\rho R}\qquad\text{und}\qquad e=\int_{T_0}^\top c_v(\tau)\,\mathrm d\tau}

Oft geht man zusätzlich von einem perfekten Gas mit konstanter spezifischer Wärmekapazität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_v} aus. Dann vereinfacht sich das Integral und es gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e=c_v T=\frac{R T}{\gamma-1}=\frac{p}{\rho\cdot (\gamma-1)}}

In beiden Fällen hängen der Isentropenexponent Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} und die Gaskonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} durch den spezifischen Wärmekoeffizienten für konstanten Druck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_p} respektive konstantes Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_v} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma=\frac{c_p}{c_v}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R=c_p-c_v} zusammen.

Randbedingungen

Ein wesentlicher Punkt bei den Navier-Stokes-Gleichungen ist die experimentell sehr gut nachgewiesene Haftbedingung (No-Slip-Bedingung), bei der an einer Wand sowohl in Normalenrichtung als auch insbesondere in tangentialer Richtung als Relativgeschwindigkeit Null vorgeschrieben werden. Die Fluidteilchen kleben also an der Wand. Dies führt zur Bildung einer Grenzschicht, die für wesentliche, nur durch die Navier-Stokes-Gleichungen modellierte Phänomene verantwortlich ist. Nur wenn die freie Weglänge bewegter Moleküle groß ist zur charakteristischen Länge der Geometrie (z. B. für Gase mit extrem niedrigen Dichten oder Strömungen in extrem engen Spalten) ist diese Bedingung nicht mehr sinnvoll.

Durch dynamische (also Kraft-) Randbedingungen auf einer Fläche wird die Fläche im Allgemeinen deformiert und die Strömung folgt ihr. Zum Problem gehört dann die Bestimmung der Fläche dazu. Sie ergibt sich aus der Vorgabe des Flächenkraft- oder Spannungsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{s}_0} für alle Punkte auf der Fläche und der Tatsache, dass die Fläche eine materielle Fläche ist, denn Flächenkräfte können nur auf Fluidteilchen aufgebracht werden. Auf der Fläche gilt also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{s}_0=\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat n} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat n} der Normaleneinheitsvektor der Fläche ist und sich der Spannungstensor aus der Materialgleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{1}+\lambda\operatorname{Sp}(\mathbf{d})\mathbf{1}+2\mu\mathbf{d}} berechnet. Zumeist, vor allem im technischen Bereich wie z. B. am Auslass eines durchströmten Rohres, ist die Fläche bekannt, was die Aufgabenstellung erheblich vereinfacht.

Bei entsprechend kleinskaligen Strömungen ist die Oberflächenspannung zu berücksichtigen, die nach der Young-Laplace-Gleichung von der Krümmung der Oberfläche abhängt. Bei schwacher Krümmung entsteht für den Druck an der Oberfläche die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(x,y,z=h)=p_0-\gamma\left(\frac{\partial^2 h(x,y)}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 h(x,y)}{\partial y^2}\right). }

Hier ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_0} der vorgegebene Druck auf der Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} , die hier die Flächenparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} besitzt, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} ist ein Parameter, der die Stärke der Oberflächenspannung skaliert.

Zusätzlich muss gegebenenfalls am Rand noch entweder eine Temperatur oder ein Wärmefluss vorgeschrieben werden.

Lösungsansätze

Theoretische Lösung

Es ist bis heute nicht gelungen, die Existenz globaler Lösungen nachzuweisen. Mathematiker wie P.-L. Lions (siehe Literaturliste) betrachten im Wesentlichen den wichtigen Spezialfall der inkompressiblen Navier-Stokes-Gleichungen. Während hier für den zweidimensionalen Fall unter anderem von Olga Alexandrowna Ladyschenskaja, Roger Temam und Ciprian Foias bereits weitreichende Existenz-, Eindeutigkeits- und Regularitätsaussagen bewiesen werden konnten, gibt es bislang keine Resultate für den allgemeinen dreidimensionalen Fall, da hier einige fundamentale Einbettungssätze für sogenannte Sobolevräume nicht mehr eingesetzt werden können. Allerdings gibt es für endliche Zeiten oder spezielle, insbesondere kleine, Anfangsdaten auch im dreidimensionalen Fall – vor allem für schwache Lösungen – Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen. Den Fall schwacher Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen auch in drei Dimensionen behandelte Jean Leray 1934. Er zeigte, dass die von ihm eingeführten schwachen Lösungen kein pathologisches Verhalten in zwei Dimensionen zeigen (keine Divergenz (blow up) in endlicher Zeit) und somit global in der Zeit existieren. Allerdings zeigten Untersuchungen von Tristan Buckmaster und Vlad Vicol, dass bei einer anderen Art schwacher Lösungen (schwächer als die Definition von Leray) die Navier-Stokes-Gleichungen in drei Dimensionen pathologisches Verhalten (Mehrdeutigkeit) zeigen.

Das Problem des allgemeinen, inkompressiblen Existenzbeweises in drei Dimensionen gehört laut dem Clay Mathematics Institute zu den wichtigsten ungelösten mathematischen Problemen zur Zeit der Jahrtausendwende.

In der Praxis gewinnt man analytische Lösungen, indem man die physikalischen Modelle/Randbedingungen vereinfacht (Spezialfälle). Besondere Schwierigkeit bereitet hier die Nichtlinearität der konvektiven Beschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}} . Nützlich ist hierbei die Darstellung mit Hilfe der Vortizität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{\omega}=\nabla\times\vec{v}=\operatorname{rot}\;\vec{v}} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=\frac{1}{2}\nabla (\|\vec{v}\|)^2-\vec{v}\times\vec{\omega}}

Geschlossene analytische Lösungen existieren fast nur für Fälle, in denen der zweite Term verschwindet. Dies ist bei der Annahme, dass bei 3-dimensionalen Strömungen die Wirbel sich immer entlang der Stromlinie ausbilden (nach dem Helmholtz-Wirbelsatz), also für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{\omega}\|\vec{v}} der Fall. Diese Annahme trifft aber nicht bei allen realen Strömungen zu. Eine analytische Lösung mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{\omega}\bot\vec{v}} liegt im Hamel-Oseenschen-Wirbel vor.

Die Navier-Stokes-Gleichungen sind ein wichtiges Anwendungsfeld der numerischen Mathematik (die Theorie beschäftigt sich mit Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen; in aller Regel gibt es jedoch keine geschlossenen Lösungsformeln). Der Teilbereich, der sich mit der Konstruktion numerischer Näherungsverfahren für die Navier-Stokes-Gleichungen beschäftigt, ist die numerische Strömungsmechanik oder Computational Fluid Dynamics (CFD).

Numerische Lösung

Visualisierung der numerischen Berechnung der Windströmung um ein Haus

Bei der numerischen Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen kommen Verfahren der numerischen Strömungsmechanik zum Einsatz. Als Diskretisierungen werden Finite-Differenzen-, Finite-Elemente- und Finite-Volumen-Verfahren sowie für spezielle Aufgabenstellungen auch Spektralmethoden und weitere Techniken verwendet. Die Gitter müssen, um die Grenzschicht korrekt auflösen zu können, in Normalenrichtung nahe der Wand extrem fein aufgelöst sein. In Tangentialrichtung wird darauf verzichtet, sodass die Zellen an der Wand extrem große Seitenverhältnisse haben.

Die feine Auflösung erzwingt wegen der Einhaltung der CFL-Bedingung bei expliziter Zeitintegration extrem kleine Zeitschritte. Deswegen werden in der Regel implizite Verfahren eingesetzt. Wegen der Nichtlinearität des Gleichungssystems muss das System iterativ (z. B. mit Mehrgitter- oder Newton-Verfahren) gelöst werden. Die Kombination aus Impuls- und Kontinuitätsgleichung bei den inkompressiblen Gleichungen weist eine Sattelpunktstruktur auf, die hierbei ausgenutzt werden kann.

Ein einfaches Modell zur Simulation von Flüssigkeiten, das im hydrodynamischen Limit die Navier-Stokes-Gleichung erfüllt, ist das FHP-Modell. Dessen Weiterentwicklung führt auf die Lattice-Boltzmann-Methoden, die besonders im Kontext der Parallelisierung zur Ausführung auf Supercomputern attraktiv sind.

Im Bereich der Computergrafik wurden mehrere numerische Lösungsverfahren verwendet, bei denen durch bestimmte Annahmen eine Echtzeit-Darstellung erreicht werden kann, wobei jedoch teilweise die physikalische Korrektheit nicht immer gewahrt ist. Ein Beispiel hierfür ist das von Jos Stam entwickelte „Stable-Fluids“-Verfahren. Hierbei wurde die Chorin’sche Projektionsmethode für den Bereich der Computergrafik verwendet.

Berechnung turbulenter Strömungen

Visualisierung der Large-Eddy-Simulation einer Kármánschen Wirbelstraße

Um turbulente Strömungen zu berechnen, können die Navier-Stokes-Gleichungen direkt numerisch berechnet werden. Jedoch erzwingt die Auflösung der einzelnen Turbulenzen ein sehr feines Gitter, sodass dies nur in der Forschung unter Zuhilfenahme von Supercomputern und bei kleinen Reynolds-Zahlen wirtschaftlich ist.

In der Praxis hat sich die Lösung der Reynolds-Gleichungen durchgesetzt. Hier ist jedoch ein Turbulenzmodell nötig, um das Gleichungssystem zu schließen.

Als Mittelweg gilt die Large Eddy Simulation, die zumindest die großen Wirbel direkt numerisch berechnet und erst die kleinen Skalen über ein Turbulenzmodell simuliert.

Eine viel untersuchte Konvektion, die sich mit der Navier-Stokes-Gleichung beschreiben lässt, ist die Rayleigh-Bénard-Konvektion. Sie ist ein wichtiges Beispiel für selbstorganisierende Strukturen und die Chaostheorie.

Vereinfachungen

Auf Grund der schwierigen Lösbarkeitseigenschaften der Navier-Stokes-Gleichungen wird man in den Anwendungen (soweit dies physikalisch sinnvoll ist) versuchen, vereinfachte Versionen der Navier-Stokes-Gleichungen zu betrachten.

Euler-Gleichungen

→ Hauptartikel: Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)

Wird die Viskosität vernachlässigt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \eta = \lambda= 0} ), so erhält man die Euler-Gleichungen (hier für den kompressiblen Fall)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho{\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}}+\rho(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}=-\nabla p+\vec{f}.}

Die Euler-Gleichungen für kompressible Fluide spielen insbesondere in der Aerodynamik eine Rolle als Approximation der vollen Navier-Stokes-Gleichungen.

Stokes-Gleichung

Eine andere Art von Vereinfachungen ist zum Beispiel in der Geodynamik üblich, wo der Mantel der Erde (oder anderer terrestrischer Planeten) als eine extrem zähe Flüssigkeit behandelt wird (schleichende Strömung). In dieser Näherung ist die Diffusivität des Impulses, d. h. die kinematische Viskosität, viele Größenordnungen höher als die thermische Diffusivität, und der Trägheitsterm kann vernachlässigt werden. Führt man diese Vereinfachung in die stationäre Navier-Stokes-Impulsgleichung ein, erhält man die Stokes-Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\nabla p+\mu\cdot\Delta\vec{v}+\vec{f}=0}

Wendet man die Helmholtz-Projektion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} auf die Gleichung an, verschwindet der Druck in der Gleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu\cdot P\Delta\vec{v}+\tilde{\vec{f}}=0}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{\vec{f}}=P\vec{f}} . Dies hat den Vorteil, dass die Gleichung nur noch von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} abhängt. Die ursprüngliche Gleichung erhält man mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla p=(\operatorname{Id}-P)(\Delta\vec{v}+f),}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P\Delta} wird auch Stokes-Operator genannt.

Andererseits haben Geomaterialien eine komplizierte Rheologie, die dazu führt, dass die Viskosität nicht als konstant angesehen wird. Für den inkompressiblen Fall ergibt dies:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\nabla p+\nabla\cdot\{\mu[\nabla\vec{v}+(\nabla\vec{v})^\mathrm{T}]\}+\vec{f}=0}

Boussinesq-Approximation

→ Hauptartikel: Boussinesq-Approximation

Für gravitationsabhängige Strömungen mit kleinen Dichtevariationen und nicht zu großen Temperaturschwankungen wird häufig die Boussinesq-Approximation verwendet.

Stochastische Navier-Stokes-Gleichungen

Da es bis heute keinen Existenzbeweis für Lösungen der allgemeinen Navier-Stokes-Gleichungen gibt, ist auch nicht gesichert, dass sie Turbulenz von Fluiden wiedergeben und wenn ja, wie realistisch. Des Weiteren können zufällige äußere Störungen die Strömung beeinflussen (Schmetterlingseffekt) und es ist bekannt, dass Fluidelemente eine zufällige brownsche Bewegung ausführen. Solche zufälligen Fluktuationen können mit einem stochastischen Ansatz erfasst werden. Es wird eine stochastische Differentialgleichung in differentieller Schreibweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{d}\vec{v}_t =[-\nabla p_t+\mu\Delta\vec{v}_t-(\vec{v}_t\cdot\nabla)\vec{v}_t+\vec{f}_t]\mathrm{d}t +b(\vec{v}_t,\operatorname{grad}\vec{v}_t)\mathrm{d}W_t }

betrachtet. Der Term in der eckigen Klammer repräsentiert die Navier-Stokes-Gleichungen bei Inkompressibilität und der folgende Term einen stochastischen Einfluss wie die brownsche Bewegung. Dieser Ansatz ist zur Jahrtausendwende Gegenstand reger Forschungsaktivität.

Literatur

• H. Oertel (Hrsg.): Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene. 13. Auflage. Springer Vieweg, 2012, ISBN 978-3-8348-1918-5. 
• G. K. Batchelor: An introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2000, ISBN 0-521-66396-2 (Cambridge mathematical library).
• Alexandre Chorin, Jerrold Marsden: A Mathematical Introduction to Fluid Mechanics. 3rd Edition corrected, 3rd printing. Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 3-540-97918-2 (Texts in Applied Mathematics 4).
• Robert Kerr, Marcel Oliver: Regulär oder nicht regulär? – Strömungssingularitäten auf der Spur. In: Dierk Schleicher, Malte Lackmann: Eine Einladung in die Mathematik: Einblicke in aktuelle Forschung. Springer Spektrum Verlag, 2013. ISBN 978-3-642-25797-1.
• L. D. Landau, E. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik, Band VI: Hydrodynamik. Akademie Verlag, Berlin 1991, ISBN 3-05-500070-6.
• Pierre-Louis Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 1: Incompressible Models. Clarendon Press, Oxford u. a. 1996, ISBN 0-19-851487-5 (Oxford lecture series in mathematics and its applications 3).
• Pierre-Louis Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Volume 2: Compressible Models. Clarendon Press, Oxford u. a. 1998, ISBN 0-19-851488-3 (Oxford lecture series in mathematics and its applications 10).
• Thomas Sonar: Turbulenzen um die Fluidmechanik. Spektrum der Wissenschaft Dossier 6/2009: „Die größten Rätsel der Mathematik“, ISBN 978-3-941205-34-5, S. 64–73.
• Karl Wieghardt: Theoretische Strömungslehre. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart 1974, ISBN 3-519-12034-8 Leitfäden der angewandten Mathematik und Mechanik. Teubner-Studienbücher; (Nachdruck: Universitäts-Verlag Göttingen, Göttingen 2005, ISBN 3-938616-33-4 (Göttinger Klassiker der Strömungsmechanik 2)).
• Lars Davidson: Fluid mechanics, turbulent flow and turbulence modeling. (PDF; 5,3 MB) Vorlesungsskript, Chalmers University of Technology, Göteborg, Schweden.

Weblinks

• Beschreibung des Millennium-Problems Navier-Stokes-Gleichungen (PDF; 199 kB).
• Navier-Stokes First Exact Transformation. (PDF; 185 kB).
• Video: Navier-Stokes Gleichung. Institut für den Wissenschaftlichen Film (IWF) 2007, zur Verfügung gestellt von der Technischen Informationsbibliothek (TIB), doi:10.3203/IWF/C-13096.