Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion in Abhängigkeit von
σ
{\displaystyle \sigma }
In der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik wird mit Rayleigh-Verteilung (nach John William Strutt, 3. Baron Rayleigh ) oder Betragsverteilung 2. Art eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung bezeichnet.
Wenn die Komponenten eines zweidimensionalen Zufallsvektors normalverteilt und stochastisch unabhängig sind, dann ist der Betrag Rayleigh-verteilt. Dies tritt zum Beispiel in einem funktechnisch genutzten Übertragungskanal bei Mobilfunksystemen auf, wenn zwischen dem Sender, wie einer Basisstation, und dem Empfänger, beispielsweise einem Mobiltelefon, kein direkter Sichtkontakt besteht. Der durch die Mehrwegeausbreitung über verschiedene, zufällige Reflexion und Streuungen, beispielsweise an Gebäudewänden und anderen Hindernissen, beeinträchtigte Übertragungskanal lässt sich dann mit Hilfe der Rayleigh-Verteilung als sogenannter Rayleigh-Kanal modellieren.
Die Verteilung von 10-Minutenmittelwerten der Windgeschwindigkeit werden ebenfalls des Öfteren durch eine Rayleigh-Verteilung beschrieben, wenn nicht eine zweiparametrige Weibull-Verteilung gewählt werden soll.
Definition Eine stetige Zufallsvariable
X
{\displaystyle X}
Rayleigh-verteilt mit Parameter
σ
>
0
{\displaystyle \sigma >0}
Wahrscheinlichkeitsdichte
f
(
x
|
σ
)
=
{
x
σ
2
e
−
x
2
2
σ
2
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle f(x|\sigma )={\begin{cases}\displaystyle {\frac {x}{\sigma ^{2}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
besitzt. Daraus ergibt sich die Verteilungsfunktion
F
(
x
)
=
{
1
−
e
−
x
2
2
σ
2
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle F(x)={\begin{cases}\displaystyle 1-e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
Eigenschaften Momente Die Momente beliebiger Ordnung können über folgende Formel errechnet werden:
μ
k
=
σ
k
2
k
/
2
Γ
(
1
+
k
/
2
)
{\displaystyle \mu _{k}=\sigma ^{k}2^{k/2}\,\Gamma (1+k/2)\,}
wobei
Γ
(
⋅
)
{\displaystyle \Gamma (\cdot )}
Gammafunktion darstellt.
Erwartungswert Der Erwartungswert ergibt sich zu
E
(
X
)
=
σ
π
2
{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sigma {\sqrt {\frac {\pi }{2}}}}
Varianz Die Varianz der Verteilung ist
Var
(
X
)
=
4
−
π
2
σ
2
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {4-\pi }{2}}\sigma ^{2}}
Somit ist das Verhältnis zwischen Erwartungswert und Standardabweichung bei dieser Verteilung konstant:
E
(
X
)
Var
(
X
)
=
π
2
2
4
−
π
=
π
4
−
π
≈
1
,
91
{\displaystyle {\frac {\operatorname {E} (X)}{\sqrt {\operatorname {Var} (X)}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}{\sqrt {\frac {2}{4-\pi }}}={\sqrt {\frac {\pi }{4-\pi }}}\approx 1{,}91}
Schiefe Für die Schiefe erhält man
v
(
X
)
=
2
π
(
π
−
3
)
(
4
−
π
)
3
/
2
≈
0,631
1
{\displaystyle \operatorname {v} (X)={\frac {2{\sqrt {\pi }}(\pi -3)}{(4-\pi )^{3/2}}}\approx 0{,}6311}
Wölbung (Kurtosis) Die Wölbung ergibt sich zu
β
2
(
X
)
=
−
6
π
2
−
24
π
+
16
(
4
−
π
)
2
≈
0,245
1
{\displaystyle \beta _{2}(X)=-{\frac {6\pi ^{2}-24\pi +16}{(4-\pi )^{2}}}\approx 0{,}2451}
Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion ist
φ
(
t
)
=
1
−
σ
t
e
−
σ
2
t
2
/
2
π
2
(
erf
(
σ
t
2
)
−
i
)
{\displaystyle \varphi (t)=1-\sigma te^{-\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\!\left(\operatorname {erf} \!\left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)-i\right)}
wobei
erf
(
⋅
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (\cdot )}
Fehlerfunktion ist.
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion ist gegeben durch
M
(
t
)
=
1
+
σ
t
e
σ
2
t
2
/
2
π
2
(
erf
(
σ
t
2
)
+
1
)
{\displaystyle M(t)=1+\sigma te^{\sigma ^{2}t^{2}/2}{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left(\operatorname {erf} \left({\frac {\sigma t}{\sqrt {2}}}\right)+1\right)}
wobei
erf
(
⋅
)
{\displaystyle \operatorname {erf} (\cdot )}
Entropie Die Entropie , ausgedrückt in nats , ergibt sich zu
1
+
ln
(
σ
2
)
+
γ
2
{\displaystyle 1+\ln \left({\frac {\sigma }{\sqrt {2}}}\right)+{\frac {\gamma }{2}}}
wobei
γ
{\displaystyle \gamma }
Euler-Mascheroni-Konstante bezeichnet.
Modus Das Maximum erreicht die Rayleigh-Verteilung für
x
=
σ
{\displaystyle x=\sigma }
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
0
=
d
f
d
x
(
x
)
=
e
−
x
2
2
σ
2
σ
2
−
x
2
e
−
x
2
2
σ
2
σ
4
⟺
x
=
σ
{\displaystyle 0={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}}\left(x\right)={\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma ^{2}}}-x^{2}{\frac {e^{-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}{\sigma ^{4}}}\quad \Longleftrightarrow \quad x=\sigma }
Damit ist
σ
{\displaystyle \sigma }
Modus der Rayleigh-Verteilung.
Im Maximum hat
f
{\displaystyle f}
f
(
σ
)
=
1
σ
e
−
1
2
{\displaystyle f\left(\sigma \right)={\frac {1}{\sigma }}e^{-{\frac {1}{2}}}}
Parameterschätzung Die Maximum-Likelihood-Schätzung von
σ
{\displaystyle \sigma }
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}
σ
≈
1
2
n
∑
i
=
1
n
x
i
2
{\displaystyle \sigma \approx {\sqrt {{\frac {1}{2n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}}}}
Beziehungen zu anderen Verteilungen Die Chi-Verteilung , Weibull-Verteilung und Rice-Verteilung sind Verallgemeinerungen der Rayleigh-Verteilung.
Beziehung zur Chi-Quadrat-Verteilung Wenn
R
∼
R
a
y
l
e
i
g
h
(
1
)
{\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (1)}
R
2
{\displaystyle R^{2}}
Chi-Quadrat-verteilt mit zwei Freiheitsgraden :
R
2
∼
χ
2
2
{\displaystyle R^{2}\sim \chi _{2}^{2}}
Beziehung zur Weibull-Verteilung
R
a
y
l
e
i
g
h
(
σ
2
)
=
W
e
i
(
1
2
σ
2
,
2
)
{\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma ^{2})=\mathrm {Wei} \left({\frac {1}{2\sigma ^{2}}},2\right)}
Beziehung zur Rice-Verteilung
R
a
y
l
e
i
g
h
(
σ
)
=
R
i
c
e
(
0
,
σ
)
{\displaystyle \mathrm {Rayleigh} (\sigma )=\mathrm {Rice} (0,\sigma )}
Beziehung zur Exponentialverteilung Wenn
X
{\displaystyle X}
exponentialverteilt mit
X
∼
E
x
p
(
λ
)
{\displaystyle \!\,X\sim \mathrm {Exp} (\lambda )}
Y
=
X
∼
R
a
y
l
e
i
g
h
(
1
2
λ
)
{\displaystyle Y={\sqrt {X}}\sim \mathrm {Rayleigh} \left({\frac {1}{\sqrt {2\lambda }}}\right)}
Beziehung zur Gammaverteilung Wenn
R
∼
R
a
y
l
e
i
g
h
(
σ
)
{\displaystyle R\sim \mathrm {Rayleigh} (\sigma )}
∑
i
=
1
N
R
i
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}}
gammaverteilt mit den Parametern
N
{\displaystyle N}
2
σ
2
{\displaystyle 2\sigma ^{2}}
Y
=
∑
i
=
1
N
R
i
2
∼
Γ
(
N
,
2
σ
2
)
{\displaystyle Y=\sum _{i=1}^{N}R_{i}^{2}\sim \Gamma (N,2\sigma ^{2})}
Beziehung zur Normalverteilung
X
2
+
Y
2
{\displaystyle {\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}
X
∼
N
(
0
,
σ
2
)
{\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}
Y
∼
N
(
0
,
σ
2
)
{\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}
stochastisch unabhängige normalverteilte Zufallsgrößen sind.
Literatur
Diskrete univariate Verteilungen
Kontinuierliche univariate Verteilungen
Multivariate Verteilungen
