Vektor

Im allgemeinen Sinn versteht man in der linearen Algebra unter einem Vektor (lat. vector „Träger, Fahrer“) ein Element eines Vektorraums.

Dieser Artikel beschäftigt sich überwiegend mit Vektoren im geometrischen Sinn und mit Vektoren als Elementen des „Tupelraums“ $\mathbb {R} ^{n}$ .

Im engeren Sinne versteht man in der analytischen Geometrie unter einem Vektor ein mathematisches Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Ein Vektor kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Dabei beschreiben Pfeile, die gleich lang, parallel und gleichorientiert sind, denselben Vektor. In kartesischen Koordinaten werden Vektoren durch Zahlenpaare (in der Ebene) bzw. -tripel (im Raum) dargestellt, die oft untereinander (als „Spaltenvektoren“) geschrieben werden. Vektoren können addiert und mit reellen Zahlen (Skalaren) multipliziert werden.

Eng verwandt mit den geometrischen Vektoren sind vektorielle Größen in der Physik. Das sind physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung besitzen, und oftmals durch Pfeile dargestellt werden, deren Länge dem Betrag der Größe entspricht. Beispiele dafür sind Geschwindigkeit, Beschleunigung, Impuls, Kraft, elektrische und magnetische Feldstärke.

Motiviert von der Koordinatendarstellung der geometrischen Vektoren werden oft auch $n$ -Tupel reeller Zahlen^[1], also Elemente des $\mathbb {R} ^{n}$ , als Vektoren oder auch als Koordinatenvektoren^[2] bezeichnet. Dies ist dadurch gerechtfertigt, dass jeder $n$ -dimensionale reelle Vektorraum isomorph zum Vektorraum $\mathbb {R} ^{n}$ ist. Beispiele solcher Verwendung des Vektorbegriffs finden sich namentlich in der Wirtschaftsmathematik.

Geschichte

Begründet wurde die Vektorrechnung von Hermann Günter Graßmann, der 1844 seine Lineale Ausdehnungslehre veröffentlichte, ein über dreihundert Seiten starkes Buch.^[3] Als Vorläufer gelten u. a. René Descartes und August Ferdinand Möbius, ein Schüler von Carl Friedrich Gauß. Um 1850 benutzte der irische Mathematiker Matthew O'Brien die Vektorrechnung zur Beschreibung mechanischer Sachverhalte, blieb aber weitgehend ignoriert. Nahezu zeitgleich entwickelte William Rowan Hamilton seine ähnliche Theorie^[4] der Quaternionen, die er 1853 in dem Buch Lectures on Quaternions^[5] und 1866 in dem Werk Elements of Quaternions^[6]^[7] publizierte. In Deutschland wurde die Vektorrechnung insbesondere durch Vorlesungen und Bücher von Alfred Bucherer, August Föppl, Carl Runge, Fischer, v. Ignatowsky und Richard Gans verbreitet.

Schreibweise

Variablen, die für Vektoren stehen, werden vor allem in der Schulmathematik und in der Physik häufig mit einem Pfeil gekennzeichnet ( ${\vec {a}},{\vec {v}}$ ). Vor allem im englischsprachigen Raum werden sie auch fett geschrieben ( $\mathbf {v}$ , ${\boldsymbol {v}}$ oder v). In Handschriften wird dies häufig durch Unterstreichung ( ${\underline {v}}$ ) oder Ähnliches repräsentiert. Früher war teilweise auch die Schreibweise mit kleinen Frakturbuchstaben ( ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {v}}$ ) üblich, handschriftlich durch deutsche Schreibschrift bzw. Sütterlinschrift wiedergegeben. Häufig gewählte Buchstaben sind ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ und ${\vec {u}},{\vec {v}},{\vec {w}}$ . Der entsprechende lateinische Buchstabe ohne Vektorkennzeichnung steht meist für die Länge (den Betrag) des Vektors: $v=|{\vec {v}}|$

Geometrie

Definition

Verschiebung des Dreiecks ABC durch Verschiebung der Punkte um

{\vec {v}}

In der Geometrie versteht man unter einem Vektor ein Objekt, das eine Parallelverschiebung in der Ebene oder im Raum beschreibt. Eine Verschiebung kann durch einen Pfeil, der einen Urbildpunkt mit seinem Bildpunkt verbindet, dargestellt werden. Pfeile, die parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind, beschreiben dieselbe Verschiebung und stellen somit denselben Vektor dar. Zum Beispiel beschreiben im Bild rechts der Pfeil von $A$ nach $A'$ , der Pfeil von $B$ nach $B'$ und der Pfeil von $C$ nach $C'$ dieselbe Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts und 3 Einheiten nach oben. Sie repräsentieren alle denselben Vektor ${\vec {v}}={\overrightarrow {AA'}}={\overrightarrow {BB'}}={\overrightarrow {CC'}}$ . Formal kann man deshalb Vektoren wie folgt definieren:

Ein Pfeil ist eine gerichtete Strecke, das heißt, eine Strecke, bei der eine Reihenfolge der Endpunkte festgelegt ist. Zwei Pfeile heißen äquivalent, wenn sie parallel, gleich lang und gleich gerichtet sind. Dies definiert eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Pfeile der Ebene bzw. des Raums. Die Äquivalenzklassen heißen Vektoren.

Eine andere Möglichkeit ist, einen Vektor mit der durch ihn dargestellten Parallelverschiebung zu identifizieren. „Vektor“ ist dann nur eine andere Sprechweise für „Parallelverschiebung“.

Ein Vektor von Startpunkt A nach Endpunkt B und seine Länge

Der Vektor, der eine Verschiebung beschreibt, die den Punkt $A$ auf den Punkt $B$ abbildet, wird als ${\overrightarrow {AB}}$ geschrieben und grafisch durch einen Pfeil dargestellt, der vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ zeigt. Man sagt: „Der Vektor ${\vec {a}}={\overrightarrow {AB}}$ bildet $A$ auf $B$ ab“, oder: „Der Vektor ${\vec {a}}={\overrightarrow {AB}}$ verbindet $A$ und $B$ .“ Der Punkt $A$ wird in diesem Fall als Schaft, Ausgangs- oder Startpunkt und $B$ als Spitze oder Endpunkt des Vektorpfeils bezeichnet. Der Abstand der beiden Punkte wird Länge oder Betrag des Vektors genannt.

Der umgekehrte Vektor ${\overrightarrow {BA}}$ , der $B$ mit $A$ verbindet, heißt Gegenvektor zu ${\overrightarrow {AB}}$ . Der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overrightarrow{AA}} , der einen Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} auf sich selbst abbildet, heißt Nullvektor und wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec 0} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec o} bezeichnet. Als einziger Vektor kann er grafisch nicht durch einen Pfeil dargestellt werden.

Orts- und Richtungsvektoren

Vektoren können auch dazu verwendet werden, Punkte im Raum zu bezeichnen. So kann der Ort des Punktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} durch den Vektor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{p}=\overrightarrow{OP}}

dargestellt werden. Diesen Vektor nennt man den zum Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} gehörenden Ortsvektor. Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle O} den Koordinatenursprung, der für alle Ortsvektoren den Startpunkt bildet.

Um sie davon zu unterscheiden, werden Vektoren, wie sie im vorangegangenen Abschnitt beschrieben wurden, auch als Richtungsvektoren bezeichnet. Zwei Richtungsvektoren sind identisch, wenn sie den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben. Sie können jedoch – wie gezeigt – jeden Punkt des Raums als Startpunkt haben, während Ortsvektoren immer vom Koordinatenursprung ausgehen.

Diese Unterscheidung ist unter anderem in der analytischen Geometrie wichtig. Dort wird beispielsweise eine Gerade durch folgende Gleichung beschrieben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}=\vec{p}+r\cdot\vec{v}}

Der Stützvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{p}} ist der Ortsvektor eines willkürlich gewählten „Stützpunktes“ der Geraden. Der Richtungsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} gibt die Richtung der Geraden an. Weil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} für eine beliebige reelle Zahl steht, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{x}} der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.

Darstellung in Koordinaten

Ist, wie in der Abbildung oben, ein geradliniges Koordinatensystem gegeben, so kann ein Vektor der Ebene durch ein geordnetes Zahlenpaar, ein Vektor im Raum durch ein Zahlentripel beschrieben werden. In der Regel werden diese Koordinaten untereinander als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben. Für den Vektor in der Ebene, der die Verschiebung um 7 Einheiten nach rechts (in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Richtung) und 3 Einheiten nach oben (in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Richtung) beschreibt, schreibt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v = \tbinom 7 3} . Der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tbinom 2 {-5}} beschreibt eine Verschiebung um 2 Einheiten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Richtung und −5 Einheiten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Richtung, das heißt um 2 Einheiten nach rechts und 5 Einheiten nach unten. Entsprechend beschreibt im Raum der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\begin{smallmatrix} 3\\-2\\4 \end{smallmatrix}\right)} eine Verschiebung um 3 Einheiten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Richtung, 2 Einheiten in negativer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Richtung und 4 Einheiten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z} -Richtung.

Die Koordinaten eines Vektors lassen sich als Differenz der Koordinaten von End- und Anfangspunkt berechnen. Im obigen Beispiel haben Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'} die Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A(-6|-1)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A'(1|2)} . Die Koordinaten des Verbindungsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v = \overrightarrow{AA'}} berechnen sich dann wie folgt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec v = \overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix} 1 - (-6) \\ 2 - (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 3 \end{pmatrix}}

Betrag und Richtung

Im Gegensatz zu Skalaren haben Vektoren eine Richtung. Ein Vektor ist also durch seinen Betrag und seine Richtung gekennzeichnet. Die Richtung ist dabei zum einen durch die Achsenlage, zum anderen durch den Richtungssinn gegeben. Der Richtungssinn gibt dabei an, in welche der beiden Richtungen entlang der Achse der Vektor zeigt. Ein Vorzeichenwechsel in der Größe des Vektors entspricht dabei der Umkehrung des Richtungssinns.^[8]^[9]^[10]

Rechenoperationen

Addition und Subtraktion

Vektoraddition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c = \vec a + \vec b \,} per Pfeil-Aneinanderreihung

Vektoraddition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c = \vec a + \vec b \,} per Parallelogramm-Konstruktion

Die Addition von zwei geometrischen Vektoren entspricht der Hintereinanderausführung der zugehörigen Verschiebungen. Stellt der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} die Verschiebung dar, die den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} abbildet, und bildet die zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} gehörige Verschiebung den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} ab, so beschreibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a + \vec b} die Verschiebung, die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} abbildet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overrightarrow{PQ} + \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{PR}}

Geometrisch kann man deshalb zwei Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} addieren, indem man die beiden Vektoren so durch Pfeile darstellt, dass der Startpunkt des zweiten mit dem Endpunkt des ersten Pfeils übereinstimmt. Die Summe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c = \vec a + \vec b} wird dann durch den Pfeil vom Startpunkt des ersten bis zum Endpunkt des zweiten Pfeils dargestellt.

Alternativ stellt man die beiden Vektoren durch Pfeile mit einem gemeinsamen Anfangspunkt dar und ergänzt diese Figur zu einem Parallelogramm. Der diagonale Pfeil vom gemeinsamen Anfangspunkt zur gegenüberliegenden Ecke stellt dann die Summe der beiden Vektoren dar. In der Physik verwendet man diese Konstruktion beim Kräfteparallelogramm.

In Koordinaten berechnet man die Summe komponentenweise: Für die Summe der beiden Vektoren

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}}

gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}+\vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3\end{pmatrix} } .

Für die Addition von Vektoren gelten das Assoziativ- und das Kommutativgesetz.

Vektorsubtraktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c = \vec a + ( - \vec b ) = \vec a - \vec b} per Pfeil-Aneinanderreihung mit Gegenvektor

Vektorsubtraktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c = \vec a - \vec b} per Konstruktion mit Pfeilen mit demselben Anfangspunkt

Für die Differenz zweier Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}-\vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3\end{pmatrix} } .

Sie lässt sich auf zwei Arten geometrisch deuten:

Als die Summe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} mit dem Gegenvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\vec b} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} . Man setzt den Startpunkt eines Pfeils, der den Gegenvektor von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} darstellt, an den Endpunkt des Pfeils, der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} darstellt.
Als denjenigen Vektor, der zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} addiert gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} ergibt. Stellt man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} durch Pfeile mit demselben Anfangspunkt dar, so wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a - \vec b} durch den Pfeil dargestellt, der vom Endpunkt des zweiten Vektors zum Endpunkt des ersten Vektors führt.

Werden zwei Vektoren addiert (subtrahiert), so addieren (subtrahieren) sich ihre Beträge nur dann, wenn die Vektoren kollinear sind und die gleiche Orientierung haben. Im allgemeinen Fall gilt hingegen die Dreiecksungleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left| \vec{a} + \vec{b} \right| \le \left| \vec{a} \right| + \left| \vec{b} \right|}

Multiplikation mit einem Skalar

Skalarmultiplikation

Vektoren können mit reellen Zahlen (oft Skalare genannt, um sie von Vektoren zu unterscheiden) multipliziert werden (Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation genannt):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r\vec{a} = r \, \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}ra_1 \\ ra_2 \\ ra_3\end{pmatrix} }

Die Länge des resultierenden Vektors ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |r|\cdot|\vec{a}|} . Wenn der Skalar positiv ist, zeigt der resultierende Vektor in dieselbe Richtung wie der ursprüngliche, ist er negativ, in die Gegenrichtung.

Für die Vektoraddition und die Multiplikation mit einem Skalar gilt das Distributivgesetz:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r\cdot(\vec a + \vec b) = r\vec a + r\vec b}

Ebenso gilt es für die Addition von zwei Skalaren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (r+s)\cdot\vec a = r\vec a + s\vec a}

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren hängt von der Länge der Vektoren und dem eingeschlossenen Winkel ab

Das Skalarprodukt (oder innere Produkt) zweier Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b,} so genannt, weil das Ergebnis ein Skalar ist, wird als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a\cdot\vec b,\ \vec a \circ \vec b,\ \vec a \bullet \vec b} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle {\vec a,\vec b} \rangle} notiert und ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b} = |\vec{a}|\,|\vec{b}|\,\cos\varphi, }

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} der zwischen den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel ist (siehe auch Kosinus). Stehen die zwei Vektoren rechtwinklig aufeinander, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a\cdot\vec b = 0 } , da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos \varphi = \cos 90^\circ = 0} gilt.

Im kartesischen Koordinatensystem berechnet sich das Skalarprodukt zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3} ,

insbesondere gilt für das Quadrat eines Vektors

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} = a_1^2+a_2^2+a_3^2} .

Orthogonale Projektion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b_{\vec a}} des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} auf die durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} bestimmte Richtung

Geometrisch lässt sich das Skalarprodukt auch wie folgt verstehen (s. Abbildung): Man projiziert den einen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} senkrecht auf den anderen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und erhält so den Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b_{\vec a}} . Falls der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi} ein spitzer Winkel ist, zeigt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b_{\vec a}} in dieselbe Richtung wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} . In diesem Falle ergibt sich das Skalarprodukt durch die Multiplikation der beiden Beträge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b_{\vec a}} . Diese Zahl ist positiv. Handelt es sich hingegen um einen stumpfen Winkel, so ist die Projektion antiparallel zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und das Skalarprodukt hat daher ein negatives Vorzeichen. Wenn die beiden Vektoren einen rechten Winkel einschließen (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi = 90^\circ} ), dann ist die Länge des projizierten Vektors null und damit auch das Skalarprodukt. (Vertauscht man die beiden Vektoren bei diesem Vorgehen, so ergibt sich derselbe Wert.)

Diese Operation wird oft in der Physik gebraucht, zum Beispiel, um die Arbeit zu berechnen, wenn die Richtung der Kraft nicht mit der Bewegungsrichtung übereinstimmt.

Für das Skalarprodukt gelten das Kommutativgesetz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a \cdot \vec b = \vec b \cdot \vec a}

und das Distributivgesetz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a \cdot (\vec b + \vec c) = \vec a \cdot \vec b + \vec a \cdot \vec c.}

Kreuzprodukt

Veranschaulichung des Kreuzprodukts

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles Produkt, äußeres Produkt oder Vektorprodukt) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a\times\vec b} (gesprochen als „a Kreuz b“) zweier Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor, der senkrecht auf der von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} aufgespannten Ebene steht. Die Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec a\times\vec b|} dieses Vektors ist gleich der Fläche des Parallelogramms mit den Seiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} , also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |{\sin\theta}|} ,

wobei der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel hier mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta} bezeichnet wird. Das Kreuzprodukt zweier kollinearer Vektoren ergibt daher den Nullvektor.

Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem lässt sich das Kreuzprodukt wie folgt berechnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} }

Das Kreuzprodukt ist antikommutativ, d. h., es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})} .

Spatprodukt

Die Kombination von Kreuz- und Skalarprodukt in der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec a, \vec b, \vec c) = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}}

wird als Spatprodukt bezeichnet. Das Ergebnis ist ein Skalar. Sein Betrag ist das Volumen des Spats, der von den drei Vektoren aufgespannt wird. Bilden die drei Vektoren ein Rechtssystem, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec a, \vec b, \vec c)} positiv. Bilden sie ein Linkssystem, so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec a, \vec b, \vec c)} negativ. Wenn die Vektoren linear abhängig sind, gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec a, \vec b, \vec c) = 0} .

Länge/Betrag eines Vektors

In kartesischen Koordinaten kann die Länge von Vektoren nach dem Satz des Pythagoras berechnet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = |\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}}

Dies entspricht der sog. euklidischen Norm. Die Länge lässt sich in einer alternativen Schreibweise auch als die Wurzel des Skalarprodukts angeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a}\cdot\vec{a}}}

Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren. Hat ein Vektor die Länge 0, so handelt es sich um den Nullvektor.

Bei vektoriellen Größen in der Physik spricht man statt von der Länge vom Betrag eines Vektors. Man kann eine vektorielle physikalische Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}} als Paar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{e}_v, |\vec{v}|)} aus Richtung der Größe als Einheitsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}_v} und Betrag der Größe entlang dieser Richtung ansehen. Die Einheit des Betrags ist dabei gleich der Einheit der physikalischen Größe. So lässt sich beispielsweise die Geschwindigkeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}=\begin{pmatrix}3 \\ -4\\ 0\end{pmatrix} \, \mathrm{\frac m s}}

eines Hubschraubers, der in konstanter Höhe in südöstlicher Richtung fliegt, durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{e}_v = \frac{1}{|\vec{v}|} \vec{v} = \begin{pmatrix}\tfrac{3}{5} \\ -\tfrac{4}{5} \\ 0 \end{pmatrix}}

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec{v}| = \sqrt{3^2+(-4)^2+0^2} \, \mathrm{\frac m s} = 5 \, \mathrm{\frac m s}}

darstellen. Der Betrag der Bahngeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(t)} beim waagrechten Wurf (Startgeschwindigkeit in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Richtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_x} , aktuelle Geschwindigkeit in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Richtung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_y (t)} ) lässt sich angeben als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(t) = {|\vec{v(t)}|} = \sqrt{v_\mathrm x^2 + v_\mathrm y^2}} .

Dyadisches Produkt

Abbildung eines Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c} auf den Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec d=(\vec a\otimes\vec b)\cdot\vec c}

Das dyadische oder tensorielle Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a\otimes\vec b} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a \vec b} (gesprochen als „a dyadisch b“) zweier Vektoren bildet eine Dyade. Mit Dyaden kann ein Vektor linear auf einen anderen Vektor abgebildet werden, siehe Bild. Der Anteil eines Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c} in Richtung des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} wird dabei in die Richtung des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} gebracht und dabei gestreckt oder gestaucht. Die Abbildung geschieht mit dem obigen Skalarprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec a\otimes\vec b)\cdot\vec c:=(\vec b\cdot\vec c)\vec a}

Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem lässt sich das dyadische Produkt wie folgt berechnen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\otimes\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\otimes\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 b_1 & a_1 b_2 & a_1 b_3\\ a_2 b_1 & a_2 b_2 & a_2 b_3\\ a_3 b_1 & a_3 b_2 & a_3 b_3 \end{pmatrix} }

Das dyadische Produkt ist nicht kommutativ, d. h., im Allgemeinen gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\otimes\vec{b}\ne \vec{b}\otimes\vec{a}} ,

aber distributiv mit der Vektoraddition:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} (\vec a+\vec b)\otimes\vec c=\vec a\otimes\vec c + \vec b\otimes\vec c \\ \vec a\otimes(\vec b+\vec c)=\vec a\otimes\vec b + \vec a\otimes\vec c \end{align}}

Es ist auch verträglich mit der Skalarmultiplikation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda(\vec{a}\otimes\vec{b}) =(\lambda\vec{a})\otimes\vec{b} =\vec{a}\otimes(\lambda\vec{b}) =\lambda\vec{a}\otimes\vec{b} }

Durch das dyadische Produkt entsteht eine neue Klasse von Objekten der linearen Algebra, die Matrizen und linearen Abbildungen, je nachdem, ob im Koordinatenraum oder Vektorraum gerechnet wird. Durch Verknüpfung mehrerer Dyaden (wie in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a\otimes\vec b\otimes\vec c\dotsm} ) entstehen Dyaden höherer Stufe. Dyaden bilden einen Spezialfall von Tensoren. Tensoren spielen in der Kontinuumsmechanik, den Maxwell-Gleichungen des Elektromagnetismus und der allgemeinen Relativitätstheorie eine wichtige Rolle. Einen Überblick über die Tensoralgebra gibt die Formelsammlung Tensoralgebra.

Komponentenschreibweise

Alternativ zu der hier vorgestellten Schreibweise als Spaltenvektoren können Vektoren auch in Komponentenschreibweise dargestellt werden. Dabei steht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i} üblicherweise für die einzelnen Komponenten des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} bezüglich der Standardbasis. Dadurch lassen sich die Rechenoperationen bezüglich der Standardbasis wie folgt schreiben:

	Spaltenvektoren	Komponentenschreibweise
Addition/Subtraktion	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c = \vec{a} \pm \vec{b} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \pm \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1\pm b_1 \\ a_2\pm b_2 \\ a_3 \pm b_3\end{pmatrix} }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i = a_i \pm b_i}
Skalarprodukt	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = \vec{a}\cdot\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = \sum_i a_i b_i } beziehungsweise^{[Anmerkungen 1]}: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c = a_i b_i}
Betrag	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = \|\vec{a}\| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}}	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = \sqrt{\sum_i a_i^2}} beziehungsweise^{[Anmerkungen 1]}: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a = \sqrt{a_i a_i}}
Kreuzprodukt	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec c = \vec{a}\times\vec{b} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} }	Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i = \sum_{jk} \varepsilon_{ijk}a_{j}b_{k}} ^{[Anmerkungen 2]} beziehungsweise^{[Anmerkungen 1]}: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_i = \varepsilon_{ijk} a_{j}b_{k}}

↑ ^a ^b ^c Unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention
↑ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{ijk}} ist das Levi-Civita-Symbol und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.

Siehe auch den Abschnitt Koordinaten und Komponenten eines Vektors unten.

n-Tupel und Spaltenvektoren

In Verallgemeinerung der Koordinatendarstellung von geometrischen Vektoren werden Elemente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} , also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Tupel reeller Zahlen, als Vektoren bezeichnet, wenn mit ihnen die für Vektoren typischen Rechenoperationen Addition und skalare Multiplikation ausgeführt werden. In der Regel werden die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -Tupel als sogenannte Spaltenvektoren geschrieben, das heißt, ihre Einträge stehen untereinander.

Addition und skalare Multiplikation

Die Addition zweier Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x, \vec y \in \R^n} und die skalare Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r \in \R} werden komponentenweise definiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x + \vec y = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1 + y_1 \\ \vdots \\ x_n + y_n \end{pmatrix},\quad r \vec x = r \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r x_1 \\ \vdots \\ r x_n \end{pmatrix}}

Die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} bildet mit diesen Verknüpfungen einen Vektorraum über dem Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} . Dieser sogenannte Koordinatenraum ist das Standardbeispiel eines Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -dimensionalen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} -Vektorraums.

Standardskalarprodukt

Das Standardskalarprodukt ist definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x \cdot \vec y = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix} = x_1 y_1 + \dotsb + x_n y_n} .

Mit diesem Skalarprodukt ist der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} ein euklidischer Vektorraum.

Multiplikation mit einer Matrix

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \in \R^{m \times n}} eine (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m \times n} )-Matrix und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x \in \R^n} ein Spaltenvektor, so kann man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} als einspaltige Matrix in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^{n \times 1}} auffassen und das Matrix-Vektor-Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \, \vec x} bilden. Das Ergebnis ist ein Spaltenvektor in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^m} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \, \vec x = \begin{pmatrix}a_{11} & \dots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} x_1 + \dotsb + a_{1n} x_n \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + \dotsb + a_{mn} x_n \end{pmatrix}}

Die Multiplikation mit einer (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m \times n} )-Matrix ist eine lineare Abbildung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^m} . Jede lineare Abbildung lässt sich als Multiplikation mit einer Matrix darstellen.

Länge bzw. Norm

Die Länge oder Norm eines Vektors ist durch die Quadratwurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selbst gegeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec x| = \sqrt{\vec x \cdot \vec x} = \sqrt{x_1^2 + \dotsb + x_n^2} }

Neben dieser euklidischen Norm werden auch andere Normen benutzt, siehe p-Norm.

Zeilen- und Spaltenvektoren

Fasst man Vektoren als Matrizen auf, so ist eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times 1} -Matrix ein Spaltenvektor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}} ,

zu dem es eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \times n} -Matrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x^\top = (x_1\ \dotsc\ x_n)}

als zugehörigen Zeilenvektor gibt, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x^\top} die Transponierte von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} ist. In dieser Schreibweise ist das Standardskalarprodukt nichts anderes als das Matrixprodukt einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \times n} -Matrix mit einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times 1} -Matrix:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x \cdot \vec y = \vec x^\top \vec y = (x_1\ \dotsc \ x_n)\ \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{pmatrix}= x_1 y_1 + \dotsb + x_n y_n}

Das dyadische Produkt stellt sich als das Matrixprodukt einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times 1} -Matrix mit einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \times n} -Matrix dar und liefert dann eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times n} -Matrix:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x \otimes \vec y = \vec x \,\vec y^\top =\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\ (y_1\ \dotsc \ y_n) =\begin{pmatrix} x_1y_1 & \ldots & x_1 y_n\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ x_n y_1 & \ldots & x_n y_n \end{pmatrix} }

Eigenschaften von Vektoren

Lineare Abhängigkeit

Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}_1, \vec{a}_2, \dotsc, \vec{a}_m} (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\ge 1} ) heißen linear abhängig, wenn es für die folgende Gleichung eine Lösung gibt, bei der nicht für alle Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_i=0} gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_1 \cdot \vec{a}_1 + r_2 \cdot\vec{a}_2 + \dotsb + r_m \cdot\vec{a}_m = \vec{0} \text{ mit } r_i \in \R}

Wenn sich jedoch keine Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r_i} finden lassen, die diese Bedingung erfüllen, dann nennt man die Vektoren linear unabhängig.

Im Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m=1} gilt: Der Nullvektor ist linear abhängig, jeder andere Vektor ist linear unabhängig.

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m>1} lässt sich im Fall der linearen Abhängigkeit mindestens einer der Vektoren als eine Linearkombination der anderen darstellen.

Um ein Koordinatensystem für einen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -dimensionalen Raum festzulegen, braucht man genau Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} linear unabhängige Basisvektoren. Dann kann man jeden Vektor dieses Raums auf eindeutige Weise als Linearkombination der Basisvektoren schreiben. Mehr als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Vektoren im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -dimensionalen Raum sind stets linear abhängig.

Kollinearität zweier Vektoren

Zwei linear abhängige Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec b} nennt man auch kollinear. Im dreidimensionalen Raum gilt für sie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} \times \vec{b} = \vec{0}.}

Jeder Vektor ist mit dem Nullvektor kollinear. Handelt es sich aber um zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren, so sind sie genau dann kollinear, wenn

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} = r \cdot \vec{b}}

für ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r \in \R \setminus \{ 0 \} } erfüllt ist. Sie sind parallel, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} positiv und antiparallel, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} negativ ist.

Orthogonalität

Zwei Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{b}} sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a} \cdot \vec{b} = 0}

Bei geometrischen Vektoren mit positiver Länge bedeutet dies, dass sie einen rechten Winkel einschließen, siehe Skalarprodukt. Der Nullvektor ist zu jedem Vektor orthogonal.

Normierung

Ein Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat a} (gelesen „a Dach“) heißt Einheitsvektor oder normiert, wenn er die Länge 1 hat. Man normiert einen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\neq \vec{0}} , indem man ihn durch seine Länge dividiert, d. h., mit dem Kehrwert seiner Länge multipliziert:^[11]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat a = \frac{\vec{a}} {|\vec{a}|}}

Der Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat a} hat dieselbe Richtung wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a} , aber die Länge 1. Andere Schreibweisen für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat a} sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec e_a} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a_0} ^[12] oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec a{}^\circ} .^[13]

Einheitsvektoren sind bei der Darstellung von Koordinatensystemen von Bedeutung.

Koordinaten und Komponenten eines Vektors

Vektor (schwarz) mit Komponenten (rot) und Koordinaten (grün) bezüglich eines Koordinatensystems (grau)

Das am weitesten verbreitete Koordinatensystem, das kartesische, ist z. B. ein Orthonormalsystem, weil es von den drei zueinander orthogonalen Einheitsvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat e_1} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat e_2} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat e_3} der Standardbasis aufgespannt wird. Die Koordinaten eines Vektors sind dann die Skalarprodukte des Vektors mit den Basisvektoren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_i = \vec a \cdot \hat e_i}

So kann jeder Vektor als Linearkombination der Basisvektoren dargestellt werden, indem man ihn als Summe seiner Komponenten bezüglich der Basis schreibt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}=\sum_{i=1}^3 \left(\vec a \cdot \hat e_i\right) \hat e_i =\left(\vec a \cdot \hat e_1\right) \hat e_1+\left(\vec a \cdot \hat e_2\right) \hat e_2+\left(\vec a \cdot \hat e_3\right) \hat e_3}

Durch einen Wechsel zu einer anderen Orthonormalbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{g}_{1,2,3}} bekommt der Vektor andere Koordinaten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^\prime_i = \vec a \cdot \hat g_i} und andere Komponenten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}=\sum_{i=1}^3 \left(\vec a \cdot \hat g_i\right) \hat g_i =\left(\vec a \cdot \hat g_1\right) \hat g_1+\left(\vec a \cdot \hat g_2\right) \hat g_2 +\left(\vec a \cdot \hat g_3\right) \hat g_3}

Allgemeiner können drei beliebige, aber linear unabhängige Vektoren als Vektorraumbasis benutzt werden.

Verallgemeinerungen

Die Definition des Vektors in der linearen Algebra als Element eines Vektorraumes ist eine viel umfassendere, die neben den herkömmlichen, geometrischen Vektoren verschiedenste mathematische Objekte (Zahlen, Folgen, Funktionen und Transformationen) beinhaltet.

Andererseits sind Vektoren gerade einstufige Tensoren, d. h. Tensoren mit nur einem Index.

Vektoren in der Physik

Vektorgrößen im euklidischen Raum unserer Anschauung

In der klassischen Physik werden physikalische Größen, die einen Betrag und eine Richtung haben, als Vektoren des euklidischen Raums aufgefasst. Beispiele hierfür sind der Ort, die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, die Kraft usw. Man kann sie skalaren physikalischen Größen gegenüberstellen, die nur einen Betrag, jedoch keine Richtung haben, wie z. B. Volumen, Masse, Ladung, Temperatur usw.

Diese Auffassung gerichteter physikalischer Größen als Vektoren ist eine Anwendung geometrischer Vektoren. An die Stelle der Verschieberichtung tritt die Richtung der physikalischen Größe. Ihr Betrag entspricht der Verschiebungsweite eines geometrischen Vektors. Die Darstellung solcher Größen durch Pfeile bestimmter Länge veranschaulicht sowohl deren Richtung als auch deren Betrag. Folglich gilt alles, was bereits über geometrische Vektoren gesagt wurde, auch für vektorielle Größen in der Physik, insbesondere auch das über Rechenoperationen und graphische Veranschaulichung Gesagte.

Physikalische Größen lassen sich nur dann addieren, wenn es sich um Größen derselben Größenart handelt. Das gilt auch dann, wenn man sie als Vektoren auffasst. Die Addition wird z. B. durch das Kräfteparallelogramm veranschaulicht. Vektorsummen sind unter anderem in der Statik von herausragender Bedeutung, z. B. bei der Definition des Kräftegleichgewichts Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum \vec F_{i} = 0} .

Das Skalarprodukt wird verwendet, wenn die Projektion eines Vektors in die Richtung eines anderen von Bedeutung ist. Beispielsweise versteht man unter dem physikalischen Begriff Arbeit das Produkt einer Kraft und eines Weges in Kraftrichtung. Deswegen berechnet man die Arbeit über das Skalarprodukt der Kraft und des Weges. Außerdem ist das Skalarprodukt wichtig bei der Komponentenzerlegung eines Vektors. Das Kreuzprodukt hingegen findet überall dort Verwendung, wo eine Gesetzmäßigkeit der Drei-Finger-Regel folgt, wie z. B. bei der Lorentzkraft oder dem Drehmoment. Sowohl beim Skalarprodukt als auch beim Kreuzprodukt ergibt sich die Einheit der resultierenden physikalischen Größe durch die Multiplikation der Einheiten beider Faktoren.

Ist ein physikalischer Vektor selbst eine Funktion des Ortes, spricht man von einem Vektorfeld. Es kann durch Feldlinien veranschaulicht werden, wobei die Tangente an die Feldlinie die Richtung des Vektors angibt. Der Betrag des Vektors wird durch die Dichte der Feldlinien dargestellt. Als Beispiele wären hier vor allem die elektrischen und magnetischen Felder sowie die Geschwindigkeitsfelder in Strömungen zu nennen. Bei der mathematischen Behandlung der Felder erweist sich die Vektoranalysis als äußerst wichtiges Werkzeug, z. B. in der Elektrodynamik oder in der Strömungsmechanik.

Vektoren in nicht-euklidischen Räumen der relativistischen Physik

An die Stelle des dreidimensionalen euklidischen Raums tritt in der Relativitätstheorie die nichteuklidische vierdimensionale Raumzeit. Vektorielle Größen wie die Vierergeschwindigkeit oder der Viererimpuls werden hier dementsprechend als vierdimensionale Vektoren dargestellt.

Transformationsverhalten von Vektoren

In der Physik werden Vektoren (auch) durch ihr Transformationsverhalten beim Wechsel von Bezugssystemen charakterisiert.

Polare und axiale Vektoren

Je nach Transformationsverhalten unter Punktspiegelungen des Ortes unterscheidet man zwischen polaren und axialen Vektoren, in der älteren Literatur auch Schub- und Drehvektoren^[14] genannt: In euklidischen Vektorräumen geht jeder Vektor bei der räumlichen Punktspiegelung in sein Negatives über, Axialvektoren dagegen bleiben dabei unverändert. So ändern beispielsweise der Ort, die Geschwindigkeit, der Impuls und das elektrische Feld bei räumlicher Punktspiegelung ihr Vorzeichen, nicht aber der Drehimpuls oder das magnetische Feld. Polare und axiale Vektoren sind wegen ihres unterschiedlichen Transformationsverhaltens Elemente verschiedener Vektorräume. Das Kreuzprodukt muss dabei als bilineare Abbildung zweier Vektorräume in einen dritten angesehen werden.

Diese Sichtweise in der Physik ist davon abhängig, ob man in einem euklidischen oder nicht-euklidischen Raum arbeitet.

Transformationsverhalten im euklidischen- und Minkowski-Raum

Für den physikalischen Vektorbegriff ist das Transformationsverhalten unter der Isometriegruppe der entsprechenden Metrik des zugrunde gelegten Raumes von Bedeutung. Der dreidimensionale Raum der klassischen Mechanik wird als euklidischer flacher Raum modelliert, während die vierdimensionale Raumzeit der Relativitätstheorie als Minkowski-Raum mit einer gekrümmten Metrik versehen wird. Diese Räume sind Mannigfaltigkeiten in denen Vektoren kontravariante Tensoren erster Stufe darstellen, was ihr Transformationsverhalten festlegt. Die Isometriegruppen sind im euklidischen Raum die Drehgruppe und im Minkowski-Raum die Lorentz-Gruppe.

Nicht alle Vektoren im Dreidimensionalen sind Teile von Vierervektoren. Der Drehimpuls transformiert beispielsweise unter Lorentztransformationen nicht wie ein Teil eines Vierervektors, sondern zusammen mit dem anfänglichen Energieschwerpunkt wie die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors. Ebenso transformieren die elektrische und magnetische Feldstärke wie die sechs Komponenten eines antisymmetrischen Tensors.

Vielteilchensysteme mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Teilchen beschreibt man mit Vektoren in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3n} -dimensionalen Vektorräumen, auf die die dreidimensionale Drehgruppe getrennt wirkt.

Weitere Verwendungen des Vektorbegriffs in der Physik

Mehrteilchen-Systeme von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Teilchen beschreibt man durch Vektoren in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3n} -dimensionalen Vektorräumen, bzw. – in der hamiltonschen Mechanik – im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6n} -dimensionalen Phasenraum, der nicht nur die Ortskoordinaten, sondern auch die Impulskoordinaten umfasst. Schließlich werden die Zustände quantenmechanischer Systeme als Vektoren in Funktionenräumen dargestellt. Hier erweist sich insbesondere die Bra-Ket-Notation, die von Paul Dirac eingeführt wurde, als hilfreich.

Literatur

Kurt Bohner, Peter Ihlenburg, Roland Ott: Mathematik für berufliche Gymnasien – Lineare Algebra – Vektorielle Geometrie. Merkur, Rinteln 2004. ISBN 3-8120-0552-2.
Klaus Jänich: Lineare Algebra. 10. Auflage. Springer, Berlin 2004. ISBN 3-540-40207-1.
Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 1. 11. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2007, ISBN 978-3-8348-0224-8.

Weblinks

Wiktionary: Vektor – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Commons: Vektoren – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Ronny Harbich: Vektorrechnung fürs Abitur. Bei: fabulierer.de.
Vektoren. Bei: mathe-online.at.
History of Vectors. Bei: math.mcgill.ca.

Einzelnachweise

↑ Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 545.
↑ [1]
↑ Hermann Günter Graßmann: Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: Dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert. O. Wigand, 1844.
↑ Josiah Willard Gibbs: Quaternions and the Ausdehnungslehre. In: Nature. Band 44, Nr. 1126, 1891, S. 79–82, doi:10.1038/044079b0.
↑ W. R. Hamilton: Lectures on Quaternions. Hodges and Smith, Dublin 1853.
↑ W. R. S. Hamilton: Elements of Quaternions: Vol.: 1. Longmans, Green & Company, 1866 (Google Books).
↑ W. R. S. Hamilton, C. J. Joly: Elements of quaternions. Vol.: 2. Longmans, Green & Company, 1901.
↑ A. E. H. Love, H. Polster: Theoretische Mechanik. Eine einleitende Abhandlung über die Prinzipien der Mechanik. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-52592-6 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
↑ Jessica Scholz: Technische Mechanik 1: Statik. Eigenschaften der Kraft. ingenieurkurse.de, abgerufen am 31. Juli 2017.
↑ Einführung in die Vektorrechnung. Wiley Information Services - Chamgaroo, abgerufen am 31. Juli 2017.
↑ Raymond A. Serway, John W. Jewett: Principles Of Physics: A Calculus-based Text. Band 1, Verlag: Cengage Learning, 2006, ISBN 9780534491437, S. 19, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
↑ Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien, Kursstufe, Baden-Württemberg. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-12-735301-3, Seite 243.
↑ Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik. Band I: Grundlagen, Algebra und Geometrie. 3. Auflage, Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1978, S. 191.
↑ Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I. Leipzig 1954, S. 577–578.

[konvention-11] Unter Verwendung der Einsteinschen Summenkonvention

[12] Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varepsilon_{ijk}} ist das Levi-Civita-Symbol und ist +1 für gerade Permutationen von (1, 2, 3), −1 für ungerade Permutationen und sonst 0.

[1] Walter Gellert, Herbert Küstner, Manfred Hellwich, Herbert Kästner (Hrsg.): Kleine Enzyklopädie Mathematik. Leipzig 1970, S. 545.

[2] [1]

[3] Hermann Günter Graßmann: Die Lineale Ausdehnungslehre ein neuer Zweig der Mathematik: Dargestellt und durch Anwendungen auf die übrigen Zweige der Mathematik, wie auch auf die Statik, Mechanik, die Lehre vom Magnetismus und die Krystallonomie erläutert. O. Wigand, 1844.

[4] Josiah Willard Gibbs: Quaternions and the Ausdehnungslehre. In: Nature. Band 44, Nr. 1126, 1891, S. 79–82, doi:10.1038/044079b0.

[5] W. R. Hamilton: Lectures on Quaternions. Hodges and Smith, Dublin 1853.

[6] W. R. S. Hamilton: Elements of Quaternions: Vol.: 1. Longmans, Green & Company, 1866 (Google Books).

[7] W. R. S. Hamilton, C. J. Joly: Elements of quaternions. Vol.: 2. Longmans, Green & Company, 1901.

[8] A. E. H. Love, H. Polster: Theoretische Mechanik. Eine einleitende Abhandlung über die Prinzipien der Mechanik. Springer, 2013, ISBN 978-3-642-52592-6 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).

[9] Jessica Scholz: Technische Mechanik 1: Statik. Eigenschaften der Kraft. ingenieurkurse.de, abgerufen am 31. Juli 2017.

[10] Einführung in die Vektorrechnung. Wiley Information Services - Chamgaroo, abgerufen am 31. Juli 2017.

[13] Raymond A. Serway, John W. Jewett: Principles Of Physics: A Calculus-based Text. Band 1, Verlag: Cengage Learning, 2006, ISBN 9780534491437, S. 19, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche

[14] Lambacher Schweizer Mathematik für Gymnasien, Kursstufe, Baden-Württemberg. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-12-735301-3, Seite 243.

[15] Fritz Reinhardt, Heinrich Soeder: dtv-Atlas zur Mathematik. Band I: Grundlagen, Algebra und Geometrie. 3. Auflage, Deutscher Taschenbuch Verlag, München 1978, S. 191.

[16] Grimsehl: Lehrbuch der Physik, Bd. I. Leipzig 1954, S. 577–578.

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