Benutzer:MovGP0/Physik/Kovariante und Kontravariante Komponenten

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Als Basis eines Vektors können hierbei beliebige Vektoren, mathematische Funktionen oder Matrizen (z. B. Pauli-Matrizen) dienen. Für einen gegebenen Vektor $a$ unterscheidet man zwischen kontravarianten Komponenten des Vektors $a^{\color {Brown}m}$ (mit hochgestellten Indizes), sowie kovarianten Komponenten des Vektors $a_{\color {Brown}m}$ (mit tiefgestellten Indizes). Kontravariante Komponenten sind hierbei so gewählt, dass man den Vektor aus der Summe der Produkte der kontravarianten Komponenten und den zugehörigen Elementen der Basis erhält: $a=a^{\color {Brown}i}\,e_{\color {Brown}i}+a^{\color {Brown}j}\,e_{\color {Brown}j}$ Kovariante Komponenten erhält man durch eine orthogonale Messung (d. h. im 90°-Winkel) zur jeweiligen Basis. Hierbei gilt der Zusammenhang: $a_{\color {Brown}i}=a\,e_{\color {Brown}i}$ $a_{\color {Brown}j}=a\,e_{\color {Brown}j}$ Ein Vektor $a$, welcher in der Form $(a^{\color {Brown}i},a^{\color {Brown}j},\ldots )$ ausgedrückt wird, wird als kontravarianter Vektor bezeichnet. Umgekehrt wird ein Vektor in der Form $(a_{\color {Brown}i},a_{\color {Brown}j},\ldots )$ als kovarianter Vektor bezeichnet. Wenn es sich bei der Vektorbasis $e_{\color {Brown}m}$ um eine Orthonormalbasis handelt, so gilt $a^{\color {Brown}m}=a_{\color {Brown}m}$. Addition $a^{\color {Brown}m}+b^{\color {Brown}m}=(a^{\color {Brown}i}+b^{\color {Brown}i})+(a^{\color {Brown}j}+b^{\color {Brown}j})+\ldots =a+b$ und $a_{\color {Brown}m}+b_{\color {Brown}m}=(a_{\color {Brown}i}+b_{\color {Brown}i})+(a_{\color {Brown}j}+b_{\color {Brown}j})+\ldots =a+b$ Subtraktion $a^{\color {Brown}m}-b^{\color {Brown}m}=(a^{\color {Brown}i}-b^{\color {Brown}i})+(a^{\color {Brown}j}-b^{\color {Brown}j})+\ldots =a-b$ und $a_{\color {Brown}m}-b_{\color {Brown}m}=(a_{\color {Brown}i}-b_{\color {Brown}i})+(a_{\color {Brown}j}-b_{\color {Brown}j})+\ldots =a-b$ Skalarprodukt mit Skalar $\sum _{\color {Brown}m}s\,a^{\color {Brown}m}=s\,a^{\color {Brown}i}+s\,a^{\color {Brown}j}+\ldots =s\,a$ und $\sum _{\color {Brown}m}s\,a_{\color {Brown}m}=s\,a_{\color {Brown}i}+s\,a_{\color {Brown}j}+\ldots =s\,a$ Skalarprodukt mit Vektor $a^{\color {Brown}m}\,b^{\color {Brown}m}=a^{\color {Brown}i}\,b^{\color {Brown}i}+a^{\color {Brown}j}\,b^{\color {Brown}j}+\ldots =a\,b$ und $a_{\color {Brown}m}\,b_{\color {Brown}m}=a_{\color {Brown}i}\,b_{\color {Brown}i}+a_{\color {Brown}j}\,b_{\color {Brown}j}+\ldots =a\,b$ Skalarprodukt mit Matrix $b^{\color {Brown}m}=m^{\color {Brown}mn}\,a^{\color {Brown}n}=m^{\color {Brown}mi}\,a^{\color {Brown}m}+m^{\color {Brown}mj}\,a^{\color {Brown}n}+\ldots$ und $b_{\color {Brown}m}=m_{\color {Brown}mn}\,a_{\color {Brown}n}=m_{\color {Brown}mi}\,a_{\color {Brown}m}+m_{\color {Brown}mj}\,a_{\color {Brown}n}+\ldots$ Ein Spezialfall hiervon ist die Vektorrotation, bei der ein Vektor $a$ mit Hilfe eines Tensors $\omega$ gedreht wird: $a'^{\color {Brown}m}=\omega ^{\color {Brown}mn}\,a^{\color {Brown}n}$ mit $\omega ^{\color {Brown}mm}=1$ und $\omega ^{\color {Brown}mn}=-\omega ^{\color {Brown}nm}$ und $a'_{\color {Brown}m}=\omega _{\color {Brown}mn}\,a_{\color {Brown}n}$ mit $\omega _{\color {Brown}mm}=1$ und $\omega _{\color {Brown}mn}=-\omega _{\color {Brown}nm}$ Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt kann mithilfe des Levi-Civita-Symbols definiert werden: $\epsilon _{\color {Brown}ijk}\,a_{\color {Brown}i}\,b_{\color {Brown}j}\,e_{\color {Brown}k}=(a\times b)_{\color {Brown}k}$ und $\epsilon ^{\color {Brown}ijk}\,a^{\color {Brown}i}\,b^{\color {Brown}j}\,e^{\color {Brown}k}=(a\times b)^{\color {Brown}k}$ oder gleichwertig: $\epsilon _{\color {Brown}ijk}\,a_{\color {Brown}i}\,b_{\color {Brown}j}=(a\times b)_{\color {Brown}k}$ und $\epsilon ^{\color {Brown}ijk}\,a^{\color {Brown}i}\,b^{\color {Brown}j}=(a\times b)^{\color {Brown}k}$ es gilt daher: $\epsilon ^{\color {Brown}ij}\,a^{\color {Brown}i}\,b^{\color {Brown}j}=\epsilon _{\color {Brown}ij}\,a_{\color {Brown}i}\,b_{\color {Brown}j}=a\times b$ Spatprodukt $\epsilon _{\color {Brown}ijk}\,a_{\color {Brown}i}\,b_{\color {Brown}j}\,c_{\color {Brown}k}=\epsilon ^{\color {Brown}ijk}\,a^{\color {Brown}i}\,b^{\color {Brown}j}\,c^{\color {Brown}k}=a\,(b\times c)=b\,(c\times a)=c\,(a\times b)$ Betrag des Vektors Mit dem metrischen Tensor lässt sich auch die Länge $l$ des Vektors ermitteln: $l^{2}=a_{\color {Brown}m}\,a^{\color {Brown}m}=a^{\color {Brown}m}\,a^{\color {Brown}n}\,g_{\color {Brown}mn}=a_{\color {Brown}m}\,a_{\color {Brown}n}\,g^{\color {Brown}mn}$. Weblinks Walter Bislin: Kovariante und Kontravariante Komponenten. 8. Februar 2011, abgerufen am 19. Oktober 2014.