Benutzer:MovGP0/Physik/Kovariante und Kontravariante Komponenten

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Als Basis eines Vektors können hierbei beliebige Vektoren, mathematische Funktionen oder Matrizen (z. B. Pauli-Matrizen) dienen. Für einen gegebenen Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} unterscheidet man zwischen kontravarianten Komponenten des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^{\color{Brown}m}} (mit hochgestellten Indizes), sowie kovarianten Komponenten des Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{\color{Brown}m}} (mit tiefgestellten Indizes). Kontravariante Komponenten sind hierbei so gewählt, dass man den Vektor aus der Summe der Produkte der kontravarianten Komponenten und den zugehörigen Elementen der Basis erhält: $a=a^{\color {Brown}i}\,e_{\color {Brown}i}+a^{\color {Brown}j}\,e_{\color {Brown}j}$ Kovariante Komponenten erhält man durch eine orthogonale Messung (d. h. im 90°-Winkel) zur jeweiligen Basis. Hierbei gilt der Zusammenhang: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{\color{Brown}i} = a\,e_{\color{Brown}i}} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{\color{Brown}j} = a\,e_{\color{Brown}j}} Ein Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} , welcher in der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a^{\color{Brown}i}, a^{\color{Brown}j}, \ldots)} ausgedrückt wird, wird als kontravarianter Vektor bezeichnet. Umgekehrt wird ein Vektor in der Form $(a_{\color {Brown}i},a_{\color {Brown}j},\ldots )$ als kovarianter Vektor bezeichnet. Wenn es sich bei der Vektorbasis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e_{\color{Brown}m}} um eine Orthonormalbasis handelt, so gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^{\color{Brown}m} = a_{\color{Brown}m}} . Addition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^{\color{Brown}m} + b^{\color{Brown}m} = (a^{\color{Brown}i}+b^{\color{Brown}i}) + (a^{\color{Brown}j}+b^{\color{Brown}j}) + \ldots = a+b} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{\color{Brown}m} + b_{\color{Brown}m} = (a_{\color{Brown}i}+b_{\color{Brown}i}) + (a_{\color{Brown}j}+b_{\color{Brown}j}) + \ldots = a+b} Subtraktion Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle a^{\color {Brown}m}-b^{\color {Brown}m}=(a^{\color {Brown}i}-b^{\color {Brown}i})+(a^{\color {Brown}j}-b^{\color {Brown}j})+\ldots =a-b} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{\color{Brown}m} - b_{\color{Brown}m} = (a_{\color{Brown}i}-b_{\color{Brown}i}) + (a_{\color{Brown}j}-b_{\color{Brown}j}) + \ldots = a-b} Skalarprodukt mit Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{\color{Brown}m} s\,a^{\color{Brown}m} = s\,a^{\color{Brown}i} + s\,a^{\color{Brown}j} + \ldots = s\,a} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{\color{Brown}m} s\,a_{\color{Brown}m} = s\,a_{\color{Brown}i} + s\,a_{\color{Brown}j} + \ldots = s\,a} Skalarprodukt mit Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a^{\color{Brown}m}\,b^{\color{Brown}m} = a^{\color{Brown}i}\,b^{\color{Brown}i} + a^{\color{Brown}j}\,b^{\color{Brown}j} + \ldots = a\,b} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{\color{Brown}m}\,b_{\color{Brown}m} = a_{\color{Brown}i}\,b_{\color{Brown}i} + a_{\color{Brown}j}\,b_{\color{Brown}j} + \ldots = a\,b} Skalarprodukt mit Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b^{\color{Brown}m} = m^{\color{Brown}mn}\,a^{\color{Brown}n} = m^{\color{Brown}mi}\,a^{\color{Brown}m} + m^{\color{Brown}mj}\,a^{\color{Brown}n} + \ldots} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b_{\color{Brown}m} = m_{\color{Brown}mn}\,a_{\color{Brown}n} = m_{\color{Brown}mi}\,a_{\color{Brown}m} + m_{\color{Brown}mj}\,a_{\color{Brown}n} + \ldots} Ein Spezialfall hiervon ist die Vektorrotation, bei der ein Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} mit Hilfe eines Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} gedreht wird: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a'^{\color{Brown}m} = \omega^{\color{Brown}mn}\,a^{\color{Brown}n}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega^{\color{Brown}mm} = 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega^{\color{Brown}mn} = -\omega^{\color{Brown}nm}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a'_{\color{Brown}m} = \omega_{\color{Brown}mn}\,a_{\color{Brown}n}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega_{\color{Brown}mm} = 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega_{\color{Brown}mn} = -\omega_{\color{Brown}nm}} Kreuzprodukt Das Kreuzprodukt kann mithilfe des Levi-Civita-Symbols definiert werden: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon_{\color{Brown}ijk}\,a_{\color{Brown}i}\,b_{\color{Brown}j}\,e_{\color{Brown}k} = (a\times b)_{\color{Brown}k}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon^{\color{Brown}ijk}\,a^{\color{Brown}i}\,b^{\color{Brown}j}\,e^{\color{Brown}k} = (a\times b)^{\color{Brown}k}} oder gleichwertig: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon_{\color{Brown}ijk}\,a_{\color{Brown}i}\,b_{\color{Brown}j} = (a\times b)_{\color{Brown}k}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon^{\color{Brown}ijk}\,a^{\color{Brown}i}\,b^{\color{Brown}j} = (a\times b)^{\color{Brown}k}} es gilt daher: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon^{\color{Brown}ij}\,a^{\color{Brown}i}\,b^{\color{Brown}j} = \epsilon_{\color{Brown}ij}\,a_{\color{Brown}i}\,b_{\color{Brown}j} = a\times b} Spatprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon_{\color{Brown}ijk}\,a_{\color{Brown}i}\,b_{\color{Brown}j}\,c_{\color{Brown}k} = \epsilon^{\color{Brown}ijk}\,a^{\color{Brown}i}\,b^{\color{Brown}j}\,c^{\color{Brown}k} = a\,(b\times c) = b\,(c\times a) = c\,(a\times b)} Betrag des Vektors Mit dem metrischen Tensor lässt sich auch die Länge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l} des Vektors ermitteln: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle l^2 = a_{\color{Brown}m}\,a^{\color{Brown}m} = a^{\color{Brown}m}\,a^{\color{Brown}n}\,g_{\color{Brown}mn} = a_{\color{Brown}m}\,a_{\color{Brown}n}\,g^{\color{Brown}mn}} . Weblinks Walter Bislin: Kovariante und Kontravariante Komponenten. 8. Februar 2011, abgerufen am 19. Oktober 2014.