Benutzer:MovGP0/Physik/Grundlagen

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Physik Physik Dynamik • Grundlagen • Subatomare Teilchen • Kovariante und Kontravariante Komponenten • Ricci-Kalkül • Wichtige Tensoren Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Quantenphysik Spin und Magnetisches Moment • Quantenoperatoren • Schrödingergleichung Quantenfeldtheorie Einleitung Spezielle Relativitätstheorie • Fouriertransformationen • Elektromagnetismus Harmonische Oszillatoren Lagrange-Dichten Fermatsches Prinzip • Newtonsche Gesetze • Funktionale • Lagrange-Dichten und kleinste Wirkung Einfache Harmonische Oszillatoren  • Besetzungszahldarstellung  • Anwendung der Zweiten Quantisierung  • Physik Grundlagen Raumwinkel $\Omega ={\frac {S}{r^{2}}}=\int {\frac {\mathrm {d} A}{r^{2}}}=\int {{\frac {{\hat {\vec {r}}}\,\mathrm {d} {\vec {A}}}{\left\|{\vec {r}}\right\|}}^{2}}$ Definition: Raumwinkel = Fläche der Einheitskugel = Kalottenfläche / Radius^2 Gesamtraumwinkel: $4\pi {\frac {r^{2}}{r^{2}}}=4\pi$ Öffungswinkel: $\Omega =2\pi \left[1-\cos {\frac {\phi }{2}}\right]$ Fehlerrechnung Systematischer Fehler Bedingt durch Apparatur, Eichung, etc. Größe unbekannt Statistischer Fehler Messwert $x_{i}$ schwankt um Mittelwert ${\overline {x}}$ $S=\sum _{i}{\left({\overline {x}}-x_{i}\right)^{2}}$ Ziel: $\lim _{S\to 0}{\frac {\mathrm {d} S}{\mathrm {d} {\overline {x}}}}=2\,\sum _{i}{\left({\overline {x}}-x_{i}\right)^{2}}$ Mittelwert ${\overline {x}}={\frac {1}{n}}\,\sum _{n}{x_{i}}$ $x_{tat}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum _{n}{x_{i}}$ Standardabweichung Fehler der Einzelmessung $\sigma ={\sqrt {\frac {\sum _{n}{\left({\overline {x}}-x_{i}\right)^{2}}}{n-1}}}$ mittlerer Fehler Fehler des arithmetischen Mittels $\sigma ={\sqrt {\frac {\sum _{n}{\left({\overline {x}}-x_{i}\right)^{2}}}{n\,\left(n-1\right)}}}$ Koordinatensysteme kartesische Koordinaten Unterscheidung: Rechts- und Linkssystem $(x,y,z)$ räumliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) $(r,\theta ,\phi )$ Linienelement $\mathrm {d} {\vec {r}}=\mathrm {d} r\cdot {\hat {e}}_{r}+r\cdot \mathrm {d} \theta \cdot {\hat {e}}_{\theta }+r\cdot \sin {\theta }\cdot \mathrm {d} \phi \cdot {\hat {e}}_{\theta }$ Volumenelement $\mathrm {d} V=r^{2}\cdot \sin {\theta }\cdot \mathrm {d} r\cdot \mathrm {d} \theta \cdot \mathrm {d} \phi$ Raumwinkel $\mathrm {d} \Omega =\sin {\theta }\cdot \mathrm {d} \theta \cdot \mathrm {d} \phi$ Transformation ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r\cdot \sin {\theta }\cdot \cos {\phi }\\r\cdot \sin {\theta }\cdot \sin {\phi }\\r\cdot \cos {\phi }\end{pmatrix}}$ Zylinderkoordinaten $(\rho ,\phi ,z)$ Linienelement $\mathrm {d} {\vec {r}}=\mathrm {d} \rho \cdot {\hat {e}}_{\rho }+\rho \cdot \mathrm {d} \phi \cdot {\hat {e}}_{\phi }+\mathrm {d} z\cdot {\hat {e}}_{\phi }$ Volumenelement $\mathrm {d} V=\rho \cdot \mathrm {d} \rho \cdot \mathrm {d} \phi \cdot \mathrm {d} z$ Kreisbewegung $\mathbf {r} =\omega \,\mathbf {r} _{0}=\left(1,{\dot {\theta }},{\dot {\phi }},{\dot {\psi }}\right)\,\left(0,x,y,z\right)$ $\omega$ Kreisfrequenz $\omega =\left({\dot {t}},{\dot {\theta }},{\dot {\phi }},{\dot {\psi }}\right)$ ${\dot {\theta }}$, ${\dot {\phi }}$, ${\dot {\psi }}$ Winkelgeschwindigkeit $v$ Umlauffrequenz $\left\|\omega \right\|=2\,\pi \,v$ $T$ Periodendauer $T={\frac {1}{v}}={\frac {2\pi }{\omega }}$ Rotationsgeschwindigkeit und -Beschleunigung $\mathbf {a} _{rot}={\dot {\mathbf {v} }}_{rot}={\ddot {\mathbf {r} }}_{rot}$ $\mathbf {v} _{rot}=\mathbf {\omega } \,\left(0,{\vec {r}}\right)=\left(-\omega {\vec {r}},{\dot {\vec {r}}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\right)$ $\mathbf {a} _{rot}=\mathbf {\omega } \,\mathbf {v} _{rot}=\left(-{\dot {\vec {\omega }}}{\vec {r}},{\ddot {\vec {r}}}+2\,{\vec {\omega }}\times {\dot {\vec {r}}}+{\dot {\vec {\omega }}}\times {\vec {r}}-{\vec {\omega }}\,{\vec {r}}\,{\vec {\omega }}\right)$ Die Beschleunigung steht senkrecht zur Geschwindigkeit - dh. die Beschleunigung in Richtung zur Drehachse verursacht die Drehung. Der Beschleunigungsvektor entspricht damit der Zentripetalbeschleunigung: $-{\vec {\omega }}\,{\vec {r}}\,{\vec {\omega }}={\vec {\omega }}\times \left({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\right)+\omega ^{2}\,{\vec {r}}$ Kreisgleichung $x^{2}+y^{2}=r^{2}\,\left[\cos ^{2}\left(\omega \,t\right)+\sin ^{2}\left(\omega \,t\right)\right]=r^{2}$ Geschwindigkeit und Beschleunigung konstante Bewegung $\mathbf {r} =\left(t,{\vec {r}}\right)=\left(1,{\vec {v}}\right)\,\left(t,{\vec {0}}\right)$ zeitliche Ableitung ${\dot {\mathbf {r} }}=\left(\nabla ,{\vec {0}}\right)\,\mathbf {r} =\left({\frac {\partial }{\partial t}},{\vec {0}}\right)\,\mathbf {r}$ räumliche Ableitung $\mathbf {r} '=\left(0,{\vec {\nabla }}\right)\,\mathbf {r}$ Beschleunigung Differenzialform $\mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}={\ddot {\mathbf {r} }}$ Integralform $\mathbf {r} =\iint \mathbf {a} \ \mathrm {d} t^{2}=\int \left(\mathbf {v} \,t+\mathbf {v} _{0}\right)\ \mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\,\mathbf {a} \,t^{2}+\mathbf {v} _{0}\,t+\mathbf {r} _{0}$ mittlere Beschleunigung ${\overline {\mathbf {a} }}={\frac {\mathbf {v} \cdot (t+\Delta t)-\mathbf {v} \cdot t}{\Delta t}}$ momentane Beschleunigung $\mathbf {a} =\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {\mathbf {v} \cdot (t+\Delta t)-\mathbf {v} \cdot t}{\Delta t}}={\dot {\mathbf {v} }}$ Rotation $\mathbf {v} _{rot}=\mathbf {\omega } \,\mathbf {r} =\left({\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} t}}=1,{\vec {\omega }}\right)\,\left(t,{\vec {r}}\right)=\left(1\,t-{\vec {\omega }}\,{\vec {r}},1\,{\vec {r}}+t\,{\vec {\omega }}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\right)$ Freier Fall $\mathbf {r} ={\frac {1}{2}}\,\mathbf {g} \,\left(\Delta t\right)^{2}+\mathbf {v} _{0}\,\Delta t+\mathbf {r} _{0}$ $\mathbf {v} =\mathbf {g} \,\Delta t+v_{0}$ $g=g_{Erde}-g_{Zentrifugal}=G\,{\frac {m_{1}\,m_{2}}{d_{\overline {12}}^{2}}}-\omega ^{2}\,d_{\overline {12}}$ Fallzeit bei h=0; t=? Endgeschwindigkeit bei h=0; vvert=? Scheitelpunkt ${\dot {y}}=0\to \mathbf {v} _{y}=0$ variable Beschleunigung $\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {c}{c}}\,{\begin{pmatrix}1\\{\frac {\mathrm {d} x}{dt}}\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} t}}\end{pmatrix}}=v_{x}\,{\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} x}}\\1\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} x}}\end{pmatrix}}=v_{y}\,{\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} y}}\\{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} y}}\\1\\{\frac {\mathrm {d} z}{\mathrm {d} y}}\end{pmatrix}}=v_{z}\,{\begin{pmatrix}{\frac {\mathrm {d} t}{\mathrm {d} z}}\\{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} z}}\\{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} z}}\\1\end{pmatrix}}$ für x: $\mathbf {a} \,\mathrm {d} x=v_{x}\,{\begin{pmatrix}\mathrm {d} t\\\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}=v_{x}\,\mathrm {d} \mathbf {v}$ $\int _{x_{0}}^{x}{\mathbf {a} }\,\mathrm {d} x=\int _{v_{0}}^{v}\,v_{x}\,\mathrm {d} \mathbf {v}$